第14练 抛物线（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦抛物线核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化定义应用与综合计算，适配同步教学巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题/26分|标准方程、定义、焦点弦、周长最小值|基础与综合结合，多选考查多维度辨析| |填空题|4题/20分|轨迹方程、焦点关系、椭圆交点、参数求解|注重定义转化与逻辑推理| |解答题|1题/14分|抛物线方程求法（结合直线与圆交点）|综合应用，需分类讨论焦点位置|

第14练　抛物线 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　　) A.y2＝x B.y2＝3x C.y2＝6x D.y2＝－6x 答案　C 解析　顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)， 由题意知，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x. 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M(m，2)到其焦点的距离为4，则p等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　因为点M(m，2)在抛物线y2＝2px(p>0)上， 所以4p＝2pm，得m＝2，又点M(2，2)到其焦点的距离为4，根据抛物线的定义知，2＋＝4，解得p＝4. 3.已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线l与C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为3，则AF＋BF等于(　　) A.8 B.7 C.5 D.随A，B两点坐标的变化而变化 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB的中点的纵坐标为3，所以y1＋y2＝6， 则AF＋BF＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝8. 4.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，M(3，2)，则△PMF周长的最小值为(　　) A.4 B.1＋2 C.3＋2 D.4＋2 答案　D 解析　 如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.过M作准线的垂线，交抛物线于点P，则△PMF的周长最小.最小值为3＋1＋＝4＋2. 5.(多选)已知点A(－2，4)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A.抛物线的准线方程为x＝2 B.抛物线的焦点坐标为(－2，0) C.点B的坐标为(－2，－2) D.△OAB的面积为8 答案　ABD 解析　将A(－2，4)代入抛物线方程可得p＝4，因此抛物线方程为y2＝－8x， 所以准线方程为x＝2，焦点坐标为(－2，0)，故A，B正确； 易知AF⊥x轴，所以B(－2，－4)，故C错误； 又因为AB＝8，且AB⊥OF，OF＝2， 所以S△OAB＝×8×2＝8，故D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹方程为　　　　　.  答案　y2＝8x 解析　因为点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，所以点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2，0)的距离，因此点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝8x. 7.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为O，经过点A(x0，2)，且F为抛物线C的焦点，若AF＝3OF，则p＝　　　　.  答案　 解析　因为点A(x0，2)在抛物线上，AF＝3OF， 所以x0＋， 所以x0＝p， 所以A(p，2)，所以4＝2p2， 解得p＝. 8.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，且抛物线C与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点为A，若AF⊥x轴，则p＝　　　　.  答案　 解析　由C：y2＝2px得F，所以A，又A在椭圆＋y2＝1上，代入可得＋p2＝1，解得p＝. 9.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A(x1，)，B(x2，－2)两点，则p＝　　　　.  答案　4 解析　将A(x1，)，B(x2，－2)两点分别代入抛物线方程， 可得()2＝2px1，(－2)2＝2px2，解得x1＝1，x2＝4，则A(1，)，B(4，－2)， 又抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F， 由题意可得，A，F，B三点共线， 则kAF＝kBF，即，解得p＝4. 三、解答题(共14分) 10.(14分)若抛物线经过直线y＝－x与圆x2＋y2－6x＝0的交点，且焦点在坐标轴上，求该抛物线的方程. 解　由 解得或 所以抛物线经过点(0，0)和(2，－2). 设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，其中m，n是非零常数， 把点(2，－2)分别代入得8＝2m，4＝－2n， 所以m＝4，n＝－. 所以抛物线的方程为y2＝4x或x2＝－y. 学科网（北京）股份有限公司 $