3.2分式的乘法与除法 第2课时教学设计 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦分式乘除法及乘方运算法则，通过“火车提速时间缩短比例”现实问题导入，引导学生列出分式除法算式，类比分数乘除法法则构建新知，衔接分数运算旧知，为分式混合运算奠定基础。 资料以“观察—类比—归纳”为主线，通过分数运算回顾、“填一填”探究活动让学生自主归纳法则，培养推理意识与抽象能力。结合晨跑时间、撒播密度等实际问题渗透模型意识，例题分层设计强化因式分解与符号处理，提升运算能力，助力教师实施探究式教学，帮助学生养成严谨运算习惯。

第三章 分式 3.2 分式的乘法与除法 第2课时   一、教材分析 《分式的乘法与除法(第2课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第二节的内容，是分数乘除法运算的延伸与拓展，通过类比分数乘除法法则构建分式乘除法及乘方的运算体系，为后续学习分式混合运算、分式方程等知识奠定基础，同时渗透转化、类比、数形结合等数学思想，是培养学生代数运算能力的重要载体．   二、学情分析 八年级学生已掌握分数的乘除法法则和整式的乘除运算，具备一定的类比推理能力和代数运算经验，但对分式运算中符号处理、因式分解后约分等细节容易出错，且对“分式乘方需分子分母分别乘方”的规则理解不够深刻，需要通过具体实例和操作体验深化认知，逐步形成严谨的运算习惯．  三、教学目标 1．经历分式乘除法及乘方法则的探究过程，发展数学抽象素养，能准确表述并应用法则进行运算． 2．在解决实际问题和化简运算中，提升运算能力与逻辑推理素养，学会通过因式分解简化运算，体会转化思想． 3．通过类比分数运算探索分式运算规律，培养数学建模素养，感受代数运算的严谨性和实用性，增强应用意识．   四、教学重难点 重点：掌握分式的乘法、除法及乘方运算法则，并能正确进行运算． 难点：分式乘除混合运算中符号的处理、因式分解与约分的结合，以及分式乘方与乘除的综合应用．   五、教学过程 · 本章引入 火车提速后，平均速度v提高到原来的x倍．那么火车行驶同样的路程s，时间可缩短到原来的几分之几？ 解：我们可列出算式 ． 在解决实际问题时，有时要用到分式的乘除运算，今天我们一起研究分式的乘除． 师生活动：教师创设“火车提速后时间缩短比例”的问题情境，引导学生列出分式除法算式，引发认知冲突；学生尝试用分数除法经验解决，教师顺势提问“分式除法如何运算”，激发探究欲望，师生共同明确本节课学习主题． 设计意图：通过现实问题情境，将数学与生活联系，让学生感受学习分式乘除法的必要性，同时通过类比分数运算自然引入课题，为法则探究铺垫认知基础，培养学生用数学眼光观察生活的意识． · 探究新知 活动一：探究分式的乘除法法则 让我们先回顾分数的乘除法法则：　 1．根据分数的乘除法法则计算： (1)； (2)． 解：(1)； (2)． 分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置后再与被除数相乘． 议一议 坚持晨跑一年后，小亮跑完1000m的平均速度比过去快20%，那么小亮现在跑1000m所用的时间是一年前所用时间的80%吗？ 设小亮一年前的平均速度是每分钟xm，那么小亮现在的平均速度是每分钟1.2xm． 一年前小亮跑1000m用min，现在用时 min，二者之比用两个分式的商来表示． 如何进行的运算？ 这是分式的除法运算．分式的乘法与除法能否类比分数的乘法与除法进行运算？ ．所以小亮现在跑1000m所用的时间是一年前所用时间的，这个比值不等于80%． 填一填 完成下列填空： (1) ；(2) . 解：(1)； (2)． 运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式． 师生活动：教师引导学生回顾分数乘除法计算过程，分组完成“填一填”任务；学生通过计算、讨论，类比总结分式乘法（分子乘分子、分母乘分母）和除法（转化为乘法，除式分子分母颠倒）的运算法则，教师结合实例补充强调符号规则和约分要求． 设计意图：通过回顾旧知、自主探究，让学生经历“观察—类比—归纳”的过程，自主构建分式乘除法法则，培养类比推理能力，同时在合作交流中深化对法则的理解，突出学生的主体地位． 活动二：归纳分式的乘法、除法法则 分数的乘除法法则可以推广到分式的乘除运算： 分式的乘法、除法法则 两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即． 两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘，即． 节前语中问题：火车提速后，平均速度v提高到原来的x倍．那么火车行驶同样的路程s，时间可缩短到原来的几分之几？ 解：我们可列出算式． 答：时间可缩短到原来的． 师生活动：教师呈现分式乘方的实例（如、），让学生尝试计算并观察规律；学生分组讨论后总结“分式乘方，分子分母分别乘方”的规则，教师补充说明符号由指数奇偶性决定（奇负偶正），并通过反例强化认知． 设计意图：通过具体实例让学生自主发现分式乘方规律，避免被动接受“规定”，在探究中发展抽象概括能力，同时通过符号规则的强调，培养学生严谨的运算态度． 活动三：探究分式的乘方运算 如何进行分式的乘方运算？ 观察下列算式，并填空： ， ， ，⋯ 你能归纳出分式乘方的规律吗？ 分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方，即 （n正整数，其中）． 师生活动：教师展示分式乘方与乘除结合的运算示例，引导学生思考运算顺序；学生独立完成计算后，小组内交流步骤，教师巡视指导，针对“先乘方再乘除”的顺序进行重点点评，纠正常见错误． 设计意图：通过综合运算实例，帮助学生明确分式混合运算的顺序，巩固乘方、乘除法则的综合应用，在纠错中提升运算准确性，培养有序思考的习惯． · 应用新知 例1．计算： （1）； （2）． 分析：分式乘法法则是分子乘分子，分母乘分母；分式除法法则是将除式的分子分母颠倒后与被除式相乘． 解：（1）． （2）． 总结：最后结果必须是最简分式或整式． 例2．计算： （1） ； （2）． 分析：在分式的乘法运算过程中，如果分子、分母有除1以外的公因式，可先进行约分，再相乘． 解：（1）； （2）． 总结：通过因式分解创造约分条件，结合分式乘除法则化简求值．． 例3．马小虎学习了分式的混合运算后，做了一道混合运算题：，李老师想请你帮他批改一下．请问下面的运算过程对吗？ 解： . 解：不对，正确的解法如下： . 总结：分式乘除法混合运算，注意运算顺序． 例4．计算 （1）； （2）． 分析：先依据“分式乘方，分子分母分别乘方，符号看指数奇偶性（奇负偶正），再乘除． 解：（1）． （2． 总结：分式运算“先乘方，再乘除，因式分解，最后约分”． 师生活动：教师呈现例1至例4，涵盖分式乘除、乘方及混合运算，强调因式分解在约分中的作用；学生先独立完成，再上台板演，教师针对板演过程中的关键点（如符号、约分、因式分解）进行提问和纠正，总结运算技巧． 设计意图：通过不同类型的例题，让学生在应用法则解决问题的过程中深化理解，掌握运算关键步骤，教师的点评和总结帮助学生梳理思路，提升运算的规范性和灵活性． · 课堂练习 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 分析：根据分式的乘法、除法法则计算即可． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 2．计算： （1）； （2）． 分析：先分解因式，再约分． 解：（1） ． （2） ． 3．计算： （1）； （2）． 分析：分式的乘方与乘除混合运算题目，核心考查分式乘方、乘除运算法则． 解：（1） ． （2） 师生活动：学生独立完成4道基础计算题，教师巡视并选取典型错误进行展示；小组间互相纠错，讨论错误原因，教师针对共性问题（如分子分母漏乘方、符号错误）进行集中讲解，强调验算的重要性． 设计意图：通过基础练习巩固法则应用，暴露学生在运算中的薄弱环节，借助小组纠错和教师讲解，及时查漏补缺，培养学生自我反思和合作交流的能力，夯实运算基础． 限时训练 1．下面的计算对吗？如果不对，应怎样改正？ （1）； （2）． 解：（1）不对，改正：． 根据分式的乘法法则，分子乘分子，分母乘分母，然后约分即可． （2） 不对，改正：． 根据分式的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，然后约分即可． 2．计算： （1）； （2）． 分析：当分子或分母是多项式时，先分解因式，再找公因式． 解：（1）． （2）． 总结：整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的式子． 3．计算： （1） ； （2）． 解：（1）． （2）． 注意：先乘方再乘除． 4． 把同样多的花种撒播在甲、乙两块土地上(如图中蓝色区域)．求甲、乙两块土地的撒播密度之比(撒播密度=）． 　　 分析：根据题意分别求两块地撒播密度，再利用除法求比值． 解：甲、乙两块土地的撒播密度之比：． 答：甲、乙两块土地的撒播密度之比为． 总结：化简时，先因式分解，再约分． 师生活动：教师布置包含易错点和综合运用的限时练习题，学生在规定时间内完成；教师公布答案后，学生自主核对，同桌间互相讲解错误题目，教师选取复杂题目进行全班解析，强调解题策略． 设计意图：通过限时训练提升学生的运算速度和准确率，综合题目检验学生对法则的灵活应用能力，自主核对和互助讲解促进学生主动反思，培养时间管理意识和解决问题的能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．在进行分式乘除运算时，关键步骤有哪些？需要注意哪些易错点（比如符号、约分）？ 3．分式的乘方与乘除混合运算，运算顺序是怎样的？和我们之前学过的整式运算顺序有什么联系？ 设计意图：通过引导学生回顾分式乘除法及乘方的法则、运算顺序和易错点，帮助学生构建完整的知识体系，明确各知识点间的联系，培养归纳概括能力，同时通过反思学习过程，提升自主学习素养．   六、板书设计 　　3.2 分式的乘法与除法 法则： 乘法： 除法： 乘方：（n为正整数，） 运算顺序：先乘方，再乘除，最后约分 注意：符号处理、因式分解、结果最简 例1 例2 例3 例4 学科网（北京）股份有限公司 $