5.1.2 等式的性质 课时作业 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 分3课时梯度设计，从等式性质概念理解到综合应用，通过基础训练与情境问题培养运算能力和推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |第1课时|等式性质概念及简单变形|知识梳理结合天平直观模型，易错警示强化性质1、2的关键条件，选择、填空题聚焦概念辨析| |第2课时|利用性质解简单方程|分步训练解方程步骤，解答题含检验环节，结合天平情境列方程，培养模型意识| |第3课时|性质综合应用|含解的字母求值、同解方程、整体变形题型，通过错题分析与变式训练提升推理能力|

人教版数学七年级上册 第五章　一元一次方程 5.1　方程　5.1.2　等式的性质　·　课时作业（含答案与解析） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：______ 得分：______ 【作业说明】本作业依据人教版数学七年级上册第五章 5.1.2「等式的性质」编写，共设三个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　等式的性质；　第 2 课时　利用等式的性质解方程； 第 3 课时　等式性质的综合应用（综合提升）。 说明：本节只要求利用等式的两条性质对方程作简单变形并求解，「移项、去括号、去分母」等一般解法将在 5.2 中学习，本作业不涉及。 建议用时：每课时 25～30 分钟。请独立完成后再对照答案与解析订正。 5.1.2　等式的性质 第 1 课时　等式的性质 一、知识梳理 1. 等式：用等号「=」表示相等关系的式子叫做等式。等式两边可以是数，也可以是含字母的式子。 2. 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。 3. 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 如果 a = b，那么 ac = bc；如果 a = b（c ≠ 0），那么 = 。 4. 等式的其他性质： 对称性：如果 a = b，那么 b = a；　　传递性：如果 a = b，b = c，那么 a = c。 5. 直观理解：等式好比一台平衡的天平。天平两边同时加上（或去掉）质量相同的物体，或者两边的物体同时变为原来的相同倍数，天平仍然保持平衡。 等式的性质 1 的直观解释 【易错警示】 ① 性质 1 中加上（或减去）的必须是「同一个」数或式子，两边的操作要完全相同。 ② 性质 2 中作除数的数不能为 0。写出 = 时，必须说明 c ≠ 0。 ③ 由 ac = bc 不能直接得到 a = b。例如取 a = 3，b = 5，c = 0，此时 ac = bc = 0，但 a ≠ b。 ④ 等式两边乘 -1 时，两边各项的符号都要改变，如由 -x = 5 得 x = -5。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 下列变形中，一定正确的是（　　） A. 由 a = b，得 a + 2 = b - 2　　　　　B. 由 a = b，得 = C. 由 a = b，得 5 - a = 5 - b　　　　　D. 由 ac = bc，得 a = b 2. 已知 a = b，则下列等式中不一定成立的是（　　） A. a + 5 = b + 5　　B. a - 3 = b - 3　　C. 2a = 2b　　D. = 3. 由等式 2x - 6 = 0 得到 x = 3，变形过程中依次用到了（　　） A. 只有等式的性质 1　　　　　　　　　 B. 只有等式的性质 2 C. 先用性质 1，再用性质 2　　　　　　 D. 先用性质 2，再用性质 1 4. 若 3a = 2b，且 a、b 都不为 0，则下列等式中不一定成立的是（　　） A. 3a + 1 = 2b + 1　　B. = b　　C. a = 　　D. a = b 5. 下列说法正确的是（　　） A. 等式两边都加上同一个数，结果仍是等式 B. 等式两边都除以同一个数，结果仍是等式 C. 等式两边都乘同一个数，结果不一定是等式 D. 等式两边都减去同一个式子，结果不一定是等式 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 若 x - 5 = 7，则两边同时加 5，得 x = ________，依据是等式的性质 ________。 7. 若 -3x = 12，则两边同时除以 ________，得 x = ________，依据是等式的性质 ________。 8. 在等式 5a = 6b 的两边同时 ____________，可得 = b。 9. 已知 2x - 3 = 5，两边同时加 3，得 ____________；再两边同时除以 2，得 x = ________。 10. 若 = -2，则 x = ________；若 -x = 3，则 x = ________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（16 分）在括号内填上适当的数或式子，并在横线上写出所用的依据。 (1) 由 x - 7 = 5，得 x = 5 + （　　　），依据是 ____________________； (2) 由 4x = 3x - 6，得 4x - （　　　） = -6，依据是 ____________________； (3) 由 -x = 3，得 x = （　　　），依据是 ____________________； (4) 由 3x = 6，得 x = （　　　），依据是 ____________________。 12.（16 分）利用等式的性质解下列方程，并检验所得的结果。 (1) x + 7 = 3　　　　　　　　　　(2) 5x = -20 (3) = -3　　　　　　　　　 (4) 2x - 1 = 9 13.（14 分）如图，天平保持平衡。左盘中放着一个质量为 x g 的物体和一个 20 g 的砝码，右盘中放着 50 g 的砝码。 第 13 题图 (1) 根据天平平衡列出方程； (2) 利用等式的性质求出 x 的值，并写出每一步变形的依据。 14.（14 分）已知 a = b，判断下列各式是否一定成立。一定成立的写出依据，不一定成立的举出一个反例。 (1) a + 3 = b + 3　　(2) 2a - 1 = 2b - 1　　(3) = (4) = 　　(5) am = bm 5.1.2　等式的性质 第 2 课时　利用等式的性质解方程 一、知识梳理 1. 解方程的目标：把方程逐步变形，化成 x = a（a 是一个具体的数）的形式。 2. 基本策略： (1) 利用等式的性质 1，在方程两边同时加上（或减去）同一个数或式子，使含未知数的项集中到一边、常数项集中到另一边； (2) 利用等式的性质 2，在方程两边同时除以未知数的系数（系数不为 0），把未知数的系数化为 1。 3. 检验：把求得的值分别代入原方程的左边和右边，若左边 = 右边，则所求的值是方程的解。 4. 解方程的每一步都要写清「两边同时……」，做到有理有据。 【易错警示】 ① 两边同时除以一个负数时，等号两边的符号都要改变。如由 -2x = 6 得 x = -3。 ② 「系数化为 1」就是两边同时除以未知数的系数，除数不能为 0。 ③ 变形时两边必须做「同样的事」，只对一边加减乘除是错误的。 ④ 不能在方程两边同时除以含未知数的式子（如除以 x），因为 x 可能为 0。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 方程 x + 3 = 1 的解是（　　） A. x = 4　　B. x = -2　　C. x = 2　　D. x = -4 2. 方程 -4x = 12 的解是（　　） A. x = 3　　B. x = -3　　C. x = 48　　D. x = -48 3. 解方程 5x - 2 = 3x + 4 时，下列变形中不正确的是（　　） A. 两边同时加 2，得 5x = 3x + 6　　　　B. 两边同时减 3x，得 2x - 2 = 4 C. 两边先减 3x 再加 2，得 2x = 6　　　 D. 两边同时除以 x，得 5 - 2 = 3 + 4 4. 若关于 x 的方程 3x + a = 7 的解是 x = 2，则 a 的值是（　　） A. 1　　B. -1　　C. 13　　D. -13 5. 下列解方程的过程中，错误的是（　　） A. 由 x - 3 = 5，得 x = 8　　　　　　　B. 由 2x = -6，得 x = -3 C. 由 = 4，得 x = 2　　　　　　 D. 由 -x = 5，得 x = -5 （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6. 方程 x - 9 = -4 的解是 x = ________。 7. 方程 -x = 2 的解是 x = ________。 8. 若 2x + 1 = 7，则 6x + 3 = ________。 9. 方程 4x - 3 = 2x + 5 的解是 x = ________。 10. 若关于 x 的方程 2x - k = 6 的解与方程 3x = 12 的解相同，则 k = ________。 （三）解答题（共 60 分） 11.（24 分）利用等式的性质解下列方程。 (1) x + 5 = 2　　　　　　　　　　(2) x - 4 = -6 (3) 6x = -24　　　　　　　　　　 (4) - = 2 (5) 3x + 2 = 8　　　　　　　　　 (6) 4 - 2x = 10 12.（12 分）解下列方程并检验。 (1) x = -4　　　　　　　　 (2) 5x - 3 = 2x + 6 13.（12 分）如图，天平保持平衡。左盘中放着 2 个质量都是 x g 的相同物体和一个 5 g 的砝码，右盘中放着 17 g 的砝码。 第 13 题图 (1) 根据天平平衡列出方程；　(2) 利用等式的性质求出 x 的值。 14.（12 分）某数的 3 倍减去 4，等于这个数的 2 倍加上 5。设这个数为 x，列出方程并利用等式的性质求出这个数。 5.1.2　等式的性质 第 3 课时　等式性质的综合应用（综合提升） 一、知识梳理 1. 已知方程的解求字母的值：把方程的解代入原方程，得到关于字母的方程，再求出字母的值。 2. 同解方程问题：两个方程的解相同时，先解出可以求解的那个方程，再把公共的解代入另一个方程求字母的值。 3. 整体变形求值：利用等式的性质对已知等式作整体的加减乘除变形。例如已知 2x + 1 = 7，两边同时乘 2 即得 4x + 2 = 14。 4. 判断变形是否正确：关键看两点——① 两边是否做了「同样的事」；② 作除数的数是否可能为 0。 【方法点拨】遇到「求代数式的值」的题目时，先观察所求式子与已知等式之间的倍数或加减关系，往往不必先求出未知数的值，直接利用等式的性质整体变形更快捷。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 已知等式 3a = 2b + 5，则下列变形不正确的是（　　） A. 3a - 5 = 2b　　B. 3a + 1 = 2b + 6　　C. 6a = 4b + 10　　D. a = 2b + 5 - 3 2. 若关于 x 的方程 2x + m = 5 的解是正整数，则整数 m 可以是（　　） A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 6 3. 已知 x = 2 是关于 x 的方程 ax - 6 = 2x 的解，则 a 的值是（　　） A. 5　　B. 4　　C. 3　　D. 2 4. 已知 3x - 5 = 7，则 6x - 10 的值是（　　） A. 7　　B. 12　　C. 14　　D. 24 （二）填空题（每小题 5 分，共 20 分） 5. 若关于 x 的方程 (a - 1)x = 6 的解是 x = 2，则 a = ________。 6. 若 x = -1 是关于 x 的方程 2x + m = x - 3 的解，则 m = ________。 7. 已知 5m - 3 = 2，则 10m - 6 = ________，5m + 2 = ________。 8. 若方程 3x - 2 = 4 与关于 x 的方程 2x + a = 8 的解相同，则 a = ________。 （三）解答题（共 60 分） 9.（12 分）小华在解方程 5x - 1 = 2x + 8 时，写出了下面的过程： 第一步：5x - 2x = 8 - 1；　第二步：3x = 7；　第三步：x = 。 (1) 以上解答从第 ________ 步开始出错，错误的原因是 ____________________； (2) 请写出正确的解答过程。 10.（12 分）已知关于 x 的方程 2x - 3 = k 的解与方程 5x + 2 = 3x + 8 的解相同，求 k 的值。 11.（16 分）利用等式的性质解下列方程，并写出每一步变形的依据。 (1) 3x - 7 = 2　　　　　　　　　　(2) x + 3 = 5 (3) 4x + 3 = x - 6　　　　　　　　(4) 7 - 3x = -2 12.（12 分）如图，图①中的天平保持平衡，左盘中放着 3 个质量都是 x g 的相同物体，右盘中放着 12 g 的砝码；由图①可以得到图②。 第 12 题图 (1) 由图①得到图②，用到了等式的哪一条性质？请写出变形过程； (2) 若把图①左盘中的物体换成 4 个质量都是 x g 的相同物体，右盘中的砝码共 60 g，求每个物体的质量； (3) 在图①的天平两边同时再各放上一个 5 g 的砝码，天平是否仍然平衡？依据是什么？ 13.（8 分）阅读与探究：小明发现，利用等式的性质可以把一个方程「整体」地变形。例如，已知 x + y = 6，两边同时乘 3，可得 3x + 3y = 18。 (1) 已知 4x - 2 = 10，不解方程，直接求出 2x - 1 的值； (2) 已知 x = 5，不解方程，直接求出 x + 1 的值； (3) 已知 a - b = 3，求 2a - 2b + 7 的值。 参考答案与解析 第 1 课时　等式的性质 一、选择题 1. C　【解析】A 中两边加、减的数不相同；B 中当 c = 0 时无意义；D 中当 c = 0 时由 ac = bc 得不到 a = b。 C 正确：由 a = b，两边同时乘 -1 得 -a = -b（性质 2），再两边同时加 5 得 5 - a = 5 - b（性质 1）。 2. D　【解析】A、B 依据等式的性质 1，C 依据等式的性质 2，都一定成立；D 中字母 x 可能等于 0，此时 与 都无意义，故不一定成立。 3. C　【解析】由 2x - 6 = 0，两边同时加 6 得 2x = 6（性质 1）；再两边同时除以 2 得 x = 3（性质 2）。 4. D　【解析】A 由性质 1 得到；B、C 由性质 2 得到（两边分别除以 2、除以 3），都成立。由 3a = 2b 不能得到 a = b，例如 a = 2、b = 3 时 3a = 2b = 6，但 a ≠ b。 5. A　【解析】B 错，除数为 0 时不成立；C 错，由性质 2 知结果仍是等式；D 错，由性质 1 知结果仍是等式。 二、填空题 6. 12；1　【解析】x - 5 = 7 两边同时加 5，得 x - 5 + 5 = 7 + 5，即 x = 12，依据是等式的性质 1。 7. -3；-4；2　【解析】两边同时除以 -3，得 = ，即 x = -4，依据是等式的性质 2。 8. 除以 6　【解析】5a = 6b 两边同时除以 6，得 = = b，依据是等式的性质 2。 9. 2x = 8；4　【解析】2x - 3 = 5 两边同时加 3 得 2x = 8；再两边同时除以 2 得 x = 4。 10. -6；-12　【解析】由 = -2，两边同时乘 3 得 x = -6；由 -x = 3，两边同时乘 -4 得 x = -12。 三、解答题 11.（1）7；等式的性质 1（两边同时加 7）； （2）3x；等式的性质 1（两边同时减 3x）； （3）-6；等式的性质 2（两边同时乘 -2，或同时除以 -）； （4）2；等式的性质 2（两边同时除以 3）。 12.（1）x = -4。两边同时减 7，得 x + 7 - 7 = 3 - 7，即 x = -4。 检验：把 x = -4 代入，左边 = -4 + 7 = 3 = 右边，所以 x = -4 是原方程的解。 （2）x = -4。两边同时除以 5，得 x = = -4。 检验：把 x = -4 代入，左边 = 5 × (-4) = -20 = 右边，所以 x = -4 是原方程的解。 （3）x = -12。两边同时乘 4，得 x = -3 × 4 = -12。 检验：把 x = -12 代入，左边 = = -3 = 右边，所以 x = -12 是原方程的解。 （4）x = 5。两边同时加 1，得 2x = 10；再两边同时除以 2，得 x = 5。 检验：把 x = 5 代入，左边 = 2 × 5 - 1 = 9 = 右边，所以 x = 5 是原方程的解。 13.（1）x + 20 = 50。 （2）两边同时减 20（等式的性质 1），得 x + 20 - 20 = 50 - 20，即 x = 30。 所以这个物体的质量为 30 g。 14.（1）一定成立，依据是等式的性质 1（两边同时加 3）。 （2）一定成立，先由性质 2 两边同时乘 2 得 2a = 2b，再由性质 1 两边同时减 1 得 2a - 1 = 2b - 1。 （3）一定成立，依据是等式的性质 2（两边同时除以 5，且 5 ≠ 0）。 （4）不一定成立。当 m = 0 时， 与 都没有意义。例如 a = b = 1，m = 0 时该式不成立。 （5）一定成立，依据是等式的性质 2（两边同时乘 m）。 第 2 课时　利用等式的性质解方程 一、选择题 1. B　【解析】两边同时减 3，得 x = 1 - 3 = -2。 2. B　【解析】两边同时除以 -4，得 x = = -3。 3. D　【解析】A、B、C 都是在两边做同样的加减变形，正确；D 中两边同时除以 x 时，x 可能为 0，除数不能为 0，且原式两边并不是 x 的整数倍，故 D 错误。 4. A　【解析】把 x = 2 代入得 3 × 2 + a = 7，即 6 + a = 7，所以 a = 1。 5. C　【解析】由 = 4 应两边同时乘 2，得 x = 8，而不是 x = 2。 二、填空题 6. 5　【解析】两边同时加 9，得 x = -4 + 9 = 5。 7. -6　【解析】两边同时乘 -3，得 x = 2 × (-3) = -6。 8. 21　【解析】注意 6x + 3 = 3(2x + 1)，把 2x + 1 = 7 两边同时乘 3，得 6x + 3 = 21。 9. 4　【解析】两边同时减 2x 得 2x - 3 = 5，两边同时加 3 得 2x = 8，两边同时除以 2 得 x = 4。 10. 2　【解析】由 3x = 12 得 x = 4；把 x = 4 代入 2x - k = 6，得 8 - k = 6，所以 k = 2。 三、解答题 11.（1）两边同时减 5，得 x = 2 - 5 = -3。 （2）两边同时加 4，得 x = -6 + 4 = -2。 （3）两边同时除以 6，得 x = = -4。 （4）两边同时乘 -5，得 x = 2 × (-5) = -10。 （5）两边同时减 2，得 3x = 6；再两边同时除以 3，得 x = 2。 （6）两边同时减 4，得 -2x = 6；再两边同时除以 -2，得 x = -3。 12.（1）x = -6。两边同时乘 （即除以 ），得 x = -4 × = -6。 检验：把 x = -6 代入，左边 = × (-6) = -4 = 右边，所以 x = -6 是原方程的解。 （2）x = 3。两边同时减 2x，得 3x - 3 = 6；两边同时加 3，得 3x = 9；两边同时除以 3，得 x = 3。 检验：把 x = 3 代入，左边 = 5 × 3 - 3 = 12，右边 = 2 × 3 + 6 = 12，左边 = 右边，所以 x = 3 是原方程的解。 13.（1）2x + 5 = 17。 （2）两边同时减 5（性质 1），得 2x = 12；两边同时除以 2（性质 2），得 x = 6。 所以每个物体的质量为 6 g。 14. 方程为 3x - 4 = 2x + 5，这个数是 9。 【解析】两边同时减 2x，得 x - 4 = 5；两边同时加 4，得 x = 9。 检验：左边 = 3 × 9 - 4 = 23，右边 = 2 × 9 + 5 = 23，左边 = 右边，所以 x = 9。 第 3 课时　等式性质的综合应用 一、选择题 1. D　【解析】A 是两边同时减 5；B 是两边同时加 1；C 是两边同时乘 2，都正确。D 中只在右边减去 3，左边没有作同样的变形，违背了等式的性质。 2. B　【解析】由 2x + m = 5 得 x = 。当 m = 3 时，x = 1 是正整数；当 m = 2、4、6 时，x 分别为 1.5、0.5、-0.5，都不是正整数。 3. A　【解析】把 x = 2 代入方程，得 2a - 6 = 4，两边同时加 6 得 2a = 10，所以 a = 5。 4. C　【解析】6x - 10 = 2(3x - 5)，把 3x - 5 = 7 两边同时乘 2，得 6x - 10 = 14。 二、填空题 5. 4　【解析】把 x = 2 代入得 2(a - 1) = 6，两边同时除以 2 得 a - 1 = 3，所以 a = 4。 6. -2　【解析】把 x = -1 代入得 -2 + m = -1 - 3 = -4，两边同时加 2 得 m = -2。 7. 4；7　【解析】把 5m - 3 = 2 两边同时乘 2，得 10m - 6 = 4；把 5m - 3 = 2 两边同时加 5，得 5m + 2 = 7。 8. 4　【解析】由 3x - 2 = 4 得 3x = 6，x = 2；把 x = 2 代入 2x + a = 8，得 4 + a = 8，所以 a = 4。 三、解答题 9.（1）一；在方程两边同时加 1 时，右边应写成 8 + 1，而小华写成了 8 - 1（符号出错）。 （2）正确的解答过程： 5x - 1 = 2x + 8，两边同时减 2x，得 3x - 1 = 8（等式的性质 1）； 两边同时加 1，得 3x = 9（等式的性质 1）； 两边同时除以 3，得 x = 3（等式的性质 2）。 10. k = 3。 【解析】先解 5x + 2 = 3x + 8：两边同时减 3x，得 2x + 2 = 8；两边同时减 2，得 2x = 6；两边同时除以 2，得 x = 3。 把 x = 3 代入 2x - 3 = k，得 k = 2 × 3 - 3 = 3。 11.（1）x = 3。两边同时加 7（性质 1），得 3x = 9；两边同时除以 3（性质 2），得 x = 3。 （2）x = 4。两边同时减 3（性质 1），得 x = 2；两边同时乘 2（性质 2），得 x = 4。 （3）x = -3。两边同时减 x（性质 1），得 3x + 3 = -6；两边同时减 3（性质 1），得 3x = -9；两边同时除以 3（性质 2），得 x = -3。 （4）x = 3。两边同时减 7（性质 1），得 -3x = -9；两边同时除以 -3（性质 2），得 x = 3。 12.（1）用到了等式的性质 2。 由图①得方程 3x = 12，两边同时除以 3，得 x = 4，即得到图②。 （2）每个物体的质量为 15 g。 【解析】由题意得 4x = 60，两边同时除以 4，得 x = 15。 （3）仍然平衡。 【解析】天平两边同时加上质量相同的砝码，相当于在等式 3x = 12 的两边同时加 5，由等式的性质 1 得 3x + 5 = 12 + 5 = 17，等式仍然成立，所以天平仍然平衡。 13.（1）2x - 1 = 5。 【解析】4x - 2 = 2(2x - 1)，把 4x - 2 = 10 两边同时除以 2，得 2x - 1 = 5。 （2）x + 1 = 16。 【解析】把 x = 5 两边同时乘 3，得 x = 15；再两边同时加 1，得 x + 1 = 16。 （3）2a - 2b + 7 = 13。 【解析】把 a - b = 3 两边同时乘 2，得 2a - 2b = 6；再两边同时加 7，得 2a - 2b + 7 = 13。 【学后反思】等式的两条性质是解方程的依据。使用时要牢记两句话：一是「两边同时做同样的事」，二是「除数不能为 0」。解方程时养成写清依据的习惯，能有效减少符号错误。 — 1 — — 1 — 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $