第3章 再练一课(范围：§3.1～§3.2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦椭圆与双曲线的定义、几何性质及应用，通过概念辨析、性质计算、综合应用模块，系统提炼定义法、方程思想、点差法等解题方法，构建“概念-性质-应用”的逻辑链条，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-4题|条件关系判断、曲线方程形式转化|从椭圆/双曲线定义出发，推导标准方程成立条件，辨析参数关系| |性质计算|选择5-9题、填空10-12题|离心率公式应用、渐近线方程推导、焦点距离计算|以a,b,c关系为核心，关联离心率、渐近线、焦点到渐近线距离等几何性质| |综合应用|解答13-15题|待定系数法求方程、点差法解中点弦、函数法求面积最值|整合定义、性质与直线方程，解决方程求解、位置关系、最值问题，体现模型意识与应用意识|

再练一课(范围：§3.1~§3.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.条件p：m>0，n>0，条件q：方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，则p是q的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，则需要满足m>0，n>0且m≠n，因此p：m>0，n>0不能推出q：方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，q：方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆能推出p：m>0，n>0，故p是q必要且不充分条件. 2.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　) A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案　C 解析　设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，因为，所以＝4，则＝2，所以渐近线方程为y＝±x＝±x. 3.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6，过F1的直线交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0).依题意得，a＋c＝6，且4a＝16，∴a＝4，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，故椭圆C的方程为＝1. 4.若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是(　　) 答案　C 解析　原方程分别可化为 y＝ax＋b和＝1. 从B，D中的两椭圆看，a>0，b>0，但由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，应排除； 由D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，应排除； 由A中的双曲线可得a<0，b>0， 但由A中直线可得a>0，b>0，矛盾，应排除. 由C中的双曲线可得a>0，b<0， 由C中直线可得a>0，b<0，符合题意. 5.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为(　　) A. B.3 C.2 D.6 答案　D 解析　由题意，双曲线的一条渐近线为y＝－x，即bx＋ay＝0，设双曲线的右焦点为F(c，0)，c>0，则c2＝a2＋b2， 所以焦点到渐近线的距离d＝＝b＝3， 又离心率e＝，c2＝a2＋b2，解得a＝b＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6. 6.已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且PF2＝F1F2，则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　A 解析　在双曲线C：＝1中， a＝3，b＝4，c＝5， ∴F1(－5，0)，F2(5，0)，F1F2＝10. ∵PF2＝F1F2＝， ∴PF1＝2a＋PF2＝6＋. ∴在△PF1F2中， cos∠PF1F2＝， ∴sin∠PF1F2＝， ∴△PF1F2的面积为××10×. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知椭圆E1：x2＋4y2＝a2(a>0)和E2：y2＋4x2＝4a2(a>0)，则下列结论正确的是(　　) A.E1与E2的长轴长相等 B.E1的长轴长与E2的短轴长相等 C.E1与E2的离心率相等 D.E1与E2有4个公共点 答案　BC 解析　椭圆E1：x2＋4y2＝a2(a>0)，即＝1， 椭圆E2：y2＋4x2＝4a2(a>0)，即＝1， 则E1的长轴长为2a，短轴长为a，E2的长轴长为4a，短轴长为2a，故A错误，B正确； E1的离心率e1＝，E2的离心率e2＝，故C正确； 因为E1的长轴长与E2的短轴长相等，且E1的焦点在x轴上，E2的焦点在y轴上， 所以E1与E2有2个公共点，故D错误. 8.已知双曲线C：＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　) A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 答案　AC 解析　由双曲线C：＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，所以双曲线C的焦距为2c＝4，选项A正确；双曲线C的离心率为，选项B不正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，选项D不正确. 9.已知F是双曲线C：＝1的上焦点，A，B是C上的两点，则下列结论正确的是(　　) A.若F是AB的中点，则AB＝4 B.AF的最小值为4 C.点F到C的两条渐近线的距离的乘积为12 D.若AB的中点坐标为(2，8)，则直线AB的斜率为 答案　ACD 解析　对于A，由双曲线C：＝1，可得焦点在y轴上，a＝6，b＝2，c＝4，若F是AB的中点，则直线AB⊥y轴，又yF＝4，易求得AB＝4，A正确； 对于B，若点A在x轴上方，AF的最小值为c－a＝4－6，若点A在x轴下方，AF的最小值为c＋a＝4＋6，B错误；对于C，由题意得F(0，4)，，所以双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，所以点F到C的两条渐近线的距离的乘积为×＝12，C正确； 对于D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得＝0.因为AB的中点坐标为(2，8)，所以＝0，即，所以直线AB的斜率为，此时直线AB的方程为3x－4y＋26＝0，由联立，检验可知Δ>0，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.若椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线＝1的渐近线方程为　　　　.  答案　y＝±x 解析　因为e＝， 不妨设a＝4，c＝1，则b＝， 所以对应双曲线的渐近线方程为 y＝±x，即y＝±x. 11.如图，过圆柱其中一条母线上的点P分别作平面α，β，γ截圆柱得到椭圆C1，C2，C3.设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则e1，e2，e3由大到小依次为　　　　. 答案　e3>e1>e2 解析　方法一　设椭圆C1，C2，C3的长轴长分别为2a1，2a2，2a3，短轴长分别为2b1，2b2，2b3，焦距分别为2c1，2c2，2c3，由题意得a3>a1>a2，b1＝b2＝b3，则e1＝，e2＝，e3＝，由a3>a1>a2，b1＝b2＝b3，得<<，故e3>e1>e2. 方法二　根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆，由此可得e3>e1>e2. 12.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为　　　　.  答案　4 解析　由双曲线的对称性设点A位于x轴上方，如图所示，易知△PQF2∽△ABF2，P是AF2的中点，则2PQ＝AB，又△PQF2的周长为16， 所以△ABF2的周长为32， 令x＝－c，可得AB＝， 因为AF2＋BF2＋AB＝32，AF2＋BF2－AB＝4a， 所以＝32－4a，可得b2＝a(8－a)，又a∈(0，8)， 则＝－≤4， 当且仅当a＋1＝，即a＝2时等号成立. 故的最大值为4. 四、解答题(共37分) 13.(12分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)短轴长等于2，离心率等于的椭圆；(6分) (2)与椭圆＝1共焦点，且过点(4，5)的双曲线.(6分) 解　(1)由题意可知，短半轴长b＝， 离心率e＝， 因为a2＝b2＋c2，所以a＝2. 若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为＝1； 若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为＝1. (2)由椭圆＝1的焦点为(0，±3)， 可设双曲线方程为＝1(0<m<9)，将点(4，5)代入可得＝1(0<m<9)，整理可得，m2－50m＋225＝0. 解得m＝5或m＝45(舍去)，所以双曲线的标准方程为＝1. 14.(12分)经过点M(2，1)，是否存在直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且M为AB的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有＝1， ① ＝1， ② 由①－②整理得 (x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2). ∵M为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 代入上式得4(x1－x2)－(y1－y2)＝0， ∴kAB＝＝4. 故直线l的方程为4x－y－7＝0. 联立 得14x2－56x＋51＝0，Δ>0，故存在经过点M的直线l，且直线l的方程为4x－y－7＝0. 15.(13分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求椭圆E的方程；(5分) (2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程.(8分) 解　(1)设点F(c，0)， 因为直线AF的斜率为，A(0，－2)， 所以，c＝. 又因为，b2＝a2－c2， 所以a＝2，b＝1， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx－2， 联立 消去y，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， 当Δ＝16(4k2－3)>0， 即k2>时，x1＋x2＝，x1x2＝. 所以PQ＝ ＝· ＝. 又点O到直线l的距离d＝， 所以S△OPQ＝d·PQ＝. 设＝t>0，则4k2＝t2＋3. 所以S△OPQ＝≤＝1， 当且仅当t＝2， 即＝2， 即k＝±时取等号，满足k2>， 所以△OPQ的面积最大时， 直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2， 即x－2y－4＝0或x＋2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $