1.3 绝对值20种常考题型（微专题1-5合集） 2026-2027学年浙教版七年级上册数学

**基本信息** 以20个考向系统覆盖绝对值核心考点，构建"概念-性质-应用-拓展"四层方法体系，融合几何直观与代数推理，突出分类讨论和模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与性质|考向1-5（5考向）|代数意义与几何意义双维阐释，非负性核心性质归纳|从定义（代数/几何）到性质（非负性、对称性），构建认知基础| |方程与化简|考向6-9（4考向）|单绝对值方程直接求解，多绝对值问题零点分段法|由简到繁，从单绝对值到多绝对值，渗透分类讨论思想| |最值问题|考向16-17（6类型）|几何意义分类求最值（两点/三点距离、系数非1型）|基于数轴模型，将代数最值转化为距离问题，培养直观想象| |综合应用|考向10-15,18-20（5考向）|非负性应用、实际情境建模、多参数分类讨论|结合生活实例（质量、运动），体现数学语言表达现实世界的价值|

--绝对值20种常考题型总结-- 绝对值20种常考题型总结 考向1绝对值的概念 2 考向2 求一个数的绝对值 4 考向3 已知绝对值求这个数 6 考向4 已知绝对值求这个数的取值范围 7 考向5 绝对值的几何意义 9 考向6 解绝对值方程 10 类型1 单绝对值方程 10 类型2 多绝对值方程（零点分段法） 12 考向7 结合条件化简绝对值 15 考向8 根据数轴化简绝对值 17 考向9 多个绝对值化简（零点分段法） 20 考向10 绝对值的非负性 23 考向11 绝对值的应用 26 考向13 利用绝对值的意义求字母取值范围 28 考向14 利用绝对值的定义判断结论正误 30 考向15 利用绝对值的性质化简求值 35 考向16 利用绝对值的非负性求最值 37 考向17 利用绝对值的几何意义求最值 41 类型1 两个绝对值之和求最小值 41 类型2 三个绝对值之和求最小值 43 类型3 三个以上绝对值之和求最小值 45 类型4 系数不为“1”型绝对值之和求最小值 48 类型5 绝对值之差求最大值 51 类型6 利用隐藏最值求最值 53 考向18 利用绝对值的意义分类讨论 55 考向19 利用分类讨论思想解决多绝对值问题 58 考向20 绝对值中最值问题 65 考向1绝对值的概念 绝对值的代数意义 绝对值的几何意义 去绝对值法则 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜. 1、； 2、若-，则； 3、若， 则且. 1．（2026-七年级-数学）若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（    ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 2．（2026-七年级-数学）若，，则下列结论正确的是（    ） A．是负数，是正数 B．是正数，是负数 C．是负数或，是正数或 D．是正数或，是负数或 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质得到，，然后判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是负数或，是正数或． 3．（2026-七年级-数学）下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．5的相反数的绝对值与5的绝对值的相反数相等 C．互为相反数的两个数的绝对值不一定相等 D．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是负数 【答案】A 【详解】解：A、绝对值最小的有理数是0，说法正确 B、5的相反数的绝对值是，5的绝对值的相反数是，不相等，说法错误； C、互为相反数的两个数的绝对值一定相等，说法错误； D、若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是负数和0，说法错误． 4．（2026-七年级-数学）已知四个有理数在数轴上对应点A，B，C，D的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．点A表示的数 B．点B表示的数 C．点C表示的数 D．点D表示的数 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值的定义，理解一个数的绝对值表示这个数到原点的距离是解题的关键． 根据数轴即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，点D到原点的距离最大， ∴绝对值最大的是点D表示的数． 故选：D． 5．（2026-七年级-数学）已知，是两个不为的不同有理数，且，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（    ） A．两点都在原点右侧 B．两点都在原点左侧 C．两点分别在原点两侧且到原点距离相等 D．其中一点为原点 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，由且，可知与互为相反数，因此在数轴上它们分别在原点两侧且到原点距离相等，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴，即与互为相反数， ∴在数轴上，互为相反数的两个点分别位于原点两侧，且到原点的距离相等， 故选：． 6．（2026-七年级-数学）下列说法中，正确的个数是（     ） ①若，则； ②若,则； ③若，则； ④若为有理数，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①因为，所以、是互为相反数，所以；故①正确 ②因为正数和负数的绝对值是它本身，因为，所以；故②错误 ③因为，所以、相等或互为相反数；故③错误 ④因为两个互为相反数的绝对值相等，所以；故④正确 故选：． 考向2 求一个数的绝对值 1．（2026-七年级-数学）的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】解：． 2．（2026-七年级-数学）________．______．_________． 化简：______． 【答案】10 【详解】解：． 解：， ∴ ， 故答案为：． 解：∵ ∴ 故答案为：． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 3．（2026-七年级-数学）化简：（1）______________；（2）______________； （3）______________；（4）______________；（5）______________； （6）______________；（7）______________；（8）______________． 【答案】 3 20 【分析】负数的绝对值等于其相反数，正数与0的绝对值等于其本身，据此即可作答． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）， 故答案为：，，3，20，，，，． 4．（2026-七年级-数学）下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义求出各选项数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，， 绝对值最大的是． 5．（2026-七年级-数学）绝对值等于2026的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义，求解绝对值等于给定正数的数即可． 【详解】因为绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数， 所以绝对值等于2026的数是． 6．（2026-七年级-数学）的相反数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵负数的绝对值等于它的相反数， ∴， ∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 考向3 已知绝对值求这个数 1．（2026-七年级-数学）如果，则______，如果，则______．若，则 __________．若，则 ____． 【答案】 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 由， ∴． 由， ． 2．（2026-七年级-数学）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 3．（2026-七年级-数学）一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是（    ） A．正数 B．零 C．负数 D．非正数 【答案】D 【分析】此题主要考查绝对值性质，明确正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数这一知识点，此题在此基础上判断正数、负数的绝对值即可． 【详解】解：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0也是它的相反数， 一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数和0，即非正数， 故选：D． 4．（2026-七年级-数学）写出符合条件的数：绝对值大于且小于的负整数 _______． 【答案】 【分析】要紧扣“负整数”的要求，不要遗漏符号条件，排除正整数和非整数的情况． 【详解】解：绝对值大于且小于的负整数是． 5．（2026-七年级-数学）已知，，则x的值为______，y的值为______． 【答案】 【分析】若一个数的绝对值为正数，则这个数为． 【详解】解：已知，可得． 已知，可得． 考向4 已知绝对值求这个数的取值范围 绝对值的代数意义：（去绝对值法则） =本身； =相反数； 变式结论： 1、若，则； 2、若，则； 3、 1．（2026-七年级-数学）若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．利用绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2026-七年级-数学）若，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）如果，则符合条件的的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的意义进行解答即可． 【详解】解：由，可得，即， 只要写出一个非正数即可，如：． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2026-七年级-数学）若有理数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义．分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别进行求解即可． 【详解】解：当时，原式可变为， 此方程无解； 当时，原式可变为， 解得：，不符合题意； 当时，原式可变为， 方程一定成立； 综上分析可知：有理数满足，则的取值范围是． 故答案为：． 5．（2026-七年级-数学）如果，那么a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，即一个数的绝对值等于它本身， ∴这个数是非负数，即， ∴， 故答案为：． 6．（2026-七年级-数学）如果，那么__________；如果，那么__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的性质解答即可． 【详解】解：， ； ， ； 故答案为：；． 考向5 绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上表示a的点与原点的距离. 的几何意义：数轴上表示x的点与表示a的点之间的距离. 1．（2026-七年级-数学）数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 【答案】或 【分析】根据点到原点的距离得到A、B对应数的所有可能，再分同侧、异侧两种情况计算线段的长度． 【详解】解： 点到原点的距离是3，点到原点的距离是4， 点表示的数为或，点表示的数为或， 当A、B两点在原点同侧时：， 当A、B两点在原点异侧时：， 线段的长为或． 2．（2026-七年级-数学）数轴上表示数和表示数7的两点之间的距离是_________． 【答案】10 【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可计算出结果． 【详解】解：由题意得，． 3．（2026-七年级-数学）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 【答案】6 【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算．解题的关键是利用数轴上两点间距离公式进行计算． 已知点A表示的数为4，点B表示的数为，代入距离公式，计算得到距离为 ． 【详解】解：点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离为． 故答案为6． 4．（2026-七年级-数学）已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，设点表示的有理数为，则，解得或，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点表示的有理数为，则， 解得或， 故答案为：或． 5．（2026-七年级-数学）数轴上表示的点与表示4的点之间的距离是__________． 【答案】7 【分析】本题考查两点之间的距离，数轴上两点之间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，据此列式计算即可． 【详解】解：表示的点与表示4的点之间的距离为． 故答案为7． 考向6 解绝对值方程 类型1 单绝对值方程 1．（2026-七年级-数学）若，则______________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解即可得到的值． 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 2．（2026-七年级-数学）若，则__________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或． ， 解得：； ， 解得：， 故答案为：或． 3．（2026-七年级-数学）若，则x的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题考查了解含有绝对值的方程；将等式化为，再根据绝对值的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为0或2． 4．（2026-七年级-数学）若，则______． 【答案】4或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；根据绝对值的代数意义，若（），则或，据此问题可求解． 【详解】解： ∴或， 解得：或； 故答案为4或． 类型2 多绝对值方程（零点分段法） 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点。 方法： 1、寻找所有零点，并在数轴上表示； 2、依据零点将数轴进行分段； 3、分别根据每段未知数的范围去绝对值。 易错点：分类不明确，不会去绝对值。 化简：. 令,, 解得 故零点为，分三种情况讨论： 1、 2、; 3、. 1．（2026-七年级-数学）满足的整数的值有________． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查换元法和绝对值的几何意义，设 ，确定t的取值范围，再结合整数条件求解x． 【详解】解：设 ，则原方程化为． ∵表示点t到点的距离，表示点t到点5的距离， 点与点5之间的距离为， ∴当时，距离和恒为 6． ∴． ∵且x为整数，故t为偶数整数 ∴或2或4， ∴或1或2， 验证：当时，； 当时，； 当时，，均成立． 故答案为：0，1，2． 2．（2026-七年级-数学）满足的整数共有____个． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的化简，绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键． 先进行分类讨论，再根据绝对值的性质化简即可求出答案． 【详解】解：当时，， 令，解得：； 当时，，恒为4， ∵是整数 ∴或或0； 当时，， 令， 解得： 综上，整数可能为、、、0、1，共有5个． 故答案为：5． 3．（2026-七年级-数学）方程的整数解有_____个． 【答案】1 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、绝对值方程等知识，分情况讨论是解题关键．分，和三种情况，结合绝对值的性质分别求解，然后根据题意即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 当时，可有， 此时可有， 解得，不合题意，舍去； 当时，可有， 此时可有， 解得，是整数解，符合题意； 当时，可有， 此时可有， 解得，不是整数解，不符合题意． 综上所述，方程的整数解有1个． 故答案为：1． 4．（2026-七年级-数学）若，则x的值为_______． 【答案】或. 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减，分类讨论解决问题即可，熟悉相关知识点是解题的关键. 根据绝对值性质分类，当时，当时，当时，再去绝对值计算即可. 【详解】解：当时， 解得：； 当时，，此时方程无解； 当时， 解得：； 故答案为：或. 5．（2026-七年级-数学）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 【答案】（1）3；2；7；（2）①10或；②7；③，，，，0，1 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的性质与绝对值方程的求解，熟练掌握“数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值”是解题的关键． （1）①利用数轴上两点距离公式，计算和的距离； ②同理，计算和的距离； ③同理，计算和的距离； （2）①根据绝对值方程，分情况求解； ②根据的范围判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算； ③根据绝对值的几何意义，分析的取值，结合为整数求解． 【详解】（1）解：①数轴上表示和的两点之间的距离：； ②数轴上表示和的两点之间的距离：； ③数轴上表示和的两点之间的距离：， 故答案为：3；2；7； （2）解：①， 或， 当时，； 当时，， 即或， 故答案为：10或； ②， ，， ， 故答案为：； ③表示数轴上到和的距离之和， 到的距离为， 当时，距离和为 又为整数， ， 故答案为：． 考向7 结合条件化简绝对值 1．（2026-七年级-数学）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据的取值范围，判断绝对值内的代数式的符号，从而去掉绝对值符号． 【详解】解：∵， ∴，， 故，， ∴ ． 故答案为：． 2．（2026-七年级-数学）已知，，则a=_____，b=_____ 【答案】 或 【分析】本题主要考查绝对值的定义，有理数的大小比较，根据绝对值求解原数的值是解题的关键． 首先根据绝对值的定义，a可能为或，b可能为或，再根据的条件进行筛选即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或， 当，时，，满足； 当，时，，不满足； 当，时，，满足； 当，时，，不满足； ∴满足条件的a和b的值为或，， 故答案为：或，． 3．（2026-七年级-数学）已知，，并且，求______，______． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的性质求出a、b的可能值，再结合条件确定a和b的值． 【详解】解：∵，， ∴或，或5， ∵， ∴，． 故答案为：，5． 4．（2026-七年级-数学）已知，，则，则______，______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义求出的值，再根据进一步确定的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ，， 故答案为：；． 5．（2026-七年级-数学）当时，化简_____ ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，根据a的取值范围判断绝对值内代数式的符号，然后去绝对值化简. 【详解】解：因为， 所以，, 所以， 故答案为：1. 6．（2026-七年级-数学）若 ，则 _____． 【答案】2 【分析】本题考查了化简绝对值． 根据绝对值的性质，在给定范围内去掉绝对值符号． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， 因此，． 故答案为：2． 7．（2026-七年级-数学）若，化简 _____． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简． 根据的范围，判断绝对值内的符号，从而化简表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∴． 故答案为： ． 考向8 根据数轴化简绝对值 1．（2026-七年级-数学）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 【答案】0 【分析】由数轴可得a，b，c的正负及各自绝对值的大小，得出，，的正负；再根据绝对值的性质，先去掉绝对值号，再计算，得到结果． 【详解】解：由数轴可得，，，， ，，， 2．（2026-七年级-数学）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 3．（2026-七年级-数学）有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：________ 【答案】 【分析】根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则解答即可． 本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴，，， ∴ ． 4．（2026-七年级-数学）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数与数轴，绝对值化简，根据有理数在数轴上的位置，确定代数式的符号是解题的关键． 根据a、b、c在数轴上的对应点的位置，判断的符号，再根据绝对值的意义进行计算化简，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，，， 所以， ． 故答案为：． 5．（2026-七年级-数学）已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，明确整式的加减的计算方法，利用绝对值和数轴的相关知识是解答本题的关键． 根据数轴和，可以判断，，的正负和大小，可得到，，，，从而可以化简题目中所求的式子的值． 【详解】解：由数轴可知，，，，且， ∴，，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 考向9 多个绝对值化简（零点分段法） 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点。 方法： 1、寻找所有零点，并在数轴上表示； 2、依据零点将数轴进行分段； 3、分别根据每段未知数的范围去绝对值。 易错点：分类不明确，不会去绝对值。 化简：. 令,, 解得 故零点为，分三种情况讨论： 1、 2、; 3、. 1．（2026-七年级-数学）化简：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了去绝对值、分类讨论的思想，解决本题要分三种情况去绝对值、合并同类项，第一种情况是当 时；第二种情况是当 时；第三种情况是当时． 【详解】解：当 时，，， 原式； 当 时，，， 原式 ； 当时，，， 原式 ； 综上所述，． 2．（2026-七年级-数学）化简：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了去绝对值、分类讨论的思想，解决本题要分三种情况去绝对值、合并同类项，第一种情况是当 时；第二种情况是当 时；第三种情况是当时． 【详解】解：当 时，，， 原式； 当 时，，， 原式 ； 当时，，， 原式 ； 综上所述，． 3．（2026-七年级-数学）已知．求x的值。 【答案】． 【分析】本题主要考查了去绝对值、分类讨论的思想，解决本题要分三种情况去绝对值、合并同类项，第一种情况是当 时；第二种情况是当 时；第三种情况是当时． 【详解】解：当 时，，， 原式=10； 则=-8 当 时，，， 原式 ；不符合题意 当时，，， 原式 =10； 则=2 综上所述，的值为-8或2 4．（2026-七年级-数学）化简：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了去绝对值、分类讨论的思想，解决本题要分三种情况去绝对值、合并同类项，第一种情况是当 时；第二种情况是当 时；第三种情况是当时． 【详解】解：当 时，，， 原式； 当 时，，， 原式 ； 当时，，， 原式 ； 综上所述，． 5．（2026-七年级-数学）化简：+． 【答案】 【分析】本题主要考查了去绝对值、分类讨论的思想，解决本题要分三种情况去绝对值、合并同类项，第一种情况是当 时；第二种情况是当 时；第三种情况是当时；第四种情况是当时． 【详解】解：当时，，， 原式； 当时，，， ， 原式 ； 当时，，， ， 原式 ； 当时，，， ， 原式 ； 综上所述，． 考向10 绝对值的非负性 绝对值无负数； 若，则且； 若，则且； 1．（2026-七年级-数学）已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 2．（2026-七年级-数学）已知，，且则式子的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的化简与计算，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性可知，，，且，因此，，解得，，由，得或，即或，又因为，且，所以，故，最后代入计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 又， 或， 解得或， ，且， ， ， ． 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）若，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，即可求解． 【详解】解： ， ，， 解得，， ， 故答案为：． 4．（2026-七年级-数学）若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解决本题的关键是熟练掌握绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性可得，，求解出x和y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为： ． 5．（2026-七年级-数学）若与互为相反数，则__________． 【答案】2 【分析】本题考查相反数的定义、绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性求得a、b的值是解题的关键． 根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性求得，，即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 6．（2026-七年级-数学）（1）若，则________， ________． （2）已知，则________． （3）已知与互为相反数，则________． 【答案】 3 4 30 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 考向11 绝对值的应用 质量问题 小虫爬行问题 数轴上数的表示问题 绝对值越小，越接近质量标准； 判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较；求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 点向左移动时，原数减去移动的距离； 点向右移动时，原数加上移动的距离。 1．（2026-七年级-数学）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有_______________．（保留）    【答案】 【分析】计算出这些数的绝对值的和，再乘以周长，即可求出路程．本题主要考查了化简绝对值、绝对值的应用和圆的周长公式的应用，正确审题并计算出绝对值是解题的关键． 【详解】解： 圆的周长为： ， ， 故答案为： 2．（2026-七年级-数学）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是______号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 【答案】五 【分析】使用误差的绝对值作为评价标准，误差的绝对值越小数据越接近标准，即可判断． 【详解】根据表格检测结果的绝对值排序：，可知五号排球质量最接近标准， 故答案为：五． 3．（2026-七年级-数学）出租车司机小江某天上午运营全是在东西走向的汇东路上进行，如果约定向东记为正，向西记为负，当天上午的运行路程记录如下（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小江距上午出发点多远？ (2)若汽车耗油量为每行驶千米耗用汽油升，这天上午小江共耗油多少升？ 【答案】(1)小江距上午出发点千米，在出发点西侧； (2)这天上午小江共耗油升． 【分析】本题主要考查了正负数的应用，绝对值的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）令所有的数相加，即可根据结果的符号和数值得出结果． （2）把所有的行车里程的绝对值相加，计算出的和为，再根据即为所求． 【详解】（1）解：根据题意可得： （千米）， 答：小江距上午出发点千米，在出发点西侧． （2）解：根据题意可得： （千米）， ∴耗油量为：（升）， 答：这天上午小江共耗油升． 4．（2026-七年级-数学）一辆出租车从A站出发，先向东行驶，接着向西行驶，然后又向东行驶． (1)画一条数轴，以原点表示A站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置． (2)求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？ 【答案】(1) 如图所示，    (2)出租车行驶的总路程为 【分析】本题考查的是数轴、绝对值及有理数混合运算的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． （1）数轴三要素：原点，单位长度，正方向．画数轴可表示出租车最终在A站东边处； （2）根据绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）略 （2）， 这个数据的实际意义是出租车行驶的总路程为． 考向13 利用绝对值的意义求字母取值范围 1．（2026-七年级-数学）若有理数x满足，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的几何题意，化简绝对值，根据选项x的取值范围化简绝对值即可得出答案． 【详解】解：．当，，与题意不符，故该选项不符合题意； ．当，，与题意不符，故该选项不符合题意； ．当，，与题意符号，故该选项符合题意； ．当或，与题意不符，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2026-七年级-数学）若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为______________ 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质和不等式性质即可求解. 【详解】解：， ， 或， 当时，方程无解或只有一个解， ， ，即或，即， 但当时，或都成立，此时有个不同的解， 只有时，成立，方程恰有两个不同的解. 3．（2026-七年级-数学）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和1为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和1为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故选：B． 4．（2026-七年级-数学）若，，且，求x的取值范围． 【答案】 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴且， ∴． 考向14 利用绝对值的定义判断结论正误 1．（2026-七年级-数学）下列各组判断中，正确的是（     ） ①若，则一定有 ②若，则一定有 ③若，则一定有或 ④若，则一定有 A．①③ B．②③ C．④ D．③④ 【答案】D 【分析】依据绝对值的概念，通过举反例、性质推导，逐一判断个命题的正误，筛选出正确结论． 【详解】解：若，，符合，但，故①错误； 若，，符合，但，故②错误； 若，则一定有或，③正确； 若，则一定有，④正确； 故正确的为③④． 2．（2026-七年级-数学）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（　　） ①若，，则； ②若，则B为AC的中点； ③化简； ④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合； ⑤若，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5； ⑥若，则最小值为12134． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】①不知道表示的数字无法确定的值；②根据线段的中点的定义，以及中点公式进行判断；③根据点在数轴上的位置，化简绝对值，进行判断；④根据两点间的距离公式，以及两点之间线段最短，进行判断；⑤根据两点间的距离公式，列方程计算进行判断；⑥根据，得到，推出，，，得到当时，有最小值，进而求出最小值即可． 【详解】解：①不知道表示的数字无法确定的值，故①错误； ②∵， ∴为的中点，故②正确； ③由图可知：， ∴，故③错误； ④∵数轴上点M到A，B，C距离之和最小， ∴点M与点B重合；故④正确； ⑤设点表示的数为， 当点在点左边时，依题意有：， 解得： 当点在点右边时，依题意有：， 解得：； 综上，点表示的数为或5，故⑤错误； ⑥∵， ∴， ∴，，， ∴当时：有最小值为，故⑥正确； 综上：正确的是②④⑥，共3个； 故选A． 3．（2026-七年级-数学）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 4．（2026-七年级-数学）下列结论： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或．其中，正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：①⑤． 5．（2026-七年级-数学）根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法： ①化简一共有8种不同的结果； ②化简一共有8种不同的结果； ③若，（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】①由于的结果分别有2种，则的结果共有种；②根据的取值范围化简绝对值可得当时，；当时，；当时；当时，；则的结果共有4种；③根据题意可得，再由求出的值即可 【详解】解：①的结果有两种，的结果有两种，的结果有两种， 的结果共有种，故①说法正确； 当时， ； 当时， ； 当时， 当时，； 的结果共有4种情况，故②说法错误； ③ 解得，或（舍去） 故③说法正确， ∴正确的说法有2个， 故选：C 考向15 利用绝对值的性质化简求值 1．（2026-七年级-数学）已知有理数，，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】当时，则结合已知条件得到，不合题意舍去，从而＜ 可得＜再化简代数式即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， ， ，所以不合题意舍去， 所以＜ ， ＜ 故答案为： 2．（2026-七年级-数学）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ． 【答案】2 【分析】因为、、都为整数，而且，所以与只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出． 【详解】解：、、为整数，且， 有，或，， ①若，， 则，， ， ， ②，， 则，， ， ， 故答案为：2． 3．（2026-七年级-数学）若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 4．（2026-七年级-数学）图表示数在线四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s.若 | p－r |=10，  | p－s |=12，| q－s |=9，则 | q－r |=？（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】根据数轴可知p＜q＜r＜s，根据绝对值的性质得：p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，所以q-r=-7，根据绝对值的性质，得出|q-r|的值． 【详解】观察数轴可得，p＜q＜r＜s， ∵|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9， ∴p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9， ∴p=r-10，p=s-12， ∴r-10=s-12， ∴s=r+2， ∴q-s=q-r-2=-9， ∴q-r=-7， ∴|q-r|=7． 故选A． 考向16 利用绝对值的非负性求最值 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 【答案】 （1）小， ，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键； （1）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围以及最值； （2）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围和最值，根据的取值范围可以得到的取值范围和最值； （3）根据的取值范围和最值确定的范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值； （4）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值； （5）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值. 【详解】解：（1）根据绝对值的非负性可知， 有最小值是，此时； （2） 则有最小值是，此时； （3）， ， ； 则有最大值是，此时； （4）， 则有最小值是，此时； （5） ； 则有最大值是，此时 故答案为：（1）小，，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， ． 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a为有理数，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，，从而确定表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）m为有理数，则的最小值：______． 【答案】 【分析】这道题考查了绝对值的性质，解题关键是利用绝对值的非负性分析式子的取值范围． 利用绝对值的非负性，分析表达式的最小值． 【详解】因为对于任意有理数 ，有 ， 所以 ， 当 时，，此时 ． 故答案为． 7．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）当___________时，代数式有最大值． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 当，即时，有最大值． 故答案为：1． 8．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时，__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 10．（23-24六年级上·山东淄博·期末）若式子有最小值，则该最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为： 考向17 利用绝对值的几何意义求最值 类型1 两个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值为。 1．（2026-七年级-数学）的最小值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 2．（2026-七年级-数学）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）若为有理数，已知，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 该问题理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值，再由绝对值的几何意义分类讨论求解即可． 【详解】解：，则可理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， ∴的最小值即为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值， 当时，则； 当时，则； 当时，， ∴的最小值为， 故答案为：5． 4．（2026-七年级-数学）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，作出图形是解决问题的关键． 先由绝对值的几何意义得到表示数轴上点到点之间的距离；表示数轴上点到点之间的距离，数形结合，在数轴上表示出取最小值时的情况，从而得到答案． 【详解】解：由绝对值的几何意义得到表示数轴上点到点之间的距离；表示数轴上点到点之间的距离， 当表示的点在表示的与表示的点构成的线段上时，代数式取最小值，如图所示：    ∴， 故答案为：． 类型2 三个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值为。 1．（2026-七年级-数学）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；表示和两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么____． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___． （4）当___时，的值最小，最小值是____． 【答案】 或 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是，； 表示和两点之间的距离是，； 一般地，数轴上表示和数的两点之间的距离等于， 如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么或． 故答案为；；或． （2），． 故答案为． （3）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 使得的所有整数为：，，，，，，，， ． 故答案为． （4）当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是. 故答案为；． 2．（2026-七年级-数学）当______时，的最小值是______． 【答案】 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 3．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，绝对值表达式的最小值问题，通常通过找到关键点（即绝对值内的表达式为零的点）并分段讨论，本题中关键点为、、，将数轴分为四个区间，分别讨论每个区间内表达式的简化形式，并求最小值． 【详解】解：，表示数轴上点到点的距离之和， 当 时，表达式为，最小值在时的值为， 当时，表达式为，随x增大而增大，最小值在时的值为， 当时，表达式为，随x增大而增大，最小值在时的值恒大于， 当时，表达式为，最小值在时的值恒大于， 综上，最小值为． 故答案为：. 4．（2026-七年级-数学）如果，当__________，最小值是_____． 【答案】 8 【分析】本题主要考查的是绝对值的几何意义，熟悉绝对值的几何意义是解题的关键． 由绝对值的几何意义知，当x在和3之间的时距离的和最小． 【详解】解：表示：数轴上一点到，3和距离的和， ∴当时，的值最小， 此时． 故答案为：，8． 5．（2026-七年级-数学）已知是有理数，则的最小值是______． 【答案】14 【分析】本题考查绝对值的几何意义，求代数式的最小值，利用数轴上点到点的距离和，最小值通常出现在中间点. 【详解】解：根据绝对值的几何意义表示到的距离； 表示到的距离；表示到的距离； 的最小值时，满足条件； 则 故答案为：14. 类型3 三个以上绝对值之和求最小值 1．（2026-七年级-数学）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 2．（2026-七年级-数学）式子的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间距离，由绝对值的几何意义可知式子表示分别到的距离之和，设点分别在数轴上对应有理数，点对应的数为，可知当点与点重合，即时，点到各点的距离之和最小，最小值为，再利用数轴上两点间距离公式计算即可求解，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴式子表示分别到的距离之和， 设点分别在数轴上对应有理数，点对应的数为， 如图，当点与点重合时，点到各点的距离之和为： ； 如图，当点与点不重合时，点到各点的距离之和为： ； ∵， ∴当点与点重合，即时，点到各点的距离之和最小，最小值为， ∴式子的最小值为：， 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 4．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 类型4 系数不为“1”型绝对值之和求最小值 1．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 【答案】4 【分析】根据绝对值的几何意义判断出当时，的值最小，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴可以理解为表示x的数到3的距离加上表示x的数到的距离加上2倍表示x的数到的距离，如图， ∴由数轴可得，当时，的值最小，最小值为． 2．（2026-七年级-数学）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 3．（2026-七年级-数学）的最小值为______ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值 ， 故答案为：． 4．（2026-七年级-数学）如果是有理数，那么的最小值为______． 【答案】/2.25 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，根据表示x与所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【详解】解：（1）当，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； （2）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当时，取得最小值为； （3）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 5．（2026-七年级-数学）的最小值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，，的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点的距离，与数轴上数表示的点到表示的点的距离的倍之和；分类讨论当时，当时，当时，当时，当时，即可求解； 【详解】解：， 分别令，可得，； 的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点的距离，与数轴上数表示的点到表示的点的距离的倍之和； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，当时，的最小值为； 故答案为： 类型5 绝对值之差求最大值 1．（2026-七年级-数学）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 2．（2026-七年级-数学）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 类型6 利用隐藏最值求最值 1．（2026-七年级-数学）已知，求的最大值与最小值的差是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． ∴的最大值为14，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 2．（2026-七年级-数学）若有理数，，满足，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别得出，，的取值范围，进而得出，，的取值范围进而得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 所以可知， 同理可得： ， ， 所以， 所以， ， ， 所以， ， ， 的最小值是：． 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）已知，则的最大值为_________；的最小值为_________． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 考向18 利用绝对值的意义分类讨论 或， 为1； 为-1； 或0. ①同为正数，值为； ②同为负数，值为； ③异号，值为； 注：无需讨论具体数的符号 1．（2026-七年级-数学）已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为_______． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简问题． 根据a和b的符号分类讨论，计算每个项的值，再求和即可． 【详解】解：当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 综上，原式的值为3或． 故答案为：3或． 2．（2026-七年级-数学）若有理数m，n，p满足，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，解决本题的关键是根据已知条件得出． 先根据得出，然后再对原式进行化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴m、n、p的符号为两正一负， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2026-七年级-数学）若，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，分四种情况，分别结合绝对值的意义计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 4．（2026-七年级-数学）已知，且，则m的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，由可得 ，，，代入 的表达式化简为 ，根据 的符号情况（由于，不能全正或全负），分类讨论所有可能组合，计算的值，并比较得出最小值． 【详解】解：由 ，得 ，，， 代入原式得：，其中 、、 的值取决于对应变量的符号，可能为 1 或 ， 由于，不能全正或全负，需分情况讨论： 当两个正一个负时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当两个负一个正时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 比较所有值，的最小值为． 故答案为：． 5．（2026-七年级-数学）我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简求值，代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出a，b的值是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）分三种情况：，都为正或，都为负或，一正一负，即可求解； （3）根据题意可得，，，，，两正一负，再化简即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：因为，都不为0， 所以，都为正或，都为负或，一正一负， 当，都为正时，， 当，都为负时，， 当，一正一负时，， 综上，的值为0或； （3）解：因为，． 所以，，，，，两正一负， 不妨假设， 所以 . 考向19 利用分类讨论思想解决多绝对值问题 1．（2026-七年级-数学）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】B 【分析】可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解． 【详解】解： 是的中点， ， ； A． 在的左边，，，， ， 故此项不符合题意； B． 在与之间时，，，， ， 故此项符合题意； C．在与之间时，，，， ， 故此项不符合题意； D．在的右边时，，，， ， 故此项不符合题意； 故选：B． 2．（2026-七年级-数学）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和． 【详解】 ， 或， 或， 当时，等价于，即， 或， 或； 当时，等价于，即， 或， 或， 故或或或， 所有满足条件的数的和为：． 故答案为：D 3．（2026-七年级-数学）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：    (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______．    (4)若，，，，，则式子的最小值为______． 【答案】(1)1或；(2)；(3)4；(4)54 【分析】（1）由题意易得，然后求解即可； （2）由题意易得，然后化简绝对值即可； （3）由数轴可知，然后可得，，，则有，进而问题可求解； （4）由题意易得，然后根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴或； （2）解：由题意得：， ∴； 故答案为； （3）解：由数轴可知：， ∵，，， ∴，，， ∴ ； 故答案为4； （4）解：∵，，，，， ∴ ， 根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小； ∴当时，则原式，此时当时，有最小值95； 当时，则原式，此时当时，有最小值59； 当时，则原式，此时当时，有最小值54； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 综上所述：当时，式子的最小值为54； 故答案为54． 4．（2026-七年级-数学）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)；(2)或；(3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得： ， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组 时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 考向20 绝对值中最值问题 1．（2026-七年级-数学）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（　　　） A． B． C． D．根据，，的值才能确定 【答案】C 【分析】根据有理数，，在数轴上的对应点的位置，确定a-b，a-c，b-c的正负，计算出x、y、z的值，比较大小即可． 【详解】解：根据，，在数轴上的对应点的位置可知， a-b＜0，a-c＜0，b-c＞0， ， ， ， ，∴， ，∴， 故选：C． 2．（2026-七年级-数学）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少． 【详解】解：∵，， ∴a、b、c为两个负数，一个正数， ∵，，， ∴， 分三种情况讨论， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴，，则． 故选：A． 3．（2026-七年级-数学）若，则代数式在的最小值是(   ) A． B． C． D．一个与有关的整式 【答案】C 【分析】根据x的范围化简为30-x，再结合x的范围，求得它的最小值即可. 【详解】∵， ∴x-p≥0，x-15≤0，x-p-15≤0， ∴ 故当x=15时，的最小值为30-15=15， 故答案为C. 4．（2026-七年级-数学）已知a，b，c为3个自然数，满足，其中，则的最大值是 ． 【答案】1346 【分析】先化简绝对值，再根据方程取非负整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b，c为3个自然数， 要想取最大值，a应该取最小值0， 代入得，， 当b=1时，c最大，最大值为673， ， 故答案为：1346． 第 1 页 共 66 页 学科网（北京）股份有限公司 $--绝对值20种常考题型总结-- 绝对值20种常考题型总结 考向1绝对值的概念 2 考向2 求一个数的绝对值 3 考向3 已知绝对值求这个数 3 考向4 已知绝对值求这个数的取值范围 4 考向5 绝对值的几何意义 5 考向6 解绝对值方程 5 类型1 单绝对值方程 5 类型2 多绝对值方程（零点分段法） 6 考向7 结合条件化简绝对值 7 考向8 根据数轴化简绝对值 8 考向9 多个绝对值化简（零点分段法） 9 考向10 绝对值的非负性 10 考向11 绝对值的应用 11 考向13 利用绝对值的意义求字母取值范围 12 考向14 利用绝对值的定义判断结论正误 12 考向15 利用绝对值的性质化简求值 14 考向16 利用绝对值的非负性求最值 14 考向17 利用绝对值的几何意义求最值 15 类型1 两个绝对值之和求最小值 15 类型2 三个绝对值之和求最小值 16 类型3 三个以上绝对值之和求最小值 17 类型4 系数不为“1”型绝对值之和求最小值 18 类型5 绝对值之差求最大值 19 类型6 利用隐藏最值求最值 19 考向18 利用绝对值的意义分类讨论 20 考向19 利用分类讨论思想解决多绝对值问题 21 考向20 绝对值中最值问题 23 考向1绝对值的概念 绝对值的代数意义 绝对值的几何意义 去绝对值法则 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜. 1、； 2、若-，则； 3、若， 则且. 1．（2026-七年级-数学）若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（    ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 2．（2026-七年级-数学）若，，则下列结论正确的是（    ） A．是负数，是正数 B．是正数，是负数 C．是负数或，是正数或 D．是正数或，是负数或 3．（2026-七年级-数学）下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．5的相反数的绝对值与5的绝对值的相反数相等 C．互为相反数的两个数的绝对值不一定相等 D．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是负数 4．（2026-七年级-数学）已知四个有理数在数轴上对应点A，B，C，D的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．点A表示的数 B．点B表示的数 C．点C表示的数 D．点D表示的数 5．（2026-七年级-数学）已知，是两个不为的不同有理数，且，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（    ） A．两点都在原点右侧 B．两点都在原点左侧 C．两点分别在原点两侧且到原点距离相等 D．其中一点为原点 6．（2026-七年级-数学）下列说法中，正确的个数是（     ） ①若，则； ②若,则； ③若，则； ④若为有理数，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考向2 求一个数的绝对值 1．（2026-七年级-数学）的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 2．（2026-七年级-数学）________．______．_________． 化简：______． 3．（2026-七年级-数学）化简：（1）______________；（2）______________； （3）______________；（4）______________；（5）______________； （6）______________；（7）______________；（8）______________． 4．（2026-七年级-数学）下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026-七年级-数学）绝对值等于2026的数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026-七年级-数学）的相反数等于（   ） A． B． C． D． 考向3 已知绝对值求这个数 1．（2026-七年级-数学）如果，则______，如果，则______．若，则 __________．若，则 ____． 2．（2026-七年级-数学）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 3．（2026-七年级-数学）一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是（    ） A．正数 B．零 C．负数 D．非正数 4．（2026-七年级-数学）写出符合条件的数：绝对值大于且小于的负整数 _______． 5．（2026-七年级-数学）已知，，则x的值为______，y的值为______． 考向4 已知绝对值求这个数的取值范围 绝对值的代数意义：（去绝对值法则） =本身； =相反数； 变式结论： 1、若，则； 2、若，则； 3、 1．（2026-七年级-数学）若，则的取值范围是___________． 2．（2026-七年级-数学）若，则a的取值范围是______． 3．（2026-七年级-数学）如果，则符合条件的的值可以是________． 4．（2026-七年级-数学）若有理数满足，则的取值范围是______． 5．（2026-七年级-数学）如果，那么a的取值范围为__________． 6．（2026-七年级-数学）如果，那么__________；如果，那么__________． 考向5 绝对值的几何意义 的几何意义：数轴上表示a的点与原点的距离. 的几何意义：数轴上表示x的点与表示a的点之间的距离. 1．（2026-七年级-数学）数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 2．（2026-七年级-数学）数轴上表示数和表示数7的两点之间的距离是_________． 3．（2026-七年级-数学）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 4．（2026-七年级-数学）已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 5．（2026-七年级-数学）数轴上表示的点与表示4的点之间的距离是__________． 考向6 解绝对值方程 类型1 单绝对值方程 1．（2026-七年级-数学）若，则______________． 2．（2026-七年级-数学）若，则__________． 3．（2026-七年级-数学）若，则x的值为______． 4．（2026-七年级-数学）若，则______． 类型2 多绝对值方程（零点分段法） 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点。 方法： 1、寻找所有零点，并在数轴上表示； 2、依据零点将数轴进行分段； 3、分别根据每段未知数的范围去绝对值。 易错点：分类不明确，不会去绝对值。 化简：. 令,, 解得 故零点为，分三种情况讨论： 1、 2、; 3、. 1．（2026-七年级-数学）满足的整数的值有________． 2．（2026-七年级-数学）满足的整数共有____个． 3．（2026-七年级-数学）方程的整数解有_____个． 4．（2026-七年级-数学）若，则x的值为_______． 5．（2026-七年级-数学）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 考向7 结合条件化简绝对值 1．（2026-七年级-数学）若，则______． 2．（2026-七年级-数学）已知，，则a=_____，b=_____ 3．（2026-七年级-数学）已知，，并且，求______，______． 4．（2026-七年级-数学）已知，，则，则______，______． 5．（2026-七年级-数学）当时，化简_____ ． 6．（2026-七年级-数学）若 ，则 _____． 7．（2026-七年级-数学）若，化简 _____． 考向8 根据数轴化简绝对值 1．（2026-七年级-数学）若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 2．（2026-七年级-数学）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 3．（2026-七年级-数学）有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：________ 4．（2026-七年级-数学）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：________． 5．（2026-七年级-数学）已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 考向9 多个绝对值化简（零点分段法） 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点。 方法： 1、寻找所有零点，并在数轴上表示； 2、依据零点将数轴进行分段； 3、分别根据每段未知数的范围去绝对值。 易错点：分类不明确，不会去绝对值。 化简：. 令,, 解得 故零点为，分三种情况讨论： 1、 2、; 3、. 1．（2026-七年级-数学）化简：． 2．（2026-七年级-数学）化简：． 3．（2026-七年级-数学）已知．求x的值。 4．（2026-七年级-数学）化简：． 5．（2026-七年级-数学）化简：+． 考向10 绝对值的非负性 绝对值无负数； 若，则且； 若，则且； 1．（2026-七年级-数学）已知，则_________，_________． 2．（2026-七年级-数学）已知，，且则式子的值为_____． 3．（2026-七年级-数学）若，则 ______． 4．（2026-七年级-数学）若，则的值为___________． 5．（2026-七年级-数学）若与互为相反数，则__________． 6．（2026-七年级-数学）（1）若，则________， ________． （2）已知，则________． （3）已知与互为相反数，则________． 考向11 绝对值的应用 质量问题 小虫爬行问题 数轴上数的表示问题 绝对值越小，越接近质量标准； 判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较；求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 点向左移动时，原数减去移动的距离； 点向右移动时，原数加上移动的距离。 1．（2026-七年级-数学）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有_______________．（保留）    2．（2026-七年级-数学）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是______号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 3．（2026-七年级-数学）出租车司机小江某天上午运营全是在东西走向的汇东路上进行，如果约定向东记为正，向西记为负，当天上午的运行路程记录如下（单位：千米）： ． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小江距上午出发点多远？ (2)若汽车耗油量为每行驶千米耗用汽油升，这天上午小江共耗油多少升？ 4．（2026-七年级-数学）一辆出租车从A站出发，先向东行驶，接着向西行驶，然后又向东行驶． (1)画一条数轴，以原点表示A站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置． (2)求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？ 考向13 利用绝对值的意义求字母取值范围 1．（2026-七年级-数学）若有理数x满足，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．（2026-七年级-数学）若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为______________ 3．（2026-七年级-数学）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 4．（2026-七年级-数学）若，，且，求x的取值范围． 考向14 利用绝对值的定义判断结论正误 1．（2026-七年级-数学）下列各组判断中，正确的是（     ） ①若，则一定有 ②若，则一定有 ③若，则一定有或 ④若，则一定有 A．①③ B．②③ C．④ D．③④ 2．（2026-七年级-数学）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（　　） ①若，，则； ②若，则B为AC的中点； ③化简； ④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合； ⑤若，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5； ⑥若，则最小值为12134． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026-七年级-数学）下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2026-七年级-数学）下列结论： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或．其中，正确的结论是 （填写序号）． 5．（2026-七年级-数学）根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法： ①化简一共有8种不同的结果； ②化简一共有8种不同的结果； ③若，（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考向15 利用绝对值的性质化简求值 1．（2026-七年级-数学）已知有理数，，满足，且，则 ． 2．（2026-七年级-数学）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ． 3．（2026-七年级-数学）若a、b、c是整数，且，则 ． 4．（2026-七年级-数学）图表示数在线四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s.若 | p－r |=10，  | p－s |=12，| q－s |=9，则 | q－r |=？（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 考向16 利用绝对值的非负性求最值 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a为有理数，则的最小值为________． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）m为有理数，则的最小值：______． 7．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）当___________时，代数式有最大值． 8．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则x的取值范围是_____． 9．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时，__________． 10．（23-24六年级上·山东淄博·期末）若式子有最小值，则该最小值为__________． 考向17 利用绝对值的几何意义求最值 类型1 两个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值为。 1．（2026-七年级-数学）的最小值是______． 2．（2026-七年级-数学）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 3．（2026-七年级-数学）若为有理数，已知，则的最小值为___________． 4．（2026-七年级-数学）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________． 类型2 三个绝对值之和求最小值 若，则当时，有最小值为。 1．（2026-七年级-数学）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；表示和两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么____． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___． （4）当___时，的值最小，最小值是____． 2．（2026-七年级-数学）当______时，的最小值是______． 3．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 4．（2026-七年级-数学）如果，当__________，最小值是_____． 5．（2026-七年级-数学）已知是有理数，则的最小值是______． 类型3 三个以上绝对值之和求最小值 1．（2026-七年级-数学）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 2．（2026-七年级-数学）式子的最小值是______． 3．（2026-七年级-数学）的最小值是________ 4．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 类型4 系数不为“1”型绝对值之和求最小值 1．（2026-七年级-数学）的最小值为______． 2．（2026-七年级-数学）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 3．（2026-七年级-数学）的最小值为______ 4．（2026-七年级-数学）如果是有理数，那么的最小值为______． 5．（2026-七年级-数学）的最小值为_________． 类型5 绝对值之差求最大值 1．（2026-七年级-数学）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 2．（2026-七年级-数学）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 类型6 利用隐藏最值求最值 1．（2026-七年级-数学）已知，求的最大值与最小值的差是_______． 2．（2026-七年级-数学）若有理数，，满足，则的最小值是_________． 3．（2026-七年级-数学）已知，则的最大值为_________；的最小值为_________． 考向18 利用绝对值的意义分类讨论 或， 为1； 为-1； 或0. ①同为正数，值为； ②同为负数，值为； ③异号，值为； 注：无需讨论具体数的符号 1．（2026-七年级-数学）已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为_______． 2．（2026-七年级-数学）若有理数m，n，p满足，则_______． 3．（2026-七年级-数学）若，则的值是______． 4．（2026-七年级-数学）已知，且，则m的最小值是______． 5．（2026-七年级-数学）我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 考向19 利用分类讨论思想解决多绝对值问题 1．（2026-七年级-数学）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 2．（2026-七年级-数学）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 3．（2026-七年级-数学）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：    (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______．    (4)若，，，，，则式子的最小值为______． 4．（2026-七年级-数学）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 考向20 绝对值中最值问题 1．（2026-七年级-数学）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么，，计算结果最小的是（　　　） A． B． C． D．根据，，的值才能确定 2．（2026-七年级-数学）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2026-七年级-数学）若，则代数式在的最小值是(   ) A． B． C． D．一个与有关的整式 4．（2026-七年级-数学）已知a，b，c为3个自然数，满足，其中，则的最大值是 ． 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $