树德中学2025-2026学年高三上学期2月期末测试数学试题

树德中学高2023级高三上期期末测试数学试题 命题人：常勇审题人：邓连康、朱琨、刘大华 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的 1.已知柴合A={p=N-可 全集U=R,则CA=() A.（-0,0] B.(（-∞，0） C.（-1,1) D.(-o,-1]U[1,+∞) 2.已知复数z满足(1-)：=3+4，则三的虚部为() A.-3 B. c. 5 D. 3.秋利克雷西数与黎曼函数是两个特殊函数，秋利克葡函数D()=人t仁O 黎曼函数定义在 0,x∈CmQ 仁，x=2,9为正整数，是不可以再约分的真分数 [0,1上，R(x)=p 0,x=0,1或无理数 A. B.2√5 C.0 D.1 3 4.已知等比数列{an},则“41>4>4，”是“数列{a}为递减数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知圆O:x2+y2-2x=0和圆O,:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则不正确的是 () A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB的垂直平分线方程为x+y-1=0 C.四边形OAO,B的面积为4 D.P、9分别为圆O、O,上的动点，则P2的最大值为2√5+1+√5 6.已知f'(x)是定义域为[-2,2的函数f(x)的导函数，且函数8(x)=f'(x)的图象如图所示，则 () 高三数学期末2026 A.f(x)在[-2,0]上为增函数 B.f(x)的最小值为f(O) C.∫(x)的极大值为f(O),极小值为f①) D.f(x)的极小值点为0，极大值点为1 7.已知△ABC的面积和外接圆半径都为1，且sin2A+sim2B=1,则边 AC长度为() 1 A.2 B.√2 c.1 D. 8.如图，圆O的内接四边形ABCD的面积为4√2，已知AB=3, DC=1AB,若A0=xAB+yAD,则x+3y=（） 3 3 A B.3 C. 2 D.2 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.下列说法不正确的是() A.数据120118117117120的第60百分位数为117 B.相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C.若离散型随机变量X~B(50,0.2),则D(X)=10 D.若P(BA)=P(B),则事件A、B相互独立 10.过抛物线x2=2w(p>0)焦点F的直线交抛物线于A(3,),B(x2,2)两点，过B点作抛物线 准线！的垂线，垂足为C,O为坐标原点，则下列命题中正确的是() A. B.以AF为直径的圆和x轴相切 C.A,O,C三点共线 4 D.过A、B分别作抛物线的切线，两条切线交于点P,则PA⊥PB 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为4，点M,N满足AM=AD,DN=uD,C,其 中元u∈0,1)，则() A.当九=u时，N∥面ABCD B.当=A=时，MN长度最小 C.当元=24=子时，三棱锥N-ADM的外接球半径为V6 1 D.当元=1=与时，过B,M,W三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为16 3 01第1页共2页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12若日26 的辰开式中二项式系数之和为32，则展开式中文的系数为 13.若正项数列{a,}的前n项和为S,且2√S。=a.+1,则42o26= 14.已知函数f(x)=(x2-)(x2+x+b)(a,b∈R)的图象关于直线x=1对称， g(x)=e--e-b-x,若g1-m+g(2m-1)<2a+b,则实数m的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，其中15题13分，1617题15分，1819题17分，共77分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为BC的中点，将△CDE沿DE翻折至△PDE,平面 PDE⊥平面ABED. (I)求证：PD⊥平面PEA: (2)求直线PD与平面PBA所成角的余弦值. 16.已知函数f(x)=xnx++二(k∈R),且y=f(x)在点A,f0)处的切线与y轴垂直. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)不等式a>f(x)恰有两个正整数解，求实数a的取值范围。 1已如适数f)=mam)aar5(o>0j,若是fy的个零点，卫f()在区 上单调 (1)求函数f(x)的解析式： (2)若将函数y=f(x)+√3的图象先向右平移个单位，再向下平移n个单位，得到一个奇函数， 求所有可能的正实数对(1，m,其中∈(0，o) 高三数学期末2026 18.己知动点M(x,y)与定点F(2,0)的距离与它到定直线1：x=1的距离的比是常数√2，动点M 的轨迹C (1)求轨迹C的方程： (2)点O为坐标原点，过F(2,0)的直线1交C的右支于P,Q两点，过点P作直线x=1的垂线，垂足 为N. @已如42D当P4+P装小时，求直袋的方起， ②求△OQN面积的最小值， 19.错排问题源于伯努利和欧拉研究的“装错信封问题”。设将编号为1,2,3，，n的n个小球放入编号 为1,2,3，…，n的n个盒子中（每盒恰放一球），若恰有m个小球不在其对应编号的盒子中（即“错放”）， 则称这种情况数为错排数F(n,m),其中编号为i的小球对应编号为i的盒子。 F(1,1)=0,F(2,2)=1,规定F(0,0)=1。 (1)直接写出F(3,3),F(4,4)的值： (2)设F(n,n)=a.，n∈N,证明数列{a1-(n+1)an}是等比数列； (3)在高考英语中，“七选五”是一种常见题型。题目给出一篇缺少5个句子的短文，要求考生从文后 的7个选项A、B、C、D、E、F、G中选出5个最佳选项，填入文中空缺处，使文章完整、语义 连贯。某考生由于平时不重视英语学习，于是在做此类题时采用“蒙题”的策略：5个空完全随机作 答（选项不重复）。记蒙题答对的题数为随机变量X,求X的分布列和数学期望。 01第2页共2页 树德中学高2023级高三上期期末测试数学试题参考答案 一、选择题：CADB CDBA 8.解析：由AB=3DC,AB=3,则AB/DC,DC=1。四边形ABCD内接于圆O,则四边形为 等腰梯形ABCD。又面积为4√2，则等腰梯形ABCD高为2√2，AD=3, 点山直线MO、AB相交于N,在R coS∠MAN=coS∠DAB=,则AW= 9 A0=xAB+AD=2AW+2AM,又M、0、N三点共线，则2+2y=1,则x+3y=3 3 3 AO.AB=AB+yAD.AB x32=xx32+yx32× 2 3 3 法二： AOAD=ABAD+AD ⊙x=y-8x+3y= 5×32=x×32×1+”×32 二、选择题：ABC BCD」 ACD 11解析：建立如图所示的空间直角坐标系 则A(4,0,4),D(0,0,0),D(0,0,4),C(0,4,0), AD=（-4,0,-4),D,C=(0,4,-4) ∴.M(4-42,0,4-4),N(0,44,4-4u) A.法一：当九=4时， MN=(42-4,44,42-44)=(42-4,4元，0)，N·DD=0, MNt面ABCD,正确。法二：在D,D取点E,使得DE=ADD,易知面MEN∥面ABCD B.当M、V分别为中点时，N-4C-25,∠ND-60,作ME⊥DV,则 ME<MN,错误。 3 C.当元=方u=4时，则M(20,2),N(0,31,设球心 0260.面0D-Qw,则=}R=0n- 上，正确 3 D.连接AC,如图所示，过点B作AC的平行线交DA的延长 线于点E,交DC的延长线于点F,连接EM并延长，交AA 于点G,交DD于点T,连接FN并延长，交CC,于点H,根 据对称性知T在直线FN上，连接BG、BH.因为M、N分别 为中点，所以MN∥AC.又因为AC∥EF,所以N∥EF,所以E、G、M、T、N、H、F、B, 此时AFHC-AP7D,△2AG-AED7,CH_AC_ DTDT 2 面TGBH是边长为4yi0 , 的菱形， 3 GH=42,B7=4W2 ,所u45,4-16四 正确 33 高三数学期末2026 三、填空题：40 4051 (4,+0) 14解析：由f(x)=x(x-1)(x2++b)图象关于直线x=1对称，则f(x)=x(x-)(x-2) a=-3,b=2,即g(x)=e2-x-e-2-x,g(1-m)+g(2m-1)<-4 又g(2-x)+8g(2+x)=-4,则g(1-m)+g(2m-1)<-4=g(1-m)+g(3+m) g(21-1)<g(3+m)。又函数8(x)在R上为减函数，则2m-1>3+,即m>4 四、解答题： 15解：(1)连接AE,由BE=AB=2,∠ABE=90°，则AE=2√2. 又∠DPE=90°，PD=PE=2,则ED=2√2，AE2+ED2=AD2,即AE⊥ED--2分 ,·平面PED⊥平面ABED,AEC平面ABED,平面PED∩平面ABED=ED .AE⊥平面PED 又PDC平面PED,则AE⊥PD--4分 又PD⊥PE,PE∩AE=E,PE,AEC平面PEA ∴.PD⊥平面PEA---6分 2)如图以E为原点，建立空间直角坐标系，则E(0,0,0),A0,22,0),D(2W2,0,0), B(-√2,2,0)，P(V2,0,V2） PD=(V2,0,-2),PA=（-V2,2W2,-2),AB=（2,-5,0)-8分 设平面PAB的法向量为n=(x,y,),则 Am-2x+2v-2z=0,取i=1-1-3) AB.i=-√2x-√2y=0 --10分 皮我PD与国1成知为a利sn0=瓜训P闪2行 PD_4W-222 cos0 33 -12分 11 ·直线PD与平面PBA所成角的余弦值为√33 -13分 11 P 16.解：)f()=1血x+1+k-是x>0)。-2分 又曲线y=f()在点Q,f0)处的切线与y轴垂直。 .f'1)=1+k-1=0,得k=0。--4分 fw=血x+1-Ff0=0 01第3页共2页 又y=f'(x)在定义域上为增函数--6分 ∴.令f(x)>0→x>1,f'(x)<0→0<x<1--8分 ∴.f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞)--9分 (2)由(1)知，f(x)mn=f0)--10分 又不等式a>f(x)恰有两个正整数解 ∴.正整数解只能时1和2---13分 f2)<asf(3),即2h2+<a≤3hn3+} 3 一15分 1 coS Ox-v 2sin 20x+。 --4分 :f(x)在区间 兀7π 12'12 上单调 7π-≤T=2红，又>0,则0<051-一6分 12122220 :-工是函数∫(x)的一个零点。 6 2ox(名+背-kx(keZ),则o=1-3k,0=1.即f)=2m2+写一8发 6 3 @设平移后的函数为g(,则g(r)=2n2x-2m+孕+V5-n一0分 又g(x)为奇函数 -2m+ =kπ，k∈Z -13分 V3-n=0 又m∈(0，or) 或 6 3即正实数对(m0为：（任5）或(，5)-15分 n=V3 18.解：(1)由 x-2+y-2,则x-2+=4r- x-1 两边平方整理得： 。=1---4分（直接用c=2 建议扣1分)》 22 c e@4-9p网-p49州=p4pw=i N,P,A共线时取等。 .P(V3,1)--6分 1:y=-(V3+2)(x-2),y=-(W3+2)x+2√3+4--8分 ②易知1斜率不为0，设1：x=w+2,P(3,),(x2,y,),则N(1,)。 x=y+2 3 由1g上-1>(m-广+4mw+2=0.则m-120,A=8r+8>0 (22 y+⅓=m m214 2 12-1 ---10分 法一：由x1,直线N0:y=片二(x-1+%,由对称性，直线N0若过定点必在轴上。令 x2-1 少0，则生子-=0，解得 x=凸-y五=上-y-2y y2- y2-y1 良*2，所以+四三m,则乃+，2州多 2 y y2 2 y2- 0过定点M侵0-一1g分 r-普哥 m2+1 --14分 又过F(2,0)的直线I交C的右支于P,Q两点 m2-1≠0 ∴8(m2+1)>0 解得0≤m2<1---15分 : 2 <0 m2-1 --110周5w5厚5层写 叉110，则(m-,5ow之3y,当1-1时取等号。 2 Sw的最小值为华。一1r 2 高三数学期末2026-01第4页共2页 法二：ey=业x,设x=1与1o0交于M,),令x=1→为=立 wae0点，-mt2-斗州 -+广4-3y5 m2+1 -14分，其它同法一。 V(m2-1)月 法三：my=x,d=5,ON=+ 1+x 2 =V0+广-4，= 3W2 m2+1 2(m2-1)月 -14分，其它同法一。 法四：：ON=L,),O2=(x2,y2) Sewx为方×=y-2%-m=-为 V2 =y+⅓-4= m2+1 2V(m2-1月 -14分，其它同法一。 19.解：(1)F(3,3)=2,F(4,4)=9.--4分（每个值2分） (2)当n≥3时，对于F(n,n),不妨从1号球开始放置，设1号球放在k(2≤k≤m)号盒子中，有n-1 种放法.接下来讨论飞号球： ①当k号球放在1号盒子中时，剩下2,3，…，k-1,k+1,,n,共n-2个球分别不在2,3，，k-1,k+1n 号盒子中，共有F(n-2,n-2)种放法 ②当k号球不放在1号盒子中时，因为2,3，…，k-1,k+1,,n号球分别不在2,3，…，k-1,k+1,…,n号盒子 中，所以2,3，，k-1,k,k+1,,n共n-1个小球分别不在2,3，…，k-1,1,k+1,,n号盒子中，共有 F(n-1,n-1)种放法。 ∴.F(n,n)=(n-1)儿F(n-l,n-1)+F(n-2,n-2)](n≥3)--6分（直接写出递推关系酌情给 分) 即a.=(n-1)(an-1+an-2)(n≥3) ∴.aa+2=(n+1)(a1+a)n∈N） .aa+2-(n+2)a+1=(n+1)(a1+a)-(n+2）a1=-(a1-(n+1)a,)--8分 又4-2a=1 ∴数列{a-(n+1)an}首项为1，公比为-1的等比数列。--9分 (3)由题意知X=01、2、3、4、5 高三数学期末2026 法一：P(X=5)= 11 A2520 ---10分 P(x=4)=CC-10 --11分 A2520 P(=3)=Ca,+CCg+4_70 -12分 A 2520 P(x-2)=C(Ca+CCQ+C)+CC4-4f)_320 --13分 A 2520 P(x=1）=C(Ca+C3Ca,×1+Ca,+C)+CCa,×49+CCg4+4g4》_905 A 2520 -14分 不妨设第1到5位置正确答案为A、B、C、DE X=0表示A不在对应位置1，B不在对应位置2，C不在对应位置3，D不在对应位置4，E不在对 应位置5，分三类 1)若填入答案不含F、G,则此时有a4=4(4,+4)=44，则共有44 2）若填入答案只含F、G中的一个，即从A、B、C、D、E中选4个，共有CC=10种选法，不 妨设选的是A、B、C、D、F,先考虑F的放置情况。如果F填在位置5，此时有，=9；如果F 不填在位置5，此时有4，=44，则共有10×(9+44)=530 3)若填入答案同时含有F、G,即从A、B、C、D、E中选3个，共有CC=10种选法，不妨设 选的是A、B、C、F、G,考虑F的在位置4和不在位置4。如果F填在位置4，再考虑G是否在 位置5，若G是在位置5，此时有%=2；若G是不在位置5，此时有44=9。如果F不填在位置 4,再考虑G是否在位置5，若G是在位置5，此时有4=9：若G是不在位置5，此时有 a,=44。则共有10×(2+9+9+44)=640 ∴.X=0时，即“七选五”全部选错的排列数为44+530+640=1214种 12141214 .P(X=0)= A;2520 -15分（前面的也可以用此法得出）》 法二：P(X=0)=1-P(X=5)-P(X=4)-P(X=3)-P(X=2)-P(X=1)= 1214 2520 15分 故X的分布列为： X 0 1 2 3 44 5 P 1214 905 320 70 10 1 2520 2520 2520 2520 2520 2520 -16分 .E(X)=0× 214+1 905 320 70 10 5 +2× +3× +4× +5x 1 2520 2520 2520 2520 2520 2520 --17分 7 01第5页共2页