14.3 角的平分线 课后练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦角的平分线性质、判定、尺规作图依据、三角形内心及距离概念，通过基础巩固-综合应用-实践探究三层设计，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择填空）|单一知识点直接应用|如性质判定概念题，强化符号意识与抽象能力| |中档层（解答题）|性质与判定综合应用|如全等证明题，发展逻辑推理与运算能力| |提升层（综合与实践）|实际应用与跨知识整合|如选址问题、面积比探究，体现模型意识与应用能力|

学年人教版数学八年级上册 第章 全等三角形 角的平分线 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 · 角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 · 用尺规作角平分线的依据：（构造两个全等三角形）。 · 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边的距离相等。 · 距离是指垂线段的长度，必须出现“垂直”条件。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．角的平分线上的点到角的两边的距离（　　） ．相等　　．不相等 ．互相垂直　　．等于角平分线长 ．到角的两边距离相等的点在角的（　　） ．外角平分线上 ．平分线上 ．一边上 ．顶点处 ．如图，平分，若，则（　　） ．　　． ．　　．不能确定 ．三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离（　　） ．相等　　．不相等 ．等于中线长　　．等于高长 ．如图，平分，则≌的依据是（　　） ．　　． ．　　． ．如图，是的角平分线，在上，，若，则（　　） ．　　． ．　　．不能确定 ．用尺规作角平分线的依据是（　　） ．　　． ．　　． ．如图，点到两边的距离相等，若，则（　　） ．　　． ．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的上。 ．如图，平分，则（填“”或“”）。 ．如图，平分在上，，若的面积为，则的面积为。 ．用尺规作一个角的平分线，实质上是构造两个全等三角形，其判定依据是。 ．如图，点到两边的距离相等，且，则。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）如图，平分，垂足分别为、。求证：。 ．（本题分）如图，是的角平分线，是上一点，，垂足分别为、。求证：。 ．（本题分）如图，点在内部，且，垂足为、，若，求证：平分。 ．（本题分）如图，在中，平分，垂足为、。求的度数。 ．（本题分）如图，在中，平分，且的面积为。求的长。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【实际应用】 如图，要在内部建一个货物中转站，要求到公路和公路的距离相等。 点应建在什么位置？请画图并说明理由； 若到的距离为 ，则到的距离为多少？ 若要在角平分线上建三个中转站₁、₂、₃，使它们到两边的距离分别为 、 、 ，这三个点到顶点的距离有何关系？请说明理由。 ．（本题分）【综合探究】 如图，在中，是的平分线，是上任意一点。 求证：与的面积之比等于:； 若的面积为，求当与重合时，的面积。 学年人教版数学八年级上册 第章 全等三角形 角的平分线 课后练习（满分分，时间分钟） （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ．平分线 ． ． ．（或边边边） ． 三、解答题 ．证明见详解 【分析】利用证≌，再由对应边相等得。 【详解】因为平分，所以。 因为，所以。 在和中， （已证）， （已证）， （公共边）， 所以≌（）。 所以（全等三角形的对应边相等）。 【评分标准】得出两角相等得分；得出直角得分；证出得分；得出结论得分（共分）。 ．证明见详解 【分析】利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 【详解】因为是的平分线，且点在上， ， 根据角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 所以。 【评分标准】指出角平分线及垂线得分；引用性质得分；得出结论得分（共分）。 ．证明见详解 【分析】利用证≌，得出。 【详解】因为，所以。 在和中， （已知）， （公共边）， 所以≌（）。 所以（全等三角形的对应角相等）。 所以平分。 【评分标准】得出直角得分；证出得分；得出对应角相等得分；得出结论得分（共分）。 ． 【分析】先求，再利用四边形内角和（或平角与直角关系）求。 【详解】在中，。 因为，所以。 在四边形中，， 即， 解得。 【评分标准】求出得分；得出直角得分；利用四边形内角和求出得分（共分）。 ． 【分析】利用角平分线性质得，再用面积公式列方程求解。 【详解】因为平分， 所以（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。 设。 因为的面积的面积的面积， 所以½··½··½··½··。 解得，即。 【评分标准】得出得分；列出面积方程得分；解出得分（共分）。 四、综合与实践 ． 应建在的平分线上；理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ； 三个点在射线上，且到的距离成比例（距离越大，离越远），理由见详解。 【分析】利用角平分线性质解决选址问题，并理解距离与位置的关系。 【详解】点应建在的平分线上。 理由：根据角的平分线的性质，角的平分线上的任意一点到角的两边的距离都相等， 所以建在角平分线上能满足到、距离相等的要求。 因为在的平分线上，所以到的距离等于到的距离。 已知到的距离为 ，所以到的距离也为 。 三个点₁、₂、₃都在射线上，且到的距离依次增大。 理由：在同一条角平分线上，点到两边的距离与点到顶点的距离满足关系·。 因为固定，为定值，所以与成正比。 因此距离越大，对应的点到的距离也越大，三个点到的距离之比等于它们到两边距离之比，即::。 【评分标准】位置正确得分，理由充分得分（共分）；得出 得分；关系描述正确得分，理由充分得分（共分）。 ． 见详解； 。 【分析】利用角平分线性质得到、的距离相等，再用面积公式求比； 设，由总面积列方程求，再求面积。 【详解】过点作于于。 因为平分在上，所以。 ½··½··。 所以::。 设。 因为的面积的面积的面积， 所以½··½··½··。 解得。 所以½··。 【评分标准】作垂线得分，利用性质得分，推出面积比得分（共分）；列方程求得分，求出面积得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $