5.1.2 等式的性质 同步练习 2026--2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学 第五章 5.1.2 等式的性质 同步练，45分钟。以“过基础+过能力”分层设计，通过单一到综合的知识进阶，强化性质理解与应用，培养抽象能力、推理意识和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过基础|等式性质1、性质2直接运用，简单解方程|选择/填空/解答题结合，聚焦性质识别与变形依据说明，如性质1的加减变形辨析| |过能力|性质综合应用、含参数问题、实际情境方程|错误变形判断、多步推理（如小明解题步骤分析）、商场促销建模，提升推理与模型意识|

第五章 一元一次方程 5.1.2 等式的性质 学习目标、知识点总结与练习题设计（含详情解析） （建议作答时间：45分钟） 第一部分 学习目标与知识点总结 学习目标 1. 理解并掌握等式的两条基本性质； 2. 能利用等式的性质对等式进行变形，说明变形的依据； 3. 能利用等式的性质解简单的一元一次方程； 4. 能利用等式的性质解决含参数的等式变形问题。 知识点一：等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 用字母表示： 口诀： 等式两边同加减，结果仍然是等式。 知识点二：等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为  的数，结果仍相等。 用字母表示： 口诀： 等式两边同乘除，除数不为零才可。 知识点三：利用等式的性质解方程 步骤： 1. 利用性质1，将含未知数的项放在一边，常数项放在另一边； 2. 利用性质2，将未知数的系数化为 ； 3. 得到方程的解。 注意： 每步变形都要说明依据（性质1或性质2）。 第二部分 练习题巩固（过基础） 知识点一：等式性质1的直接运用 1. [2025·广东广州·越秀区期末]（选择题） 下列等式变形中，运用了等式性质1的是（ ） A. 由 ，得  B. 由 ，得  C. 由 ，得  D. 由 ，得  2. [2025·四川成都·青羊区期中]（选择题） 由  得 ，变形的依据是（ ） A. 等式性质1  B. 等式性质2  C. 加法交换律  D. 乘法交换律 3. [2026·湖北武汉·江岸区月考]（选择题） 下列等式变形正确的是（ ） A. 由 ，得  B. 由 ，得  C. 由 ，得  D. 由 ，得  4. [2025·江苏南京·玄武区期末]（填空题） 由  得 ，是依据等式性质 ________，在等式两边同时 ________。 5. [2026·浙江杭州·西湖区期中]（填空题） 若 ，则 ，依据是等式性质 ________，两边同时 ________。 6. [2025·山东济南·历下区期末]（解答题） 说出下列等式变形的依据： （1）由 ，得 ； （2）由 ，得 ； （3）由 ，得 。 知识点二：等式性质2的直接运用 7. [2026·陕西西安·碑林区期中]（选择题） 下列等式变形中，运用了等式性质2的是（ ） A. 由 ，得  B. 由 ，得  C. 由 ，得  D. 由 ，得  8. [2025·湖南长沙·岳麓区期末]（选择题） 由  得 ，变形的依据是（ ） A. 等式性质1  B. 等式性质2  C. 加法交换律  D. 乘法交换律 9. [2026·福建福州·鼓楼区模拟]（选择题） 下列等式变形中，错误的是（ ） A. 由 ，得  B. 由 ，得  C. 由 ，得  D. 由 ，得  10. [2025·安徽合肥·包河区期中]（填空题） 由  得 ，依据是等式性质 ________，两边同时 ________。 11. [2026·辽宁沈阳·和平区期末]（填空题） 若 ，则 ，依据是等式性质 ________，两边同时 ________。 12. [2025·江西南昌·东湖区期末]（解答题） 说出下列等式变形的依据： （1）由 ，得 ； （2）由 ，得 ； （3）由 ，得 。 知识点三：利用等式的性质解方程 13. [2026·广东深圳·南山区期末]（选择题） 利用等式的性质解方程 ，下列步骤正确的是（ ） A. 两边减 ，得 ，两边除以 ，得  B. 两边加 ，得 ，两边除以 ，得  C. 两边除以 ，得 ，两边减 ，得  D. 两边减 ，得 ，两边乘以 ，得  14. [2025·河南郑州·金水区期中]（选择题） 方程  的解是（ ） A.   B.   C.   D.  15. [2026·山东青岛·市南区期末]（选择题） 下列方程中，解为  的是（ ） A.   B.   C.   D.  16. [2025·吉林长春·朝阳区期末]（填空题） 利用等式的性质解方程 ，第一步两边同时 ________，得 ；第二步两边同时 ________，得 。 17. [2026·贵州贵阳·南明区期中]（填空题） 若 ，则 。 18. [2025·广西南宁·青秀区期末]（解答题） 利用等式的性质解下列方程，并写出每一步的依据： （1）；  （2）；  （3）。 第三部分 过能力（ 选 +  填 +  解答） 1. [2025·北京·海淀区期末]（选择题） 下列等式变形正确的是（ ） A. 由 ，得  B. 由 ，得  C. 由 ，得  D. 由 ，得  2. [2026·上海·黄浦区期中]（选择题） 下列等式变形中，错误的是（ ） A. 由 ，得  B. 由 ，得  C. 由 ，得  D. 由 ，得  3. [2025·天津·和平区期末]（选择题） 若 ，则 ，这一步运用的等式性质是（ ） A. 等式性质1  B. 等式性质2  C. 乘法分配律  D. 加法交换律 4. [2026·重庆·沙坪坝区期末]（选择题） 方程  的解是（ ） A.   B.   C.   D.  5. [2025·江苏苏州·工业园区期中]（选择题） 若 ，则下列等式变形正确的是（ ） A.   B.   C.   D.  6. [2026·广东佛山·南海区期末]（选择题） 某数  的  倍与  的和等于 ，列方程为 ，解得 。解方程时，第一步应（ ） A. 两边减   B. 两边加   C. 两边除以   D. 两边乘以  7. [2025·浙江宁波·海曙区模拟]（选择题） 若 （），得 ，变形的依据是（ ） A. 等式性质1  B. 等式性质2  C. 乘法分配律  D. 加法交换律 8. [2026·四川成都·高新区期中]（选择题） 下列根据等式的性质变形正确的是（ ） A. 由 ，得  B. 由 ，得  C. 由 ，得  D. 由 ，得  9. [2025·湖北武汉·武昌区期末]（填空题） 由  得 ，依据是等式性质 ________。 10. [2026·湖南长沙·开福区期中]（填空题） 若 ，则 ，依据是等式性质 ________；，依据是等式性质 ________。 11. [2025·福建厦门·思明区期末]（填空题） 若 ，则 ，依据是等式性质 ________；。 12. [2026·山东济南·槐荫区期中]（填空题） 若 ，则 ，依据是等式性质 ________；，依据是等式性质 ________；。 13. [2025·陕西西安·雁塔区期末]（填空题） 若关于  的方程  的解为 ，则 。 14. [2026·广东广州·天河区期末]（解答题） 利用等式的性质解下列方程，并写出每一步的依据： （1）； （2）； （3）。 15. [2025·江苏南京·建邺区期末]（解答题） 小明在解方程  时，步骤如下： 第一步：两边减 ，得 ； 第二步：两边减 ，得 ； 第三步：所以 。 （1）小明每一步分别运用了等式的哪条性质？ （2）请验证  是否是方程  的解； （3）若将第一步改为“两边减 ”，后续步骤应如何操作？请写出完整过程。 16. [2026·浙江杭州·上城区期末]（解答题） 某商场举行促销活动，一款手机原价为  元，打  折后再降价  元，售价为  元。 （1）根据题意列出方程； （2）利用等式的性质解方程，求出手机的原价； （3）若该手机进价为  元，按原价出售时利润率为 ，请列方程求出原价，并比较两种方式下商场的利润。 参考答案（含详细分析解析） 一、过基础 知识点一：等式性质1的直接运用 1.【答案】 B 【考点】等式性质1的识别 【解析】A：两边除以 ，运用性质2；B：两边减 ，运用性质1；C：两边乘以 ，运用性质2；D：两边减 ，运用性质1。故选 B。 【方法点睛】性质1是加减变形，性质2是乘除变形。 2.【答案】 A 【解析】由  得 ，两边加 ，运用等式性质1。故选 A。 3.【答案】 C 【解析】A 错：；B 错：；C 正确：；D 错：。故选 C。 4.【答案】 ；减  【解析】由  得 ，两边减 ，依据性质1。 5.【答案】 ；减  【解析】由  得 ，两边减 ，依据性质1。 6.【答案及解析】 （1）由  得 ，依据等式性质1，两边减 ； （2）由  得 ，依据等式性质1，两边减 ，再减 ； （3）由  得 ，依据等式性质1，两边减 。 知识点二：等式性质2的直接运用 7.【答案】 B 【解析】A 运用性质1；B 两边除以 ，运用性质2；C 运用性质1；D 运用性质1。故选 B。 8.【答案】 B 【解析】由  得 ，两边乘以 ，运用性质2。故选 B。 9.【答案】 D 【解析】A 正确：两边除以 ；B 正确：两边乘以 ；C 正确：两边除以 ；D 错误：，两边除以 ，得 。故选 D。 10.【答案】 ；；除以  【解析】，两边除以 ，得 ，依据性质2。 11.【答案】 ；减  【解析】由  得 ，两边减 ，依据性质1。 12.【答案及解析】 （1）由  得 ，依据等式性质2，两边乘以 ； （2）由  得 ，依据等式性质2，两边除以 ； （3）由  得 ，依据等式性质2，两边乘以 。 知识点三：利用等式的性质解方程 13.【答案】 A 【解析】，两边减  得 ，两边除以  得 。A 正确。 14.【答案】 C 【解析】，两边加  得 ，两边乘以  得 。故选 C。 15.【答案】 B 【解析】将  代入各选项：A：；B：，右边 ，是解；C：；D：。故选 B。 16.【答案】 加 ；除以  【解析】，两边加  得 ，两边除以  得 。 17.【答案】  【解析】，两边减  得 ，两边加  得 。 18.【答案及解析】 （1），两边减 （性质1），得 ； （2），两边除以 （性质2），得 ； （3），两边加 （性质1），得 ，两边除以 （性质2），得 。 二、过能力 1.【答案】 B 【解析】A 错：；B 正确；C 错：；D 错：。故选 B。 2.【答案】 D 【解析】D 错：，两边乘以 ，得 ，不是 。故选 D。 3.【答案】 A 【解析】由  得 ，两边加 ，运用等式性质1。故选 A。 4.【答案】 C 【解析】，两边减  得 ，两边乘以  得 。故选 C。 5.【答案】 A 【解析】，两边减  得 ，两边加  得 。故选 A。 6.【答案】 A 【解析】，第一步两边减 ，得 。故选 A。 7.【答案】 B 【解析】（），两边除以  得 ，运用性质2。故选 B。 8.【答案】 A 【解析】A 正确：，两边乘以 ，得 ；B 错：，两边乘以 ，得 ；C 错：移项符号错误；D 错：移项符号错误。故选 A。 9.【答案】 ； 【解析】，两边减 ，得 ，依据性质1。 10.【答案】 ； 【解析】，两边加  得 ，依据性质1；两边除以  得 ，依据性质2。 11.【答案】 ； 【解析】，两边除以  得 ，依据性质2；两边加  得 。 12.【答案】 ；； 【解析】，两边乘以  得 ，依据性质2；两边加  得 ，依据性质1；两边除以  得 。 13.【答案】  【解析】将  代入 ，。 14.【答案及解析】 （1），两边加 （性质1），得 ，两边除以 （性质2），得 ； （2），两边减 （性质1），得 ，两边乘以 （性质2），得 ； （3），两边减 （性质1），得 ，两边减 （性质1），得 。 15.【答案及解析】 （1）第一步：两边减 ，依据等式性质1； 第二步：两边减 ，依据等式性质1； 第三步：两边对调（等式对称性），也可视为性质1。 （2）将  代入：左边 ，右边 ，左边  右边，所以  是方程的解。 （3），两边减 （性质1），得 ，两边加 （性质1），得 ，两边除以 （性质2），得 。 答：（1）第一步性质1，第二步性质1；（2） 是方程的解；（3），，。 16.【答案及解析】 （1）打  折后为  元，再降价  元为  元，等于  元，方程为 ； （2），两边加 （性质1），得 ，两边除以 （性质2），得 ； （3）按原价出售利润率为 ，进价为  元，则 ，即 ，两边加  得 。 促销方式下利润  元，原价出售利润  元，促销方式利润更高。 答：（1）；（2） 元；（3）原价  元，促销方式利润更高。 学科网（北京）股份有限公司 $