25.1 一元二次方程的概念（知识清单，知识点&5易错&5题型）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了一元二次方程的概念知识体系。从一元二次方程的定义及三大核心条件出发，明确一般形式的结构与系数规范，进而掌握根的定义及检验方法，构建完整的概念学习支架。 知识链路按概念内涵、形式规范到根的应用逻辑递进，通过易错点剖析（如未化简判定次数、整式方程判定等）强化理解。题型涵盖定义判断、系数求解、参数确定等，方法技巧突出推理意识与运算能力，助力学生形成规范的数学语言表达和问题解决能力。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 🔷知识点一　一元二次方程的概念 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整 式，未知 数的最高次数是 2 ，这样的方程叫作一元二次方程。 满足一元二次方程的三大核心条件：①方程为整式方程；②全程只出现 1 个未知数；③未知数最高次数为 2。 ⚠️特别提醒 ①判定未知数最高次数时，要以整理化简完成后的方程作为判断依据，不能直接观察原式。 ②整式方程的判定标准针对原始方程，要求等式左右两边本身都是整式，不能依靠化简后的结果判定原式属性。 📌 归纳总结 快速辨别一元二次方程两步法：第一步看原式是否两边均为整式；第二步化简后核对未知数个数与最高次数。 🔷 知识点二　一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为其中： · ：二次项，：二次项系数 · ：一次项，：一次项系数 · ：常数项 💡 拓展延伸 1.所有一元二次方程经过移项、合并同类项整理，都能转化为，因此判断方程类型、求解系数前，必须先化为标准一般形式。 2.系数全部依托标准形式定义，描述系数时必须连带该项前方正负符号；另有两项规范化整理要求： ①二次项系数为负数时，等式整体同乘化为正，其余每一项符号同步翻转； ②系数存在分数时，等式同乘分母最小公倍数，统一转化为整数系数。 3.若二次项系数带有字母参数，在未限定参数取值的前提下，无法直接判定该方程是一元二次方程。 ⚠️特别提醒 题干明确说明某方程是一元二次方程时，自带隐藏限定条件：二次项系数。 🔷 知识点三　一元二次方程的根 定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 📌 归纳总结 检验根三步：代入数值 → 计算左右两边 → 比较是否相等。 ⚠️ 特别提醒 一元二次方程若无实数根则无解，若有解必有两个，解要写成形式。 易错点 1 未化简直接判定未知数最高次数 · 错例：看到方程含有，直接判定为一元二次方程 · 错因：未先合并同类项化简，原式化简后为，未知数最高次数为 1，属于一元一次方程 · 规避方法：判断次数前，必须先移项、合并同类项完成化简 易错点 2 用化简结果判定原式是否为整式方程 · 错例：分式方程，两边同乘化简得，就判定它是一元二次方程 · 错因：原始方程包含分式，不满足 “原式两边都是整式” 的核心要求，不属于整式方程，自然不是一元二次方程 · 规避方法：整式方程只看原始原式，不参考变形、化简后的式子 易错点 3 描述系数漏带符号，未规范统一系数 1.符号遗漏错例：方程，直接说二次项系数 3、常数项 4 纠正：统一化为，二次项系数 3，一次项系数，常数项 4 2.分数系数错例：直接描述二次项系数为 纠正：同乘 3 化为整数标准式后再标注系数 易错点 4 忽略一元二次方程隐藏条件 · 错例：方程是一元二次方程，认为可取任意实数 · 错因：二次项系数不能等于 0，即，正确取值范围为；时方程退化为一元一次方程 易错点 5 检验根时不代入完整计算，主观判断 · 错例：主观认为是方程的根，未代入验算 · 错因：代入计算，等式不成立，不是该方程的根 · 规避方法：检验根必须完整代入、计算两侧数值后对比判断 题型一：一元二次方程的定义 📝方法技巧 一元二次方程判定三步速判法： 1.先看是不是整式方程，分式、根式方程直接排除； 2.再数未知数个数，超过 1 个直接排除； 最后看二次项，含参数二次项需保证参数不可能为 0，若参数可等于 0 则不是 “一定” 为一元二次方程。 1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3.下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 4.下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5.下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型二：一元二次方程的一般式 📝方法技巧 一元二次方程一般式找系数： 1.先观察是否为一元二次方程的一般式，若不是，先将其通过拆项、移项等方式，变成一般式； 2.再和的每一项一一对应，找到对应系数的值。 1.将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 3.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 4.把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 题型三：由一元二次方程的定义求参数 📝方法技巧 求一元二次方程中的参数： 1.找到一元二次方程中的二次项，使项中的指数等于2，求出参数的值； 2.再让二次项系数不等于0，与步骤1中求出的参数的值对照，排除不符合的值。 1.若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 2.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 3.若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 4.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 题型四：判断是否为一元二次方程的解 📝方法技巧 1.将解代入方程中验证，若左侧右侧，则说明该数是一元二次方程的解；若左侧右侧，则说明该数不是一元二次方程的解； 特殊地： 1 若题干为“该数是以下哪个一元二次方程的解”，即选项中出现了方程，可以先将不是一元二次方程的选项排除； 2 灵活运用整体思想，若一元二次方程中含有多个参数，将解代入原方程后，会得到一个参数等量关系式，再观察问题中要求的参数表达式和已知的参数等量关系式之间的联系（一般有倍数关系），利用整体思想代入即可。 1.在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 2.下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 3.下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 4.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 5.已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 6.下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 7.如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 题型五：由一元二次方程的解求参数 📝方法技巧 1.先将解代入原方程中求参数； 2.将求得的参数代回到原方程中，可以利用因式分解的方式求方程的解，也可以用代入验证法确定方程的另一个解。 1. 已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 2. 一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 3. 关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 4. 若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 5. 若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 🔷知识点一　一元二次方程的概念 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫作一元二次方程。 满足一元二次方程的三大核心条件：①方程为整式方程；②全程只出现 1 个未知数；③未知数最高次数为 2。 ⚠️特别提醒 ①判定未知数最高次数时，要以整理化简完成后的方程作为判断依据，不能直接观察原式。 ②整式方程的判定标准针对原始方程，要求等式左右两边本身都是整式，不能依靠化简后的结果判定原式属性。 📌 归纳总结 快速辨别一元二次方程两步法：第一步看原式是否两边均为整式；第二步化简后核对未知数个数与最高次数。 🔷 知识点二　一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为其中： · ：二次项，：二次项系数 · ：一次项，：一次项系数 · ：常数项 💡 拓展延伸 1.所有一元二次方程经过移项、合并同类项整理，都能转化为，因此判断方程类型、求解系数前，必须先化为标准一般形式。 2.系数全部依托标准形式定义，描述系数时必须连带该项前方正负符号；另有两项规范化整理要求： ①二次项系数为负数时，等式整体同乘化为正，其余每一项符号同步翻转； ②系数存在分数时，等式同乘分母最小公倍数，统一转化为整数系数。 3.若二次项系数带有字母参数，在未限定参数取值的前提下，无法直接判定该方程是一元二次方程。 ⚠️特别提醒 题干明确说明某方程是一元二次方程时，自带隐藏限定条件：二次项系数。 🔷 知识点三　一元二次方程的根 定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 📌 归纳总结 检验根三步：代入数值 → 计算左右两边 → 比较是否相等。 ⚠️ 特别提醒 一元二次方程若无实数根则无解，若有解必有两个，解要写成形式。 易错点 1 未化简直接判定未知数最高次数 · 错例：看到方程含有，直接判定为一元二次方程 · 错因：未先合并同类项化简，原式化简后为，未知数最高次数为 1，属于一元一次方程 · 规避方法：判断次数前，必须先移项、合并同类项完成化简 易错点 2 用化简结果判定原式是否为整式方程 · 错例：分式方程，两边同乘化简得，就判定它是一元二次方程 · 错因：原始方程包含分式，不满足 “原式两边都是整式” 的核心要求，不属于整式方程，自然不是一元二次方程 · 规避方法：整式方程只看原始原式，不参考变形、化简后的式子 易错点 3 描述系数漏带符号，未规范统一系数 1.符号遗漏错例：方程，直接说二次项系数 3、常数项 4 纠正：统一化为，二次项系数 3，一次项系数，常数项 4 2.分数系数错例：直接描述二次项系数为 纠正：同乘 3 化为整数标准式后再标注系数 易错点 4 忽略一元二次方程隐藏条件 · 错例：方程是一元二次方程，认为可取任意实数 · 错因：二次项系数不能等于 0，即，正确取值范围为；时方程退化为一元一次方程 易错点 5 检验根时不代入完整计算，主观判断 · 错例：主观认为是方程的根，未代入验算 · 错因：代入计算，等式不成立，不是该方程的根 · 规避方法：检验根必须完整代入、计算两侧数值后对比判断 题型一：一元二次方程的定义 📝方法技巧 一元二次方程判定三步速判法： 1.先看是不是整式方程，分式、根式方程直接排除； 2.再数未知数个数，超过 1 个直接排除； 最后看二次项，含参数二次项需保证参数不可能为 0，若参数可等于 0 则不是 “一定” 为一元二次方程。 1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2.下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 3.下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可； 【详解】解： ∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，②只含一个未知数，③未知数的最高次数为2. 选项A． 满足所有三个条件，是一元二次方程； 选项B． 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C． 未知数最高次数为3，不符合要求； 选项D． 中 是分式，该方程不是整式方程，不符合要求； 4.下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 5.下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 题型二：一元二次方程的一般式 📝方法技巧 一元二次方程一般式找系数： 1.先观察是否为一元二次方程的一般式，若不是，先将其通过拆项、移项等方式，变成一般式； 2.再和的每一项一一对应，找到对应系数的值。 1.将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 3.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 4.把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值. 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 题型三：由一元二次方程的定义求参数 📝方法技巧 求一元二次方程中的参数： 1.找到一元二次方程中的二次项，使项中的指数等于2，求出参数的值； 2.再让二次项系数不等于0，与步骤1中求出的参数的值对照，排除不符合的值。 1.若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 2.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 3.若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 4.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 题型四：判断是否为一元二次方程的解 📝方法技巧 1.将解代入方程中验证，若左侧右侧，则说明该数是一元二次方程的解；若左侧右侧，则说明该数不是一元二次方程的解； 特殊地： 1 若题干为“该数是以下哪个一元二次方程的解”，即选项中出现了方程，可以先将不是一元二次方程的选项排除； 2 灵活运用整体思想，若一元二次方程中含有多个参数，将解代入原方程后，会得到一个参数等量关系式，再观察问题中要求的参数表达式和已知的参数等量关系式之间的联系（一般有倍数关系），利用整体思想代入即可。 1.在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 2.下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 3.下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过因式分解法求解一元二次方程，再从给定的数中匹配出方程的解，也可将选项代入方程验证是否成立． 【详解】解：∵ ∴对左边因式分解得 则或 解得或 根据题干所给的数中，观察选项可知，选项D符合， 故选：D． 4.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 5.已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 6.下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 7.如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 题型五：由一元二次方程的解求参数 📝方法技巧 1.先将解代入原方程中求参数； 2.将求得的参数代回到原方程中，可以利用因式分解的方式求方程的解，也可以用代入验证法确定方程的另一个解。 1. 已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 2. 一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 3. 关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 4. 若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 5. 若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $