3.3分式的加法与减法 第3课时教案 2026--2027学年青岛版八年级数学上册

该教案聚焦异分母分式加减法，通过复习同分母分式加减法、通分及最简公分母搭建学习支架，引导学生类比异分母分数加减法，实现从旧知到新知的迁移，掌握运算法则。 亮点在于以数学思维（推理意识）引导法则归纳，通过例4混合糖单价问题培养数学语言（模型意识），分层练习与限时训练提升运算能力，帮助学生构建严谨知识体系，助力教师高效教学。

第三章 分式 3.3 分式的加法与减法 第3课时   一、教材分析 《分式的加法与减法(第3课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第三节的内容，是在学生掌握同分母分式加减法、通分及最简公分母等知识后的延伸，通过类比异分母分数加减法，引导学生掌握异分母分式加减法的运算法则，为后续分式混合运算及实际应用奠定基础．   二、学情分析 八年级学生已具备同分母分式加减法、通分和最简公分母的相关知识，且在分数运算中积累了异分母加减的经验，具备一定的知识迁移能力，但对分母为多项式的分式通分及运算的严谨性仍需加强，合作探究和归纳总结能力有待提升．  三、教学目标 1．理解异分母分式加减法法则，熟练运用通分将异分母分式转化为同分母分式并准确运算，提升运算的准确性和规范性． 2．通过类比异分母分数运算，归纳异分母分式加减法法则，培养知识迁移能力和抽象概括能力，形成严谨的思维方式． 3．在实际问题解决中，运用分式加减法知识分析和解决问题，增强“用数学”的意识，培养合作探究精神和创新意识．   四、教学重难点 重点：异分母分式加减法的运算法则及熟练应用． 难点：分母是多项式的分式通分及运算过程中的化简．   五、教学过程 · 复习回顾 1．同分母分式的加法和减法的运算法则？ 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，即 ． 2．通分的概念是什么？ 这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫作分式的通分． 3．最简公分母的概念是什么？ 通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母.这样的公分母叫作最简公分母． 师生活动：教师通过提问引导学生回顾同分母分式加减法法则、通分及最简公分母的概念，学生集体回答或个别发言，教师对学生的回答进行补充和纠正，确保概念清晰． 设计意图：通过复习旧知，为异分母分式加减法的学习做好铺垫，唤醒学生已有的知识储备，使学生明确新旧知识的联系，为后续探究活动奠定基础． · 探究新知 活动一：探究异分母分式加减法法则 1．怎么计算？ 通分化为同分母的分数相加减． 解：． 学习了分式的通分后，我们就可以进行异分母分式的加减运算了． 2．如何进行的运算？　 类比异分母分数的加减运算，．　 3．你能计算，并概括出异分母分式加减法的运算法则吗？　 ． 师生活动：教师先展示异分母分数减法例题，引导学生回忆其解法，再呈现异分母分式减法问题，让学生类比分数运算尝试解决，小组讨论后派代表展示思路，教师引导学生分析过程的合理性． 设计意图：通过类比分数运算，让学生初步感知异分母分式加减法的解题思路，培养学生的知识迁移能力，激发学生的探究欲望，为法则的归纳做好准备． 活动二：归纳异分母分式加减法法则 异分母分式加减法法则: 异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减，即 ． 例如：；． 师生活动：在学生完成例题尝试后，教师组织学生观察运算过程，小组合作归纳异分母分式加减法法则，教师板书法则并结合实例进行解读，强调通分的关键作用． 设计意图：让学生经历从具体运算到抽象法则的过程，培养归纳总结能力，使学生深刻理解法则的内涵，明确运算的步骤和依据，提升数学抽象素养． 活动三：异分母分式加减法法则的应用 做一做 计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1）分式的最简公分母是，则； （2） 分式的最简公分母是，则； （3） 的最简公分母是，则． 如何进行异分母分式加减法运算？ （1）将异分母化为同分母再按同分母的分式加减法则进行计算； （2）分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； （3）最后的结果，应化为最简分式或者整式． 师生活动：教师出示不同类型的异分母分式加减法题目，学生独立完成后同桌互查，教师选取典型错误进行评讲，引导学生总结运算注意事项，如分子去括号、合并同类项及结果化简等． 设计意图：通过不同层次的练习，让学生巩固异分母分式加减法法则，掌握运算技巧，在纠错过程中强化对易错点的认识，提高运算的准确性． · 应用新知 例1．计算： （1）； （2）． 分析：对于分式的加减法，先通分，将异分母分式化为同分母分式，然后再进行分子的加减运算． 解：（1）． （2）． 总结：异分母分式运算通过通分转化为同分母分式运算． 例2．计算： （1） ； （2）． 分析：分母是多项式，先分解因式，再找最简公分母． 解：（1）． （2）． 总结：分式与整式相加减，可以把整式看作分母为1的分式，参与通分． 例3．计算： （1）； （2）． 分析：分式混合运算，按照运算法则进行． 解：（1）． （2） 总结：分式混合运算综合考查因式分解、通分约分及运算顺序，熟练这些基础操作是解题关键． 　　例4．商店通常用以下方法来确定两种糖混合销售的价格：设A种糖的单价为a元千克，B种糖的单价为6元/千克，则m千克A种糖和n千克种糖混合销售的单价为元/千克(平均价).现有甲、乙两种混合方法：甲将10千克A种糖和10千克B种糖混合，乙将100元A种糖和100元B种糖混合，则按哪一种混合方法销售的单价较高？为什么？ 　　分析：分别计算甲、乙两种混合方法的单价，甲：，乙：，作差比较大小即可. 解：按甲种混合方法销售的单价较高. 甲糖单价：(元)， 乙糖单价：(元)， ， 因为甲、乙两种混合方法均有A，B两种单价不同的糖混合而成， 所以. 所以按甲种混合方法销售的单价较高. 例5.先化简，再求值： ，其中． 分析：先对括号内的式子进行通分，将除法转化为乘法，然后约分进行化简，最后将给定的a值代入化简后的式子求值． 解： ． 当 时，原式． 总结：分式混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同． 师生活动：教师呈现例题，引导学生分析题目特点，确定解题思路，学生独立完成后小组交流解法，教师选取不同解法进行展示和点评，强调分母为多项式时先因式分解的重要性． 设计意图：通过例题讲解和练习，让学生将法则应用于实际解题中，掌握复杂分式运算的方法，提升分析和解决问题的能力，体会数学的逻辑性和严谨性． · 课堂练习 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）． （2）． （3）．　 （4）． 2．填空：已知某室内游泳池的容积为V． （1）如果每小时向空池内注水a，那么 小时可以把游泳池注满； （2）在（1）的条件下，如果每小时多注水b，那么可以提前 小时把游泳池注满． 答案为： ． 3．计算： （1）； （2）． 解：（1）． （2）． 总结： 运算顺序：遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”． 4． 先化简，再求值：，其中． 分析：先根据分式的运算法则对原式进行化简，再代入具体的值进行计算． 解：． 当时，原式． 总结：分式化简求值问题，利用分式运算规则，先化简（通分、因式分解、变除为乘等），再合并通分相加减，最后代入求值． 师生活动：学生独立完成课堂练习题，教师巡视指导，关注学习有困难的学生，练习结束后学生互评答案，教师对共性问题进行集中讲解． 设计意图：通过课堂练习，及时反馈学生对知识的掌握情况，巩固所学内容，让学生在实践中加深对法则的理解和应用，提高运算速度和准确性． 限时训练 1． 计算： （1） ； （2） . 解：（1）分式最简公分母为，则 . （2）分式最简公分母为，则 2.一项工作由甲单独做，需a天完成；如果甲、乙两人合做，则可提前2天完成.乙每天可完成这项工作的几分之几？ 解：因为甲单独做需a天完成，那么他每天完成的就是，因为甲、乙两人合做，则可提前2天完成，那么甲、乙两人一起每天做， 所以乙每天完成的量是， 所以乙每天完成这项工作的. 答：乙每天完成这项工作的. 总结： 利用“工作效率 = 工作总量÷工作时间”这一核心公式解决问题． 3.计算：，并求当时原式的值. 解：取公分母为，则 当时，原式 . 4.计算：（1）； （2） . 解：（1）分式最简公分母为，则 . （2）分式最简公分母为，通分括号里，则 . 师生活动：学生在规定时间内完成限时训练题，教师计时并在结束后公布答案，学生自行批改，统计错题并分析原因，教师对高频错题进行重点讲解． 设计意图：通过限时训练，培养学生的解题速度和应试能力，及时发现学生学习中的薄弱环节，便于教师针对性地进行补教补学，提升教学效果． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．今天学习的异分母分式加减法，关键步骤是什么？和同分母分式加减法有什么联系与区别？ 3．在进行异分母分式加减法时，确定最简公分母有哪些注意事项？当分母是多项式时，该如何处理？ 设计意图：通过师生共同回顾本节课的知识要点、解题方法及注意事项，帮助学生构建完整的知识体系，培养学生的反思能力，使学生明确自身的收获与不足，为后续学习提供方向．   六、板书设计 　　3.３ 分式的加法与减法 　　　异分母分式加减法法则： 先通分，变为同分母分式，再加减，即 　　　注意事项： 分母是多项式先因式分解 分子去括号后合并同类项 结果化为最简分式 例1　　　　例2　　　　例3 例4 学科网（北京）股份有限公司 $