专题2.3 圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，通过代数法（判别式）与几何法（圆心距与半径关系）判定，结合图示及表格对比，搭建从点、直线与圆到圆与圆的知识学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，涵盖位置关系判断、公共弦长、公切线等专题，即学即练与综合题结合。通过最值问题培养数学思维（推理能力），实际应用情境发展数学语言（应用意识），课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

专题2.3 圆与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用圆和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 教学重难点 1.重点 （1）圆的标准方程与圆的一般方程，点与圆的位置关系； （2）直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系； （3）与圆有关的弦长问题、公切线问题。 2.难点 （1）与圆有关的最值问题； （2）圆与圆的位置关系。 知识点01 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系—外离、外切、相交、内切和内含. 2.两圆的位置关系的判定 (1)、代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2= 0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断. (2)、几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           公共点 个数 0 1 2 1 0 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d与的关系   公切线条数 4     3 2     1 0     【即学即练】 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）已知圆，圆，求： (1)圆的标准方程，以及圆心的坐标和半径； (2)圆与圆的位置关系. 【答案】(1)，圆心为，半径为. (2)两圆外切 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断. 【详解】（1）由圆可得， 圆的标准方程为， 其圆心为，半径为. （2）圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 因为圆心距， 所以两圆外切. 2．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知圆过原点，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长． 【答案】(1) (2)相交，且公共弦长为 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、由圆心（或半径）求圆的方程、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【详解】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② 联立①②，解得，， 圆的方程为． （2）圆的圆心，半径． 则，，， ，圆与圆相交． 将圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 知识点02 有关圆的常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)、过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)、过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)、过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆系方程 (1)、同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)、过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)、过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。 【即学即练】 1．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】(1) 证明：圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，因为，故两圆相交. (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）根据几何法证明两圆相交； （2）根据两圆相减计算得到公共弦所在直线的方程； （3）根据经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆，计算圆心和半径即可得到结果； 【详解】（1）略 （2）将两圆方程相减得， 化简得，即， 所以两圆公共弦所在直线的方程. （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆 联立两圆方程，由公共弦方程得， 代入圆方程：，解得交点， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为： 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)判断圆与圆的位置关系，写出两圆公切线的条数. 【答案】(1)； (2)相交，两条公切线. 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）根据圆心到直线的距离求解直线方程； （2）根据圆心距与半径和差的关系判断两圆位置关系，确定公切线条数. 【详解】（1）圆可化为， 圆心，半径， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，不合题意； 若直线的斜率存在，设为，则直线，即， 圆心到直线的距离，若直线与圆相切，则， 解得，所以直线的方程为，即. （2）圆可化为，圆心，半径， 因为，所以， 所以两圆相交，公切线有两条. 题型01 圆与圆的位置关系 【典例1】．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆圆心距，并比较与两圆半径和、差的绝对值的大小关系，可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 圆心距为，故，故两圆外切. 故选：A. 【变式1】．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 【变式2】．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得； 综上，则或. 【变式3】．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆：，：，若与外切，则_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】把圆化为标准式，算出圆心距，再利用两圆外切时圆心距等于半径之和的条件，解方程求出. 【详解】圆：，配方得：，圆心为，半径为 ； 圆：，圆心为，半径为； 两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和， 圆心距为，所以， 解得. 故答案为： 【变式4】．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 题型02 两圆的公共弦长及面积问题 【典例2】．圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为_______. 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】先判断出直线的方程为，得到即可求解. 【详解】将代入中整理得， ∴直线的方程为. 在中令得,，∴. 故答案为：12 【变式1】．（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合不等式性质求最值，进而可得答案. 【详解】与相减， 可得两圆的公共弦所在线的方程为：， 由圆：可得，圆的半径为4， 圆心到AB直线的距离为， ，因为， 所以，时等号成立， 又因为的最小值为， 所以，解得. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求公共弦长. 【详解】设圆，圆， 圆，其圆心，半径； 圆，其圆心，半径； 则，即，可知两圆相交， 用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长是. 故选：D. 【变式3】．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、求两圆的交点坐标 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 【变式4】．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、求两圆的交点坐标 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 题型03 两圆的公切线问题 【典例3】．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】首先要将两圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【详解】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 圆心距， 因为， 所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. 【变式1】．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线方程 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线长 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【变式3】．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线长 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【变式4】．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 题型04 与圆有关的最值范围问题 【典例4】．已知点为直线上的一点，M，N分别为圆与圆上的点，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．7 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆的对称性的应用、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据题意，求得关于的对称点，结合，而当，，三点共线时，取得最大值，据此求解即可. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，由对称性可得， 圆，圆心，半径为2， 则，当且仅当，，三点共线时等号成立， 由于，，∴， 即的最大值为． 故选：C． 【变式1】．（25-26高二上·上海·期末）已知实数满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、平面向量数量积的定义及辨析、数量积的坐标表示、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】设，线段的中点为，分析可知点的轨迹以为圆心，半径的圆，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点，则，， 因为，，可知两点在以为圆心，半径的圆上， 又因为，且， 即，可得， 且，则， 可知三角形为等边三角形，则， 设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点到直线的距离， 则，当且仅当点在线段上时，等号成立， 可得， 所以的最大值为. 【变式2】．已知、、，且动点满足，则的最小值是______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出点P的轨迹方程，将化为，即可确定P在线段AC上时，最小，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【详解】由题意知、、，且动点满足， 设，则， 整理得，即P点在圆上运动，A点在圆内，C在该圆外； 由于， 则当三点共线，即P在线段AC上时，最小， 最小值为， 故答案为： 【变式3】．点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）（2）（3）（4）根据目标式的几何意义，结合图形，利用圆的性质求解即可. 【详解】（1）点在以为圆心，为半径的半圆上，记， 表示点到点的距离平方减1，如图1． 因为， ，所以． （2）设直线，为直线在轴上的截距，如图2． 圆心到直线的距离为，解得． 当过点时，有，结合图象可知． （3）令，表示过点和的直线斜率， 将点代入，得． 又由，得． 圆心到直线的距离为1，即，即， 化简并整理得． 解得． 由图3可知，取，故． （4）如图4，令，化简得，即． 表示过点和的直线斜率加2， 由得． 令，即， 由得， 化简并整理得，解得． 由图4可知，故． 【变式4】．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）已知为圆C：上任意一点， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】（1）设，得直线，易知同时在直线与圆上，所以只需要直线与圆有交点即可； （2），表示两点间距离的平方，最后利用距离求范围即可. 【详解】（1）由题可知， 设,得直线， 该直线与圆有交点即可，所以 圆心到直线的距离要小于等于半径即可， 有解得 即 所以的最大值为，最小值为 （2） 显然表示点到点的距离的平方， 即 已知在圆上，所以 显然， 所以 所以 所以 所以 所以的最大值为，最小值为. 题型05 综合问题 【典例5】．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知点，圆的方程为. (1)若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； (2)若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 【答案】(1) (2)圆与圆是相交关系 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）分别计算出A，B与圆心之间的距离，结合一内一外列不等式即可求解； （2） 先求AB中点坐标，代入圆方程得半径，再计算两圆圆心距，与半径和、半径差比较，判断两圆位置关系. 【详解】（1）圆心，则， ， 所以，故点在圆外，点在圆内， ，即的取值范围为； （2）∵线段AB的中点在圆上， ，即． 又， ，故圆与圆是相交关系. 【变式1】．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【答案】(1) (2)相交， 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【详解】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② ①②联立，解得，，圆的方程为. （2）圆，圆心，半径. ， 圆与圆相交. 圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 圆的圆心到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 【变式2】．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）在平面直角坐标系中，已知点和直线，设圆的半径为1，圆心在直线l上. (1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，试求圆的方程和切线的方程； (2)已知点，若圆上存在点使（为原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1)；与； (2). 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、过圆外一点的圆的切线方程、由圆心（或半径）求圆的方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）求出两直线的交点即为圆心，再结合半径即可求得圆的方程；分斜率不存在与斜率存在两种情况求出切线即可； （2）先根据求出点的轨迹为一个圆，又因为点在圆上，因此可将该问题转化为两圆存在公共点，结合两圆的位置关系即可得解. 【详解】（1）由圆心既在直线上，又在直线上，联立两条直线得， 即圆心，又因为圆的半径， 故圆的方程为. 因为，所以点A在圆外， ①若过点的直线斜率不存在，则该直线为， 则圆心到该直线的距离为， 因此为圆的切线； ②若过点的切线斜率存在，设该切线为，即， 则有圆心到该直线的距离为， 两边平方整理得，解得， 故该切线为，整理得. 综上，过点作圆的切线，切线方程为与. （2）设点，由题可得， 两边平方后，整理得， 即满足的点的轨迹为圆心为，半径的圆， 又因为点也在圆上，因此题意等价于圆与圆有公共点（即两圆相交或相切）. 设圆的圆心，则有， 两边平方整理得，解得， 即圆心的横坐标的取值范围为. 【变式3】．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知，圆． (1)若，判断圆与圆的位置关系； (2)若，判断直线与圆C的位置关系； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)圆C与圆相外切 (2)直线与圆C相离 (3)或 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）求得两圆圆心的距离，结合圆心距与半径的关系可得结论； （2）求得圆心到直线距离，可判断直线与圆的位置关系； （3）求得圆心的坐标并消去参数，从而求得圆心的轨迹方程，求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）若，则圆，所以圆心，半径. 由圆，可得圆心，半径. 所以， 所以圆与圆相外切； （2）若，则圆，可得圆心，半径. 所以点到直线的距离， 所以直线与圆相离； （3）由圆，所以圆心，半径为， 即，消去，得，所以圆心的轨迹方程为. 设直线l交圆于两点，设到直线l的距离为， 则，假设存在符合题意的定直线， 则，所以，所以，解得， 即圆心与直线l的距离恒为，而圆心的轨迹方程为， 所以可设直线l的方程为，且， 所以，解得或， 所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或. 【变式4】．（2025高二上·江苏南通·专题练习）已知：圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且，，点在斜率为k的直线l上． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程； (3)若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】设圆，由条件得出方程组，解出即可； 设直线，用表示出圆心到的距离，根据弦长利用勾股定理得出k，可得直线l的方程； 若存在圆D与圆C外切，即存在点D使得，则，解出即可. 【详解】（1）设圆， 则，解得，， 所以圆C的标准方程为 （2）点在斜率为k的直线l上， 可设直线， 圆心到l的距离， 因为， 所以，即， 所以或， 所以直线l的方程为或 （3）若存在半径为的圆D与圆C外切，即存在点D使得， 因为C到l的距离， 所以，所以，即， 所以或 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据两圆方程求出圆心距，并与两圆半径之和、之差进行比较，即可得出结论. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因， 即两圆相交， 故选：D. 2．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 3．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 4．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知实数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】令，利用判别式法即可. 【详解】令，则， 由， 得， 整理得，， 因为存在实数满足等式， 所以， 解得， 则的最大值为，此时，. 故选：C. 5．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】利用两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心， 且两圆半径分别为， 所以， 则. 故答案为： 7．已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. (3)， 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点，列出不等式，求得的取值范围，即可求解； （2）把表示直线的斜率，设直线的方程为，结合直线与圆有公共点，列出不等式，即可求解； 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）由，转化为圆的圆心到原点的距离的平方，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为. （2）解：记点，则表示直线的斜率， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）解：设， 则等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 根据圆的性质，可得， . 8．已知实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】由题意可设，，，，且，，在单位圆上，所求最大值可看作是，到直线的距离的和的最大值的倍．运用数形结合可得所求最大值． 【详解】由，，， 可设，，，，且， 可得，在单位圆上， ． 所求最大值可看作是，到直线的距离的和的最大值的倍， 且可得，在直线的下方， 取的中点，过，，点分别作直线的垂线，垂足分别为，，， 为梯形 的中位线，， ，，到直线的距离为， ，， 的最大值为． 故选：D． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出原点关于直线的对称点的坐标，可得出，进而可得出，再结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为，如下图所示： 设原点关于直线的对称点为， 而直线的斜率为，且线段的中点在直线上， 由题意可得，解得，即点， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当三点共线，故取最小值. 故答案为：. 10．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 【答案】(1); (2)或； (3). 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由圆的位置关系确定参数或范围、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）利用垂直平分线交点来求出圆心坐标，再求出半径，即可求出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在分别讨论，设出直线方程，再由垂径定理把弦长问题转化为圆心到直线距离问题求解即可； （3）设，，表示中点，将点代入圆，若存在，则方程组有解，利用数形结合，把方程有解问题转化为两圆有公共点问题，再根据两圆位置满足的关系式，利用恒成立思想可求得圆的半径的取值范围，再由点P在圆外，综合可得的范围. 【详解】（1）由题意，，，，的垂直平分线是， 又，的中点是，的垂直平分线斜率为， 即的垂直平分线方程是， 所以由，解得，所以圆心是，， 即圆的方程是； （2） 过点作直线的垂线，垂足为，由圆截得的弦长为6，可得， 再由圆的半径，可得， 所以当斜率存在时，可设过点的直线方程为， 再由点到直线的距离公式可得：， 则直线方程为， 当斜率不存在时，此时过点的直线方程为， 再由点到直线的距离公式可得：，满足题意， 综上可得，直线的方程为或； （3） 因为，， 所以直线的方程为，即， 设，因为点在线段上， 所以且，所以. 设，因为为的中点， 所以. 设圆：， 由，在圆上得， 整理得. 若，存在，则方程组有解， 即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点. 根据两圆位置关系可知， 即在时恒成立， 所以， 整理得在时恒成立， 所以. 设，， 所以， 所以，即，解得 若为的中点，则点在圆外， 所以， 即在上恒成立， 所以， 综上所述，. 11．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点. (1)求实数的值； (2)求过点且被圆所截的弦长最长的直线方程； (3)求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】直线的方程的概念、直线的点斜式方程及辨析、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）将点代入直线方程可直接求得结果； （2）根据最长弦为圆的直径可知所求直线过圆心，进而得到直线斜率，结合直线点斜式可求得直线方程； （3）设圆心，根据直线与直线垂直可求得关系，根据两圆外切和可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程. 【详解】（1）圆与直线相切于点，则点在直线上， ，解得：. （2）圆的圆心为， 过点且被圆所截的弦长最长的直线过圆心， ，所求直线方程为：，即. （3）设圆的圆心，半径为， 直线与圆相切，，即， ， 圆与圆外切，且点在圆上， ， 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 综上所述：圆的标准方程为或. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 圆与圆的位置关系 教学目标 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用圆和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 教学重难点 1.重点 （1）圆的标准方程与圆的一般方程，点与圆的位置关系； （2）直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系； （3）与圆有关的弦长问题、公切线问题。 2.难点 （1）与圆有关的最值问题； （2）圆与圆的位置关系。 知识点01 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系—外离、外切、相交、内切和内含. 2.两圆的位置关系的判定 (1)、代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2= 0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断. (2)、几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           公共点 个数 0 1 2 1 0 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d与的关系   公切线条数 4     3 2     1 0     【即学即练】 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）已知圆，圆，求： (1)圆的标准方程，以及圆心的坐标和半径； (2)圆与圆的位置关系. 2．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知圆过原点，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长． 知识点02 有关圆的常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)、过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)、过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)、过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆系方程 (1)、同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)、过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)、过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。 【即学即练】 1．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 2．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)判断圆与圆的位置关系，写出两圆公切线的条数. 题型01 圆与圆的位置关系 【典例1】．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 【变式1】．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【变式3】．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆：，：，若与外切，则_____________. 【变式4】．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 题型02 两圆的公共弦长及面积问题 【典例2】．圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为_______. 【变式1】．（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则_________． 【变式2】．（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式3】．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【变式4】．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型03 两圆的公切线问题 【典例3】．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式3】．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【变式4】．圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 题型04 与圆有关的最值范围问题 【典例4】．已知点为直线上的一点，M，N分别为圆与圆上的点，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．7 【变式1】．（25-26高二上·上海·期末）已知实数满足，，，则的最大值为________ 【变式2】．已知、、，且动点满足，则的最小值是______. 【变式3】．点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）已知为圆C：上任意一点， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 题型05 综合问题 【典例5】．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知点，圆的方程为. (1)若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； (2)若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 【变式1】．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【变式2】．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）在平面直角坐标系中，已知点和直线，设圆的半径为1，圆心在直线l上. (1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，试求圆的方程和切线的方程； (2)已知点，若圆上存在点使（为原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【变式3】．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知，圆． (1)若，判断圆与圆的位置关系； (2)若，判断直线与圆C的位置关系； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【变式4】．（2025高二上·江苏南通·专题练习）已知：圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且，，点在斜率为k的直线l上． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程； (3)若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围． 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 2．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知实数，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．12 5．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为____________． 7．已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 8．已知实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为__________. 10．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 11．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点. (1)求实数的值； (2)求过点且被圆所截的弦长最长的直线方程； (3)求圆的标准方程. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $