26.4 实际问题与二次函数（第3课时实物抛物线问题） 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与二次函数”中的实物抛物线问题，通过拱形洞、桥梁等生活实例导入，衔接二次函数图象与性质的前期知识，搭建“实物抽象—建坐标系—求解析式—代入求解”的学习支架，引导学生解决实际问题。 其亮点在于以多个探究案例（如拱桥水面宽度、投球轨迹）为载体，培养数学眼光（抽象实物为抛物线）、数学思维（逻辑推理求解析式）和数学语言（用函数模型表达关系），如拱桥问题中不同坐标系建立的对比分析，助力学生提升应用能力，也为教师提供结构化的教学流程与实例参考。

第3课时　其他问题——实物抛物线等 第二十六章　26.4　实际问题与二次函数 2026-2027学年人教版数学九年级上册 学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；(重点) 2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题；(难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 情境引入 日常生活中经常见到实物抛物线问题，如拱形洞、桥梁、隧道等建筑的外形，那么怎样用二次函数的知识解决这些问题呢？本节课将学习这个内容. 推进新课 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m. 水面下降1m时，水面宽度增加多少？ 分析： (1) 建立合适的直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。 探究 (2,-2) (-2,-2) x y O 4 解： 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2，-2)代入解析式， 可得-2=a · (-2)2. x y O (2,-2) (-2,-2) 水面 水面下降一米，即此时y=-3. 新知探究 探究2 在建立好坐标系之后，请同学们规范求解. 解：以拱顶为原点，对称轴为 轴，水平向右为 轴正方向，建立平面直角坐标系。 设抛物线解析式为 () 将点 代入解析式，得 ，解得 得出解析式： 想一想 水面上升 后，水面的位置发生了什么变化？对应的纵坐标是多少？ 6 新知探究  原来水面在 的位置，上升 后，水面的纵坐标为 令 ，代入解析式得： 解得 ， 水面宽度为 ①水面在拱顶下方，纵坐标为负数 ②水面宽度是左右两个交点横坐标的绝对值之和，不要忘记乘以 易错提醒： 7 反思感悟 本题的求解过程中有两个关键环节：一是由于题目中没有平面直角坐标系且(2)中所得的结果与平面直角坐标系的位置无关，所以建立的平面直角坐标系应方便于问题的求解，如本题，此时得到的二次函数解析式最简单，则有效地减小了后续解题的运算量；二是建立如图所示的平面直角坐标系后，某些点的坐标可能会出现负值. 应用1 池塘问题 1.某池塘的截面如图所示，池底呈 抛物线形，以水平地面为 轴，垂直 于水平地面且位于池塘中心的线为 轴建立平面直角坐标系，池塘的宽 ，池底最深处距 离水平地面，原来的水面宽 ，若池塘中水面的 宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为______. 9 知识小结 思考 解决实物抛物线问题的一般步骤是什么？ 建立平面直角坐标系的原则是什么？最简便的方法是什么？ ①实物抽象为抛物线 ②建立适当的平面直角坐标系（优先顶点为原点） ③设出对应的二次函数解析式 ④用待定系数法求解析式 ⑤代入求解，结合实际意义得出结论 10 跟踪训练　如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分.经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米. (1)在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接； 解　以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 水面下降一米，即此时y=0. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. 你还有其他的方法吗？   y O (2,0) (-2,0) x (0,2) 还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 新知巩固 拱桥模型 如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高是多少？ 【分析】本题考查了二次函数的应用的拱桥模型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴点，， ∵， ∴， 设抛物线的解析式为： ， 15 新知巩固 拱桥模型 ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 16 (2)结合(1)中所画图象，求出该抛物线表示的二次函数； 解　A(0，0)，B(12，0)，根据交点式，设抛物线表示的二次函数为y=a(x-0)(x-12)=ax2-12ax(a≠0)， 代入点C(6，4)，得36a-72a=4，解得a=-， 所以抛物线表示的二次函数为y=-x2+x. (3)现有一游船(截面为矩形)宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米.当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥. 解　能安全通过，理由如下： 当游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为直线x=6，游船也关于直线x=6对称， 宽度为4米，对称轴左右两边各2米， 当x=6-2=4时，y=-×42+×4=， 因为-0.5=>2.8， 故该游船能安全通过. 随堂演练 基础巩固 1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)( ) A.9.2 m B.9.1 m C.9 m D.5.1 m B 2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 . y=-3.75x2 A B 综合应用 3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米， 离地面 米，求水流落地点B离墙的距离. 巩固训练1 投球问题 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握函数值的计算是解题的关键．根据题意，把代入计算即可求解． 故选：D ． ∴第5秒时炮弹的飞行高度为 （米）， 解：炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为 ， 22 巩固训练1 投球问题 变式题 某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为， 故选：C． 23 课堂小结 课堂总结 本节课你学到了什么？ 25 $