3.5 分式与比 第1课时 教案 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“分式与比”核心内容，通过复习小学比的概念、与分数除法的联系，以“引入字母后比与分式的关联”设问，搭建从具体数值比到含字母整式比的学习支架，衔接分式性质与比的拓展。 此资料特色在于以生活实例（录取人数比、消毒液配比）引导观察，通过“填一填”含字母比的对比分析抽象概念，培养数学眼光中的抽象能力。化简环节结合因式分解与约分，以问题链推动类比推理，发展数学思维中的运算与推理能力。实际问题（人数分配、面积比计算）应用强化模型意识，助力学生构建知识体系，教师易操作，提升教学效率。

第三章 分式 3.5 分式与比 第1课时   一、教材分析 《分式与比(第1课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第五节的内容，承接前面分式的概念与性质，将比的知识从具体数值拓展到含字母的整式范畴，搭建起比与分式之间的桥梁，既是对整式运算、分式基本性质的综合运用，也为后续学习比例应用题、相似图形等知识奠定基础，在初中数学“数与代数”领域具有承上启下的重要作用．   二、学情分析 八年级学生已掌握整数比的意义与化简方法，理解分式的概念及基本性质，具备一定的观察、分析和简单推理能力，但对“含字母的比”与“固定数值比”的差异认知不足，在将比转化为分式、对多项式进行因式分解后化简比的过程中，可能存在思路不连贯的问题，且运用比的知识解决实际问题的意识和能力有待提升．  三、教学目标 1．理解含字母的比的概念，明确比的各部分名称与读写规则，能准确用符号表示不同情境中的比，提升从具体情境中抽象出数学概念的能力． 2．掌握基于分式基本性质化简比的方法，能通过因式分解、约分完成比的化简，培养类比推理能力，熟练运用整式运算、分式运算解决比的相关问题． 3．能将实际问题中的数量关系转化为比的模型，运用比的知识解决人数分配、面积比计算等实际问题，积累数学活动经验，提升用数学知识解决实际问题的能力．   四、教学重难点 重点：理解比的概念（含字母），掌握依据分式基本性质化简比的方法． 难点：将多项式形式的比通过因式分解转化为可约分的形式，进而完成化简，以及运用比的知识解决实际问题．   五、教学过程 · 复习回顾 ①什么是比？ 两个数相除又叫作两个数的比． ②比的各部分名称是什么？ 在两个数的比中，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项．比的前项除以后项所得的商，叫作比值． 例如：15 : 10=15÷10= 前 比 后 比 项 号 项 值 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示． ③分数、除法、比三者之间的联系与区别 比可以表示为分数或两个数相除的形式． 在引人字母表示数后，比和分式有怎样的联系？ 师生活动：教师依次提出“什么是比”“比的各部分名称是什么”“分数、除法、比三者的联系与区别”三个问题，引导学生回忆并回答，结合示例明确比的前项、后项、比值概念及三者关系，最后以“引入字母后，比和分式有怎样的联系”设问，引发学生思考，完成知识衔接． 设计意图：通过回顾小学阶段比的基础概念与分数、除法的关联，唤醒学生已有知识储备，为后续将比拓展到含字母的整式范畴做铺垫，同时以设问引发认知冲突，自然过渡到本节课“分式与比”的探究主题． · 探究新知 活动一：探究比的概念 1．思考：某省2022年高中毕业生本科录取人数与 2012年录取人数的比约为124:100；某种消毒液的说明书上注明，当给水果、蔬菜消毒时，该消毒液与所加清水的体积比应为1:1000．这里的124:100，1:1000分别是什么含义？ 124:100表示把该省2012年高中毕业生本科录取人数看作100份，2022年本科录取人数约为124份；1:1 000表示给水果、蔬菜消毒时，1体积的消毒液需搭配1000体积的清水． 2．填一填： 写出下列问题中的比： （1）长方形的长为a，宽为b，长方形的长、宽之比为 ； （2）八年级1班男生有m人，女生比男生少3人，男、女生人数的比是 ； （3）轮船在静水中的平均速度为vkm/h，河水流动的平均速度为akm/h,轮船在静水中的平均速度与轮船在河水中顺流而下的平均速度之比为 ． （1） （2） （3） 你能发现问题（1）（2）（3）中的比与124:100，1:1 000有什么不同吗？ 问题（1）（2）（3）中的比中含有字母，数值随着字母的变化而变化． 124:100，1:1 000是固定的数值比，它所代表的是两个量之间固定的倍数关系，不随其他因素的变化而变化． 类比小学用数表示的比，把“数”换成“含字母的整式”，比的本质是否变化？ 不管是数的比还是整式的比，“比是两个量相除”的本质不变． 两个整式A与B()相除，叫作A与B的比，记作或．其中，A叫作比的前项，B叫作比的后项． 注意：（1）在一个比中，比的前项和比的后项是有顺序的，不能颠倒；（2）在利用比解决实际问题时，比的前项和比的后项的单位必须统一． 师生活动：教师先呈现录取人数比、消毒液配比的实例，让学生理解固定数值比的含义；再给出“填一填”中含字母的比的问题，学生独立完成后，小组讨论对比含字母的比与固定数值比的差异；教师巡视指导，最后引导学生归纳含字母的比的定义，强调“”“前后项有顺序”“单位统一”等注意事项，学生举例验证概念． 设计意图：从生活实例入手，让学生先感知固定数值比，再通过对比分析自主发现含字母的比的特点，进而归纳概念，培养观察、分析和归纳能力，举例验证环节则能深化学生对概念的理解，强化符号意识． 活动二：探究比的化简 1．议一议： 若长方形的长、宽之比为，是否代表长方形的长为m，宽为n呢？ 比表示两个量相除的关系．长方形长、宽之比为，它表示的是长和宽这两个量之间的相对关系，是长除以宽的商的一种表示形式，不一定代表长方形的长为m，宽为n． 2．整式A与B的比一定是分式吗?为什么?如何化简一个比? 分式一定是比，比不一定是分式．但比可利用分式的基本性质来进行化简． 3．你能化简和吗? ； ． 归纳：可以写成的形式，可通过化简分式来化简． 师生活动：教师提出“长方形长、宽之比为，是否代表长为m、宽为n”的问题，学生思考后发表观点，教师引导学生明确比的本质是数量关系；接着追问“整式的比是否为分式”“如何化简比”，学生结合分式知识分组探究，尝试化简“”和“”，教师选取典型解法展示，引导学生总结“将比写成分式形式，再按分式化简方法化简”的思路． 设计意图：通过问题链引发学生思考，打破“比即具体数值”的思维定式，明确比的本质；让学生自主探究化简比的方法，借助分式基本性质实现知识迁移，培养类比推理能力，体会转化的数学思想，同时通过典型解法展示，规范解题步骤，为后续复杂比的化简打下基础． 活动三：归纳化简比的步骤 化简： 解：原式　　　把比写成分式的形式　　　　　 　　　当分子或分母为多项式时，先将其因式分解 　 ．　　　约分 师生活动：教师给出化简“”的问题，学生独立尝试解题，教师巡视发现学生在因式分解、约分环节的问题；之后邀请学生上台板演解题过程，师生共同点评，梳理“写成分式→多项式因式分解→约分”的步骤，教师结合板书强调每一步的关键要点，如因式分解的公式运用、约分的注意事项，学生再独立完成1道同类题目巩固步骤． 设计意图：通过具体例题让学生经历完整的化简比过程，在实践中发现问题、解决问题；借助板演和点评，帮助学生梳理并规范化简步骤，突破“多项式因式分解后化简”的难点，提升学生的逻辑推理和运算能力，同时通过巩固练习，强化对步骤的掌握． · 应用新知 例1．化简： （1）；（2）． 分析：主要是通过约分来实现，约分就是约去公因式． 解：（1）． （2）． 总结：通过因式分解找到公因式，再依据分式基本性质约去公因式，实现分式最简形式转化． 例2． 八年级1班有学生a名．如果男、女生人数的比是，那么该班有女生多少名？ 分析：根据男、女生人数的比例关系求出女生人数占总人数的比例，再结合班级总人数求出女生人数． 解：因为男、女生人数的比是， 所以女生人数为该班学生总数的， 因为，所以，该班有女生名． 总结：关键是找准比例关系，将比例转化为“部分占总体的分数”，结合总量计算． 例3． 如图，某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为a的正方形，中间有一个边长为b的正方形喷水池．草坪乙是长为c，宽为的长方形．求甲、乙两块草坪面积的比． 分析：正方形面积等于边长的平方，长方形面积等于长乘以宽．进而求出面积比． 解：草坪甲的面积是，草坪乙的面积是． 因为，所以，甲、乙两块草坪面积的比是． 师生活动：教师呈现例1（化简含单项式、多项式的比）、例2（人数分配问题）、例3（面积比计算问题），先引导学生分析每个例题的解题思路，如例1需明确公因式、例2需找准比例占比、例3需结合面积公式；学生分组完成例题，每组推选代表分享解题过程，教师针对学生的易错点（如因式分解不彻底、单位未统一）进行强调和补充，最后师生共同总结每个例题的解题关键． 设计意图：通过不同类型的例题，让学生将化简比的方法应用于单项式、多项式，以及实际问题中，实现知识的灵活运用；分组合作与代表分享的形式，培养学生的合作交流能力和表达能力，教师对易错点的强调，帮助学生规避错误，提升解题准确率，同时强化数学建模与应用意识． · 课堂练习 1．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 2．假设b，c都是不为0的数．下列等式成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例． （1）； （2）； （3）． 解：（1）成立，理由：根据比例的基本性质，对于比例，外项积为，内项积为．因为，所以等式成立． （2）不成立，反例：假设，，． 左边，右边． 因为，所以等式不成立． （3）不成立，反例：假设，． 左边，右边因为，所以等式不成立． 3．去年某中学七、八年级累计个人志愿服务总时长为3600h．已知两个年级累计个人志愿服务的总时长之比为5:7，两个年级累计个人志愿服务的总时长分别是多少？ 解：已知两个年级累计个人志愿服务的总时长之比为5:7，那么总份数为5+7=12份．七年级累计个人志愿服务总时长占总时长的比例为．所以七年级的志愿服务总时长为3600×=1500（h）． 八年级累计个人志愿服务总时长占总时长的比例为．所以八年级的志愿服务总时长为3600×=2100（h）． 所以，两个年级累计个人志愿服务的总时长分别是1500h，2100h． 师生活动：教师布置4道化简题、3道等式判断与反例题、1道实际应用题，学生独立完成，教师巡视并对有困难的学生进行个别指导；完成后学生同桌互评，针对分歧较大的题目，教师组织全班讨论，共同分析正确解法，最后教师统计答题正确率，对普遍存在的问题（如判断等式成立时反例举错）进行集中讲解． 设计意图：通过分层练习，覆盖化简比的不同类型和比的性质应用，检验学生对知识的掌握程度；同桌互评和全班讨论的形式，让学生在交流中查漏补缺，培养批判性思维；教师的个别指导和集中讲解，能精准解决学生的问题，巩固本节课核心知识与技能． 限时训练 1．将下面的比写成分式的形式并化简： （1）；（2）；（3）． 解：（1）； （2）； （3）． 将比转化为分式并化简，关键步骤是“因式分解、统一形式、找公因式”． 2．小莹和她妈妈的年龄之和为m岁，已知小莹与她妈妈的年龄之比为，则小莹的年龄为多少岁？小莹妈妈的年龄为多少岁？ 分析：按比例分配是将一个总量按照一定的比分成若干部分，求每一部分是多少.这里总量是小莹和她妈妈的年龄之和m岁，比例是小莹与她妈妈年龄之比． 解：因为小莹与她妈妈的年龄之比为， 所以小莹的年龄占年龄之和的，则小莹的年龄为岁，小莹妈妈的年龄占年龄之和的，则小莹妈妈的年龄为岁．所以小莹的年龄为岁，小莹妈妈的年龄为岁． 3．如图，已知长方形广场的长为()，宽为，准备在广场上建造一个长为，宽为ab的长方形绿地，求绿地与广场的面积比． 分析：长方形面积公式：S = 长×宽． 解：绿地的面积为，广场的面积为， 所以绿地与广场的面积比为， 所以，绿地与广场的面积比为． 师生活动：教师设定15分钟限时训练，呈现3道题目（比的转化与化简、年龄比例问题、面积比计算问题），学生在规定时间内独立完成；训练结束后，教师公布答案，学生自行批改，统计错题并分析错误原因；之后教师选取典型错题，邀请学生分享错误思路，共同分析纠正，最后学生整理错题，完善解题思路． 设计意图：限时训练能提升学生的解题速度和专注力，检验学生在紧张状态下对知识的运用能力；自行批改和错题分析，培养学生的自我反思能力，让学生明确自身薄弱环节；典型错题的讲解，帮助学生共性问题，进一步巩固知识，提升解题能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．本节课学习的比与小学阶段的比有什么区别与联系？ 3．化简比的关键步骤有哪些？在哪个步骤容易出错，如何避免？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课内容，梳理比的概念、化简方法与步骤、实际应用思路，帮助学生构建完整的知识体系，将零散的知识系统化；同时通过问题引导，让学生主动思考知识间的联系和数学思想方法的运用，提升归纳概括能力，为后续学习做好知识衔接．   六、板书设计 　　3.5 分式与比（第1课时） 一、比的概念 1.定义：两个整式A与B()相除，叫作A与B的比，记作或．其中，A叫作比的前项，B叫作比的后项． 注意：①前后项有顺序，不可颠倒；②实际问题中单位需统一． 二、比的化简 1.依据：分式的基本性质 2.思路：将比写成分式形式，按分式化简方法化简 例1 例2 例3 例1　　　　例2　　　　例3 学科网（北京）股份有限公司 $