培优课 直线与圆的综合问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦直线与圆的几何量计算、位置关系及综合应用，通过一题多解、变式训练构建“几何直观-代数运算-模型应用”的三阶解题体系，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何量计算|1-4题|勾股定理求半径、圆心距公式、弦长计算（面积法/方程法）|从圆的基本性质（半径、弦长）到直线与圆位置关系的量化表达| |位置关系应用|5-8题|对称变换解反射问题、直线过定点分析、轨迹方程转化|结合对称思想、恒成立条件，实现几何关系向代数方程的转化| |综合与创新|9-10题|斜率范围求法、实际问题建模（距离/区域限制）|从静态计算到动态最值，衔接实际情境培养模型观念与应用意识|

培优课　直线与圆的综合问题 1.如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|=12米，拱高|CD|=4米，则拱桥的直径为（　　） A．15米　 B．13米 C．9米　 D．6.5米 2.若P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　） A．2x－y－5=0　 B．2x＋y－3=0 C．x＋y－1=0　 D．x－y－3=0 3.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x=0表示，在公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为（　　） A．3－　 B．3＋ C．3－　 D． 4.〔一题多解〕过坐标原点O作圆（x－3）2＋（y－4）2=1的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|=（　　） A．　 B． C．　 D． 5.〔多选〕从点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7=0上，则下列结论正确的是（　　） A．若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3=0 B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y=0 C．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过最短路程是5－1 D．若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是［－，1］ 6.〔多选〕已知直线l：（1－2m）x－（m－1）y＋7m－4=0，圆C：x2＋y2－2x－4y－20=0，则（　　） A．直线l恒过定点（1，3） B．直线l与圆C相交 C．圆C被x轴截得的弦长为3 D．当圆C被直线l截得的弦最短时，m= 7.由动点P向圆x2＋y2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是　　　　． 8.（2026•常州月考）设m∈R，过定点A的动直线x＋my=0和过定点B的动直线mx－y－m＋3=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是　　　　． 9.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0上任意一点，且点Q（－2，3）． （1）求|MQ|的最大值和最小值； （2）若M（m，n），求的最大值和最小值． 10.如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向正北方向，∠MON=，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B，且要求市中心O到AB所在直线的距离为10 km． （1）若将出入口A设计在距离中心O点10 km处，求A，B两出入口间的距离； （2）在公路MO段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区（包含边界），问如何在古建筑C和市中心O之间设出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？ 培优课　直线与圆的综合问题 1.B　如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得｜OB｜2＝｜OD｜2＋｜BD｜2，即r2＝（r－4）2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米. 2.D　圆心C（1，0），kPC＝＝－1，则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D. 3.A　因为直线lAB：x－y＋2＝0，圆心为（1，0），半径为1，则圆心到直线lAB的距离为d＝＝，所以AB边上的高的最小值为－1，所以三角形舞台面积Smin＝×2×（－1）＝3－. 4.A　法一 圆（x－3）2＋（y－4）2＝1的圆心为M（3，4），半径r＝1.如图所示，连接OM，AM，BM，则｜OM｜＝5，｜AM｜＝1，｜OA｜＝＝2，所以S△AOM＝×｜OA｜×｜AM｜＝×｜OM｜×，即×2×1＝×5×，所以｜AB｜＝. 法二 易得直线AB的方程为（0－3）·（x－3）＋（0－4）（y－4）＝1，即3x＋4y－24＝0.圆心（3，4）到直线AB的距离d＝＝，所以｜AB｜＝2＝. 5.BCD　点A（－3，3）关于x轴的对称点为A'（－3，－3）.圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k（x＋3），即kx－y＋3k－3＝0.由反射光线与圆C相切知＝1，解得k＝或k＝.所以反射光线方程为y＋3＝（x＋3）或y＋3＝（x＋3），即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；过A'（－3，－3），C（2，2）的直线方程为y＝x，故B正确；因为｜A'C｜＝＝5，所以光线经过的最短路程为5－1，故C正确；由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为（1，0）和（－，0），所以被挡住的范围是［－，1］，故D正确. 6.BD　依题意，直线l：（1－2m）x－（m－1）y＋7m－4＝0可化为（－2x－y＋7）m＋x＋y－4＝0，由解得即直线l过定点P（3，1），A不正确；圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25的圆心C（1，2），半径r＝5，｜PC｜＝＝＜r，即点P在圆C内，直线l与圆C恒相交，B正确；圆心C到x轴的距离d＝2，则圆C被x轴截得的弦长为2＝2＝2，C不正确；由于直线l过定点P（3，1），圆心C（1，2），则直线PC的斜率k＝＝－，当圆C被直线l截得的弦最短时，由圆的性质知，l⊥PC，于是得＝2，解得m＝，D正确.故选B、D. 7.x2＋y2＝4　解析：设动点P的坐标为（x，y），依题意有｜PO｜＝＝＝2，∴x2＋y2＝4，即所求的轨迹方程为x2＋y2＝4. 8.5　解析：由条件，得A（0，0），B（1，3）.由x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0消去m，得动点P的轨迹方程为（x－）2＋（y－）2＝，易知OB为圆的一条直径，由图可知，PA⊥PB，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝10，所以｜PA｜·｜PB｜≤＝5. 9.解：（1）由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得（x－2）2＋（y－7）2＝8， ∴圆心C的坐标为（2，7），半径r＝2， 又｜QC｜＝＝4， ∴｜MQ｜max＝4＋2＝6， ｜MQ｜min＝4－2＝2. （2）由题可知表示直线MQ的斜率. 设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2）， 即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k. 由直线MQ与圆C有交点，得≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 10.解：（1）如图，过点O作OE⊥AB交AB于点E，则OE＝10 km. 在Rt△AEO中，sin∠EAO＝＝，所以cos∠EAO＝， 在Rt△ABO中，AB＝＝＝20（km）， 即A，B两出入口间的距离为20 km. （2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x＋30）2＋y2＝25. 设直线AB的方程为y＝kx＋t（k＞0，t＞0）.则｜OA｜＝，且需＝10，＞5，解得t＜20k或t＞60k. 因为古建筑C距O点30 km，当t＞60k时，｜OA｜＞60，不合题意， 所以t＜20k，即｜OA｜＜20.故0＜｜OA｜＜20. 所以出入口A应设计在与市中心距离20 km以内的位置. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $