4.4.3不同函数增长的差异 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数增长差异，分层设计从基础识别到综合建模，通过情境化题型培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数模型识别、图象判断|第1-5题选择，考查线性/指数/对数函数增长特征，夯实概念理解| |中档|函数增长速度比较、简单应用|第6-9题多选/填空，如第7题比较x²与xlnx增长速度，提升辨析能力| |拔高|综合情境建模、跨知识应用|第10-16题解答，如第16题奖励模型选择，融合不等式与函数性质，培养建模能力|

4.4.3　不同函数增长的差异 1. 据统计某地区10月、11月、12月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y ( 万人 ) 关于月数x的函数关系近似地是（　　） A.  B.  C.  D.  2. 在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（　　） 3.有一组实验数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型适合的是（　　） A.y＝logax（a＞1） B.y＝ax＋b（a＞1） C.y＝ax2＋b（a＞0） D.y＝logax＋b（a＞1） 4.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（　　） 5.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（　　） A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1 6.（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（　　） A. 随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B. 随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C. 当时，增长速度一直快于 D. 当时，增长速度有时快于 7.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是　　　　. 8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是　　　　年.（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30） 9.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应　　　；B对应　 　；C对应　　　；D对应　　　. 10. 某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y ( 单位：万元 ) 随生源利润x ( 单位：万元 ) 的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型符合该校的要求？ 11. 函数的图象大致为（　　） 12.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（　　） 13.如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C.若AC平行于y轴，则点A的坐标是　　　　. 14.假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数. t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 40 P2/万元 20 40 （1）求函数P1＝f（t）的解析式； （2）求函数P2＝g（t）的解析式； （3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异. 15.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（t≥0，a＞0且a≠1）的图象. 有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质质量都相等；③若残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是　　　　. 16.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%. （1）现有三个奖励函数模型：①f（x）＝0.03x＋8，②f（x）＝0.8x＋200，③f（x）＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，试分析这三个函数模型是否符合公司要求； （2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 4.4.3　不同函数增长的差异 1.C　将 ( 1, 0.2 ) ，( 2, 0.4 ) ，( 3, 0.76 ) 代入，当时，，和0.76相差较大； 将 ( 1, 0.2 ) ，( 2, 0.4 ) ，( 3, 0.76 ) 代入，当取1，2，3所得的值都与已知值相差甚远； 将 ( 1, 0.2 ) ，( 2, 0.4 ) ，( 3, 0.76 ) 代入，当时，，和0.76相差0.04； 将 ( 1, 0.2 ) ，( 2, 0.4 ) ，( 3, 0.76 ) 代入，当时所得值相差较大. 综合以上分析，选用函数关系，较为近似. 故选：C. 2.C　由题意可知：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，故排除A，D；停止注射后，血液的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C．故答案为：C． 3.C　由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A、D中的函数模型增长速度越来越慢，B中的函数模型增长速度保持不变，故选C. 4.C　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B. 5.B　由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增的，所以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2＞y1＞y3. 6.BD　对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于， 由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误. 故选：BD. 7.y＝x2　解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快. 8.2027　解析：设2023年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130（1＋12%）n.由130（1＋12%）n＞200，得1.12n＞，两边取对数，得n·lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，∴n＞≈＝3.8，又n∈N*，∴n≥4，∴从2027年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 9.（4）　（1）　（3）　（2）　解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与（3）对应，D容器水高度变化慢，与（2）对应. 10.解：借助几何画板作出函数，，，的图象 ( 如图所示 ) 观察图象可知，在区间上，，的图象都有一部分在直线的上方， 只有的图象始终在和的下方， 这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求． 11.C　函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 12.B　开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合. 13.（log32，2）　解析：由题意设A（n，3n），B（m，3m），由9n＝32n＝3m得m＝2n，解得n＝，则C，A.又因为A，B，O三点共线，设直线AB对应的解析式为y＝kx（k＞0），则解得m＝2log32，所以n＝log32.所以点A的坐标为（log32，2）. 14.解：（1）设f（t）＝kt＋b（k≠0）， 则⇒ ∴P1＝f（t）＝2t＋20. （2）设g（t）＝mat（a＞0，且a≠1）， 则⇒ ∴P2＝g（t）＝20×（）t＝20×. （3）图象如图. 表格中的数据如下表所示： t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 30 40 50 60 P2/万元 20 20 40 40 80 由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大. 15.①③　解析：根据题意，函数的图象经过点，故函数解析式为y＝.当t＝4时，y＝＜，故①正确；当t＝1时，y＝，减少了，当t＝2时，y＝，减少了，每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝lo，t2＝lo，t3＝lo，则t1＋t2＝t3，故③正确. 16.解：（1）由题意符合公司要求的函数f（x）在[3 000，9 000]上单调递增，且∀x∈[3 000，9 000]，恒有f（x）≥100且f（x）≤. 对于①，函数f（x）＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f（3 000）＝98＜100，不符合要求； 对于②，函数f（x）＝0.8x＋200为减函数，不符合要求； 对于③，函数f（x）＝100log20x＋50在[3 000，9 000]上单调递增，且当x＝3 000时，f（3 000）＞100×log203 000＋50≥100， 又因为f（x）≤f（9 000）＝100·log209 000＋50＜100·log20160 000＋50＝450，而≥＝600， 所以当x∈[3 000，9 000]时，f（x）max≤（）min，所以f（x）≤恒成立. 因此，f（x）＝100log20x＋50为满足条件的函数模型. （2）由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000， 所以要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到8 000万元. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $