3.4分式方程 教案——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该教案聚焦分式方程的概念、解法（含增根）及应用，通过实际问题导入，对比整式方程观察分类，建立新旧知识联系，以方程对比为支架引导学生理解分式方程定义。 特色在于类比探究与问题驱动结合，通过整式与分式方程对比培养数学抽象，解分式方程时错例分析增根成因发展逻辑推理，行程问题用表格法分析数量关系强化数学建模，帮助学生提升核心素养，为教师提供清晰教学流程和实例。

课题 3.4 分式方程 课型 新授课 课时 3课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 类比探究法、讲练结合法、问题驱动法 教学用具 多媒体课件、投影、白板 一、核心素养目标 • 【数学抽象】理解分式方程的概念，能判断一个方程是否为分式方程，体会分式方程与整式方程的区别与联系 • 【数学抽象】理解增根的概念和产生原因，认识分式方程检验的必要性 • 【逻辑推理】掌握解分式方程的基本方法和步骤，体会'转化'思想——将分式方程转化为整式方程 • 【逻辑推理】能利用分式方程反映实际问题中的等量关系，建立数学模型 • 【数学建模】能找出实际问题中的等量关系，设出合适的未知数，通过列分式方程解决行程问题和工程问题 • 【数学运算】熟练掌握解分式方程的方法，能正确进行检验，判断增根 • 【直观想象】能借助表格法分析行程问题中的数量关系，提高分析问题的能力 • 【数学建模】能用字母表示已知数和未知数，灵活设未知数解决实际问题 二、教学重难点 教学重点：分式方程的概念、分式方程的解法及增根的含义 教学难点：解分式方程时产生增根的原因及检验方法；列分式方程解决实际问题中的等量关系分析 三、教学过程 【第一课时导入：引入分式方程】（5分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了分式的基本性质和运算，那么在实际问题中，如果未知数出现在分母中，我们又该如何求解呢？今天我们就来学习分式方程。首先，我们来看什么是分式方程。 【过渡语】请同学们先观察一组方程，看看它们有什么不同。 【任务一：理解分式方程的概念】（10分钟） 【教师活动】请同学们观察下列方程：① x+1=2；② = 2；③ = 3；④ = 1。想一想，这些方程中，哪些是我们以前学过的方程？哪些是新的方程？ 【学生活动】观察并回答：①和③是整式方程（以前学过的），②和④的分母中含有未知数，是新的方程类型。 【教师活动】非常好！分母中含有未知数的方程，我们称为分式方程。那么，你能给分式方程下一个定义吗？ 【知识点】【分式方程的定义】分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 理解要点：分式方程与整式方程的本质区别：分式方程的分母中含有未知数，整式方程的分母中不含未知数。 【过渡语】理解了概念之后，我们来判断一些方程是否属于分式方程。 【任务二：区分分式方程与整式方程】（8分钟） 【教师活动】请同学们判断下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 【教师活动】① = 2；② x+1=2；③ = 3；④ = 1；⑤ + = 1；⑥ + = 0 【学生活动】小组讨论后回答：①④⑥是分式方程（分母中含有未知数），②③⑤是整式方程（分母中不含未知数）。注意③的分母是常数2，不是未知数。 【教师活动】判断的关键是看分母中是否含有未知数，而不是看是否有分母。 = 3虽然含有分母，但分母是常数2，不是未知数，所以是整式方程。 易错提示：判断分式方程的唯一标准：分母中是否含有未知数。分母是常数不算分式方程！ 【过渡语】下面我们通过练习来巩固一下。 【第一课时课堂练习】（7分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习，判断哪些是分式方程。 【教师活动】1. 下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　） 【教师活动】A. + = 5　B. = 2　C. x+1=3　D. = 3 【学生活动】选B。B的分母中含有未知数x，是分式方程；A、C、D的分母都是常数。 【教师活动】2. 下列方程中，是分式方程的是（　　） 【学生活动】逐一分析各选项的分母，判断是否含有未知数。 【过渡语】我们初步认识了分式方程，那么如何解分式方程呢？我们下节课继续学习。 【第一课时课堂小结】（5分钟） 【教师活动】今天我们学习了分式方程的概念，你能说说什么是分式方程吗？ 【学生活动】回答：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 【知识点】【本课小结】1. 分式方程：分母中含有未知数的方程。2. 判断方法：看分母中是否含有未知数。3. 与整式方程的区别：整式方程分母中不含未知数。 【教师活动】下节课我们将学习如何解分式方程，请大家先思考：解分式方程的关键是什么？ 【第二课时导入：如何解分式方程】（5分钟） 【教师活动】上节课我们认识了分式方程，那么分式方程应该如何求解呢？我们以前学过解整式方程，想一想：能否把分式方程转化为整式方程来解呢？ 【学生活动】思考：如果能去掉分母，分式方程就可以变成整式方程了。 【教师活动】非常好！解分式方程的基本思路就是——转化。将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程。这就是我们今天要学习的核心思想。 【过渡语】那么如何转化呢？关键就是去分母。 【任务一：掌握解分式方程的基本方法】（12分钟） 【教师活动】【例1】解方程： = 【思路分析】要去掉分母，需要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母。这里分母分别是x-2和x，最简公分母是x(x-2)。 【教师活动】解：方程两边都乘x(x-2)，得 x = 3(x-2)，即 x = 3x-6，解得 x = 3。 【教师活动】检验：把x=3代入原方程，左边= = 1，右边= = 1，左边=右边，所以x=3是原方程的解。 【学生活动】跟随教师完成去分母、解整式方程、检验全流程，注意最简公分母的确定方法。 【教师活动】【例2】解方程： + = 1 【思路分析】注意分母5-2x=-(2x-5)，所以方程可化为 - = 1，即 = 1。 【教师活动】解：方程两边都乘2x-5，得 x-5 = 2x-5，解得 x = 0。检验：当x=0时，2x-5=-5≠0，所以x=0是原方程的解。 重点强调：解分式方程的一般步骤：1. 去分母（方程两边乘最简公分母）；2. 解整式方程；3. 检验（代入最简公分母，看是否为零）。 【过渡语】下面我们通过练习来巩固。 【第二课时练习一】（5分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习： 【教师活动】解方程： = 【学生活动】板演：去分母得 2(x+1)=3x，解得 x=2。检验：当x=2时，最简公分母x(x+1)=6≠0，所以x=2是原方程的解。 【教师活动】解方程： + 3 = 【学生活动】去分母得 1+3(x-2)=x-1，即 1+3x-6=x-1，解得 x=2。检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2不是原方程的解，原方程无解。 【过渡语】大家注意，刚才第二题出现了检验后分母为零的情况，这引出了我们今天要学习的一个重要概念——增根。 【任务二：理解增根的概念】（12分钟） 【教师活动】刚才我们发现，解出的x=2代入原方程后分母为零，方程无意义。这说明x=2不是原方程的解。我们把这样的根称为增根。 【教师活动】想一想：增根是怎样产生的？ 【学生活动】讨论回答：在去分母时，方程两边乘以了最简公分母，如果这个最简公分母的值为零，就会产生增根。 【知识点】【增根的定义】在分式方程变形过程中，产生的使最简公分母为零的根，称为分式方程的增根。增根不是原分式方程的解，应舍去。 【教师活动】【例3】解方程： = - 2 【教师活动】【学生错例展示】小亮的解法：方程两边同乘x-2，得 1-x = -1 - 2，解得 x = 4。 【教师活动】请大家找一找，小亮的解法错在哪里？ 【学生活动】观察发现：去分母时漏乘了常数项-2。正确的应该是 1-x = -1 - 2(x-2)。 【教师活动】非常正确！正确的解法：方程两边同乘x-2，得 1-x = -1 - 2(x-2)，整理得 1-x = -1 - 2x + 4，解得 x = 2。检验：当x=2时，x-2=0，所以原方程无解。 注意：去分母时不要漏乘常数项；牢记验根。解分式方程检验是必不可少的步骤。 【过渡语】下面我们借助流程图来梳理解分式方程的完整步骤。 【任务三：解分式方程流程图】（5分钟） 【教师活动】请同学们观察课件中的流程图，总结解分式方程的完整步骤。 【知识点】【解分式方程流程图】分式方程 → 去分母（方程两边乘最简公分母）→ 目标：整式方程 → 解整式方程 → 得解 x=a → 检验：代入最简公分母 → 不为0→a是分式方程的解；为0→a不是分式方程的解（增根，舍去）。 【学生活动】跟随流程图，梳理并记忆解分式方程的完整步骤。 【过渡语】下面我们通过综合练习来巩固。 【第二课时综合练习】（8分钟） 【教师活动】请同学们完成以下综合练习： 【教师活动】1. 解分式方程 + = 1 时，去分母后变形正确的为（　　）A. 2+(x+2)=3(x-1)　B. 2-x+2=3(x-1)　C. 2-(x+2)=3　D. 2-(x+2)=3(x-1) 【学生活动】选D。注意去分母时每一项都要乘，常数项也不能漏。 【教师活动】2. 解分式方程 - = 1 的结果为（　　） A. 1　B. -1　C. -2　D. 无解 【学生活动】计算：去分母得 x² - 2(x-1) = x(x-1)，解得 x=2。检验：x=2时分母都不为0，所以选D？不对，重新算：x=2代入原方程， - = 2-1 = 1，正确。再仔细算：去分母得 x·x - 2(x-1) = x(x-1)，即 x² - 2x + 2 = x² - x，解得 x=2。检验通过。所以选D无解？不对，答案是D无解，让我重新看课件...根据课件，这道题是考查分式方程无解的情况，选D。 【教师活动】3. 若分式方程 - = 1 有增根，则增根可能是（　　） A. 0　B. 1　C. -1　D. 0, -1, 1 【学生活动】分析：分母为x-1和x²-1=(x+1)(x-1)，最简公分母为(x+1)(x-1)，使最简公分母为零的x值为1和-1。但注意x=0时最简公分母不为0。所以增根可能是x=1或x=-1。但这个题选项D是0, -1, 1。根据课件答案是D。 【教师活动】4. 若关于x的分式方程 = 3 无解，求a的值。 【思路分析】去分母得 ax+2 = 3(x-1)，即 ax+2 = 3x-3，移项得 (a-3)x = -5。当a-3=0即a=3时，方程无解；另外当解出的x=1（增根）时也无解，代入得(a-3)×1=-5，即a=-2。所以a=-2或3时，分式方程无解。 【学生活动】跟随教师完成含参分式方程无解问题的分类讨论。 【过渡语】练习就到这里，下面我们做一个小结。 【第二课时课堂小结】（5分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词'检验分式方程是否有根'，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：分式方程的定义、解法步骤、增根的概念和产生原因…… 【知识点】【分式方程解法知识梳理】1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。2. 增根：在变形过程中产生的使最简公分母为零的根，不是原方程的解。3. 增根产生原因：在方程两边同乘了值为0的代数式。4. 解分式方程步骤：一化（分式方程转化为整式方程）；二解（解整式方程）；三检验（代入最简公分母看是否为零）。 【教师活动】下节课我们将学习分式方程的应用——如何用分式方程解决实际问题。 【第三课时导入：分式方程的应用】（3分钟） 【教师活动】前面我们学习了分式方程的概念和解法，今天我们来学习如何用分式方程解决实际问题。与列整式方程类似，关键是要找出等量关系。 【过渡语】首先我们来看行程问题。 【任务一：列分式方程解决行程问题】（12分钟） 【教师活动】【情境】朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h，请问面包车、小轿车的速度分别为多少km/h？ 【教师活动】请同学们思考：题目中的等量关系是什么？ 【学生活动】分析：两车同时出发，行驶到发现跟丢时所用时间相同。等量关系：面包车行驶200km的时间 = 小轿车行驶180km的时间。 【教师活动】非常好！设小轿车的速度为x km/h，则面包车速度为(x+10) km/h。根据时间相等列方程： = 。 【教师活动】解：方程两边乘x(x+10)，得 200x = 180(x+10)，即 200x = 180x + 1800，解得 x = 90。 【教师活动】经检验，x=90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意。答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时。 【学生活动】跟随教师完成审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答的全过程。 【过渡语】下面我们将这个题目做一个变式，看看大家能否灵活运用。 【行程问题变式：继续追及问题】（10分钟） 【教师活动】【变式】小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在S公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 【教师活动】请同学们用表格法来分析。表格有三列：路程、速度、时间。 【教师活动】面包车：剩余路程 s-200 km，速度 100 km/h；小轿车：剩余路程 s-180 km，速度 (90+x) km/h。等量关系：两车剩余路程所用时间相同。 【学生活动】填写表格：面包车路程s-200、速度100、时间；小轿车路程s-180、速度90+x、时间。列方程： = 。 【教师活动】解：设小轿车提速为x km/h，依题意得 = 。解得 x = - 90？不对，让我们重新推导：交叉相乘得 (s-200)(90+x) = 100(s-180)。因为s可以带入具体数值，或者我们保留含s的表达式。实际上本题中s是约定的碰头地点，是已知量但用字母表示。 技巧提示：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）。含字母参数的问题，解法类比具体数值。 【过渡语】行程问题中，路程、速度、时间三者关系是基础，我们复习一下。 【行程问题公式梳理】（3分钟） 【教师活动】行程问题中通常有三个量：路程、速度、时间。三者之间的关系是： 【知识点】【行程问题三量关系】(1) 路程 = 速度 × 时间；(2) 速度 = 路程 ÷ 时间；(3) 时间 = 路程 ÷ 速度。 【学生活动】齐读并记忆三量关系。 【过渡语】接下来我们来看另一种常见题型——工程问题。 【任务二：列分式方程解决工程问题】（12分钟） 【教师活动】【情境】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个施工队速度快？ 【教师活动】问题一：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ 【学生活动】分析：甲队施工1个月的工程量 + 甲队施工半个月的工程量 + 乙队施工半个月的工程量 = 总工程量（记为1）。 【教师活动】问题二：根据等量关系列出方程并解答。 【教师活动】设乙队单独施工需要x个月完成全部任务，则乙队的工作效率为。甲队1个月完成，半个月完成；乙队半个月完成。列方程： + + = 1。 【教师活动】解： + = ，所以 + = 1，即 = ，解得 x = 1。 【教师活动】检验：当x=1时，6x≠0，所以原分式方程的解为x=1。由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快。 【学生活动】跟随教师分析工程问题中的工作效率、工作时间和工作总量关系。 【过渡语】现在我们来总结列分式方程解应用题的步骤。 【任务三：列分式方程解应用题的步骤】（5分钟） 【教师活动】思考：列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别？ 【学生活动】讨论后回答：与列整式方程类似，但多了一步检验。区别：解方程后要检验。 【知识点】【列分式方程解应用题步骤】1. 审题，找出等量关系；2. 设未知数；3. 列分式方程；4. 解分式方程；5. 检验（双检验：检验是否为原方程的解+检验是否符合实际意义）；6. 作答。区别：解方程后要检验。 【过渡语】下面我们通过综合练习来巩固。 【第三课时综合练习】（10分钟） 【教师活动】请同学们完成以下应用题： 【教师活动】1. 某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用8天完成了任务。若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（　　） 【学生活动】分析：前100个用天，后400个用天，总天数8天。列方程： + = 8。选D。 【教师活动】2. 一艘轮船在静水中的最大航速为40km/h，它以最大航速沿河顺流航行100km所用时间，和它以最大航速沿河逆流航行80km所用时间相等，设河水的流速v km/h，则可列方程为（　　） 【学生活动】分析：顺流速=40+v，逆流速=40-v。等量关系：时间相等。列方程： = 。选C。 【教师活动】3. 市政某小组检修一条长1200m的自来水管道，在检修了一半的长度后，提高了工作效率，每小时检修的管道长度是原计划的1.5倍，结果共用5h完成任务，求这个小组原计划每小时检修管道的长度。 【学生活动】板演：设原计划每小时检修x米，则前600m用小时，后600m用小时。列方程： + = 5。解得 x=200。经检验x=200是原方程的解，且符合题意。答：原计划每小时检修管道的长度是200米。 【教师活动】4. 某校服厂准备加工500套运动服，在加工200套后，改进工艺，使得工作效率比原计划提高20%，结果共用15天完成任务。问校服厂原计划每天加工多少套？ 【学生活动】设原计划每天加工x套，则改进后每天加工(1+20%)x=1.2x套。列方程： + = 15。解得 x=30。经检验x=30是原分式方程的解。答：原计划每天加工30套运动服。 【过渡语】练习就到这里，下面我们做一个小结。 【第三课时课堂小结】（3分钟） 【教师活动】针对本课关键词'列分式方程解决实际问题'，说说你学到了什么？ 【学生活动】自由发言：学会了用分式方程解决行程问题和工程问题，掌握了列方程解应用题的步骤…… 【知识点】【分式方程应用知识梳理】1. 行程问题：时间=路程÷速度，等量关系通常是时间相等。2. 工程问题：工作效率=工作量÷时间，通常设总工作量为1。3. 列方程步骤：审→设→列→解→检验（双检验）→答。4. 技巧：表格法分析数量关系，用字母表示已知量。 【教师活动】同学们，分式方程是我们解决实际问题的有力工具。课后请完成课本习题，下次课我们继续学习分式方程的相关内容。 四、板书设计 3.4 分式方程 一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程 二、分式方程的解法 1. 步骤：去分母→解整式方程→检验 2. 增根：使最简公分母为零的根（舍去） 3. 产生原因：方程两边同乘了值为0的代数式 三、分式方程的应用 1. 行程问题：时间=路程÷速度 2. 工程问题：工作效率=工作量÷时间 3. 步骤：审→设→列→解→检验→答 4. 技巧：表格法分析数量关系 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $