专题3.3 抛物线（七大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以抛物线定义为核心，通过七类题型系统覆盖轨迹方程、位置关系等综合应用，构建从概念到探究的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|6题|焦点准线距离转化|概念生成基础，支撑后续轨迹与位置关系| |轨迹方程|8题|结合圆、垂直平分线等几何条件|定义的直接应用，体现几何直观| |位置关系|4题|焦点弦、垂直证明等综合|代数运算与几何性质结合，培养推理能力| |中点弦|6题|中点坐标与斜率关系|韦达定理应用，衔接方程思想| |最值范围|4题|距离、面积等动态问题|函数思想与不等式结合，发展数学思维| |三角形四边形|8题|面积、周长计算|几何图形与抛物线交汇，提升空间观念| |开放性问题|4题|探究定值、定点|高阶思维训练，培养创新意识|

专题3.3 抛物线 题型一 抛物线的定义 题型二 抛物线的轨迹方程 题型三 直线与抛物线的位置关系 题型四 中点弦问题 题型五 最值与范围问题 题型六 抛物线中的三角形、四边形问题 题型七 开放性与探索性问题 题型一：抛物线的定义 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 5．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 6．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 题型二：抛物线的轨迹方程 1．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·吉林延边·期中）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 6．（2025·江西新余·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为：_______． 7．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 8．在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值． 题型三：直线与抛物线的位置关系 1．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 2．（25-26高二上·江西九江·期末）设抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交于，两点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的斜率； (2)若，求的面积. 3．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 4．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 题型四：中点弦问题 1．（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·广东广州·三模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 6．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 题型五：最值与范围问题 1．（25-26高二上·江西·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 2．已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 3．已知点及抛物线上一点满足的最小值为. (1)求； (2)过点作两条直线分别交抛物线于点，，并且都与动圆相切，若直线经过点，求的最小值. 4．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知抛物线经过点是上的动点，且直线的倾斜角为锐角. (1)求的焦点坐标； (2)为坐标原点，当的面积为12时，求点的坐标； (3)过点作的垂线，与的另一个交点为，求点的横坐标的最大值. 题型六：抛物线中的三角形、四边形问题 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·广东湛江·二模）已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 6．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 7．（2026·江西九江·二模）在古镇旅游时，某同学观察到一扇破损木门的外轮廓可近似拟合为抛物线，工匠采用等腰三角形结构对破损部位进行木板加固处理．已知等腰三角形的顶点位于木门的中轴线上，腰为，底为3m，且其底边恰好经过抛物线的焦点．若木门水平方向最大宽度为3.4m，则木门的高为__________m． 8．（25-26高三下·山东烟台·开学考试）已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则周长的最小值为______． 题型七：开放性与探索性问题 1．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 3．（2026·湖北武汉·三模）已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 4．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 抛物线 题型一 抛物线的定义 题型二 抛物线的轨迹方程 题型三 直线与抛物线的位置关系 题型四 中点弦问题 题型五 最值与范围问题 题型六 抛物线中的三角形、四边形问题 题型七 开放性与探索性问题 题型一：抛物线的定义 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 3．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【详解】如图所示，过点作，交于，与轴的交点为， 根据抛物线定义得， 因,则与相似， 则， 因，， 代入得,解得. 5．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【难度】0.6 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 6．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【难度】0.75 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 题型二：抛物线的轨迹方程 1．若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、利用抛物线定义求动点轨迹、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 2．（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 3．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 4．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 5．（25-26高二上·吉林延边·期中）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 6．（2025·江西新余·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为：_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程 【分析】根据给定条件，借助几何关系及抛物线定义求出点的轨迹方程，再按是否在点的轨迹内分类求解. 【详解】延长到使，由，得四边形为平行四边形， 又，则为菱形，过作轴，垂足为，直线， 则，又，，于是的轨迹为抛物线：， ①在内部，过作轴交于点，而轴， ，为定值，则当共线时，有最小值， 设，，而，整理得； ②在及外部，当共线时，有最小值3，即， 设，则，而，整理得 所以曲线的方程为：． 故答案为： 7．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 8．在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值． 【答案】(1) (2)8. 【难度】0.4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】（1）先判断动点的轨迹是抛物线，再根据抛物线的定义求的值. （2）设，，，且，根据直线，与圆相切，得到m，n是方程的两根，利用一元二次方程根与系数得关系，求出，再利用基本（均值）不等式求的面积最小值． 【详解】（1），由题意：点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且. 所以抛物线的标准方程为：. 即：. （2）如图： 设圆圆心为，设，，，且， 则直线PR的方程为，即， 因为直线PR与圆相切，所以圆心C到直线PR的距离等于1， 即，化简可得，即． 同理直线PQ与圆相切，所以 所以m，n是方程的两根． 由韦达定理可得， ，又因为：， 所成，所以， 因为，所以，当且仅当取等号． 题型三：直线与抛物线的位置关系 1．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据列出关于的方程，即可求解； （2）充分考虑直线的斜率是否存在，易得斜率不存在时满足题意，当斜率存在时，设直线，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦半径公式即可证明； 【详解】（1）由题意得，因为点满足， 则，解得． 故，准线方程：． （2）当直线的斜率不存在时，此时轴， 由（1）得，将代入到，解得， 则，， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在且不为0时，设直线，如图： 联立，消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． 2．（25-26高二上·江西九江·期末）设抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交于，两点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的斜率； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)4 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合点到直线距离公式进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合（1）的结论、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意得，，即. 所以：. 设直线：，，. 由，得， 则，得， 由点到直线的距离为， 解得，满足. 故直线的斜率为. （2），， 结合（1），得，所以， 故的面积为. 3．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 证明：设， 分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得， 此时， 所以，是直角三角形， 第二种：直线：，与联立得： ， ， ，，所以， 又因为与异号，或不符合题意， 因为， 所以， 所以△为直角三角形. 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）分两类情况第一种：直线垂直于轴，其方程为，与联立得方程，再结合可证明， 第二种：直线：.与联立得方程，得到韦达定理，再结合可证明， 【详解】（1）由抛物线定义可知，P点轨迹为以为焦点， 以为准线的抛物线. 设的方程为：，则=1. 所以动点P的轨迹E的方程为. （2）略 4．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用抛物线标准方程中的几何意义进行求解即可； （2）根据三角形重心公式，结合待定系数法、方程联立法、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】（1）因为焦点到抛物线准线距离为2． 所以，因此抛物线的标准方程为； （2）当直线的斜率为零时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 设直线的方程为，将直线的方程和抛物线方程联立，得 ， 由题意可知， 设，于是有， 焦点的坐标为， 因为重心恰好是抛物线的焦点，所以有 ， 此时， 所以所在的直线方程为. 题型四：中点弦问题 1．（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的中点弦 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 2．（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的中点弦 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 5．（2026·广东广州·三模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.73 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、点和椭圆的位置关系、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的中点弦 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标并代入椭圆的方程即可. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，因此抛物线的方程为； 由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，得，又点在椭圆上， 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设点，由消去，得， 显然，，则线段的中点， 又点在椭圆上，则满足，整理得， 则，解得或，所以的坐标为或.    6．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【难度】0.65 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的中点弦 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. 题型五：最值与范围问题 1．（25-26高二上·江西·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求抛物线上一点到定点的最值、直线与抛物线交点相关问题 【分析】(1)根据题意，由抛物线的定义可得； (2)由抛物线的性质，当三点共线时，即最小； (3)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理与弦长公式即可得. 【详解】（1）由题意得点到的距离等于点到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线． 故的标准方程为． （2）设点到的准线的距离为，得． ． 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为． （3）易得的斜率不为0，设，，． 由得， 由，得． 由韦达定理得， 则， 所以的取值范围为．    2．已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 【答案】(1) (2)10 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求抛物线上一点到定点的最值、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）设直线的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合可求出的值，从而可求出抛物线方程； （2）由（1）知，，而，化简后可求出其最小值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立抛物线的方程得：， 恒成立， 设，，所以，． 又， 即，所以，即， 所以抛物线C的方程为． （2）由（1）知：，，， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为10． 3．已知点及抛物线上一点满足的最小值为. (1)求； (2)过点作两条直线分别交抛物线于点，，并且都与动圆相切，若直线经过点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）把的最小值转化为，求解即可； （2）设直线NQ 、 NP斜率分别为、，，由，求出，同理，由，得，因为NQ与NP都与圆C相切，所以直线NC是的角平分线， 求出直线NC的斜率为，所以的最小值即是点到直线NC的距离d，求出即可.. 【详解】（1）设抛物线的焦点为F，由题意得，即， 所以， 当且仅当M、P、F三点共线时取等号. 因为的最小值为， 所以，解得. （2）由（1）知，，故N在抛物线上，直线NQ 、 NP斜率都存在， 设直线NQ 、 NP斜率分别为、，， 则直线NQ的方程为， 由，可得， 所以，则，又Q在抛物线上， 所以，同理， 又直线PQ过点M，所以， 即，解得，即， 因为NQ与NP都与圆C相切，所以直线NC是的角平分线， 由题意知NC的斜率存在，设直线NC的斜率为k， 则，解得， 当时，NC过原点，此时直线不经过点，故舍去，所以， 所以直线NC的方程 , 所以的最小值即是点到直线NC的距离d，即， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查过抛物线上的点的直线与圆相切的综合应用，属于中档题. 解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 4．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知抛物线经过点是上的动点，且直线的倾斜角为锐角. (1)求的焦点坐标； (2)为坐标原点，当的面积为12时，求点的坐标； (3)过点作的垂线，与的另一个交点为，求点的横坐标的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.52 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点的坐标代入的方程可得； （2）设，求出直线与轴的交点，利用可得； （3）设，将直线的方程与抛物线联立，根据韦达定理得出，结合基本不等式求最值. 【详解】（1）将点的坐标代入的方程，得，解得 . 所以，焦点坐标为 . （2）设，，则， 由题意知，所以. 所以 ， 令得，即直线与轴的交点为. 所以，解得(舍去)， 此时点. （3）因为 ，所以，，则直线的方程为. 联立，消去，可得 ， 设，则， 所以. 要求的最大值， 先求的最小值， 因为 当且仅当，即时，等号成立， 所以点的横坐标的最大值为. 题型六：抛物线中的三角形、四边形问题 1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】切线长、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 2．（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 3．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】由题意可知，准线：，设，则，利用，可得到，再由的面积为，可解得的值. 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 4．（2026·广东湛江·二模）已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】由题意可得直线的方程，设点坐标为，求解到直线的距离，再求的最小值即可求解. 【详解】由题意直线的方程为，. 设点坐标为（）， 则到直线的距离为， 当且仅当时取等号，此时. 于是面积的最小值为. 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设平行于x轴的直线方程为，然后求出的坐标，进而判断四边形的形状，进而求出面积. 【详解】由题意可得，，设平行于x轴的直线方程为. 则，因为， 所以，化简解得. 根据对称性，不妨取，所以四边形为矩形， 所以四边形的面积为. 6．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 7．（2026·江西九江·二模）在古镇旅游时，某同学观察到一扇破损木门的外轮廓可近似拟合为抛物线，工匠采用等腰三角形结构对破损部位进行木板加固处理．已知等腰三角形的顶点位于木门的中轴线上，腰为，底为3m，且其底边恰好经过抛物线的焦点．若木门水平方向最大宽度为3.4m，则木门的高为__________m． 【答案】 【难度】0.57 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】设抛物线方程为，取线段中点，过作准线，垂足为，可得四边形为平行四边形，进而求出，直线，联立抛物线方程可求出，从而得解. 【详解】如图，设抛物线方程为， 取线段中点，过作准线， 垂足为，则轴，设， 则，而，则， 得，所以， 依题意，则，所以四边形为平行四边形， 则， 又因为， 所以， 所以， 直线，代入，得， 所以，， 故，令，故木门的高为. 8．（25-26高三下·山东烟台·开学考试）已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则周长的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】由已知条件可求出抛物线方程，进而得到焦点和，将的周长表示为，利用抛物线定义将转化为点到准线的距离，从而问题转化为求加上到准线距离的最小值，即到准线的距离. 【详解】已知抛物线的焦点，故， 由得，已知， 由两点距离公式： 平方整理得：，结合解得， 因此抛物线为，焦点，准线， ， 则的周长，即求的最小值， 由抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，即， 因此，当垂直于准线时，最小， 最小值为到准线的距离：， 因此周长最小值为. 故答案为： 题型七：开放性与探索性问题 1．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①设直线的方程为，直线与直线交于点，设，， 则， ， ， 联立， 得， ； ， 联立，得， 代入上式得：， ， 则有， （舍去）， 所以直线的斜率为定值． ②依题意，， 则， 由①知直线的方程为与抛物线的方程联立得， 所以，代入上式得， 故为定值． 【难度】0.35 【知识点】求抛物线的切线方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）先把点代入抛物线方程求出，再设过点的直线方程，此直线方程和抛物线联立方程组，利用相切得到判别式为零求出切线方程. （2）①依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线与直线交于点，设，，通过联立方程组，结合判别式和韦达定理求出直线的斜率为定值．②求出，，计算即可得到结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程，得，解得， 所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，与抛物线的方程联立得， 所以，即，得， 所以直线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【难度】0.28 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 3．（2026·湖北武汉·三模）已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.33 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由，求出点的坐标，代入抛物线方程求解即可； （2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，，由，，，四点共圆可得，从而得，代入的表达式，得，求解即可； （ⅱ）先求出点的横坐标，由三角形的面积可得，求出的范围即可得答案. 【详解】（1）因为点，则， 又， 则， 所以， 代入抛物线：， 得到，解得， 所以抛物线的方程为． （2）（ⅰ）因为直线方程为， 设，， 联立， 消得到， 则，， 当，，，四点共圆时， 则有，， 故，则， 所以， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，， 所以， 即， 整理得到， 又，所以， 故直线的方程为． （ⅱ）由，，得到直线：， 由，，得， 直线：， 联立方程， 解得， 由，， 得， 所以， 又 ， 当时，由，得， 又直线的斜率， 则， 所以， 故的取值范围为. 4．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 由题意得，．设． 联立化简得，而判别式． 解得，由焦半径公式得，． 若，则，则， 即，解得，与矛盾，故． (2) (3)对于一元四次方程， 设四个根为，则方程为， 则， 化简得， 可得，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则由弦长公式得， 解得，故，联立，解得或， 则，，令，则，即点在上． 对于点，有，即；对于点，有，即． 设，，将的外接圆方程可设为． 将，代入，可得， 化简得， 此四次方程的四个根恰为外接圆与的四个交点的参数，，，． 由韦达定理得，则．得到， 由题意得直线的斜率为， 代入，得． 此值与无关，故直线的斜率为定值． 【难度】0.39 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据抛物线的几何意义，结合直线与抛物线交点个数即可证明. （2）结合（1）问，得到与的值，直线互相垂直则意味着直线的方向向量数量积为零，进而构建方程即可求解. （3）将抛物线方程转化为参数方程，表示出外接圆表达式，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得为顶点，若，得到 而，可得， 由韦达定理得，，则， 解得或，当时，，此时不符合题意，舍去， 当时，，满足所有条件，故． （3）略 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $