3.5 分式与比 教案——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教案聚焦“分式与比”核心内容，涵盖比的概念、比例基本性质、线段比与连比应用。通过生活实例（如消毒液配比）导入比，由圆的半径与周长比引出比例，再动手画线段探究线段比，构建从代数到几何的知识支架。 特色在于融合情境教学与探究活动，通过小组合作解决运动员人数分配等实际问题，培养数学抽象与建模能力。利用“设k法”推导比例性质，结合动手度量理解线段比与单位无关，提升逻辑推理与直观想象，助力学生掌握知识，为教师提供清晰教学流程。

课题 3.5 分式与比 课型 新授课 课时 3课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 情境教学法、探究法、小组合作法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件、投影、白板、直尺 一、核心素养目标 • 【数学抽象】理解比的含义，能判断比的表示是否正确，体会比与分式的联系 • 【数学抽象】理解比例的概念，掌握比例的基本性质，能判断式子是否成比例 • 【数学抽象】理解线段的比和比例线段的概念，能判断线段是否成比例 • 【逻辑推理】通过类比分数的基本性质，理解比的基本性质和化简方法 • 【逻辑推理】通过探究活动，发现比例的基本性质——内项积等于外项积 • 【数学运算】掌握化简比的方法，能正确进行比的化简运算 • 【数学运算】会运用比例的基本性质求值，能解决简单的实际问题 • 【数学建模】能应用比和比例解决实际生活中的问题，体会数学的应用价值 • 【直观想象】通过画线段度量活动，理解线段的比与所选单位长度无关 • 【直观想象】理解连比的概念，能运用连比解决相关实际问题 二、教学重难点 教学重点：比的含义与化简、比例的基本性质、线段的比与比例线段的概念 教学难点：比例的基本性质的推导与应用；连比的概念及其应用 三、教学过程 【第一课时导入：比的概念】（5分钟） 【教师活动】同学们，在日常生活中我们经常用到比。比如消毒液与水按1:1000的比例配制，班级中男女生人数的比等。那么比到底是什么？它与我们学过的分式有什么关系？今天我们就来学习3.5.1 比。 【过渡语】首先我们来看两个生活中的实例，理解比的含义。 【任务一：理解比的含义，能判断比的表示是否正确】（12分钟） 【教师活动】请同学们阅读以下两个情景问题，思考比的含义。 【教师活动】1. 某消毒液说明书注明：消毒液与所加清水的比为1:1000。你知道1:1000代表什么含义吗？ 【学生活动】回答：表示1份消毒液配1000份清水，即消毒液与清水的数量关系。 【教师活动】2. 八年级一班男、女生人数的比是m:n。你知道m:n代表什么含义吗？ 【学生活动】回答：表示男生人数与女生人数的数量关系，可以理解为男生人数是女生人数的m/n倍。 【教师活动】思考：若改变情景中的比的前后顺序为1000:1，n:m，含义会发生改变吗？ 【学生活动】讨论回答：会改变！比的前后顺序很重要，颠倒后含义完全不同。1000:1表示1000份消毒液配1份清水。 【知识点】【比的定义】两个数相除，又叫作这两个数的比。在a:b中，a叫作比的前项，b叫作比的后项（b≠0）。 【过渡语】理解了比的概念后，我们来练习判断。 【比的概念练习】（5分钟） 【教师活动】下列关于比的表示错误的是（　　） A. 5a:2a　B. 3:0　C. 3.2:4.8 【学生活动】选B。比的后项不能为0，3:0没有意义。 易错提示：比的后项不能为0，这与分式中分母不能为0是一致的。 【过渡语】下面我们来学习如何化简比。 【任务二：掌握化简比的方法】（12分钟） 【教师活动】请同学们尝试化简下面的比，并说说你所用的化简依据或方法。 【教师活动】（1）18a:16b；（2）50x:15。 【学生活动】尝试化简：（1）18a:16b = 9a:8b（前后项同时除以2）；（2）50x:15 = 10x:3（前后项同时除以5）。 【教师活动】化简的依据是比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变。这与分式的基本性质是一致的。 【教师活动】【例1】化简：（1）7x:35x²；（2）2ab²:6a²b；（3）(a-b):(a²-b²)。 【思路分析】化简比与分式的约分类似，将比的前项和后项同时除以它们的公因式。 【教师活动】解：（1）7x:35x² = 7x:35x·x = 1:5x（约去公因式7x）。（2）2ab²:6a²b = 2ab·b:2ab·3a = b:3a。（3）(a-b):(a²-b²) = (a-b):(a+b)(a-b) = 1:(a+b)。 【学生活动】跟随教师完成化简，注意多项式的因式分解。 【过渡语】接下来我们探究比的基本性质。 【比的基本性质探究】（8分钟） 【教师活动】b,c都是不为0的数，请思考：（1）a:b等于(ca):(cb)吗？为什么？（2）a:b等于(a+c):(b+c)吗？举例说明。（3）a:b等于a²:b²吗？举例说明。 【学生活动】讨论回答：（1）等于，因为c≠0，根据分式的基本性质，a/b = ca/cb。（2）不等于，如a=1,b=2,c=1时，1:2≠2:3。（3）不等于，如a=1,b=2时，1:2≠1²:2²=1:4。 【知识点】【比的基本性质】比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变。注意：比的各项同时加或减同一个数，比值会改变；比的各项同时平方，比值也会改变。 【过渡语】下面我们学习如何应用比解决实际问题。 【任务三：能应用比解决实际问题】（10分钟） 【教师活动】小组合作解决下列实际问题： 【教师活动】1. 某年全运会共有m名运动员参赛。已知男、女运动员人数的比是a:b，那么参赛的男、女运动员各有多少名？ 【思路分析】先分别求出男、女运动员人数占总人数的比，再乘总人数即可得解。 【学生活动】计算：男运动员占a/(a+b)，人数为ma/(a+b)；女运动员占b/(a+b)，人数为mb/(a+b)。 【教师活动】2. 已知a m布料能做b件上衣，2a m布料能做3b条裤子，求做一件上衣所用布料与做一条裤子所用布料的比。 【思路分析】先分别求出做一件上衣所用的布料和做一条裤子所用的布料，再求比即可。 【学生活动】计算：一件上衣用a/b米，一条裤子用2a/3b米。比值为(a/b):(2a/3b)=3:2。 【过渡语】下面我们通过练习来巩固。 【第一课时课堂练习】（8分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习： 【教师活动】1. 我班有学生50人，女学生30人，男生与女生的人数之比是____。 【学生活动】男生20人，女生30人，20:30=2:3。 【教师活动】2. 小亮家每月的收入为2800元，如果日常生活开支的款项与储蓄款项的比例是3:2，那么小亮家每月储蓄____元。 【学生活动】储蓄占2/(3+2)=2/5，2800×2/5=1120元。 【教师活动】3. 如果a是b的2倍，b是c的3.5倍，那么a:c是（　　） A. 2:3.5　B. 3.5:2　C. 7:1　D. 1:7 【学生活动】a=2b，b=3.5c，所以a=2×3.5c=7c，a:c=7:1。选C。 【教师活动】4. 一个直角三角形的两个锐角的度数的比是1:2，则较小锐角的度数为____。 【学生活动】两锐角和为90°，较小锐角=90°×1/3=30°。 【教师活动】5. 化简： 【过渡语】下面我们做一个小结。 【第一课时课堂小结】（3分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词'比'，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：比的定义、比的化简方法、比的基本性质、比的实际应用…… 【知识点】【比的知识梳理】1. 定义：两个数相除又叫两个数的比。2. 基本性质：比的前项和后项同乘或除以相同的数（0除外），比值不变。3. 化简方法：约去前项和后项的公因式。4. 应用：比可以表示部分与部分、部分与整体的关系。 【教师活动】下节课我们将学习比例的相关知识。 【第二课时导入：比例的概念】（5分钟） 【教师活动】上节课我们学习了比，这节课我们来学习比例。比和比例有什么关系呢？首先我们通过一个探究活动来理解比例的概念。 【过渡语】请同学们完成下面的探究活动。 【任务一：理解比例的概念，能判断式子是否成比例】（12分钟） 【教师活动】已知圆O1的半径r1=2，圆O2的半径r2=3，独立解决下列问题： 【教师活动】（1）圆O1、圆O2的周长L1、L2分别是多少？ 【学生活动】计算：L1=2π×2=4π，L2=2π×3=6π。 【教师活动】（2）比较r1:r2与L1:L2，你发现了什么？ 【学生活动】r1:r2=2:3，L1:L2=4π:6π=2:3。发现r1:r2=l1:l2，两个比相等！ 【知识点】【比例的定义】表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如r1:r2=L1:L2就是一个比例。 【教师活动】判断下面各组比能不能组成比例，若成比例，指出比例的外项和内项。 注意：判断两个比能不能组成比例，关键看它们的比值是否相等。 【过渡语】下面我们来探究比例中内项和外项之间的关系。 【任务二：掌握比例的基本性质】（12分钟） 【教师活动】在比例a:b=c:d中，a,d是比例的外项，b,c是比例的内项。若在比例的两边同乘bd（bd≠0），你发现比例内项和外项之间有怎样的关系？ 【学生活动】推导：a/b=c/d，两边同乘bd，得ad=bc。即外项积等于内项积！ 【知识点】【比例的基本性质】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a:b=c:d，那么ad=bc（bd≠0）。 【教师活动】思考：反过来，若ad=bc（bd≠0），你能得出什么等式关系？为什么？ 【学生活动】由ad=bc，两边同除以bd，得a/b=c/d，即a:b=c:d或a:c=b:d。 【教师活动】非常好！这说明了比例的基本性质是可逆的。 【过渡语】下面我们通过练习来巩固比例的基本性质。 【比与比例的区别】（5分钟） 【教师活动】各小组就所学知识，探讨比和比例有什么区别？ 【学生活动】小组讨论，填写表格：比由两个数组成（前项和后项），比例由四个数组成（两个外项和两个内项）；比的基本性质是前项和后项同乘除，比例的基本性质是内项积=外项积。 【知识点】【比与比例的区别】1. 定义：比是两个数相除；比例是两个比相等。2. 构成：比由两个数组成；比例由四个数组成。3. 基本性质：比——前项和后项同乘除（0除外）比值不变；比例——内项积=外项积。 【过渡语】下面我们用比例的基本性质来求值。 【比例的基本性质应用——求值】（8分钟） 【教师活动】比一比，看谁做的又快又对！已知a:b=2:3，求(2a+b):(a-b)的值。 【学生活动】由a:b=2:3，设a=2k，b=3k，代入得(4k+3k):(2k-3k)=7k:(-k)=7:(-1)=-7:1。 技巧提示：已知比值求代数式的值，常用设k法：设a=2k，b=3k，再代入计算。 【教师活动】完成课本练习题：已知3a=5b，求a:b的值。 【学生活动】由3a=5b，得a:b=5:3。 【过渡语】下面我们学习如何应用比例解决实际问题。 【任务三：应用比例的基本性质解决实际问题】（10分钟） 【教师活动】已知在一张放大的蜻蜓图片上，量得蜻蜓双翼伸展开的宽度是40厘米，该图片的比例尺是1:0.2，那么蜻蜓双翼伸展开的实际宽度是多少？ 【思路分析】比例尺=图上距离:实际距离，利用比例的基本性质——内项积=外项积来求解。 【教师活动】解：设蜻蜓双翼伸展开的实际宽度为x厘米，由题意，得40:x=1:0.2，利用比例的基本性质，解得x=8。所以蜻蜓双翼伸展开的实际宽度是8厘米。 【学生活动】用比例的基本性质：40×0.2=1×x，即x=8。 【过渡语】下面我们通过综合练习来巩固。 【第二课时课堂练习】（8分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习： 【教师活动】1. 填空： （1）在比例里，两个内项的积是18，其中一个外项是2，另一个外项是____。（2）已知3是x与4的比例中项，写成比例式应为____，其中x=____。 （3）如果5a=3b，那么a:b=____。 （4）已知a:b=2:3，b:c=5:4，则a:b:c=____。 【学生活动】（1）外项积=内项积=18，2×另一个外项=18，另一个外项=9。 （2）3:x=4:3或x:3=3:4，x=9/4。 （3） a:b=3:5。 （4） （4）a:b=2:3=10:15，b:c=5:4=15:12，a:b:c=10:15:12。 【教师活动】2. 将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为14cm，如果将21本这样相同厚度的书继续叠在上面，那么新的高度是多少？（用比例的方法求解） 【学生活动】解：设新的高度是x cm，由题意得14:6=x:(21+6)，即14:6=x:27，解得x=63。答：新的高度是63cm。 【教师活动】3. 学校购进图书800册，高年级分配其中的1/4，余下的按3:1的比例分配给中、低年级，求中、低年级各分得图书多少本？ 【学生活动】解：高年级得800×1/4=200本，中低年级共600本。设中年级3x本，低年级x本，则3x+x=600，x=150。中年级450本，低年级150本。 【过渡语】下面我们做一个小结。 【第二课时课堂小结】（3分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词'比例'，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：比例的定义、内项和外项、比例的基本性质、比例的应用…… 【知识点】【比例知识梳理】1. 定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。2. 性质：内项积=外项积，即若a:b=c:d，则ad=bc（bd≠0）。3. 比与比例的区别：比由两个数组成，比例由四个数组成。4. 应用：利用基本性质求值、解决实际问题。 【教师活动】下节课我们将学习线段的比和比例线段。 【第三课时导入：线段的比】（3分钟） 【教师活动】前两节课我们学习了比和比例，这节课我们把比和比例的知识应用到几何中，研究线段的比和比例线段。 【过渡语】首先请同学们动手画一画、量一量。 【任务一：理解线段的比和比例线段的概念】（12分钟） 【教师活动】在纸上任意画两条大小不同的线段AB和CD，完成以下问题： 【教师活动】（1）选用cm为单位长度，用刻度尺分别度量线段AB和CD的长度，计算AB:CD。（2）选用mm为单位长度，分别度量，计算AB:CD。（3）说说什么是线段的比？你发现两条线段的比与选用的单位长度有关吗？ 【学生活动】动手操作：用不同单位度量同一组线段，发现比值相同！结论：两条线段的比与所选用的单位长度无关，但必须使用同一单位长度。 【知识点】【线段的比的定义】在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 【知识点】【比例线段的定义】如果四条线段a,b,c,d的长成比例，我们就把这四条线段a,b,c,d称为成比例线段，简称比例线段。 注意：成比例线段是有顺序的，不能随意颠倒顺序。两条线段的比与所选用的单位长度无关，但必须使用同一单位长度。 【过渡语】理解了概念后，我们来做判断练习。 【线段的比注意事项】（3分钟） 【教师活动】关于线段的比，有两点需要特别注意： 【知识点】【注意】1. 两条线段的比与所选用的单位长度无关，但必须使用同一单位长度。2. 因为线段的比就是数的比，所以比例的基本性质也适合于比例线段。 【学生活动】记录笔记，理解线段的比与数的比的关系。 【过渡语】下面我们来练习判断线段是否成比例。 【判断线段是否成比例】（10分钟） 【教师活动】下列各组不同长度的线段成比例的是（　　） A. 3cm, 6cm, 7cm, 9cm　 B. 2cm, 5cm, 0.6dm, 8cm　 C. 3cm, 9cm, 1.8dm, 6cm　 D. 1cm, 2cm, 3cm, 4cm 【学生活动】分析：C中统一单位：3cm, 9cm, 18cm, 6cm，排序为3,6,9,18。3×18=54，6×9=54，乘积相等，成比例。选C。 【教师活动】判断四条线段是否成比例的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等，或判断最长线段与最短线段的乘积是否与另两条线段的乘积相等。 【教师活动】判断下列线段是否成比例，若成比例，请写出比例式。（1）a=2cm, b=6cm, c=4.5cm, d=13.5cm；（2）a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm；（3）a=20mm, b=8m, c=28m, d=7cm。 【学生活动】（1）排序：2,4.5,6,13.5。2×13.5=27，4.5×6=27，成比例，2:6=4.5:13.5。（2）1.1×5.5=6.05，2.2×3.3=7.26，不相等，不成比例。（3）统一为m：a=0.02m, d=0.07m, b=8m, c=28m。排序：0.02,0.07,8,28。0.02×28=0.56，0.07×8=0.56，成比例，0.07:28=0.02:8。 【过渡语】下面我们学习连比的概念。 【任务二：了解连比的概念】（10分钟） 【教师活动】在三角形中，AD=18，DB=30，AB=48。完成以下问题：（1）AD:DB=____，DB:AB=____。（2）按上面结果，思考是否能把线段AD,DB,AB的比写成AD:DB:AB呢？ 【学生活动】（1）AD:DB=18:30=3:5，DB:AB=30:48=5:8。（2）可以写成AD:DB:AB=3:5:8。 【教师活动】前一个比的后项与后一个比的前项相同，可以把这两个比连起来写在一起，得到AD:DB:AB=3:5:8，这种形式叫作连比。 【知识点】【连比的定义】前一个比的后项与后一个比的前项相同时，可以把这两个比连起来写在一起，这种形式叫作连比。 【过渡语】下面我们来学习连比的应用。 【连比的应用】（10分钟） 【教师活动】今年植树节，七、八、九年级的同学共植树480棵。已知三个年级植树棵数的比为4:5:7，那么三个年级各植树多少棵？ 【思路分析】已知连比，可用设k法：设七年级4x棵，八年级5x棵，九年级7x棵，根据总数列方程。 【教师活动】解：设七年级植树4x棵，则八年级植树5x棵，九年级植树7x棵，根据题意，得4x+5x+7x=480，解得x=30，所以七年级120棵，八年级150棵，九年级210棵。 【学生活动】掌握设k法在连比问题中的应用。 【教师活动】已知a:b=2:3, b:c=4:5，求连比a:b:c。 【思路分析】把两个比中共同的b化为相同的数：a:b=2:3=8:12，b:c=4:5=12:15，所以a:b:c=8:12:15。 【学生活动】练习：找到公共项的最小公倍数，统一公共项后写出连比。 技巧提示：写成连比形式的关键是把前一个比的后项和后一个比的前项化为相同的数。 【过渡语】下面我们通过综合练习来巩固。 【第三课时课堂练习】（8分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习： 【教师活动】1. 填空：（1）线段a=36cm, b=1.8m，则a:b=____。（2）a,b,c,d四条线段是成比例线段，其中a=3cm, b=2cm, c=6cm，则d=____。（3）已知x:y:z=2:3:4，求(x+y):(y+z)=____。 【学生活动】（1）统一单位：a=36cm, b=180cm，a:b=36:180=1:5。（2）由a:b=c:d，得3:2=6:d，d=4cm。（3）设x=2k, y=3k, z=4k，(x+y):(y+z)=5k:7k=5:7。 【教师活动】2. 设a:b=2:3，3c=5b，则a:b:c=____。 【学生活动】a:b=2:3，b:c=3:5（由3c=5b得b:c=3:5），所以a:b:c=2:3:5。 【教师活动】3. 已知三角形ABC的三边a=3, b=5, c=6，则三边上的高的比ha:hb:hc=____。 【学生活动】由面积公式S=1/2ah，得ha=2S/a，同理hb=2S/b，hc=2S/c。ha:hb:hc=1/a:1/b:1/c=1/3:1/5:1/6=10:6:5。 【教师活动】4. 某三角形三个内角的度数之比是3:4:5，求这三个内角的度数。 【学生活动】设三个内角为3x, 4x, 5x，则3x+4x+5x=180°，x=15°，三个角分别为45°, 60°, 75°。 【过渡语】下面我们做一个小结。 【第三课时课堂小结】（3分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词'线段的比'，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：线段的比的定义、比例线段的概念、连比的概念和应用…… 【知识点】【比例线段知识梳理】1. 线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比。2. 比例线段：若四条线段a:b=c:d，则它们成比例线段。3. 连比：前一个比的后项与后一个比的前项相同时，可以写成连比。4. 应用：利用设k法解决连比问题，利用比例基本性质解决几何问题。 【教师活动】同学们，分式与比这一章的内容就全部学习完了。比和比例的知识与我们的生活息息相关，希望大家在课后继续巩固练习。 四、板书设计 3.5 分式与比 一、比（3.5.1） 1. 定义：两个数相除又叫两个数的比 2. 基本性质：前后项同乘除（0除外），比值不变 3. 化简：约去公因式 二、比例（3.5.2） 1. 定义：表示两个比相等的式子 2. 基本性质：内项积=外项积（ad=bc） 3. 比与比例的区别：比由两个数组成，比例由四个数组成 三、比例线段（3.5.3） 1. 线段的比：同一单位下两条线段长度的比 2. 比例线段：四条线段a:b=c:d 3. 连比：前项后项相同时写成连比形式 4. 判断方法：统一单位→排序→乘积检验 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $