3.2分式的乘法与除法 第1课时 教学设计 2026--2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦分式约分核心知识点，通过复习分式基本性质，类比分数约分自然引出主题，搭建新旧知识联系的学习支架，为后续分式运算奠定基础。 特色在于探究式学习，活动一让学生自主化简分式归纳特征，培养观察与抽象能力，活动二通过分歧讨论明确约分需约去所有公因式，发展推理意识，例题将整式除法转化为分式约分，强化模型意识。帮助学生掌握约分步骤，为教师提供清晰教学流程与分层练习设计。

第三章 分式 3.2 分式的乘法与除法 第1课时   一、教材分析 《分式的乘法与除法(第1课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第二节的内容，它建立在学生已学习分式基本性质和分数约分的基础上，是分式运算的重要起始内容，为后续学习分式的加减法等运算奠定基础，在分式这一章节中起着承上启下的作用．   二、学情分析 八年级学生已具备分数约分的知识和一定的观察、归纳能力，对分式有了初步认识，知道分式的基本性质，但在将分式约分与分数约分进行类比迁移，以及处理分子、分母为多项式的分式约分时，可能会遇到因式分解不熟练等困难，需要教师引导其逐步掌握相关方法．  三、教学目标 1．通过观察的方法来探索分式的约分过程，理解分式约分的依据，会用分式的基本性质将分式约分，培养学生观察，归纳的学习能力． 2．通过分式的约分，并能准确判断最简分式，进一步积累数学活动经验，提高学生学习兴趣． 3．通过研究解决问题的过程，培养与他人交流的能力，增强合作交流的的意识．   四、教学重难点 重点：掌握分式约分的方法，能将分式化为最简分式或整式． 难点：当分子、分母是多项式时，能正确进行因式分解并找出公因式完成约分．   五、教学过程 · 复习回顾 分式的基本性质是什么？ 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即，(其中M是不等于零的整式)． 我们学过分数的约分，分式可以约分吗？这节课我们一起研究．　　 师生活动：教师提出问题“分式的基本性质是什么？”，引导学生回忆并回答，随后提问“我们学过分数的约分，分式可以约分吗？”，引发学生思考，通过师生间的问答互动，激活学生已有知识储备． 设计意图：通过复习分式的基本性质，为分式约分的学习提供理论依据，同时借助与分数约分的类比，自然引出本节课的研究主题，激发学生的探究兴趣，使学生快速进入学习状态． · 探究新知 活动一：探究分式的化简　 （1）化简下列分式： ①； ②； ③； ④． ①； ②； ③； ④． （2）上面分式化简的依据是什么？分式的基本性质 （3）上面四个能化简的分式有什么共同特征？什么样的分式需要化简？如何将分式化简？ 共同特征：分子和分母有公因式． 分子和分母存在公因式的分式需要化简． 分式的分子、分母中有公因式时，可以根据分式的基本性质，使分子、分母同除以这个公因式，将分式化简． 师生活动：教师呈现四个分式化简题目，让学生自主尝试解答，之后组织学生交流答案和化简思路，引导学生分析化简依据，总结能化简分式的共同特征、需要化简的分式类型及化简方法，教师在过程中进行点拨和补充． 设计意图：通过具体的化简题目，让学生在实践中感知分式化简的过程，自主探究得出分式化简的依据和相关特征，培养学生的观察、归纳能力，为后续学习分式约分概念奠定基础． 活动二：归纳分式约分和最简分式的概念 填一填 （1）， （2）． 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫作分式的约分． 找公因式方法： （1）系数的最大公约数． （2）分子分母相同因式的最低次幂． 在化简分式时，小红和小明的做法出现了分歧： 小红： 小明： 分式的约分，一般 要约去分子和分母 所有的公因式． 对他们俩的解法有何看法？说说看！ 一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 约分的方法和步骤： 一找：找出分子和分母的公因式． 当分子或分母是多项式时，需要先分解因式． 二约：利用分式的基本性质约去分子和分母所有的公因式． 三化：约分要彻底，化成最简分式或整式． 师生活动：教师引导学生完成填空，结合填空过程讲解分式约分的概念，介绍找公因式的方法，展示小红和小明不同的约分做法，组织学生讨论评价，进而明确约分需约去所有公因式，引出最简分式概念，并总结约分的方法和步骤． 设计意图：通过填空让学生直观感受约分过程，结合具体例子讲解概念和方法，使学生更易理解，通过对比不同约分做法，帮助学生明确约分的关键，掌握最简分式的判断标准，规范约分步骤． 活动三：探究整式除法运算 做一做 在下列整式中任意选择两个做除法运算，有几组运算的结果是整式？ ， ， ． 解：①； ②； ③； ④ ； ⑤； ⑥ ． 有三组运算的结果是整式，分别是①③⑤． 用整式A(含有字母)除以整式B(含有字母，且不等于0)，如果所得的结果是整式，我们就称整式A能被整式B“整除”，此时，A与B应满足什么条件？ 单项式相除时，系数可整除、被除式字母次数不低于除式；多项式相除（分式形式）时，经因式分解后，分子因式包含分母因式所有部分，约去后商为整式． 师生活动：教师让学生从给定整式中任选两个进行除法运算，探究结果为整式的情况，学生分组合作完成后展示成果，教师引导学生分析这些运算中整式A与B满足的条件，总结整式除法结果为整式的规律． 设计意图：通过实际操作让学生体验整式除法运算，探究结果为整式的条件，加深对分式约分与整式除法关系的理解，培养学生的合作探究能力和分析问题的能力． · 应用新知 例1．约分： （1）； （2）． 分析：核心是找出分子、分母的公因式并约去，使分式化为最简形式． 解：（1）． （2）． 总结：当分式的分子与分母是多项式时，应当先把多项式进行因式分解，然后再约去它们的公因式． 例2．约分： （1） ； （2）． 分析：多项式先分解因式，再找公因式约分． 解：（1）； （2）． 总结：分式的公因式是分解完后相同的式子． 例3． 计算： 　　（1）； （2）． 　　分析：把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算． 解：（1）． （2）． 总结：分式约分的结果应当是最简分式或整式． 师生活动：教师出示约分例题，先引导学生分析题目特点，确定解题思路，再让学生尝试解答，之后教师进行讲解和订正，强调当分子、分母是多项式时先因式分解的重要性，总结解题要点． 设计意图：通过例题展示，让学生将所学的约分方法应用到实际解题中，巩固分式约分的步骤和技巧，特别是对分子、分母为多项式的分式约分进行重点练习，提高学生的解题能力． · 课堂练习 1．约分： （1）； （2）． 分析：本题考查分式约分，关键在于找出分子分母公因式，分单项式、多项式两种情况：单项式分式找系数最大公约数与相同字母最低次幂；多项式分式先因式分解，再确定公因式，最后约去公因式化简． 解：（1）． （2）． 2．下列等式成立吗？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 分析：本题聚焦分式约分的正误判断，分式约分的基本规则：约分时，分子与分母需有公因式，且约去的是分子分母的整体公因式，不能随意删改分子或分母中的项． 解：（1）不正确，为最简分式； （2）不正确，x不一定等于1； （3）正确，； （4）不正确，． 3．下列哪些分式是最简分式？ ①； ②； ③； ④． 解：①是最简分式．②，不是最简分式．③，不是最简分式．④是最简分式． 总结：最简分式：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式． 师生活动：学生独立完成课堂练习题目，教师巡视指导，针对学生在练习中出现的问题进行集中讲解，组织学生交流解题心得，纠正错误做法． 设计意图：通过练习检验学生对分式约分知识的掌握程度，及时发现并解决学生存在的问题，巩固所学内容，强化最简分式的判断和约分方法的应用，提升学生的解题熟练度． 限时训练 1． 下列分式中，是最简分式的是：　（2）（4）(填序号)． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 2．约分： （1）； （2）． 分析：当分子或分母是多项式时，先分解因式，再找公因式． 解：（1）； 公因式为： （2）． 公因式为： 总结：约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式． 3．计算： （1） ； （2）． 　　分析：除法先变成分式，再按照分式的化简约分． 解：（1） ； （2）． 总结：单项式相除，分系数、幂、单独字母处理；多项式相除，先分解再约分化简． 4． 已知，求的值． 分析：本题是典型的连比设参求值问题，利用“设比例系数”的方法，将多个变量用同一参数表示，转化为整式运算求解比值． 解：设，则，，． . 总结：这种方法是解决连比求值问题的通用技巧，能高效将复杂比例关系转化为简单整式运算，体现了“转化与化归”的数学思想． 师生活动：学生在规定时间内完成限时训练题目，教师计时并在结束后公布答案，学生自行核对，对于错误较多的题目，教师进行详细讲解，引导学生分析错误原因． 设计意图：限时训练能提高学生的解题速度和效率，检验学生对知识的掌握情况，通过针对性讲解，帮助学生弥补知识漏洞，进一步巩固分式约分及相关运算知识，提升应试能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．分式约分的依据是什么？它和我们之前学的分数约分有什么联系与区别？ 3．什么样的分式是最简分式？你能举例说明吗？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课内容，帮助学生梳理知识脉络，明确本节课的重点和难点，加深对分式约分的依据、方法、结果等内容的理解，培养学生的总结概括能力，使学生形成完整的知识体系．   六、板书设计 　　3.2 分式的乘法与除法 分式约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去 找公因式方法：系数的最大公约数；分子分母相同因式的最低次幂 最简分式：分子与分母除1以外没有其他公因式的分式 约分步骤：一找、二约、三化 例1　　　例2　　　　例3 学科网（北京）股份有限公司 $