第05讲 三角函数讲义-2027届高三数学一轮复习（天津）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数专题，覆盖任意角概念、三角函数定义、图像性质等核心考点，按“概念-图像-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过考情解码、知识梳理、方法指导、真题训练四环节，帮助学生突破周期、单调性等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以考情分析为导向，整合近5年天津高考真题，设计分层训练（例题+变式），创新“整体替换法”分析单调性，用“五点法”解决零点问题，培养数学思维与模型意识。设置基础到综合练习，配合即时反馈，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

一轮复习精准覆盖 上好一堂课 第05讲 三角函数 考情解码*命题预警 考察形式 2026年 2025年 2024年 2023年 2022年 单选题 16题 8题 7题 5题 9题 考察内容 周期、最值、 函数求值 利用单调性、对称性、求解析式 周期、最值 周期、对称性 周期、单调性、 值域、平移 考情分析 1.：函数的图像与性质是天津高考核心考点，选择 / 填空 + 解答题合计约 15-20 分，是拉开中档题差距的关键板块。 2.：小题压轴与分段函数结合考察图像性质；大题压轴题与导数综合考查单调性与极值。 知识解码*靶向攻破 知识点1 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 是第一象限角，所以是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 3、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 例1-1．已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（      ） A．  B．  C．  D．   知识点2 三角函数定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3） 叫做的正切，记做 ，即 2、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 3、单位圆与特殊三角函数值 P(x，y)=P(,) 4、三角函数在各象限的符号 例2-1．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【变式训练2-2】（24-25高一上·天津·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．3 例2-2．“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-3】已知且，则是（    ） A． 第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 知识点3 五点法作图与零点问题 “五点法”作图原理： 在正弦函数的图象上，五个关键点是：, 在余弦函数的图象上，五个关键点是：，, 例3-1．若函数在区间内有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是__________ 例3-2．已知函数若存在实数满足，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式训练3-2】．函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 知识点4 三角函数图象与性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 定义域 R {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 R　 单调性 [－＋2kπ，＋2kπ]增， [＋2kπ，＋2kπ]减 (kπ－，kπ＋)增 最值 x＝＋2kπ时，ymax＝1； x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 无 奇偶性 奇函数 奇函数　 最小正周期 2π π 对称性 对称轴：x＝＋kπ 对称中心：（kπ，0） 对称中心：（ ，0） 1、与的单调性与对称性 例4-1．已知函数，，则的单调递增区间是（ ） A． B． C．， D．， 例4-2．下列直线中，函数的对称轴是（       ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】关于函数，有下列命题： ①函数是奇函数； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点对称 ④函数的图象的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ] 其中正确的命题的序号是 方法技巧： 第一步：写出基本函数（或）的相应性质结论 第二步：将“”视为整体替换基本函数性质结论中的“”（当时，需要变号） 第三步：解关于的等式或不等式 2、与的周期与值域 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]. 例4-3．（2023天津高考）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【变式训练4-3】（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 例4-4．（2024天津高考）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 【变式训练4-4】（2026天津高考）已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； 3、与的性质综合 例4-5（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【变式训练4-5】．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 4、的图像性质 例4-6（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 知识点5 图象平移伸缩变化 ( 注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对 自变量 x 而言的 )由y＝sin x的图象得到y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的图象的过程，其变化途径有两条： 例5-1．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【变式训练5-1】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ） A． 向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 例5-2（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 【变式训练5-2】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（   ） A． 的最小正周期是 B．是的一条对称轴 B． C．在区间上单调递减 D．当时，的取值范围为 知识点6 分析图像特征求解析式 例6-1．函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 其中正确的命题的序号是 方法技巧： 确定函数（）的解析式的步骤 （1） 求A，确定函数的最大值（2）求，确定函数的周期，则． （2） 求，用代入法把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． 题型7 三角函数与导数综合 例7-1已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，． 【变式训练7-1】已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； 第05讲 三角函数答案 考情解码*命题预警 考察形式 2026年 2025年 2024年 2023年 2022年 单选题 16题 8题 7题 5题 9题 考察内容 周期、最值 函数求值 利用单调性、对称性、求解析式 周期、最值 周期、对称性 周期、单调性 值域、平移 考情分析 1.：函数的图像与性质是天津高考核心考点，选择 / 填空 + 解答题合计约 15-20 分，是拉开中档题差距的关键板块。 2.：小题压轴与分段函数结合考察图像性质；大题压轴题与导数综合考查单调性与极值。 知识解码*靶向攻破 知识点1 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 3、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 例1-1．已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，故B选项符合. 故选：B 【变式训练1-1】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（      ） A．   B．  C．  D．   【答案】C 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一致； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一致， 因此集合中角表示的范围所对图形是选项C反应的. 故选：C. 知识点2 三角函数定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3） 叫做的正切，记做 ，即 2、三角函数在各象限的符号 例2-1已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点， 则，所以. 故选：C. 【变式训练2-1】（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 因为点A在角的终边上，所以， 所以. 故选：D. 【变式训练2-2】（24-25高一上·天津·期末）已知，则（   ） B． B． C． D．3 【答案】C 【详解】整体代入所求式子，得到. 故选：C. 例2-2．“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【变式训练2-3】已知且，则是（    ） B． 第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【详解】，则是第三、四象限的角 ，则是第二、四象限的角 ∴是第四象限的角 故选：D． 知识点3 五点法作图与零点问题 “五点法”作图原理： 在正弦函数的图象上，五个关键点是：, 在余弦函数的图象上，五个关键点是：，, 例3-1．若函数在区间内有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题设上有两个零点， 所以，可得. 故选：B 【变式训练3-1】已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，其中， 当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以， 当时，， 由可得或， 则在上，有一个零点， 所以在内有3个零点，即在内有3个零点， 因为，所以，， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 例3-2．已知函数若存在实数满足，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 【详解】函数,画出函数图像如下图所示: 由函数图像可知,若,则 因为,与关于对称 则 去绝对值化简可得 即,由对数运算可得 所以， 则． 故选：C ． 【变式训练3-2】．函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. 知识点4 三角函数图象与性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [ R　 单调性 [－＋2kπ，＋2kπ]增， [＋2kπ，＋2kπ]减 [－π＋2kπ，2kπ]]增， [2kπ，π＋2kπ]]减 (kπ－，kπ＋)增 最值 x＝＋2kπ时，ymax＝1； x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 x＝2kπ时，ymax＝1； x＝π＋2kπ时，ymin＝－1 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数　 最小正周期 2π 2π π 对称性 对称轴：x＝＋kπ 对称中心：（kπ，0） 对称轴：x＝kπ 对称中心：（＋kπ，0） 对称中心：（ ，0） 例4-1．已知函数，，则的单调递增区间是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】D【解析】可化为，故单调增区间：，，解得，.令，，令，. ，所以的单调递增区间是.故选：D 例4-2下列直线中，函数的对称轴是（       ） A． B． C． D． 令且，则对称轴方程为且，显然时对称轴为，不存在有对称轴为、、.故选：B. 【变式4-2】关于函数，有下列命题： ①函数是奇函数； ②函数的图象关于直线对称； ③函数可以表示为； ④函数的图象关于点对称 其中正确的命题的个数为（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【详解】对①，，函数不是奇函数，故①错误；对②，由，所以函数图象关于直线对称，故②正确；对③，，故③正确；对④，由函数，所以函数的图象关于点对称，故④正确，共有3个正确，故选：B. 2、与的图像与性质： （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A] 例4-3．（2023天津高考）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 【变式训练4-3】（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：，，故不以为周期，故A错误； 对B：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 且，故在上单调递减，故B错误； 对C：，，故不以为周期，故C错误； 对D：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 但，故时，， 故在上单调递增，故D正确. 故选：D. 例4-4．（2024天津高考）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 【变式训练4-4】（2026天津高考）已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； 例4-5（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】D 【详解】由是函数图象的一个对称轴， 可得，可得，即， 因为，所以，所以， 对于A中，由， 所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确； 对于C中，由，可得， 因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确； 对于D中，，可得， 当时，即时，可得，即是的一个零点； 当时，即时，可得，即是的一个零点， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：D. 【变式训练4-5】．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） B． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 求三角函数值域方法技巧 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． 4、的图像性质 例4-6（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称， 可得出函数为奇函数， 所以，，解得，A选项合乎题意. 故选：A. 【变式训练4-6】函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，且， 即且， 因为，所以， 则， 所以，化简得， 因为，所以时，故， 所以． 由，得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 知识点5 图象平移伸缩变化 ( 注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对 自变量 x 而言的 )由y＝sin x的图象得到y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的图象的过程，其变化途径有两条： 例5-1．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 故选：A． 【变式训练5-1】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ） B． 向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 故选：B． 例5-2（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 【答案】B 【详解】由题意得. 将代入中，得，故函数的图象关于点中心对称，故选项A错误； 当时，，因为余弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项B正确； 当时，，根据余弦函数的图象可知，当，即时，即在区间有一个零点，故选项C错误； 将代入中，得，故函数的图象关于直线对称，故选项D错误. 故选：B. 【变式训练5-2】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（   ） C． 的最小正周期是 B．是的一条对称轴 D． C．在区间上单调递减 D．当时，的取值范围为 【答案】D 【详解】函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到新函数，再把所得图象上所有点向右平移个单位长度得到新函数，则. 对于A选项，，的最小正周期是，A错误； 对于B选项，时，，所以不是的一条对称轴，B错误； 对于C选项，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在区间上不单调，C错误； 对于D选项，当时，， 时，时， 则，得的取值范围为，D正确. 故选：D 知识点6 分析图像特征求解析式 例6-1．函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（       ） A． B． C． D． 所以有， 再由，解得， 故函数的增区间为， 【变式训练6-1】（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 其中正确的命题的序号是 【答案】C 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 方法技巧： 确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，用代入法把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或低点代入． 题型7 三角函数与导数综合 例7-1已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，． 【详解】解：（1）由得，，.所以函数的定义域为. 由得：，又，所以曲线在点处的切线方程为：. （2）由（1）得，. 当时，与单调递增， 所以在上单调递增. 又，所以在上单调递减，在上单调递增. 故. 【变式训练7-1】已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； 【答案】(1) (2)方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：若证明当时，，即证当时，， 设，，则， 当时，切线不等式，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以在上恒成立， 当时，设，则， 可知在上单调递增， 则， 因为，则，可得， 且，则， 可知在上单调递增，则，即在恒成立， 可知在上单调递减，则，即在成立； 综上所述：在上恒成立，所以在上恒成立. 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $