第二十五章 一元二次方程概念清单速记表（知识清单）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“一元二次方程”章节内容，涵盖概念（定义、解、一般形式）、解法（配方法、公式法、因式分解法）、根与系数关系及实际应用四大知识范畴，搭建了从“概念理解”到“解法掌握”再到“实际应用”的递进式学习支架。 清单通过“章节-概念-定义-相关概念”的表格结构分类呈现知识，如将“根的判别式”与根的情况对应分析，培养学生推理意识。针对实际问题设计“传染问题、增长率问题”等模型示例，强化模型意识。标注“降次”为核心思想，关联各解法逻辑，帮助学生系统构建知识网络，教师可直接用于复习课梳理，学生自主学习时能快速定位重难点。

第二十五章 一元二次方程清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 25.1 一元二次方程的概念 一元二次方程 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程。 整式方程、未知数、最高次数 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 一元二次方程、方程的根 一元二次方程的一般形式 任何一个一元二次方程都可以化成 （）的形式，这个形式叫作一元二次方程的一般形式，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。 二次项系数、一次项系数、常数项 25.2 降次———解一元二次方程 降次 解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程；解一元二次方程的基本思路是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 转化思想、配方法、因式分解法 25.2.1 配方法 直接开平方 根据平方根的意义解形如 的方程：当 时，方程有两个不相等的实数根 ，；当 时，方程有两个相等的实数根 ；当 时，因为对任意实数 都有 ，所以方程无实数根。 平方根、降次、开平方 一元二次方程的配方形式 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 的形式。当 时，方程有两个不相等的实数根 ，；当 时，方程有两个相等的实数根 ；当 时，因为对任意实数 都有 ，所以方程无实数根。 配方法、完全平方式、直接开平方 配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。 完全平方式、降次、一元二次方程的配方形式 25.2.2 公式法 根的判别式 式子 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 的根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 。 判别式、、根的情况 判别式与根的情况 对于一元二次方程 （）：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根。 根的判别式、 求根公式 当 时，方程 （）的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程 的求根公式。 公式法、根的判别式、配方法 公式法 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 求根公式、根的判别式、一般形式 25.2.3 因式分解法 因式分解法 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 因式分解、降次、两个一次因式的积为 0 零因式性质 如果两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0；反之，如果两个因式中任何一个为 0，那么它们的积也等于 0。 因式分解法、降次 一元二次方程解法的比较 配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘、另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0。配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便。解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程（即降次），再分别解两个一次方程。 配方法、公式法、因式分解法、降次 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程 （）的两个根为 、，那么 ，。 求根公式、系数、韦达定理 25.3 实际问题与一元二次方程 一元二次方程与实际问题 同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多实际问题。 数学模型、等量关系 列一元二次方程解实际问题的基本思路 运用一元二次方程解决实际问题时，先设未知数，根据等量关系列出方程，再解方程，并根据实际问题的意义检验方程的根，舍去不符合题意的根。 设未知数、列方程、检验、舍去不合题意的根 传染（传播）问题 若开始有 1 个人被传染，每轮传染中平均 1 个人传染 个人，则第一轮后共有 个人被传染，第二轮后共有 个人被传染。 传染问题、传播问题、 平均增长（下降）率问题 若某量的初始值为 ，平均每期增长（下降）率为 ，则一年（期）后为 （或 ），两年（期）后为 （或 ）。 增长率、下降率、成本降低 循环比赛场次问题 若有 支球队参赛，单循环比赛（每两支球队之间比赛 1 场）的总场数为 ；双循环比赛（每两支球队之间进行两场比赛）的总场数为 。 单循环、双循环、总场数 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $