2.3 二次根式&解题技巧专题 实数比较大小的常用方法-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

7.0或1或一1 8.D【解析】因为（一4）3=一64，所以一64的立方根是 一4.因为（士8）2=64，所以64的平方根是±8， 所以一64的立方根与64的平方根之和为①一4+8= 4;②一4十（一8）=一12.综上所述，一64的立方根与 64的平方根之和是4或-12. 9.B【解析】将x=8代入，得8=2.因为2是有理数， 所以继续代入，得2.因为2是无理数，所以输出y的 值是2， 10.士3【解析】因为x一3-2x+I=0, 所以x一3=2x十1，所以x=一4， 所以x2+x-3=9, 所以x2十x一3的平方根为±3. 变式题一2【解析】因为一个正数x的平方根是 /17-a和3a-1, 所以√17-a+3a-1=0, 所以17一a十3a一1=0，所以a=-8, 所以a=一8=-2. 11.解：设正方体的棱长为xcm. 由题意，得3×(12÷2)2×2=x3,解得x=6. 故正方体铁块的棱长约为6cm. 第4课时估算及用计算器开方 1.B 2.B【解析】因为1<√2<2,5<13I<6, 所以A,B两点之间的整数点对应的数为2,3,4,5，共 有4个. 3.一1（答案不唯一）4.< 5.解：(1)因为2.82=7.84，所以-2.8=-7.84. 因为√7<√7.84，所以-√7>-√7.84， 即-√7>-2.8. (2)因为6=216，/260>/216， 所以260>6. 6.D 7.5【解析】由题意，得BC=5m,AC=7m. 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,即AB2+5=72, 解得AB=√24.因为20.25<24<25，所以4.5< √24<5，所以√24≈5.故地面钢缆固定点A到电线 杆底部点B的距离约为5m. 8.A 9.(1)5.197(2)0.218(3)-1.783(4)-5.099 37 10.D【解析】因为2≈1.4143≈1.442√3≈1.326， 而1.326<1,414<1.42，所以3<2<3 11.B【解析】由表可知，2.645<√7<2.646，所以√7精 确到百分位的近似数是2.65. 12.B【解析】由题意，得OA=2,AB=4,∠OAB=90°， OC=OB.在Rt△OAB中，OB=√OA+AB= √2+4=√20，所以OC=OB=√20.因为√16< √20<√25，所以4<√20<5.故点C表示的数在4 8 八年级数学BS版 和5之间. 13.4 4.5【解肉为后产0.707西广0.57生物 1=0.5 1 ≈0.4472，所以1+ 1+1+1≈1+0.7071+ ,11 054士0.52.78453.+5看 2.7845+0.4472=3.2317>3,所以要使它们的和大 于3，至少要选5个数. 15.解：(1)W7-2 (2)因为W9<√/10</16，即3<10<4， 所以√10的整数部分a=3,小数部分b=√10-3， 所以(b-√0)-1=（√10-3-√10）1-1=9. 16.解：(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动 2n位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动n 位(n为正整数). (2)①0.1435 ②1435 3二次根式 第1课时二次根式的概念和乘除运算 1.C2.D .2 3.解：(1)由题意，得3x-2>0,解得x≥3 (2)由题意，得x十1≥0，x一3≠0，解得x≥一1且x ≠3. 4.C 5B【银新1后×√店-2X名-1，是有里数放小 选项不符合题意：√2X√I2=√2X12=√4X6= 26,是无理数，故B选项符合题意；√2×√8= √2×18=6，是有理数，故C选项不符合题意；√2X √32=√2×32=8，是有理数，故D选项不符合题意. 6.解：(1)原式=6×(-3)×√8X2=-18×4=-72. 2)原式=2x(-)×,√/×8x10=-6x8 -4√3 7.C 1 2 ◆一题多解法 (1)原式=1⑧×2=363 2√2X√2 =4=4=2 2原式丽--2 9.解：(1)原式=(7)2+2√7+1=7+2√7+1=8+ 27. (2)原式=（√/2025）2-12=2025-1=2024. 10.√211.D12.C13.3 14.√2【解析】12※4 √12+4_√16_16 /12-4 √8V8 1 1 15.解：(1)原式= =8 4 (2)原式=√7×V28+7×√28=6+196 =4+14=18. (3)原式=(3-2√6+2)(5+2√6)=(5-26)(5+ 2√6)=52-(26)2=25-24=1. 16.解：因为√5<√10<√16，即3<√10<4，所以6-4 <6-√/10<6-3，即2<6-√10<3， 所以6-√10的整数部分为2，即a=2, 所以小数部分为=6一√10一2=4一√10，即b=4 -√10， 所以(2a+√10)b=(4+√10)(4-√10)=4- (√10)2=16-10=6. 17.解：(1)①10√0.I=√102×0.1=100×0.1 =/10】 ②由题意可知x<0, 1 所以x√一 =-x· ()=- (2)①因为5√2=√5×√2=√50， 4/5=√4×√3=/48,50>48， 所以5√2>43. ②因为2I=√2X√T=√44， 35=√3×√5=√45,44<45， 所以2T<3√5， 所以-2√T>-3√5. 第2课时二次根式的性质和加减运算 1.B2.D3.C4.B 5.解：(1)√200=√2X100=10√2. -7-3v5 (2)入4 2 4 202√5 (3)0.8=√5=√25 51 =√25=5. 6.D7.A 8.解：(1)原式=23-3√3+√3=0. (2)原式=27-4√2-3√2+√7=37-72. 9.解：(1)-1√2-3 (2)不是. 理由：因为(m十√3)(1-√3)=m-√3m+√3-3=-5 十3√3，所以(1-√3)m=-2+2√3，解得m=-2,所 以(m+√3)十(5-3)=(-2+√3)十(5-√3)=3.因 为3≠2，所以m+√3与5一√3不是关于1的“平衡数”. 10.A 11.2【解析】由题意得b十1=2,4a十3=2a一b+6,解 得a=1,b=1,则a十b=1+1=2. 12.11【解析】由题意，得a6与c6是同类二次根式. 因为a6+cb=6√5， 所以a十c=6,b=5,则a+b+c=11. 13.解：(1)两名同学的解法都正确. (2)因为而=√7 70_√70b 所以.9=√0 749 49×107/107b 100 10 10a 5 14.解：(1)5√26 (2) n2+1 =”√n+n为正整数) 10、202 (3)原式=10√101xV5 X 10202 =101015 =10× 2=20. 第3课时二次根式的混合运算 1.A2B3号 5 4.解：1)原式=√2×15+2V3x1西 /25 =√星+2V3x3x5 5 =2+65. 0原式-3-号×25×g-3疗- 18 32-2_172 6 6 5.B【解析)因为c=5-】.w=5+1 2y= 2 所以x+y=5,xy=1, 所以x2+xy十y2=(x+y)2-xy=(5)2-1=4. 6.B【解析】原式=（√17-4）224X(√17+4)224× (√17+4)=[（√17-4）（√17+4）]2X(√17+4) =(17-16)221×(√17+4)=√17+4. 7.1【解析】原式=2√2-√2-[（√2+1）(2-1)]X (W2-1) =√2-(W2-1) =√2-√2+1 =1. 8.解：(1)原式=3-43+4-3+2 =6-43. (2)原式=(2√5)2-（√6）2 =12-6 =6. 9.5√2+7【解析】因为x2十y2-4x-2y=-5, 上册详解详析 所以x2-4x+4+y2-2y+1=0, 所以(x-2)2+(y-1)2=0, 所以x-2=0,y-1=0, 解得x=2,y=1, 所以F十y √2+1(w2+1)×(3+2W2) 3y-2√E3×1-22(3-2√2)×(3+2√2) =5√2+7. 10.3【解析】原式=√(m十)-5mn =W(1+√2+1-√2)2-5(1+2)1-√2) =√4-5×(-1)=√=3. 11.解：(1)因为a=√5+2，b=√5-2， 所以ab=1,a+b=2√5，所以原式=1×2V5=2√5， (2)因为a=√5+2，b=√5-2 所以ab=1,a-b=4, 所以原式=(a-b)2-ab=42-1=15. 12.C 13.3【解析】原式=(33+3√2)（√3-√2）=3（√5+ √2)（√5-√2）=3. 14.8+5√2【解析】将n=√2代入n(n+1),得√2×(2 +1)=2+√2<15.将n=2+√2代入n(n+1),得(2 +√2)×(3+√2)=6+5√2+2=8+5√2>15.故输 出的结果是8+5√2 15.解：(1)三 (2)正确的解题过程如下：原式=2√6×3一√24÷3 =2/18-√8=6√2-2√2=4√2」 16.解：(1)16 (2)原式=-a3-2a2+a2+18a-17 =-a·a(a+2)+a2+18a-17 =-16a+a2+18a-17 =a(a十2)-17 =16-17 =-1. 17.解：(1)1 2+√3 2+3=2 2-3 (2-5)×(2+5) 4-3 +5 2 2×(5-√5) 2×(5-3) 5+√5(5+√3)×(5-√3) 5-3 5-√5. (2)√n-√Jn-1 (3)原式=√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√99 √/98+√/100-√/99=√100-1=9. 解题技巧专题实数比较大小的常用方法 1.解：因为(/10)3=10,2.3=12.167，而10<12.167， 所以10<2.3. 2.解：因为（√15）2=15,4=16,15<16， 所以√J15<4: 因为43=64，(/70)3=70,64<70，所以4</70， 410 八年级数学BS版 所以√15<4</70. 3.解.7-1-1=万-2 2-2=21 因为2<√7<3，所以√7-2>0， 所以0>0所以 4.解：因为16<24<25，所以4<√/24<5， 所以24-1-1=24-1-4-24-5<0. 4 4 4 所以24-1<1. 4 万 5.解· 527 5 2 因为(2√7)2=28,5=25，所以2√7>5， 亏>1，所以？5 所以 √52 6.解：因为x>1,所以取x=2, 得3=4G-. 因为2<<2<4，所以<反<r<. 7.解：因为6-5=(6-5)×5+51 6+5√6+5 5-2=(W5-2)×5+21 √5+25+2 且√6+√5>5+2>0， 所以 1 <1,即6-5<5-2. √6+√5√5+21 章末对点导练 1.A2.A 3后-后后-后 431【解折无理数有V0,-号共3个：整数 有(2+√3)°，共1个 5.B6.C7.23 8.解：因为3是a一1的算术平方根， 所以a一1=9，即a=10. 又因为3是a十2b十1的立方根， 所以a+2b+1=27,即10+2b+1=27, 所以b=8,所以a2一b2=102-82=36, 所以a2-b的平方根是士√36=士6. 9.解：1)两边布除以25，得2=器开平方，得 8 (2)两边都除以3，得(x一2)2=4， 开平方，得x-2=士2，所以x=4或0.3二次根式 第1课时 二次根式的概念和乘除运算 已课内基础闯关 -c 知识点③ 二次根式的除法 知识点①二次根式的概念及有意义的条件 ÷√红的结果是 1.下列各式一定是二次根式的是 7.计算N9 1 1 b A.√-7B.2m C.√1+xD. A.3 B.3z c 8.计算： 2.(2025一2026九江都昌检测)若√a一2有意 义，则a的取值范围是 ( (1)一题多解法 1 .(2)0.76 2√ 0.19 A.a>0B.a≥0C.a>2D.a≥2 3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义？ (1)√3x-2.(2)x+1+(x-3)° 知识点④ 乘除运算律在二次根式中的运用 9.计算： (1)(√7+1)2. 知识点②二次根式的乘法 (2)(J2025+1)(2025-1). 4.计算√2×√⑧的结果为 A./16 B.√4 C.4 D.16 5.下列二次根式中，与√2的积是无理数的是 1 A.2 B.12 C.√18 D.√32 易错点误用乘法结合律 6.计算： 10.计算：18÷3×√3 (1)6√⑧×(-32). 已课外拓展提高 11.小欧在课堂上学习了二次根式的乘法“√a· √b=√ab”,于是他在课后写了下列五个等 (2√1×2x(-) 式：①a·√b·√c=√abc;②a+√b= a+b;③√a÷√b=a÷b;④a·√b÷ c=√a·b÷c;⑤a·b·c=az·√b· √.其中能成立的是 () 422 八年级数学BS版 A.①②③④⑤ B.①③④⑤ 色综合能力提升 C.①④ D.①③④ 17.阅读下列解题过程： 12.下列判断正确的是 2√0.5=√22X√0.5=√22X0.5=√2】 A.带根号的式子一定是二次根式 B.√4a一定是二次根式 C.√m2十1一定是二次根式 -3 D.二次根式的值必定是无理数 (1)利用上述解法化简下列各式： 13.若√75·√a的值是一个整数，则正整数a 的最小值是 14.新定义题对于任意两个不相等的实数a,b (2)利用上述性质比较大小： (a>b),定义一种新运算：a※b=a+b ①52与4√3：②-2√T与-3√5. √a-b 例如3※2= √3+2 =√5，则12※4= √3-2 15.计算： 1 (2(,/月+)×2s. (3)(5-√2)2(5+2√6). 16.设6一√10的整数部分为a,小数部分为b, 求(2a+√10)b的值. 知识要点归纳 1.一般地，形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式 “√J一”称为二次根号，a叫作被开方数 2.二次根式的乘法法则和除法法则：石：√三 a6(a≥0，b≥0)，a a (a≥0，b>0). 上册第二章 23△ 第2课时 二次根式的性质和加减运算 色课内基础闯关 知识点② 二次根式的加减法 知识点① 二次根式的性质及化简 6.(2025一2026九江期中)若√a能与√3合并， 2 则a的值可以是 () 1 1.下列各式①√2，② ,③8，④ A.-3 B.1 C.6 D.12 ⑤√0.2，⑥Wx+1中，最简二次根式有 7.(教材变式)下列计算正确的是 A.√⑧-√2=√2 B.√2+√2=4 A.1个 B.2个 C.23-2=√3 D.23-√3=2 C.3个 D.4个 8.计算： 2.下列化简正确的是 (1)12-27+√3. A.√20=45 I-8 B88 C.18=3√3 D.√50=5√2 3.下列计算正确的是 ( (2)(28-2√⑧)-(18-√7). A.√(-4)×(-9)=√-4×√-9 B6+子-E+月 C.√4X9=√4×5 9.新定义题若a十b=2,则称a与b是关于1 的“平衡数”. (1)3与 是关于1的“平衡数”，5 4.(2025一2026佛山顺德区检测)下列二次根 一√2与 是关于1的“平衡数” 式中，最简二次根式是 ( (2)若(m+√5)(1-5)=-5+3√，判断 B.7 1 A.√ C.√20 D.9 m十√3与5一√3是否是关于1的“平衡数”， 5.(教材变式)化简： 并说明理由 7 (1)√200. (2)4 (3)w0.8. 4- 424 八年级数学BS版 已课外拓展提高 已综合能力提升 14.综合与实践小石根据学习“数与式”积累 10.化简，一的结果是 a 的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探 A. J-a 究下面二次根式的运算规律. B.a√-a a 下面是小石的探究过程，请补充完整： C.-a√-a D.a 【发现规律】(1)① 2-1 a 11.已知最简二次根式√4a+3与+2a-b+6 2 ② 2一5 2×5-2 可以合并，则a十b的值为 5 12.两个最简二次根式a√b与cb之和为6√5， 2X(5-1) V5③ 3 =2 则a十b十c= 8-10 13.创新意识老师在黑板上写了一道题：已知 3×10-3 3×(10-1) =3 3 10 10 V10: √7=a,√70=b,用含a,b的代数式表示 4 4×17-4 4×(17-1) √4.9.小豪和小麦两名同学上讲台板书了 ④4-17 17 N 17 下面两种解法： 5 (填 49 49×10 490 √7：⑤V5 26 小豪：√4.9= W10 W10×10-W100 写运算结果) √7X70 √7X70 ab 【总结规律】(2)如果n为正整数，用含n的 10 10 10 小麦：因为√4.9=√49X0.1=70.1, 式子表示上述的运算规律为 1 7√7 a 0.1=V0V0=7元6' 7a 所以√4.9= 10 202 b 【应用规律】(3)化简：√10-101×√5， 根据上面的内容，回答下列问题： (1)两名同学的解法都正确吗？ (2)请你再写出一种不同于这两名同学的 解法 知识要点归纳 1.最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含 能开得尽方的因数或因式： 2.二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二 次根式，再把被开方数相同的项合并。 上册第二章 25个 第3课时 二次根式的混合运算 色课内基础闯关 8.计算： 知识点①二次根式的混合运算 (1)(w3-2)2-18-8 √2 1.计算√24÷√3一√3×√6的结果为 A.-√2 B.52 C.22 D.√2 2.计算：(2√48-327)÷6= ( A.-52 B.- 2 2 C② 2 D.5V2 2 (2)(2√5+√6)(25-6). 3.计算：√24÷（√6+√24）= 4.(教材变式)计算： +2)×压. (2 知识点③ 二次根式的化简求值 9.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y=一5， 则云十y的值等于 3y-2√ 10.已知m=1+√2，n=1一√2，则代数式 (2)√18- 2X73÷0 3 √m2+n2-3mn的值为 11.已知a=√5+2，b=√5-2，求下列式子 的值： (1)ab(a+b). 知识点② 乘法公式在二次根式运算中的应用 5.已知x= 2,则x2+xy十y 5—1,y5十1 的值为 ( (2)a2-3ab+b2. A.2 B.4 C.5 D.7 6.计算：(/17-4)2024×（√/17+4）2025= ( A.1 B.√17+4 C.√17-4 D.4-√/17 7计算8-（号）'-(2+1D2-1) 426 八年级数学BS版 已课外拓展提高 综合能力提升 12.已知m=1+√2，n=1一√2，则代数式 17.运算能力已知（√7+2）×（√7一2）=7-4 √m2+n2-3mn的值为 =3,则将 6的分子、分母同时乘(7十 7-2 A.9 B.士3 C.3 D.5 13.计算：（√27十18）(3-√2)= 2),分母就由原来的无理数√7一2变成了有 14.按如图所示的程序计算.若开始输入的n 理数3，也称为对其进行了分母有理化 (①)请仿照这种方法化简，1一和。 2 值为√2，则输出的结果是 2-√√5+√3 否 1 (2)请直接写出 (n为非零自然 输入n n(n+1) 输出 √n+n-I >15 数)的化简结果： 第14题图 1 1 1 15.纠错题在计算√6×23一√24÷√3时，小 (3)计算： 十…十 1+√22+5√5+√4 明的解题过程如下： 1 1 解：原式=2√6×3一√24÷3第一步 √98+√99√99+√100 =2√18一√⑧第二步 =(2-1)18-8第三步 =√10.第四步 (1)小明从第 步开始出错， (2)请你给出正确的解题过程， 16.已知a=√17-1. (1)a(a+2)= (2)求-a3-a2+18a-17的值. 知识要点归纳 1.二次根式的混合运算是指二次根式的如加、减 乘、除、乘方及开方这六种运算中含有两种或两 种以上的运算. 2.先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减.若有括 号，则先算括号内的 上册第二章 27△ 解题技巧专题 实数比较大小的常用方法 题型① 利用平方法或立方法比较大小 题型⑤ 特殊值法 1.比较10与2.3的大小. 6.赋值法用“<”连接x,x2,丘(x>1), 2.比较4，√15,70的大小. 题型⑥利用有理化比较大小 题型②利用估算法比较大小 7.认真阅读下列解答过程： 3比较72与的大小 比较2一√3与3一√2的大小. 解：因为2-3=(2-3)×2+3 1 2+√52+√3 5-E=(3-2)x3+2 1 √3+√2√3+√2 且2+3>√3+√2>0， 题型③ 利用作差法比较大小 1 所以 1 4.比较②-1与1的大小 2+√35+√2 4 即2-√3<√3-√2. 请仿照上述方法比较√6一√5与5一2的大 小关系 题型④ 利用作商法比较大小 5比较与号的大小 6 428 八年级数学BS版