专题3.2 双曲线（十一大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题3.2 双曲线 题型一 双曲线的定义 题型二 双曲线方程的充要条件 题型三 求双曲线的标准方程 题型四 直线与双曲线的位置关系 题型五 中点弦问题 题型六 求双曲线的离心率与离心率的取值范围 题型七 双曲线中焦点三角形的面积与周长问题 题型八 渐进线相关问题 题型九 定点问题 题型十 定值问题 题型十一 开放性与探索性问题 题型一：双曲线的定义 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 4．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（　　） A．1 B．13 C．1或9 D．1或13 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）双曲线 上一点 到两焦点 的距离之和为 6，则 _____． 6．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 题型二：双曲线方程的充要条件 1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 2．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．双曲线的离心率大于的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．“，”是“曲线为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则（    ） A． B． C． D． 题型三：求双曲线的标准方程 1．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 6．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 7．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 8．（1）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求M的轨迹方程； （2）经过两点，，求双曲线标准方程． 题型四：直线与双曲线的位置关系 1．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 2．（2026·山东日照·一模）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）如果双曲线的两个焦点分别为，，一条渐近线方程为：. (1)求该双曲线的方程； (2)过焦点，倾斜角为的直线与该双曲线交于A，B两点，求. 4．（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 题型五：中点弦问题 1．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为______. 5．（25-26高二上·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 7．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 题型六：求双曲线的离心率与离心率的取值范围 1．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 2．已知双曲线的两条渐近线分别为，记上的动点到，的距离分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 题型七：双曲线中焦点三角形的面积与周长问题 1．（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 2．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 3．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右焦点为，平行于轴的直线交于、两点，长轴位于轴上的椭圆经过、、三点，其右焦点为．若的周长为10，则其面积为__________． 5．（2025·广东·一模）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为__________． 题型八：渐进线相关问题 1．已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东汕头·模拟预测）过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（ ） A． B． C． D． 5．（2026高三下·江苏·竞赛）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率，为正半轴上一点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若，则的值为________． 6．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 7．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 8．（2026·上海闵行·二模）在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 题型九：定点问题 1．（2026高三上·山东潍坊·专题练习）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：. （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为4，Q为双曲线上任意一点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 题型十：定值问题 1．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为， （i）若为双曲线的右顶点，求三角形的面积 （ii）若，求点的坐标. 3．（2024·浙江金华·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，求点的坐标. 4．（2024·河南洛阳·模拟预测）在以为坐标原点的平面直角坐标系中，直线交双曲线于A，B两点．为直线上一点且．点为直线与轴的交点． (1)求双曲线的渐近线方程和焦距； (2)若线段AB上一动点满足，求直线OM与ON的斜率之积． 题型十一：开放性与探索性问题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知平面内的动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)（i）已知点，若在上存在一点，使的值最小，求这个最小值； （ii）已知双曲线，点是曲线上的动点、过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，是线段的中点．求出动点的轨迹方程及面积的最大值． 2．（2026·河北保定·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 (1)求C的方程． (2)已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 3．（2026·河南周口·模拟预测）若，点，双曲线. (1)写出的坐标，并证明：对任意，点在双曲线上； (2)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，记的面积为（为坐标原点），求证：为定值； （参考公式：设三角形的三个顶点分别为，则三角形的面积）. (3)证明：. 4．（2026·陕西西安·三模）“八百里秦川尘土飞扬，三千万老陕齐吼秦腔”.秦腔脸谱是陕西传统文化的重要符号，其线条刚劲有力.某数学兴趣小组在研究秦腔脸谱中“包拯”额头的月牙图案时，发现其轮廓线可由椭圆与双曲线的部分弧线组合而成.已知曲线是椭圆的上半部分（含端点），曲线是双曲线的右支．已知椭圆的离心率为，且经过点；双曲线的渐近线方程为，且其右焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求曲线和的方程； (2)设F为双曲线的右焦点，过点F且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点.若（O为坐标原点）的面积为，求直线l的斜率； (3)在（2）的条件下，若Q是曲线上的动点，求面积的最大值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 双曲线 题型一 双曲线的定义 题型二 双曲线方程的充要条件 题型三 求双曲线的标准方程 题型四 直线与双曲线的位置关系 题型五 中点弦问题 题型六 求双曲线的离心率与离心率的取值范围 题型七 双曲线中焦点三角形的面积与周长问题 题型八 渐进线相关问题 题型九 定点问题 题型十 定值问题 题型十一 开放性与探索性问题 题型一：双曲线的定义 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 3．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 4．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（　　） A．1 B．13 C．1或9 D．1或13 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】首先确定、、，再根据双曲线定义，可求得，需注意的最小值. 【详解】双曲线，则，，， 所以， 又，解得或， 但是，所以. 故选：B 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）双曲线 上一点 到两焦点 的距离之和为 6，则 _____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【详解】已知双曲线焦点为，则， 设，已知， 由双曲线的性质可知， 由距离公式可得： ， ， ，解得， ，解得． 6．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 题型二：双曲线方程的充要条件 1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断方程是否表示双曲线 【分析】由题意判断，结合双曲线的标准方程即可判断出答案. 【详解】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 2．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断方程是否表示双曲线 【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可. 【详解】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 3．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、判断方程是否表示双曲线 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 4．双曲线的离心率大于的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】探求命题为真的充要条件、判断方程是否表示双曲线 【分析】由方程确定，求出后得离心率，列不等式可得范围． 【详解】由题意双曲线的离心率为，，． 故选：C． 5．“，”是“曲线为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断方程是否表示双曲线、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用充分必要条件的证明，结合双曲线的方程性质即可得解. 【详解】当，时，原方程为表示焦点在x轴上的双曲线， 当曲线为双曲线时，可得，推不出，， 所以“，”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 6．已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断方程是否表示双曲线、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用双曲线的定义、标准方程判断. 【详解】因为，所以， 又曲线表示焦点在轴上的双曲线， 所以 ，解得，故A，B，C错误. 故选：D． 题型三：求双曲线的标准方程 1．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 3．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 4．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用双曲线定义求方程 【分析】设，根据圆过点及与圆B外切得，利用双曲线的定义即可求解轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则， 所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，． 所以动圆圆心的轨迹方程为． 故选：A 5．已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】利用双曲线的定义可求方程. 【详解】由题意，因为,所以的轨迹是以为焦点的双曲线的一支， 设双曲线的方程为，则，所以； 故方程为. 6．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 7．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点，求点的轨迹方程； （2）已知椭圆的离心率为，且过点，求的方程． 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）利用双曲线的定义结合即可计算求解； （2）由椭圆的离心率公式及过定点即可求出标准方程. 【详解】（1）， 根据双曲线的定义可知点的轨迹为双曲线的右支， 焦点为，故，实轴长，所以， 故点的轨迹方程为； （2）因为椭圆方程为. ,， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 8．（1）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求M的轨迹方程； （2）经过两点，，求双曲线标准方程． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据双曲线过的点求标准方程 【解析】（1）由题意可得，化简即可求得其方程； （2）设双曲线的方程为，代入，的坐标，解方程即可得到所求双曲线的方程； 【详解】（1）因为点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数 所以得． 将上式两边平方，并化简，得． 即． （2设双曲线的方程为， 将点，坐标代入可得，且， 求得，． 双曲线的标准方程为． 【点睛】求轨迹方程的常见方法：定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等，解题时应根据题设条件灵活应用. 题型四：直线与双曲线的位置关系 1．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）先利用三角形面积为4，建立，两点坐标之间的等量关系；设中点的坐标，利用中点坐标公式将点坐标用，两点坐标表示，即可求出点的轨迹的方程； （2）联立方程组，分别根据弦长公式表示出，再根据点到直线的距离公式求出距离，根据面积为建立等量关系即可求出. 【详解】（1）解：设，，由题知， 则，    设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. （2）解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 2．（2026·山东日照·一模）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1) (2)由（1）得，即，分两种情况讨论： ① 当直线斜率不存在时，此时 的方程为，代入双曲线得， 即过，则， ② 当直线斜率存在时，设直线，不妨设， 联立直线和双曲线方程，消去得． 由韦达定理：， 计算可得， 代入韦达定理，结果化简得：， ， 综上，无论直线 斜率是否存在，为定值-1. 【难度】0.41 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线性质和等边三角形特点，结合勾股定理求出和，从而求出标准方程 （2）分斜率存在和不存在两种情况，分别计算，并验证是否为定值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为 ，则可得， 当 的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得， 又， 解得， 由是等边三角形可得， 即，联立解得或（舍）； 所以可得， 故双曲线的标准方程为 . （2）略 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）如果双曲线的两个焦点分别为，，一条渐近线方程为：. (1)求该双曲线的方程； (2)过焦点，倾斜角为的直线与该双曲线交于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据焦点坐标求得c，根据渐近线方程求得a和b的关系，进而根据a，b和c的关系求得a和b，则双曲线方程可得． （2）由题意可得，可求直线解析式，直线与双曲线联立，由韦达定理可得，即可求解. 【详解】（1）设双曲线方程为，由题意可得，解得，所以双曲线方程为. （2）因为该直线过焦点，倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线：，所以， 联立可得， 方程的判别式 设，，所以， 所以. 4．（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程、讨论双曲线与直线的位置关系、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程； （2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在. 【详解】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）略 题型五：中点弦问题 1．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用点差法可证，代入选项求和直线的方程，并判断直线与双曲线的位置关系，即可判断ABC；对于D：分析可知点在双曲线上，显然不合题意. 【详解】由双曲线方程可知：渐近线方程为， 设，，则， 可得直线的斜率，可得直线的斜率， 由题意可得：，两式相减可得， 整理可得，即. 对于选项A：若，则， 可得，即， 则直线l的方程为，即， 联立方程，消去y可得， 因为，可知直线l与双曲线不相交，故A错误； 对于选项B：若，则， 可得，即， 则直线l的方程为，即， 此时直线l与渐近线重合，可知直线l与双曲线不相交，故B错误； 对于选项C：若，则， 可得，即， 则直线l的方程为，即， 联立方程，消去y可得， 因为，可知直线l与双曲线相交，故C正确； 对于选项D：若，则， 可知点在双曲线上，不合题意，故D错误； 故选：C. 3．如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.38 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 4．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为， 由点差法可得，据此可得答案. 【详解】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为， 因，则. 又，两式相减并化简可得.即， 则双曲线渐近线方程为：. 故答案为：. 5．（25-26高二上·天津河西·期末）已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设出两点的坐标，利用点差法进行求解. 【详解】设，，则，，， 因为两点在双曲线上，所以， 两式相减得，则， ，故双曲线的渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故答案为：. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合双曲线定义可得或，然后由离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线定义可知，所以或， 当时，则有，所以， 又因为，即，所以， 所以；同理可得当时，. 7．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 题型六：求双曲线的离心率与离心率的取值范围 1．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 2．（2025高二上·安徽·竞赛）已知双曲线的两条渐近线分别为，记上的动点到，的距离分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，求出两条渐近线方程，根据点到直线的距离公式求出点P到，的距离之积，再根据点P到，的距离之积为，化简整理即可求出答案. 【详解】两条渐近线方程为：，设， 则点P到，的距离之积为，即， 所以． 3．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 4．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的对称性转化成焦点到渐近线的距离求解即可. 【详解】由双曲线的对称性可知不妨设直线l的表达式为，即， 点A，B到直线l的距离分别为，，由题意可知A，B关于C的右焦点对称， ，从而，得 从而C的离心率为. 题型七：双曲线中焦点三角形的面积与周长问题 1．（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】法一：设，，利用双曲线定义与余弦定理可计算出，再利用面积公式计算即可得解；法二：利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可得. 【详解】法一：设，，则由双曲线定义可得， ，则， ，即， 则，故. 法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得. 2．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（   ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 3．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由离心率结合四边形ABCD的面积为，可得，将直线与渐近线方程联立可得M，N两点坐标，由可得直线l与x轴交点Q的坐标，最后由结合为双曲线C上任意一点得答案. 【详解】因，则. 将代入双曲线方程，则. 则，则由对称性可得，则，. 由题可得四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD面积为. 从而.则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线l方程联立， 可得或， 则，. 令，可得直线l与x轴交点为. 则. 因为双曲线C上任意一点，则. 则. 故选：D 4．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右焦点为，平行于轴的直线交于、两点，长轴位于轴上的椭圆经过、、三点，其右焦点为．若的周长为10，则其面积为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦点坐标、椭圆中三角形（四边形）的面积、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设，可得，由椭圆定义可得，则可得，从而可得，即可求出面积. 【详解】由双曲线可得，设，则，有， 由该椭圆过点且长轴位于轴上，故该椭圆长轴长为， 由、两点关于轴对称，故与到椭圆左焦点距离相等， 故，因为的周长为10，所以， 则，有，解得， 故. 5．（2025·广东·一模）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由对称性可知，由得，设直线的方程为，联立可得，由弦长公式可得，进而由点到直线的距离可得到直线的距离为，进而可得的面积. 【详解】 如图，由双曲线的对称性可知，故， 设直线的方程为，， 由得， 由题意，， ， 整理得，由得， 故直线的方程为，即，则， 由题意，点到直线的距离为， 则， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是结合双曲线的对称性，由题中条件转化为，进而设直线的方程，联立方程后，利用弦长公式可得直线的方程，进而可得. 题型八：渐进线相关问题 1．已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】首先求双曲线方程，再根据条件求圆心，即可求解距离. 【详解】设双曲线方程为，代入点， 得，，所以双曲线方程为， 根据对称性不妨设圆经过双曲线的焦点，若过左顶点，则圆心所在的直线方程为与双曲线没有交点，所以应过右顶点， 所以圆心所在的直线方程为，代入，得， 所以圆心到双曲线中心的距离为. 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 3．（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】首先根据双曲线定义求出的长度，结合已知的，先在中利用余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理建立与的等量关系，最后借助双曲线中的关系求出的值，即可得到渐近线方程. 【详解】∵ 点在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，可得. 又∵ ，∴ 代入得. 设，∵ 点也在双曲线的右支上，同理可得. ∵ 直线过且与双曲线右支交于两点，故在线段上， ∴ ，即，为等腰三角形. 在中，由余弦定理得： ， 将，，代入上式： ， 整理得， ∵ ，，∴ 解得，即，. 在中，再次应用余弦定理： ， 其中，代入已知值： ， 计算得， 化简得. 又∵ 双曲线满足，代入得， 整理得，即. ∵ 双曲线的渐近线方程为，代入得：， 整理为标准直线方程形式得，故选D. 4．（2026·广东汕头·模拟预测）过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】求点关于直线的对称点、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先将直线和其中一条渐近线方程联立，求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出对称点的坐标，最后由于对称点恰好落在双曲线上，将的坐标代入双曲线的方程即可求解. 【详解】如图所示，令双曲线的右焦点为，， 由对称性，不妨设过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则直线的方程为，由，解得， 即点，由为线段的中点，得， 由点在双曲线上，得，即， 解得，因此，即， 所以双曲线的渐近线为，A正确. 5．（2026高三下·江苏·竞赛）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率，为正半轴上一点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若，则的值为________． 【答案】 【难度】0.48 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线向量共线比例问题 【分析】根据离心率得渐近线的倾斜角的正切值，然后解直角三角形. 【详解】设经过一三象限的渐近线斜率为，由离心率， 如图，设为负半轴上一点，根据对称性可知， 令，则有， 由倾斜角和斜率的关系，， 则， ，， 于是， 又，则. 6．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与平行，所以， 又因为双曲线的焦点为，且双曲线的一个焦点在直线上， 而直线与x轴的交点为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为：. 7．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【答案】或/或 【难度】0.54 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】利用对称性构造直角三角形，结合双曲线的定义和勾股定理列方程，即可求解出，进而得到渐近线的斜率. 【详解】设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，易得， 因为，所以，如图，令， 则，又， 在中，，即， 化简得（*）； 在中，，即， 化简得，将其代入（*），化简得，即， 所以双曲线的渐近线的斜率为. 8．（2026·上海闵行·二模）在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 【答案】 【难度】0.68 【知识点】直线的倾斜角、利用双曲线定义求方程、已知方程求双曲线的渐近线 【详解】由题可知以为焦点，则， 又点在双曲线上，由双曲线的定义可得：， 由双曲线的关系：可得， 设在轴上，则双曲线的渐近线方程为， 由可得两条渐近线的倾斜角为和， 根据直线夹角的定义可得两条渐近线的夹角为. 题型九：定点问题 1．（2026高三上·山东潍坊·专题练习）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：. （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）以AB为直径的圆恒过x轴上的定点. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据条件列式可求的值，可得双曲线的方程. （2）（ⅰ）设，，分别表示出，，，，结合三点共线，即可证明结论. （ⅱ）设直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理表示出，，，，利用圆的直径式得到以为直径的圆的方程，求其与轴的交点坐标即可. 【详解】（1）双曲线的右顶点为，渐近线为，即. 由题意：，. 所以双曲线的方程为：. （2）（ⅰ）如图： 因为双曲线的右焦点为，设，， 所以， 同理. 又， 同理. 欲证，只需证， 即 等价于 因为 . 因为点三点共线，所以， 所以， 整理得. 所以成立，故. （ⅱ）因为直线斜率不能为0，可设直线：. 由， 整理得：. 则，. 于是，. 以为直径的圆的直径式方程为， 令得：， 所以 所以. 所以不管取何值，都是方程的解. 即以为直径的圆恒过点. 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为4，Q为双曲线上任意一点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值. 【答案】(1) (2) 证明：因为由（1）知，双曲线的方程为， 所以两条渐近线方程为 和，即和. 由于Q为双曲线上任意一点，所以设， 则点到两条渐近线和的距离分别为. 所以，因为满足， 即，所以. 所以点到两条渐近线的距离之积为定值，定值为. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和虚轴长求出，进而得到双曲线的方程. （2）先列出双曲线渐近线方程，然后根据点到直线距离公式分别求出，然后将两者相乘并化简，进而可证明结论. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，所以，因为其虚轴长为4，即解得. 所以，所以双曲线的方程为. （2）略 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析， 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据渐近线的斜率和实轴长可求方程； （2）（i）联立方程，结合根与系数的关系式可求范围；（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系式，可得直线恒过点. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. 4．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据渐近线可得，即可代入点的坐标即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）根据渐近线方程为，故， 将代入可得，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且， 则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 题型十：定值问题 1．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2) 由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【详解】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）略 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为， （i）若为双曲线的右顶点，求三角形的面积 （ii）若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或或或 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）利用题中条件建立等式求解即可； （2）（i）根据题中条件直接求解即可；（ii）先建立等式，可知，然后和建立方程组，求出，的值，然后求点即可. 【详解】（1）双曲线实轴长为，故， 双曲线的一条渐近线方程为， 则，故双曲线的方程为. （2）（i）在三角形中，Q到渐近线的距离， 根据双曲线的对称性，， 所以 （ii）设，则，设Q到直线距离为， 同理，所以① 又因为②，由①②解得或， 当时，得或， 又，则或， 解得或，同理有或， 所以点或或或. 3．（2024·浙江金华·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或或或 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）先通过实轴长求出，再利用右焦点到一条渐近线的距离求出，则的方程可求； （2）设，根据点到渐近线的距离以及点在上列方程组求解即可. 【详解】（1）因为双曲线实轴长为，故， 双曲线的一条渐近线方程为， 则，故双曲线的方程为； （2）设，则， 不妨设Q到直线距离为， 同理， 所以① 又因为②， 由①②解得或， 当时，得或， 又，则或， 解得或，同理有或， 所以点或或或. 4．（2024·河南洛阳·模拟预测）在以为坐标原点的平面直角坐标系中，直线交双曲线于A，B两点．为直线上一点且．点为直线与轴的交点． (1)求双曲线的渐近线方程和焦距； (2)若线段AB上一动点满足，求直线OM与ON的斜率之积． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线的渐近线的概念及其焦距的概念即可求得答案； （2）先设，，联立直线和交双曲线即可得到关于一元二次方程，再根据韦达定理得到，，从而结合即可得到点的坐标，结合即可得到点的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）由双曲线，则，， 所以双曲线的渐近线方程为， 又，所以焦距为． （2）设，， 由，可得， 则， 所以，， 因为直线与双曲线交于轴上方的A，B两点， 所以，解得， 又为直线上一点且，即为的中点， 所以，， 所以，所以， 由点为直线与轴的交点，即， 又，可得，解得， 所以，所以，所以， 故直线OM与ON的斜率之积为． 题型十一：开放性与探索性问题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知平面内的动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)（i）已知点，若在上存在一点，使的值最小，求这个最小值； （ii）已知双曲线，点是曲线上的动点、过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，是线段的中点．求出动点的轨迹方程及面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i），的最小值为. （ii）， 【难度】0.42 【知识点】轨迹问题——椭圆、已知方程求双曲线的渐近线、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）因为已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比，结合两点间距离公式、点到直线距离公式列出等式，化简得到轨迹的方程。 （2）（i）因为轨迹是椭圆，先根据椭圆的第二定义，将转化为点到相应准线的距离，再将进行变形，利用几何意义找到最小值的取得条件，进而确定点的位置； （ii）把直线和渐近线联立，利用中点坐标公式得到点的轨迹，最后应用面积公式及点到直线距离公式结合二倍角公式计算最大值. 【详解】（1）由题意知，P到直线的距离， ，整理得. ∴轨迹的方程为. （2）（i）过点作，垂足为. 由题意知，得； . 为定点，为直线上的动点，当，即，，三点共线时取得最小值，即；的最小值. 此时点的纵坐标为1，则，解得. 点在第一象限，. 因此，，的最小值为； （ii） 设点，满足方程为， 过作的垂线，垂足为， 联立，计算得； 过作的垂线，垂足为， 联立，计算得； 因为是的中点，所以，所以， 所以动点的轨迹方程为. 先计算， 设斜率为正的渐近线倾斜角为， . 得； ，且，所以， 所以当时取的最大值. 2．（2026·河北保定·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 (1)求C的方程． (2)已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 【答案】(1) (2) （i）由（1）得：，设，其中， 因为所以， 则有， 又因为，所以，即， 代入上式可得： 若选①(O为坐标原点)， 则， 把代入上式可得： ，由， 则可得， 故点P在圆上． 若选②点P在圆上， 则， 由，可得 ， 故； （ii） 【难度】0.42 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、过圆内定点的弦长最值（范围）、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用双曲线的几何性质即可求解； （2）（i）利用向量的坐标运算，结合斜率公式即可证明；（ii）利用坐标关系，结合距离公式，即可化简求取值范围. 【详解】（1）由双曲线性质可知： ， 由，则， 焦点到渐近线的距离为， 再由， 所以双曲线的方程为：； （2）（i）略 （ii）若点P在圆上，则， 又由， 则 ， 因为，所以， 即， 因为，所以的最大值为. 3．（2026·河南周口·模拟预测）若，点，双曲线. (1)写出的坐标，并证明：对任意，点在双曲线上； (2)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，记的面积为（为坐标原点），求证：为定值； （参考公式：设三角形的三个顶点分别为，则三角形的面积）. (3)证明：. 【答案】(1)，，证明： 当时，，. 当时，，. ， ， ∴任意，点在双曲线上. (2)证明： 由（1）知， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 且. 不妨设是直线与直线的交点， 是直线与直线的交点. 联立，得. 联立，得. ， ， . ， . 即的面积为定值. (3)证明：， ， 即. 【难度】0.42 【知识点】三角形面积公式及其应用、判断点和双曲线的位置关系、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的定值问题 【分析】（1）分别令和，代入求解，可得的坐标，整理计算，可得表达式，代入化简，即可得证. （2）根据（1）可得直线的方程，求出直线与两渐近线的交点坐标，代入面积公式，化简整理，即可得证. （3）分别对和整理变形，即可得证 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．（2026·陕西西安·三模）“八百里秦川尘土飞扬，三千万老陕齐吼秦腔”.秦腔脸谱是陕西传统文化的重要符号，其线条刚劲有力.某数学兴趣小组在研究秦腔脸谱中“包拯”额头的月牙图案时，发现其轮廓线可由椭圆与双曲线的部分弧线组合而成.已知曲线是椭圆的上半部分（含端点），曲线是双曲线的右支．已知椭圆的离心率为，且经过点；双曲线的渐近线方程为，且其右焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求曲线和的方程； (2)设F为双曲线的右焦点，过点F且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点.若（O为坐标原点）的面积为，求直线l的斜率； (3)在（2）的条件下，若Q是曲线上的动点，求面积的最大值. 【答案】(1)方程：；方程： (2) (3) 【难度】0.48 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）使用待定系数法，通过椭圆与双曲线的定义，双曲线的渐近线求解； （2）设直线的方程并与双曲线方程联立，消元，韦达定理，表示弦长，利用三角形的面积求解； （3）利用椭圆方程设点的坐标，使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离最大值求解. 【详解】（1）由题意得： 解得 所以椭圆的方程为： 解得 所以双曲线的方程为：. （2）设直线的方程为， 得，设，， 由韦达定理得：，， 原点到直线的距离为， 则，解得， 所以直线l的斜率为： （3）由（2）知直线的方程为：，不妨取直线的方程为，即， ， 椭圆：，设 则点到直线的距离为： ，其中 ，当时，取最大值为， 所以面积的最大值为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $