3.4 分式方程 第2课时 教学设计 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦分式方程增根及含参数求解，通过复习分式方程定义、解法及转化思路导入，以旧知为支架衔接新知，构建从初步解分式方程到深化增根问题的知识脉络。 以学生探究为核心，活动一让学生自主求解发现增根矛盾，小组讨论建构概念，培养数学眼光中的抽象能力和创新意识。例3含参数问题引导推理增根成因求参数，发展数学思维中的推理能力。规范验根步骤强化数学语言的模型意识，助力学生深化逻辑推理，帮助教师高效突破重难点。

第三章 分式 3.4 分式方程 第2课时   一、教材分析 《分式方程(第2课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第四节的内容，承接分式方程的初步认识，聚焦增根问题及含参数分式方程的求解，是分式知识体系中方程应用的深化，对培养学生方程转化能力和逻辑推理能力具有重要意义．   二、学情分析 八年级学生已掌握分式的基本性质、整式方程的解法及分式方程的初步解法，具备一定的代数变形能力和逻辑思维基础，但对增根的成因及参数问题的处理缺乏系统认识，需要通过具体案例和探究活动深化理解．  三、教学目标 1．学生能够准确理解增根的定义，清晰分辨出分式方程中导致分母为零的增根情况，借助增根问题的解决，提升学生运用方程思想、转化思想解决问题的能力． 2．熟练掌握将分式方程化为整式方程的方法，包括正确找出最简公分母并进行去分母操作，通过观察、分析分式方程去分母前后的变化，培养学生的类比思维和逻辑推理能力． 3．学会根据增根的性质，求出分式方程中参数的值，培养合作探究精神和创新意识．   四、教学重难点 重点：掌握分式方程的求解步骤及增根的检验方法． 难点：理解增根的成因及利用增根求分式方程中参数的值．   五、教学过程 · 复习回顾 1．什么叫做分式方程？ 分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2．怎么解分式方程？ 通过去分母，将分式方程转化为整式方程，借助整式方程可求得分式方程的解． 3． 解分式方程的基本思路是什么？ 去分母 分式方程 整式方程 师生活动：教师通过提问引导学生回顾分式方程的定义、解法及基本思路，学生集体回答并补充，教师针对学生的回答进行纠正和强调，如强调去分母是转化的关键步骤． 设计意图：通过复习旧知，唤醒学生对分式方程相关知识的记忆，为新知识的学习奠定基础，同时明确分式方程与整式方程的转化关系，初步渗透转化思想． · 探究新知 活动一：探究分式方程的增根 做一做： 解分式方程：． 解：方程两边都乘，得　． 解方程，得　．检验：当时，分母． 因此不是原方程的解．所以原方程没有解． 事实上，原方程可以写成， 即．由此看出，这个方程无解． 在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根． 注意：在解分式方程时必须进行检验． 为什么会产生“增根”呢？ 对于原分式方程的解来说，必须要求方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求． 如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根． 验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零．如果为零，即为增根． 如上面题中的，代入，可知是原分式方程的增根． 师生活动：教师呈现分式方程实例，引导学生按之前的方法求解，学生自主完成后发现解的矛盾性，教师组织小组讨论“为什么会出现这种情况”，进而引出增根的定义，再通过分析实例探究增根产生的原因及检验方法． 设计意图：让学生在亲自动手求解中发现问题，激发探究兴趣，通过小组讨论自主建构增根的概念，理解其产生的根源，培养学生的问题意识和逻辑推理能力． 活动二：探究解分式方程的步骤 议一议：回顾方程和的求解过程，我们总结一下完整地解分式方程步骤． 师生活动：教师引导学生回顾两个分式方程的求解过程，让学生以小组为单位总结解分式方程的完整步骤，各小组展示成果后，教师进行补充和规范，形成统一的步骤体系，并结合图示强调验根的必要性． 设计意图：通过自主总结和合作交流，让学生梳理解分式方程的流程，强化对转化思想和验根环节的认识，培养学生的归纳总结能力和合作探究精神． · 应用新知 例1．解方程：． 分析：两边乘以最简公分母，变成整式方程． 解：方程两边都乘，得 ．整理，得． 解方程，得．检验： 当时，． 所以原方程的解是． 注意：解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程一定要验根！ 例2．解分式方程：． 分析：解出整式方程的解后，必须代入原分式方程分母（或最简公分母）检验，若使分母为0，是增根，原分式方程无解；若分母不为0，才是有效解． 解：方程两边都乘，得 ．整理，得． 解方程，得． 检验： 当时，． 所以，是增根，原方程无解． 总结：牢记检验环节，规避增根导致的错误结论． 例3．已知关于x的分式方程． (1)当 时，求该分式方程的解； (2)若分式方程有增根，求k的值． 分析：分式方程求解关键是去分母转化整式方程，增根使原方程分母为0． 解：(1)当 时，方程为，两边同时乘以， 得，解得． 检验：当时，，且． 所以是原分式方程的解． (2)两边同时乘以， 得，解得．若分式方程有增根， 则，所以．即=2，所以． 总结：去分母化整式，别忘检验；遇增根，先找增根，再代入整式方程求参． 师生活动：教师出示例题，先引导学生分析解题思路，如确定最简公分母，学生独立完成求解，教师巡视指导，选取典型错误案例进行展示，组织学生分析错误原因，最后师生共同总结解题注意事项． 设计意图：通过例题练习，让学生巩固分式方程的求解方法及增根的处理，在纠错过程中加深对知识点的理解，提升运算准确性和思维严谨性． · 课堂练习 1．解分式方程时，以下三个步骤中错误的一步是 ． ①方程两边都乘 ，得整式方程； ②解这个整式方程，得． ③原分式方程的解为． 解：步骤③错误，在原分式方程中，当时，分母，，此时分式方程的分母为0，分式无意义，所以是增根，原分式方程无解． 2．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）方程两边都乘，得 ． 去括号，得　 ． 移项，得 ． 解得 ． 检验： 当时，． 所以原方程的解是． （2）方程两边都乘，得 ．　 移项，得 ． 合并同类项，得 ．解得． 检验： 当时，． 所以原方程的解是． （3）方程两边都乘，得 ． 去括号，得　 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 解得 ． 检验： 当时，． 所以是增根，原方程无解． （4）方程两边都乘， 　　 得， 所以，故原方程的解为所有不等于2的实数． 师生活动：学生独立完成课堂练习题，教师巡视并对有困难的学生进行个别辅导，练习结束后，选取学生代表板演解题过程，师生共同点评，重点分析增根相关题目． 设计意图：通过针对性练习，检验学生对基础知识的掌握程度，及时发现问题并纠正，强化学生对增根检验和分式方程求解步骤的应用，提升解题熟练度． 限时训练 1．解方程（1）；（2）． 分析：通过变形消去分母，再用整式方程解法，最后验根保障解的合理性． 解：（1）方程两边同乘以， 约去分母得，， 解得，． 检验：当时，，是原方程的解． （2）方程两边同乘以， 约去分母，得． 解得，.检验：当时，， 是原方程的增根，舍去，所以，原方程无解． 总结：化分式为整式，检验防增根． 2．解分式方程： 解：方程两边同乘以， 约去分母，得． 解得，．检验：当时，(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)≠0， 是原方程的解，所以，原方程的解为． 3．若分式方程有增根，求m的值． 分析：先确定增根，再将分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求m的值． 解：方程两边同乘，得， 化简，得．因为该分式方程存在增根， 所以，，即． 所以，，所以． 总结：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 4．若关于x的分式方程无解，求m的值． 分析：首先要明确分式方程无解的情况，分式方程无解可能是由产生增根导致的． 解：方程两边同乘，得． 解得：．因为该分式方程无解， 所以，，即是增根． 所以，，所以． 总结：找增根——化整式方程——代入求参数． 师生活动：教师规定时间让学生完成限时训练题，强调时间观念，学生自主完成后，同桌之间相互检查答案，教师公布正确答案并对难点题目进行详细讲解，特别是含参数的分式方程问题． 设计意图：通过限时训练，提高学生的解题速度和应变能力，强化对增根及参数问题的掌握，培养学生的时间管理能力和应试素养． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．增根与分式方程的解有什么区别？？ 3．解分式方程时，为什么必须进行验根？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课内容，梳理知识脉络，帮助学生构建完整的知识体系，明确重点和难点，促进学生对知识的内化和巩固，培养学生的反思总结能力．   六、板书设计 　　3.４ 分式方程（第２课时） 一、增根 1. 定义：适合整式方程，不适合原方程的解 2. 成因：去分母后最简公分母为0 3. 检验：代入最简公分母，值为0则为增根 二、解分式方程步骤 1. 去分母转化为整式方程 2. 解整式方程 3. 验根（关键） 例1　　　　例2　　　　例3 学科网（北京）股份有限公司 $