专题03 绝对值的性质与几何意义（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“性质-运算-应用”为主线，系统整合绝对值非负性、化简技巧、几何意义等核心考点，通过10类题型构建从基础到综合的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |非负性应用|1典例+4变式|非负数和为0则各数为0|从绝对值基本性质切入，奠定概念基础| |化简与方程|4题型（03/04/06/07）|数轴位置法、零点分段法、分类讨论|由代数化简过渡到几何意义，强化数形结合| |综合与拓展|3题型（08/09/10）|最值几何模型、新定义转化|结合数轴综合应用，提升知识迁移与创新意识|

专题03 绝对值的性质与几何意义 （题型突破·举一反三） 题型01 利用绝对值的非负性求解 题型02 已知一个数的绝对值求这个数 题型03 数轴位置型绝对值化简 题型04 解绝对值方程 题型05 绝对值与代数式运算综合 题型06 零点分段法化简绝对值 题型07 |a|/a型绝对值化简 题型08 绝对值的最值问题 题型09 与绝对值有关的新定义问题 题型10 数轴与绝对值综合问题 ▌题型01 利用绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 【典例1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，满足，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，代数式求值，有理数的乘方运算，掌握几个非负数的和等于0，则每个非负数都为0这个性质是解题的关键．根据绝对值和偶次方的非负性先求出a、b的值，再求出的值． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，再代入计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 代入可得， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）已知有理数，满足：，的相反数是本身，是最大负整数的绝对值，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的非负性、相反数的定义及有理数的混合运算，解题的关键是根据绝对值非负性求出、的值，再结合相反数和绝对值定义确定、的值，最后代入代数式计算． 根据“几个非负数的和为，则每个非负数均为”，由可得、，进而求出、；根据“相反数是本身的数是”确定的值，根据“最大负整数是，其绝对值为”确定的值；最后将、、、代入计算即可． 【详解】解：，，且, ，, 解得，. 的相反数是本身 是最大负整数的绝对值，最大负整数是, . 将，，，代入得： , 故答案为：. 【变式4】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）若，则的值为_________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：0． ▌题型02 已知一个数的绝对值求这个数 【典例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若x的相反数是6，y的绝对值是8，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．根据有理数的加法，相反数，绝对值的运算法则进行计算． 【详解】解：∵x的相反数是6，y的绝对值是8， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）若与互为相反数，则_______． 【答案】6或4 【分析】本题考查相反数，绝对值，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到或，分别求出a的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 即或， 解得或． 故答案为：6或4． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知，则的值为______． 【答案】0或8或 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，代数式求值，正确计算是解题的关键． 先根据绝对值的定义求出，根据有理数的乘方法则求出，再分四种情况分别代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的值为或0或8， 故答案为：或0或8． ▌题型03 数轴位置型绝对值化简 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由数轴上点的位置确定式子符号、化简绝对值及整式加减运算等知识，由数轴上点的位置确定式子符号是解决问题的关键． 先由两数在数轴上对应的点的位置得到，进而得到，再由绝对值的代数意义去绝对值，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 则， ， 则 ， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）有理数在数轴上对应点的位置如图，化简：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴之间的对应关系及绝对值的化简，根据绝对值的意义：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．同时注意数轴上右边的数总大于左边的数，即可求解． 【详解】解：由有理数a，b在数轴上对应的点的位置可知：，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期中）已知数轴上点表示的数分别为，若，且．则式子的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值、数轴、整式的加减，熟练掌握数轴和绝对值的性质是解题关键．先求出，则可得，，再求出，代入化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 【变式3】（22-23七年级上·浙江金华·期末）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是___________（填序号即可）． ①；②；③；④ 【答案】①③④ 【分析】观察数轴得：，且，可得，故①正确；，故②错误；再由绝对值的性质可得，故③正确；故③正确，即可． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴，故①正确； ∴，故②错误； ∴，故③正确； ∴，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】此题考查了数轴，整式的加减混合运算，绝对值的性质，观察数轴得到，且是解题的关键． ▌题型04 解绝对值方程 在解含有绝对值的方程时需要运用分类讨论思路，转化为一般方程再解方程即可. 【典例4】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）当的值为时，代数式的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义，根据绝对值的意义得出是解本题的关键；根据的值为时，得出的值，代入求值即可． 【详解】解： 即 ， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）对于实数a，满足，则a的值为________． 【答案】28或/或28 【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值的性质化简，分情况讨论即可求解． 【详解】解：， 当时，，即， 解得：； 当时，，等式不成立； 当时，，即， 解得：； a的值为：28或， 故答案为：28或． 【变式2】（2025七年级上·浙江·专题练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值方程，解题的关键是熟知绝对值的意义． 根据绝对值的性质逐层去绝对值符号，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴或， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴或 ∴或（不合题意，舍去）， 或． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·期中）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解； （4）首先对方程进行整理，得出，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解． 【详解】（1）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （2）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （3）解：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或； （4）解：， 整理，可得：， ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． ▌题型05 绝对值与代数式运算综合 【典例5】（24-25七年级上·浙江金华·期中）当的值为5时，代数式的值是__________． 【答案】1或 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值，熟练掌握整体思想是解题关键．先根据绝对值的性质可得，再将它作为整体代入计算即可得． 【详解】解：∵的值为5， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上，代数式的值为1或， 故答案为：1或． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，且，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的运算法则． 根据绝对值的定义，确定a和b的可能取值，结合的条件进行筛选，得到满足条件的两种组合，分别计算的值． 【详解】解：由， 得或，或． 因为， 所以：当时，，或当时，， 当，时，； 当，时，； 因此，的值为或． 故答案为：或． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）已知，且，则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，根据绝对值的意义，以及，求出的值，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，，则代数式的值为______． 【答案】0 【分析】利用相反数、倒数的性质及绝对值的定义，分别得出，，，再代入代数式计算． 【详解】解：因为a与b互为相反数， 所以； 因为c与d互为倒数， 所以； 因为， 所以． 因此，． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，倒数，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． ▌题型06 零点分段法化简绝对值 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点(零点)将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的，最后依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法. 【典例6】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【答案】(1)3， (2)当时，；当时，；当时， (3)或 (4)2025， 【分析】（1）令和，再解方程可得答案； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可； （3） 分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程，再解方程即可； （4）先求解零点值，，，，再分五种情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，再化简绝对值，从而可得答案． 【详解】（1）解：令和， 解得：和， 故答案为：，； （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）当时，， 解得； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得； ∴方程的解为或． （4）中的零点值分别为： ，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025， 【点睛】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知代数式，当、时，解得、，则称、为代数式的零点．绝对值符号运算中，利用代数式的零点进行分类讨论解决含有绝对值的式子的运算称为“零点分段法”． (1)试应用“零点分段法”，解方程； (2)设．请应用“零点分段法”探究是否存在最小值？若存在，试求出的最小值，并求此时的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，最小值为，此时 【分析】本题考查了绝对值的化简，绝对值方程，整式的加减运算，正确分类讨论是解题的关键． （1）分三种情况讨论，化简绝对值，解方程即可； （2）分五种情况讨论，化简绝对值，再求最值． 【详解】（1）解： 当时，, 解得； 当时，， 方程无解； 当时，, 解得； 综上所述，方程的解为或； （2）解：存在， 当时，， ∴当时，W的值最小为； 当时，， ∴当时，W的值最小为； 当时，； 当时，， ∴当时，W的值最小为； 当时，， ∴当时，W的值最小为； 综上所述，W的最小值为2028，此时． 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值的性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 根据零点分段法和绝对值的性质，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：依题意，和分别为和的零点值， 当时， ； 当时，； 当时，； 综上所述，原式． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)，4 (2)原式 (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答． （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可． （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和， 解得和， 则和的零点值分别为和． （2）解：由（1）知和的零点值分别为和； ①当时，原式， ②当时，原式， ③当时，原式， 综上讨论，原式． （3）解：当时，原方程即为，解得， 当时，原方程即为，解得， 当时，原方程即为，解得，不符合题意，舍去， 所以，原方程分解为或． ▌题型07 |a|/a型绝对值化简 【典例7】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，求代数的值，绝对值的意义等知识，根据，可知 a、b、c 的符号组合为全正或两负一正，则的值仅取决于a、b、c的符号，分别计算各种情况，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c的符号可能为：全正或两负一正， ①全为正数时，则，，， ∴ 原式； ②两个负数一个正数： 若a、b为负，c为正，则，，， ∴ 原式； 若a、c为负，b为正，则，，， ∴原式； 若b、c为负，a为正，则，，， ∴原式， 综上，原式的值为1或， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知：，且．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则（   ） A．4 B．6 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，代数式求值．根据，确定出a、b、c中有两个负数，一个正数，再分别讨论a、b、c的符号，然后化简绝对值，从而确定x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数或a、b、c中三个都是正数， 又∵， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， 当，，，则，，， ∴ ； 当，则，，， ∴ ； 当，则， ∴ ； ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，且，则m的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，由可得 ，，，代入 的表达式化简为 ，根据 的符号情况（由于，不能全正或全负），分类讨论所有可能组合，计算的值，并比较得出最小值． 【详解】解：由 ，得 ，，， 代入原式得：，其中 、、 的值取决于对应变量的符号，可能为 1 或 ， 由于，不能全正或全负，需分情况讨论： 当两个正一个负时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当两个负一个正时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 比较所有值，的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则_____；当时，则_____． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数．满足且，求的值． 【答案】(1)1， (2)2或 (3) 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）分类进行讨论，根据绝对值的几何意义求解 （3）根据给出的条件得出中有2个正数，1个负数，然后根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则； 故答案为：1，； （2）解：当时， 或， 当时，； 当时，； ∴的值为2或； （3）解：由，，是非零有理数，且得， 中有2个正数，1个负数， ∴， ∴ ． ▌题型08 绝对值的最值问题 【典例8】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）数轴上表示x和1的两点之间的距离为． ①求的最小值______； ②求的最小值_____． 【答案】 1 【分析】①根据两点间线段最短结合绝对值的意义判断即可；②当是奇数时，中间的点为，所以当时，；当是偶数时，中间的两个点相同为，所以当时，． 【详解】解：①表示数轴上x和1的距离与x和2的距离之和， 则根据两点之间线段最短可知，x在之间， ∴； ②表示数轴上点到1，2，3，，之间的距离和最小， 当是奇数时，中间的点为， 当时，， 最小值为； 当是偶数时，中间的两个点相同为， 当时，， 最小值为． 故答案为：1，． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为a与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若，则x＝_________； （2）的最小值是5，则_________． 【答案】 5或 3或 【分析】本题考查绝对值几何意义，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用等知识，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的几何意义列式求解即可得到答案； （2）根据题意，由绝对值的几何意义理解最小值的含义，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 或， 故答案为：5或； （2）由题意可知，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 可理解为与三数在数轴上所对应的点的距离之和， 与2在数轴上的距离是，的最小值是5， ∴不在与2之间且与或与2对应点的距离为2， 当时，，解得． 当时，，解得． 综上可知，a的值为3或． 故答案为：3或． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）已知，求的最大值和最小值．   【答案】的最大值为2，最小值为 【分析】本题考查了绝对值的性质，解方程等知识，根据绝对值的性质化简方程，然后解方程即可得出答案． 【详解】解∶当时，，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∴， 即此时x为任意数； 当时，，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴x的取值范围为， ∴的最大值为2，最小值为． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，，为3个自然数，满足，其中，试求的最大值． 【答案】1010 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，化简绝对值等，先由题意得到，则可求出，则要满足c尽可能的大，a尽可能的小，据此可确定，从而得到，再根据题意可得b要尽可能的小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵要使的值最大， ∴的值最大，即的值最大， ∴要满足c尽可能的大，a尽可能的小， ∵，，为3个自然数， ∴， ∵， ∴， ∵c要尽可能的大， ∴b要尽可能的小， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴的最大值为． ▌题型09 与绝对值有关的新定义问题 【典例9】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）用“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有，则： （1）_______．（2）若，则n的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，解绝对值方程，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 根据题意可得，，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【变式1】（22-23七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为______． 【答案】3或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意即可.根据题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：． ∴或 故答案为：3或． 【变式2】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）定义一种新运算符号“”，满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】按照新运算符号“”的定义进行运算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算、绝对值化简等知识，理解新定义的运算方式并掌握相关计算是解题关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义运算、实数加减运算、数轴、相反数的定义．掌握新定义运算规则及实数加减法运算法则是解题的关键，同时，需注意“分类讨论”思想的运用． （1）根据新定义运算公式将，代入定义公式进行加减运算即可； （2）根据数轴上两点间的距离及相反数的定义求解出，的值，然后，根据定义公式及“分类讨论”思想的运用，依次计算出运算结果即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或． 是的相反数，且， ． 当时，， ， 当时，， ． 综上所述，的值为或． ▌题型10 数轴与绝对值综合问题 对于两个数x，y，式子|x-y|有明确的几何意义，它是数轴上表示数x，y的两点的距离，也称为x 和y的距离.因此单独一个字母x的绝对值|x|也代表x与0的距离.在出现类似|x-y|形式的式子的时候，可以结合数轴，考虑几何意义进行化简. 【典例10】（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图①，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为，b，．某同学将刻度尺如图②放置，使数轴上的点A对齐刻度，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图①的数轴上， 个单位长度；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ． (2)求数轴上点B所表示的数． (3)是图①中数轴上一点，点P到点A的距离是到点B的距离的2倍，求点P表示的数． (4)若点Q在数轴上表示的数为x，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】(1)9； (2) (3)或 (4)9；9 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，绝对值，理解绝对值的意义，掌握数轴表示数的方法是解决问题的关键． （1）由图1和图2对应的线段长可求解； （2）先求出之间在数轴上的距离，即可求解； （3）设点P表示的数为，根据点P到点A的距离是到点B的距离的2倍，得，解绝对值方程即可； （4）根据所表示的意义，得出当x处在数轴上表示和表示4之间时，的值最小，最小值为9，当x处在4的右边时，的值最大，也是9． 【详解】（1）解：由图1可得，由图2可得， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， 故答案为：9，0.6； （2）解：∵图2中点B对齐刻度， ∴图2中， ∴在数轴上（单位长度）， ∴在数轴上点B所对应的数； （3）解：设点P表示的数为， ∵是图①中数轴上一点，点P到点A的距离是到点B的距离的2倍， ∴，即， 当时，，解得（不符合，舍去）， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，点P表示的数为或； （4）解：当时，的值最小，最小值为9， 当时，的值最大，最大值为9． 故答案为：9，9． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，数轴上有两个点A，B，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，且满足． (1) ______； ______． (2)若点C从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，点D从点A出发沿数轴向右运动，经过5秒后，原点O恰好是线段的中点，求点D的速度； (3)我们规定：在数轴上，当两点都位于原点同侧且距离为2时，则称这两个点为“最美距离”．若P，Q是数轴上的两个动点，点P从原点出发沿着数轴以每秒5个单位的速度向点A运动，到达A点后掉头向B运动，到达B点后再掉头向A运动，如此在点A与点B之间往返运动，而点Q从原点出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向点B运动，当Q到达B点后停止运动，P也随之停止．求经过多少秒，P，Q两点位于“最美距离”？ 【答案】(1)；15 (2)点D的速度为1单位/秒 (3)经过秒、秒、8 秒、秒时，P、Q两点位于“最美距离” 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据绝对值与平方数的非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此可求出a、b的值； （2）先根据点C的运动速度和时间求出点C运动后的位置，再结合原点O是线段CD的中点，求出点D运动后的位置，最后根据点D的运动时间求出其速度； （3）根据题目已知条件分阶段列方程求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，； 故答案为：；15； （2）解：设点D的速度为v单位/秒， 5秒后，点C的位置：， 5秒后，点D的位置：， 原点O是的中点， 故， 解得， 所以，点D的速度为1单位/秒； （3）解：Q的运动时间最长为秒， 又两点都位于原点同侧且距离为2时，则称这两个点为“最美距离” 当时，， 解得或； 当时，， 解得：秒或秒， 故经过秒、秒、8 秒、秒时，P、Q两点位于“最美距离”． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3)7， (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的点与表示2和的点的距离相等，则数轴上表示的点是表示2和的点的中点，据此求解即可； （3）分情况讨论，再求出符合题意的的值的和即可； （4）将化为，分别求出三组最小时x的取值范围，进而求出最小时x的取值范围，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：与的值相等， 表示的点与表示2和的点的距离相等， 表示的点是表示2和的点的中点， ， 故答案为：； （3）解：当时， 当时， 当时， 当时，有最小值，最小值为7， 整数有、、、、、0、1、2，它们的和为， 故答案为：7；； （4） ， 由（3）可知，当时，有最小值； 当时，有最小值； 当时，有最小值； 可知当时，有最小值， 此时 ． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题3绝对值的性质与几何意义 (题型突破举一反三) 题型01利田绝对值的非负性求解 典例精析 【典例1】 【答案】 0 0 6 0 三 举一反三 【变式1】 【答案】 1 【变式2】 3 【答案】 【变式3】 【答案】 3/ 14 3 【变式4】 【答案】0 题型02已知一个数的绝对值求这个数 E 典例精析 【典例2) 【答案】±8 E 举一反三 【变式1】 【答案】2或-14 【变式2】 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】6或4 【变式3】 【答案】0或8或-8 题型03数轴位置型绝对值化简 三 典例精析 【典例3】A 举一反三 【变式1】 【答案】3a-b 【变式2】 【答案】8 【变式3】 【答案】①③④ 题型04解绝对值方程 典例精析 【典例4】 【答案】51或-45 三举一反目 【变式1】 【答案】28或-22/-22或28 【变式2】 【答案】x=6或-6 【变式3】 【答案】(1)x=-2或x=-8 (2)x=4或x=-3 (3)x=6或x=-10 (4)x=3或x=-13 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05绝对值与代数式运算综合 三 典例精析 【典例5】 【答案】1或-11 举一反三 【变式1】 【答案】-7或-1 【变式2】 【答案】9或-9 【变式3】 【答案】0 题型06零点分段法化简绝对值 典例精析 【典例6】 【答案】(13，-4 2)当x<-4时，x-3+x+4=-2x-1:当-4≤x<3时，x-3到+x+4=7;当x≥4时， x-3+x+4=2x+1 (3)x=-5或x=4 (4)2025,2≤x≤3 举一反 【变式1】 【答案】(1)x=4或x=-5 (2)存在，最小值为2028，此时2≤x≤3 【变式2】 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -x-5(x21) 【答案】 -3x-3(-2<x<1) x+5(x≤-2) 【变式3】 【答案】(1)-2,4 -x-8(x<-2) (2)原式= 3x(-2≤x<4) x+8(x≥4) (3)x=-17或x=3 题型07aa型绝对值化简 三典例精析 【典例7】c 举一反三 【变式1】A 【变式2】 【答案】-4 【变式3) 【答案】(1)1，-1 (2)2或-2 (3)-1 题型08绝对值的最值问题 E 典例精析 【典例8】 n2- ,n为奇数 4 【答案】 2 ,n为偶数 4 举一反三 【变式 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 5或-1 3或-4 【变式2】 5 【答案】 x≤-1/-1≥x x=2 3 【变式3】 【答案】x的最大值为2，最小值为-1 【变式4】 【答案】1010 题型09与绝对值有关的新定义问题 典例精析 【典例9】 【答案】 -8 ±4 举一反三 【变式1】 【答案】3或-1 【变式2】C 【变式3】 【答案】(1)12 (2)-20或-2 题型10数轴与绝对值综合问题 典例精析 【典例10】 【答案】(1)5-3,8 (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数4的点和表示数-3的点之间的距离，-5或-1 举一反三 【变式1】 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(19：0.6 (2)-2 (3)-3或1 4)9；9 【变式2】 【答案】(1)-10：15 (2)点D的速度为1单位/秒 9 11 26 3)经过2秒、2秒、8秒、3秒时，P、D两点位于“最美距离” 【变式3】 【答案】(1)x+2 (2)-1 (3)7,-12 (4)9 6/6 专题03 绝对值的性质与几何意义 （题型突破·举一反三） 题型01 利用绝对值的非负性求解 题型02 已知一个数的绝对值求这个数 题型03 数轴位置型绝对值化简 题型04 解绝对值方程 题型05 绝对值与代数式运算综合 题型06 零点分段法化简绝对值 题型07 |a|/a型绝对值化简 题型08 绝对值的最值问题 题型09 与绝对值有关的新定义问题 题型10 数轴与绝对值综合问题 ▌题型01 利用绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 【典例1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，满足，则的值为________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）已知有理数，满足：，的相反数是本身，是最大负整数的绝对值，则_____． 【变式4】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）若，则的值为_________． ▌题型02 已知一个数的绝对值求这个数 【典例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则_________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若x的相反数是6，y的绝对值是8，则的值为______． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）若与互为相反数，则_______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知，则的值为______． ▌题型03 数轴位置型绝对值化简 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）有理数在数轴上对应点的位置如图，化简：__________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期中）已知数轴上点表示的数分别为，若，且．则式子的值为______． 【变式3】（22-23七年级上·浙江金华·期末）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是___________（填序号即可）． ①；②；③；④ ▌题型04 解绝对值方程 在解含有绝对值的方程时需要运用分类讨论思路，转化为一般方程再解方程即可. 【典例4】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）当的值为时，代数式的值是______． 【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）对于实数a，满足，则a的值为________． 【变式2】（2025七年级上·浙江·专题练习）解方程：． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·期中）解下列方程： (1) (2) (3) (4) ▌题型05 绝对值与代数式运算综合 【典例5】（24-25七年级上·浙江金华·期中）当的值为5时，代数式的值是__________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，且，则的值为_____． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）已知，且，则的值为___________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，，则代数式的值为______． ▌题型06 零点分段法化简绝对值 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点(零点)将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的，最后依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法. 【典例6】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）已知代数式，当、时，解得、，则称、为代数式的零点．绝对值符号运算中，利用代数式的零点进行分类讨论解决含有绝对值的式子的运算称为“零点分段法”． (1)试应用“零点分段法”，解方程； (2)设．请应用“零点分段法”探究是否存在最小值？若存在，试求出的最小值，并求此时的取值范围，若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． ▌题型07 |a|/a型绝对值化简 【典例7】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知：，且．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则（   ） A．4 B．6 C．9 D．11 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，且，则m的最小值是______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则_____；当时，则_____． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数．满足且，求的值． ▌题型08 绝对值的最值问题 【典例8】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）数轴上表示x和1的两点之间的距离为． ①求的最小值______； ②求的最小值_____． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为a与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若，则x＝_________； （2）的最小值是5，则_________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）已知，求的最大值和最小值．   【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，，为3个自然数，满足，其中，试求的最大值． ▌题型09 与绝对值有关的新定义问题 【典例9】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）用“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有，则： （1）_______．（2）若，则n的值是_______． 【变式1】（22-23七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为______． 【变式2】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）定义一种新运算符号“”，满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． ▌题型10 数轴与绝对值综合问题 对于两个数x，y，式子|x-y|有明确的几何意义，它是数轴上表示数x，y的两点的距离，也称为x 和y的距离.因此单独一个字母x的绝对值|x|也代表x与0的距离.在出现类似|x-y|形式的式子的时候，可以结合数轴，考虑几何意义进行化简. 【典例10】（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【变式1】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图①，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为，b，．某同学将刻度尺如图②放置，使数轴上的点A对齐刻度，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图①的数轴上， 个单位长度；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ． (2)求数轴上点B所表示的数． (3)是图①中数轴上一点，点P到点A的距离是到点B的距离的2倍，求点P表示的数． (4)若点Q在数轴上表示的数为x，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，数轴上有两个点A，B，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，且满足． (1) ______； ______． (2)若点C从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，点D从点A出发沿数轴向右运动，经过5秒后，原点O恰好是线段的中点，求点D的速度； (3)我们规定：在数轴上，当两点都位于原点同侧且距离为2时，则称这两个点为“最美距离”．若P，Q是数轴上的两个动点，点P从原点出发沿着数轴以每秒5个单位的速度向点A运动，到达A点后掉头向B运动，到达B点后再掉头向A运动，如此在点A与点B之间往返运动，而点Q从原点出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向点B运动，当Q到达B点后停止运动，P也随之停止．求经过多少秒，P，Q两点位于“最美距离”？ 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $