专题训练 最短路径问题 课时作业.2025-2026学年人教版 八年级数学上册

《专题训练 最短路径 课时作业》参考答案 题号 1 2 3 答案 D D C 1．D 【分析】本题考查最短路径问题（利用轴对称求线段和最小），解题的关键是掌握“两点之间，线段最短”及轴对称的性质． 根据最短路径问题的求解方法，利用轴对称将其中一点对称到直线另一侧，再连接两点与直线的交点即为所求，据此分析各选项． 【详解】要使读书亭到、两小区的距离之和最小，根据“轴对称＋两点之间线段最短”的原理： 选项D中，作出点关于直线的对称点，则， 此时． 因为、、三点共线，根据“两点之间，线段最短”， 此时最小，即最小． 而其他选项的作图方法均不符合最短路径的求解， 故选：D． 2．D 【分析】本题重点考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题等知识，正确地画出图形找到的最小值时点H的位置是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为，此时最短，利用条件求解即可． 【详解】解： 是等边三角形，是边上的高， ，平分，， ， 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 4．5 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 由基本作图得到垂直平分，则，所以，连接，如图，利用两点之间线段最短可判断的最小值为，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， 连接，如图， ∵（当且仅当M点在上时取等号）， ∴的最小值为， ∵，D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴长度的最小值为5． 故答案为：5． 5． 【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．8 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟知等腰三角形三线合一的性质，两点之间线段最短是解答此题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 7． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 8．/76度 【分析】根据轴对称的性质得到，，再根据两点之间线段最短可知当共线时，的周长最小；连接、、，根据轴对称的性质得到，，，利用角的和差求出，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出，再通过证明得到，同理可得，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵、分别是关于、的对称点，交于点，交于点， ∴，， ∵的周长， ∴当共线时，的周长最小； 如图，连接、、， 由轴对称的性质得，，，， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9． 120 【分析】分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小，连接，，由轴对称的性质得，，结合得到，进而推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 10．C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 11．(1)图见解析， (2)见解析 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题、轴对称图形与坐标等知识，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键． （1）先根据题意，画出图形，再根据图形即可写出，两点的坐标； （2）作点关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知：； 故答案为： （2）解：如图，作点关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点，由两点之间线段最短可知和最小，所以点即为所求． 12．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的作图方法、最短路径问题（利用轴对称转化线段）、角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）、全等三角形的判定与作图，解题的关键是熟练运用轴对称性质找对称点、依据角平分线性质确定点的位置、结合格点特征构造全等三角形． （1）利用格点找出三个顶点关于直线l对称点，顺次连接即可； （2）当点P在直线l和的交点处时，，为最小值； （3）利用格点找出的角平分线与直线l的交点即可． （4）利用格点找出与全等且有一个公共角的三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：如图，点P即为所求作． 理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； （3）解：如图，点Q即为所求作． （4）解：如图，即为所求作的三角形． 13．见解析 【分析】本题考查了最短路径问题．用轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与的交点上，即，，三点共线）． 【详解】解：如下图，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明：如下图，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点，的对称轴，点，在上， ∴，， ∴． 在中，∵， ∴，即最小． 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 15．见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点； （2）连接，作线段的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （3）连接并延长交直线于点，假设直线上有一点（异于点），连接、，点即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， 由线段垂直平分线的性质可得，此时； （3）解：如图，点即为所作， 在中，，则最大． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练 最短路径问题 课时作业 一、单选题 1．为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 4．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为 ． 5．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 6．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 7．在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 8．如图，内一点，、分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若，当周长最小时，则 ． 9．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 10．如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 三、解答题 11．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， (1)画出关于x轴对称的，直接写出，两点的坐标：___________； (2)在y轴上有一点D，使得和最小，请画出点D的位置（保留画图痕迹）． 12．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； (3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等； (4)画一个顶点均在格点的三角形，该三角形与全等，且有一个公共角． 13．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 14．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 15．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 16．已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 17．已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 学科网（北京）股份有限公司 $