第3章 再练一课(范围：§3.1)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦椭圆核心知识，以题载法系统整合定义应用、方程求解、离心率计算及位置关系判定，逻辑链条清晰，突出数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆定义与方程|选择1,3,5,填空10|定义法判定轨迹、焦点位置分类讨论|从椭圆定义生成标准方程，强化参数关系| |离心率计算|选择6,7,8,9|离心率公式转化、几何关系构建|通过a,b,c关系及几何图形推导离心率| |焦点三角形|填空12,解答13|余弦定理与椭圆定义联用|利用定义与余弦定理解决焦点三角形问题| |直线与椭圆位置关系|选择4,解答14,15|定点判断法、韦达定理应用|通过代数运算研究直线与椭圆位置及面积最值|

再练一课(范围：§3.1) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知点A，B是椭圆C：＝1上关于原点对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若AF1＝2，则BF1等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 答案　C 解析　因为OA＝OB， OF1＝OF2， 所以四边形AF1BF2是平行四边形. 所以BF1＝AF2. 由椭圆的定义得AF2＝2×3－AF1＝6－2＝4. 所以BF1＝4. 2.已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＝1　　　 B.＝1或＝1 C.＋y2＝1　　　 D.＋y2＝1或＋x2＝1 答案　D 解析　由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋x2＝1. 3.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.不存在 答案　A 解析　连接QA(图略).由已知得QA＝QP，所以QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r. 又因为点A在圆内，所以OA<OP， 根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆. 4.直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法判断 答案　B 解析　由题知，直线恒过定点(2，1)，将点(2，1)代入，可得<1，故点(2，1)在椭圆内，直线与椭圆相交. 5.若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＝1 C.＋y2＝1或＝1 D.以上答案都不对 答案　C 解析　直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0). 当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＝1(a>b>0). 由题意知，c＝2，b＝1， ∴a2＝5， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1； 当焦点在y轴上时， 设椭圆的方程为＝1(a>b>0)， 由题意知，b＝2，c＝1， ∴a2＝5. ∴椭圆的标准方程为＝1. 6.直线y＝2x与椭圆C：＝1(a>b>0)的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为(　　) A.－1 B. C.－1 D. 答案　A 解析　设在第一象限的交点为A，右焦点为F(c，0)，如图， 根据题意得AF⊥x轴，A在椭圆上， 由＝1， 解得yA＝，则A，又A在直线y＝2x上，则A(c，2c)， 所以2c＝，b2＝2ac，a2－c2＝2ac， 所以e2＋2e－1＝0，又0<e<1， 解得e＝－1. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.若椭圆＝1的离心率为，则k的值可能为(　　) A.－21 B.21 C.－ D. 答案　BC 解析　当椭圆的焦点在x轴上时，9>4＋k，即k<5.则a2＝9， b2＝4＋k，得c2＝5－k. 由，得k＝－； 当焦点在y轴上时，9<4＋k，即k>5，则a2＝4＋k，b2＝9， 得c2＝k－5. 由，得k＝21. 8.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆相交于A，B两点.若AF＋BF＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值可以是(　　) A. B. C. D. 答案　ACD 解析　设椭圆的左焦点为F'，P为短轴的上端点，连接AF'，BF'，如图所示. 由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则OA＝OB， 又OF'＝OF，∴四边形AFBF'为平行四边形， ∴AF＝BF'， 又AF＋BF＝BF＋BF'＝2a＝6，解得a＝3， 点P到直线l距离d＝≥， 解得b≥2，即≥2， ∴0<c≤， ∴e＝∈. 9.我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列说法正确的是(　　) A.椭圆＝1是黄金椭圆 B.在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，且点A在以B，C为焦点的黄金椭圆上，则△ABC的周长为6＋2 C.过黄金椭圆＝1(a>b>0)的右焦点F(c，0)作垂直于长轴的直线，交椭圆于A，B两点，则AB＝(－1)a D.设F1，F2是黄金椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P不存在 答案　BCD 解析　对于A，在椭圆＝1中，a＝4，c＝＝2，离心率e＝，A错误；对于B，黄金椭圆的半焦距c＝2，则长半轴长a＝＋1，因此△ABC的周长为2a＋2c＝6＋2，B正确；对于C，由得|y|＝，则AB＝＝2a－2a·＝(－1)a，C正确；对于D，设黄金椭圆的上顶点为B，则sin<，所以<45°，∠F1BF2<90°，又∠F1PF2≤∠F1BF2，因此黄金椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P不存在，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是　　　　　　　.  答案　＝1 解析　由已知得，焦点在x轴上且c＝2，a＝2b，所以4b2－b2＝12， 所以所以椭圆的标准方程为＝1. 11.已知椭圆＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是　　　　.  答案　 解析　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得，e＝. 12.已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为　　　　.  答案　 解析　由椭圆＝1，得a＝5，b＝3，c＝4. 设PF1＝m，PF2＝n， ∴m＋n＝10，在△PF1F2中， 由余弦定理可得(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2 ＝(m＋n)2－2mn－2mn·， 可得64＝100－mn， 得mn＝， 故mn·sin∠F1PF2 ＝××. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(0，－2)，F2(0，2)，离心率为. (1)求椭圆的标准方程；(5分) (2)设点P在椭圆上，且PF1·PF2＝16，求∠F1PF2.(7分) 解　(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 由题设知c＝2，，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12. ∴所求椭圆的标准方程为＝1. (2)由(1)及椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝8， ∴P＋P＋2PF1·PF2＝64， 又PF1·PF2＝16，∴P＋P＝32， 由余弦定理得cos∠F1PF2＝， ∵∠F1PF2∈[0，π)，∴∠F1PF2＝. 14.(12分)已知椭圆M：＝1(a>b>0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A(，1)在椭圆M上.直线l的斜率为，且与椭圆M交于B，C两点. (1)求椭圆M的方程；(4分) (2)求△ABC面积的最大值.(8分) 解　(1)由题意知解得b＝. 故所求椭圆M的方程为＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，则m≠0. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 把直线l的方程代入椭圆方程并化简得x2＋mx＋m2－2＝0， 由Δ＝2m2－4(m2－2)＝2(4－m2)>0， 可得0<m2<4. ① x1＋x2＝－m， x1x2＝m2－2. 故BC＝|x1－x2|＝· ＝×， 又点A到边BC的距离为d＝， 故S△ABC＝BC·d＝××≤×， 当且仅当m2＝4－m2， 即m＝±时取等号，满足①式. ∴△ABC面积的最大值为. 15.(13分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点，离心率为. (1)求椭圆C的方程；(4分) (2)过点M(2，0)的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若·＝－1，求直线l的方程.(9分) 解　(1)由题意，得 解得 所以椭圆C的方程是＝1. (2)由(1)得c＝1，所以F(－1，0)， 当直线l的方程为y＝0时， 不妨设A(－，0)，B(，0)， 则·＝(1－，0)·(1＋，0)＝－2≠－1，不符合题意； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得(3＋2m2)y2＋8my＋2＝0，Δ＝8(6m2－3)>0⇒m2>. 则y1＋y2＝，y1y2＝， 由·＝－1，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝－1. 由x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，可得， (my1＋3)(my2＋3)＋y1y2＝－1， 整理得(m2＋1)y1y2＋3m(y1＋y2)＋10＝0. 即＝0， 解得m2＝16>. 所以m＝4或m＝－4. 故直线l的方程为x－4y－2＝0或x＋4y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $