专题03 与绝对值有关的化简求解问题（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 围绕绝对值化简求解，构建“概念-技巧-应用”三级体系，通过分层题型与地域真题，系统培养符号意识、几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型突破|5题型（3-4题/题型）|多重符号化简（奇负偶正）、非负性应用（非负数和为零则各数为零）、数轴化简（符号判断→去绝对值）、几何意义（距离公式及最值分析）|从绝对值定义（非负性）→符号化简→数轴表示→几何意义，形成概念生成-技巧迁移-综合应用链| |综合攻坚拔高|12题（选择4/填空4/解答4）|分类讨论（参数符号分析）、跨知识整合（相反数/数轴综合）|以核心方法为轴，整合易错点与中考考向，提升综合解题能力|

专题03 与绝对值有关的化简求解问题 常考题型·精准突破 题型1 化简多重符号（重） 题型2 绝对值的非负性（高频） 题型3 利用数轴化简绝对值（高频） 题型4 利用数轴化简绝对值（难） 题型5 绝对值的几何意义（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 化简多重符号 1．（2025七年级上·全国·专题练习）化简：_______． 2．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）化简：_____． 3．（25-26七年级上·山东德州·期中）___________． ◆题型2 绝对值的非负性 4．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）若，则的值为_________． 5．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）如果，那么的值为____． 6．（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）若  ，则的值为___________． ◆题型3 利用数轴化简绝对值 7．（25-26七年级上·重庆万州·期中）按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 8．在数轴上，，，对应的数如图所示，．    (1)确定符号：______0，______0，______0，______0，______0；（填“ ”、“”、“”） (2)化简： (3)化简：．   9．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知有理数a，b，c，满足a，b互为相反数，，． (1)若，，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c． (2)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (3)若，化简式子：． ◆题型4 利用数轴化简绝对值 10．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且． (1) _____0，_____0，_____0（请用“”“”填空）； (2)化简：． (3)化简：的值． 11．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）我们知道在化简的时候，需要判断的正负，当时，；当时，．请回答下列问题． (1)已知在数轴上的位置如图所示，则________，________，化简：________． (2)若，且，求的值． (3)若，则_______． 12．（25-26七年级上·广东茂名·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． ◆题型5 绝对值的几何意义 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 14．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 15．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·贵州·开学考试）若，，则下列结论正确的是（    ） A．是负数，是正数 B．是正数，是负数 C．是负数或，是正数或 D．是正数或，是负数或 2．（2026·海南·三模）海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 6．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 7．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 8．（25-26七年级上·全国·阶段检测）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ________．（填序号） 三、解答题 9．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）（1）若a，b两数在数轴上的表示如下：那么请根据图形化简代数式； （2）若有理数a，b满足，求（1）中化简后式子的值． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）数轴上点表示的数为，若点到原点的距离为，则 ；若点表示的数为，点到点的距离为，则 ； （2）若，则 ； （3）若，，，求的值； （4）若与互为相反数，求的值． 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 12．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3与绝对值有关的化简求解问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1化筒多重符号（重） 题型2绝对值的非负性（高频） 题型3利用数轴化筒绝对值（高频） 题型4利用数轴化筒绝对值（难） 题型5绝对值的几何意义（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1化简多重符号 1.-2 2.2 3.-2 ◆题型2绝对值的非负性 4.-1 5.9 6.1 ◆题型3利用数轴化筒绝对值 7. 【答案】(1)-2x+9 (2)3c 【详解】(1)解：2<x<3, 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-6>0,5x-15<0, ∴3x-6+5x-15=3x-6-(5x-15)=-2x+9 (2)解：由数轴可知：a<b<0<c, ∴a+b<0,c-b>0,a-c<0, a-2a+b+2c-b+a-c =-a+2(a+b)+2(c-b)-(a-c) =-a+2a+2b+2c-2b-a+c =3c 8 【答案】(1)<；<；>；=：< (2)-a+c+b 3)b+c 【详解】(1)解：观察数轴得：a<b<0<c, =ld, ∴.b+c=0,a-c<0, 故答案为：<；<：>：=；<： (2)解：1a+d- =-a+c-(-b) =-a+c+b: (3)解：，b+c=0,c>0, .b+2c>0, ..a-a-c+b+2c =-a-(c-a)+(b+2c) =-a-c+a+b+2c =b+c 9.( 【答案】(1) 如图，有理数a,b,c在数轴上表示， 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 上 6 5432101克345 (2)<,>,<: 3)-2a 【详解】(1)解：，a=-2,Cc=-5,a,b互为相反数， b=2: (2)解：，a,b互为相反数， .a+b=0, a<0, b>0, :ac>0,l4>la,a<0, .c<a<0, ∴.c+b<0,a-c>0,a-b<0, 故答案为：<，>，<； (3)解：若a<0,由(2)得：c+b<0,a-c>0,a-b<0, :.a-b+c+b-a-c=-(a-b)-(c+b)-(a-c)=-a+b-c-b-a+c=-2a, :.a-b+c+b-a-c=-2a. ◆题型4利用数轴化简绝对值 10. 【答案】(I)>；<;< (2)0 (3)1 【详解】(1)解：从数轴可知：c<b<0<a,<a<d, ∴abc>0,c+a<0,c-b<0, 故答案为：>：<：<. (2)解：c<b<0<a, @+2b-6=8+26-9=1-2+1=0 三一十 abc a-b-c 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)解：c<b<0<a,l<a<d b-a<0,b-c>0,c+a<0, b-a,c-b c+a a-b "b-cc+a =a-b.c-b c+a a-b b-c -c-a =1-c-b,c+a c-b c+a =1-1+1 =1 11. 【答案】(1)1，-1,2a-2b (2)46或52 (3)-1或3 【详解】(1)解：根据数轴可知：c<b<0<a,>a>, 81，gg4 a-b>0'b+c<0'a+c<0'aa ∴.a-bl+b+c-a+c =a-b-(b+c)+(a+c) =a-b-b-c+a+c =2a-2b: (2)解：a=7,b=3, .a=±7，b=t3, ..a-b=b-a, .b>a, ∴a=-7,b=3. ∴当a=-7,b=3时，a2-b=(-7)}2-3=46: 当a=-7,b=-3时，a2-b=(-7}-(-3)=52: (3)解：，a+b+c=0, ..b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c, ..abc>0, 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a、b、c中有2个负数， 当a、b为负数，c为正数时： b+ca+c_a+b=-0+-b-c=3. a阿 c-a-b c 当a、c为负数，b为正数时： b+ca+c_a+b=-a+-b_-c=-1, abd-a b-c 当b、c为负数，a为正数时： b+c+a+c_a+b-0+b-c=-1. a-b-c b+c+a+c_a+b≥3或1 综上分析可知：adlc 12. 【答案】(1)P,<,< (2)2a-2b (3)±1 【详解】(1)解：由数轴知：c<b<0<a且bklaklel, a-b>0,b+c<0,a+c<0, 故答案为：>，<，<； (2)解：a-b>0,b+c<0,a+c<0, .a-b+b+c-a+c =a-b-b-c+a+c =2a-2b: (3)解：x+y+z=0,z≠0， x+y+区=1-1-1=-1： :当x”y2中一正两负时，x+y+: lx+ly+z=1+1-1=1, 当x'y:z中两正一负时，X+少+： ☒以+日= 综上所述，x+yz 故答案为：±1. 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5绝对值的几何意义 13 【答案】(1)5-3到，8 (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数-3的点之间的距离，-5或-1 【详解】(1)解：数轴上表示数-5的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为5-3到或3-(-5列， -5-3=-8=8或3-(-5)=3+5=8，故结果是8： (2)解：a-3表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若la-3=2,则a=3+2=5或a=3-2=1: (3)解：a-（-3)表示：在数轴上表示数a的点和表示数-3的点之间的距离，若a-(-3=2,则 a=-3-2=-5或a=-3+2=-1 14. 【答案】(1)2(2)-4或2：(3)7：(4)3 【详解】解：(1)数轴上点A,B对应的数分别是a,b,则AB=a-b, 由题意得，AB=3-1=2, 故答案为：2： (2)由题意得，x-(-1=3, 即x+1=3 解得x=-4或x=2, 故答案为：-4或2： (3)在数轴上表示a的点位于-4和3之间（包含两端）， ,la+4+la-3=a-（-4)+la-3, “式子a+4+a-3到表示a对应的点分别到-4、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于-4和3之间（包含两端）时，距离之和为4-3=7， 即la+4+la-3到的值为7： (4)式子-3到+r-6表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 6112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时最小值为6-3=3， 故答案为：3 15. 【答案】(1)2；12； (2)d=a-b: 3)-2,-1,0,1,2,3: (4)4或-10： (5)有最大值9和最小值-9 【详解】(1)解：当a=6,b=-4时，A、B两点的距离为6-(4)-2=2： 当a=2,b=-10时，A、B两点的距离为2-(-10)12=12： 故答案为：2；12： (2)解：由数轴上两点距离的定义，可得d和a、b的数量关系为d=a-:故答案为：d=a-b: (3)解：x+2+x-3表示数轴上表示x的点到表示-2和3的点的距离之和，当x在-2和3之间（包括端 点)时，距离之和最小，此时整数x为2，-1,0,12,3；故答案为：-2，-1,0,1,2,3： (4)解：r+4+x-3x-(-a+x-,其几何意义是数轴上表示x的点到表示-a和3的点的距离之和， 当x在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为3-(-aa+3=7, 则a+3=7或a+3=-7,解得a=4或a=-10: 故答案为：4或-10： (5)解：x+3到表示数轴上点x到-3的距离，x-6表示数轴上点x到6的距离. ①当点x在-3的左侧， x+3=-3-x,x-6=6-x, .x+3x-6=(-3-x)-(6-x)=-9; ②当点x在-3与6之间（包含端点）， x+3=x+3,x-6=6-x, ∴x+3x-6=(x+3)-(6-x)=2x-3, 此时-9≤2x-3≤9； 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③当点x在6的右侧， x+3=x+3,x-6=x-6。 x+3-x-6=(x+3)-(x-6)=9 综上，式子x+3x-6有最值，最大值为9，最小值为-9. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.C 2.D 3.C 4.A 二、填空题 5.1 6.3a 7.-5或1/1或-5 8.②③④ 三、解答题 9. 【答案】(1)2b+3:(2)-197 【详解】解：(1)由数轴可得-2<b<-1,1<a<2,la> a+b>0,a-1>0,b+2>0, ∴.la+b-a-1+b+2 =(a+b)-(a-1)+(b+2) =a+b-a+1+b+2 =2b+3 (2)·:la-2015≥0，b+100≥0，且la-2015+b+100=0, 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.la-2015=0,b+100=0, .a-2015=0,b+100=0. .a=2015,b=-100, “原式=2b+3=2×(-100)+3=-197 10: 【答案】(1)±5；-4或6；(2)7或-3；(3)5或7；(4)8 【详解】解：(1)由题意，a=5, a=1-5=-4或a=1+5=6 故答案为：5；-4或6： (2).la-2=5. .a=2+5=7或a=2-5=-3: 故答案为：7或-3. (3)a+1=2, ∴a=1或-3. 2b-1=7, ∴2b-1=±7， .b=4或-3. .a<b. …a=1或-3，b=4 当a=1,b=4时，la+=+4=5； 当a=-3,b=4时，1a+b=-3+4=3+4=7. d+=5或7. (4)依题意，得a+3+b-5=0 ,又+3≥0且b-20, .a+3=0且b-5=0, ∴a=-3,b=5, ∴a-bl=-8=8 11. 9/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)1：-1；0 (2)-1 3)1 【韩解】)解：当。0时，司-。 a=a=-1 当a<0时，-a 当abl=-ab时，可得a,b异号， a b 当a>0'6<0时，可 1-1=0 与，060同司-41-0， a+b=0 所以当lab=-ab时，a可0， 故答案为：1；-1；0： (2)解：a+b+c=0 ..b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c, b+c,a+c,a+b -a,-b-c a+4a阿阿， .a+b+c=0,abc<0, ∴.a,b,C三个有理数有两个正数一个负数， 假设a>0,b>0,c<0 lac a b'-c (3)解：a+b+c=0, .-b=a+c, a+c<0, .-b<0, .b>0, 2a+b+c,a+2b+c,a+b+2c a b ata+b+cb+a+b+c.c+a+b+c 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b c a同闪· a>0,c<0,b>0 a,bc=a+b+C=1+1-1=1 ,原式a+问闪a方e 12. 19 35 【答案】(1)-24-10：10：(2)-22或2？-7：(3)34-10：(4)3秒或3秒. 【详解】解：(1)：la+24+b+10+(c-10)2=0, ∴.a+24=0,b+10=0,c-10=0. ∴a=-24,b=-10,c=10. 故答案为：-24，-10,10： (2)【初步运用】：x-(-10=12, 即x+10=-12或x+10=12, 解得：x=-22或x=2. x-(-24=x-10, 即x+24=10-x或x+24=x-10(不符合题意，舍去)， 解得：x=-7」 故答案为：-22或2，-7： (3)【延伸探究】：根据题意得：若式子x-（-24+K-10取最小值时，最小值是-24-10=34： 当式子-（-24+r-（-10+r-10取最小值时，x=-10. 故答案为：34，-10： (4)【拓展探究】：当运动时间为（秒时，点P表示的数为10-3t, 根据题意得：10-3-(-10)+0-3t-(-24)=16, 20-3t+34-3t=16 ①当点P在B右侧时： 即20-31+34-3t=16 -6t=-38 3 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当点P在A左侧时： 3t-20+3t-34=16, 6t=70 3 3· 1935 综上所述：当点p运动3或3秒时，动点p到点B点4的距离之和为16 12/12 专题03 与绝对值有关的化简求解问题 常考题型·精准突破 题型1 化简多重符号（重） 题型2 绝对值的非负性（高频） 题型3 利用数轴化简绝对值（高频） 题型4 利用数轴化简绝对值（难） 题型5 绝对值的几何意义（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 化简多重符号 1．（2025七年级上·全国·专题练习）化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号．从内向外依次计算括号内的表达式，利用负负得正的规则进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）化简：_____． 【答案】2 【分析】本题考查了符号的化简，解题的关键是按照从内到外的顺序逐步化简多重符号． 从内向外逐层化简，利用有理数的符号法则即可解答． 【详解】解： 故答案为：2． 3．（25-26七年级上·山东德州·期中）___________． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号． 从内向外逐步化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． ◆题型2 绝对值的非负性 4．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）若，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了非负性的性质，解决本题的关键是求解出a与b的值． 利用绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分为零，求出a和b的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）如果，那么的值为____． 【答案】9 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值，准确的计算是解决本题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴， ∴，． 则． 故答案为：9． 6．（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）若  ，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项均为零，由此可求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 且， ∴ ， ∴， 解得， ∴ ． 故答案为：1． ◆题型3 利用数轴化简绝对值 7．（25-26七年级上·重庆万州·期中）按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有数轴判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据题意判断出，，再化简求值即可； （2）先根据数轴上字母的位置判断出，再得到，，，从而化简求出结果即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由数轴可知：， ，，， ． 8．在数轴上，，，对应的数如图所示，．    (1)确定符号：______0，______0，______0，______0，______0；（填“ ”、“”、“”） (2)化简： (3)化简：．   【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】（1）观察数轴得：，再由，可得，，即可； （2）先根据绝对值的性质化简，再合并，即可； （3）先根据绝对值的性质化简，再合并，即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∵， ∴，， 故答案为：；；；；； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴， ∴ ． 9．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知有理数a，b，c，满足a，b互为相反数，，． (1)若，，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c． (2)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (3)若，化简式子：． 【答案】(1) 如图，有理数a，b，c在数轴上表示， (2)，，； (3) 【分析】本题主要考查相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简，利用已知条件推导大小关系是解题的关键． （1）先根据相反数求得b，进而画出数轴表示a，b，c即可； （2）根据有理数的加减及正负数判断即可求解； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可． 【详解】（1）解：∵，，a，b互为相反数， ∴； （2）解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， 故答案为：，，； （3）解：若，由（2）得：，，， ∴， ∴． ◆题型4 利用数轴化简绝对值 10．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且． (1) _____0，_____0，_____0（请用“”“”填空）； (2)化简：． (3)化简：的值． 【答案】(1)；； (2)0 (3)1 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负以及化简绝对值等知识． （1）根据数轴可知，，进而可判断式子的正负． （2）根据数轴可知，进而可化简绝对值． （3）根据数轴可知，，进而可化简绝对值． 【详解】（1）解：从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：；；． （2）解：∵， （3）解：∵， ∴，，， 11．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）我们知道在化简的时候，需要判断的正负，当时，；当时，．请回答下列问题． (1)已知在数轴上的位置如图所示，则________，________，化简：________． (2)若，且，求的值． (3)若，则_______． 【答案】(1)1，， (2)46或52 (3)或3 【分析】本题主要考查了绝对值意义，数轴，代数式求值，熟练掌握绝对值意义，是解题的关键． （1）根据在数轴上的位置得出，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，根据得出，即可得出，，然后代入求值即可； （3）根据，得出，，，根据得出、b、c中有2个负数，然后分类讨论，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知：，， ∴，，，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴、b、c中有2个负数， 当a、b为负数，c为正数时： ； 当a、c为负数，b为正数时： ； 当b、c为负数，a为正数时： ； 综上分析可知：或． 12．（25-26七年级上·广东茂名·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【答案】(1)>，<，< (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简． （1）根据数轴可得且，即可判断所求式子的正负； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可； （3）根据，，可知，，中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：且， ，，， 故答案为：，，； （2）解：，，， ； （3）解：，， 当，，中一正两负时，； 当，，中两正一负时，， 综上所述，． 故答案为：． ◆题型5 绝对值的几何意义 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 14．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 15．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·贵州·开学考试）若，，则下列结论正确的是（    ） A．是负数，是正数 B．是正数，是负数 C．是负数或，是正数或 D．是正数或，是负数或 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质得到，，然后判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是负数或，是正数或． 2．（2026·海南·三模）海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偏差的绝对值越小，说明足球质量与标准质量的差距越小，即可判断． 【详解】解：∵，，，，且， ∴对应足球最接近标准质量． 3．（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须为零，那么得到且，求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ 且， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ ， 故选：C． 4．（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 二、填空题 5．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 6．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 7．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 8．（25-26七年级上·全国·阶段检测）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，平方差公式，熟练掌握绝对值的几何意义和有理数的运算法则是解题的关键．对于①，当时，即可判断；对于②，根据条件可推出，，则，然后化简绝对值，即可判断；对于③，根据，结合数轴，分类讨论得出a、b的符号，即可判断；对于④根据条件可推出且，，，进而化简绝对值，即可判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误， 对于②：∵ ， ∴与同号， 又， ∴，， ∴， ∴，故②正确， 对于③：∵，则有四种情况： i、如数轴所示，    此时， ∴， ∴； ii、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； iii、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； iv、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； 综上，若，则，故③正确； 对于④：∵， ∴与同号， 又，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，故④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题 9．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）（1）若a，b两数在数轴上的表示如下：那么请根据图形化简代数式； （2）若有理数a，b满足，求（1）中化简后式子的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示及其应用，整式的加减混合运算，绝对值的非负性，熟练掌握根据点（或数）在数轴上的位置判断出式子的正负是解题关键． （1）由数轴可得，，从而得到，，，再根据绝对值的性质对式子化简即可； （2）根据绝对值的非负性求出a，b的值，再代入（1）中化简后的式子即可解答． 【详解】解：（1）由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． （2）∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴原式． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）数轴上点表示的数为，若点到原点的距离为，则 ；若点表示的数为，点到点的距离为，则 ； （2）若，则 ； （3）若，，，求的值； （4）若与互为相反数，求的值． 【答案】（1） ；或6 ；（2）7或；（3）或7；（4） 【分析】本题考查两点间的距离，绝对值的意义，相反数，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据两点间的距离进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，进行求解即可； （3）根据绝对值的意义，进行求解即可； （4）根据两个相反数的和为0，结合绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，， 或 故答案为：；或6 ； （2）∵， ∴或； 故答案为：7或． (3)， 或． ， ， 或． ， 或，． 当，时，； 当，时，． 或7． （4）依题意，得 ，又且， 且， ，， ． 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法法则，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． （1）根据题意化简可得前两问，根据讨论的正负即可解答； （2）由已知可得，，，，，三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解； （3）得到，可得的正负性，根据题意可得，根据，，的正负即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，可得异号， 当，时，， 当，时，， 所以当时，， 故答案为：；；； （2）解：， ，，， ， ， ，，三个有理数有两个正数一个负数， 假设， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 原式． 12．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图，数轴上有，，三个点，，，对应的数分别是，，，且满足． （1）则______，______，______． 【阅读材料】在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （2）若式子，则______；若式子，则______． 【延伸探究】 （3）若式子取最小值时，最小值是______；当式子取最小值时，则______． 【拓展探究】 （4）若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，当点运动多少秒时，动点到点、点的距离之和为． 【答案】（1），，；（2）或，；（3），；（4）秒或秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，，的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可得出，，的值； （2）【初步运用】解方程及，即可求出结论； （3）【延伸探究】利用“奇点偶段”，即可找出的最小值以及当式子取最小值时的值； （4）【拓展探究】当运动时间为秒时，点表示的数为，根据动点到点、点的距离之和为，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， 故答案为：，，； （２）【初步运用】：， 即或， 解得： 或 ， 即或（不符合题意，舍去）， 解得：． 故答案为：或，； （3）【延伸探究】：根据题意得：若式子取最小值时，最小值是； 当式子取最小值时， 故答案为：，； （４）【拓展探究】：当运动时间为秒时，点表示的数为， 根据题意得： ， ①当点在右侧时： 即 ②当点在左侧时： ， ． 综上所述：当点运动或秒时，动点到点、点的距离之和为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $