第4章 4.4 4.4.3 不同函数的增长差异-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数增长与衰减核心知识，通过基础辨析、情境应用、综合建模三层设计，实现从概念理解到数学建模的进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|函数类型比较、图象识别|以选择为主，如函数增长速度辨析，强化概念理解| |中档|实际情境应用、数据处理|结合表格（汽车耗油量）与问题（声压级计算），培养数据意识| |拔高|综合建模、复杂问题解决|通过解答题（奖励模型选择、废气处理），发展逻辑推理与应用能力|

1．当x越来越大时，下列函数增长速度变化最快的是(　　) A．y＝100x　　　　　 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝x100 答案：B 2．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　) 答案：A 3．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　) 答案：A 4．从甲地到乙地的距离约为240 km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据： v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是(　　) A．Q＝＋b B．Q＝av3＋bv2＋cv C．Q＝0.5v＋a D．Q＝klogav＋b 答案：B 5．(多选)下面对函数与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 解析：ABD　[结合指数函数y＝x和对数函数的图象易得C正确，A，B，D错误．] 6．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 解析：ACD　[∵L1－L2＝20×lg－20×lg＝ 20×lg≥0，∴≥1， ∴p1≥p2，所以A正确； ∵L2－L3＝20×lg＞10，∴lg＞，∴＞，所以B错误；∵L3＝20×lg＝40， ∴＝100，所以C正确；∵L1－L2＝20×lg≤90－50＝40，∴lg≤2，∴≤100，所以D正确．故选ACD.] 7．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，某地根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过　________　小时才能开车(精确到1小时)． 解析：设经过x小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，所以x≤0.3，当x＝1,2,3,4时，x＞0.3，而当x＝5时，x＜0.3，所以x最小应取5，即此人至少经过5小时才能开车． 答案：5 8．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是　________　. ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5； ③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50x. 解析：结合四种函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①. 答案：① 9.如图，已知点A，B是函数f(x)＝log216x图象上的两点，点C是函数g(x)＝log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，则点A的横坐标为　________　，点B的横坐标为　________　. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则y1＝log216x1，y2＝log216x2，y3＝log2x3，x2＝x3. 因为△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，所以y2－y3＝log216＝4，y2＋y3＝2y1， 即log216x2－log2x3＝2(x2－x1)， log216x2＋log2x3＝2log216x1， 化简可得x2－x1＝2，log2x2＝2＋log2x1， 解得x1＝，x2＝. 答案：　 10．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 11．大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务．某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少20%，那么要让有害气体减少到原来的5%，求至少要经过几次处理(参考数据；lg 2≈0.301 0)． 解：设工业废气在未处理前为a，经过x次处理后变为y，则y＝a(1－20%)x＝a(80%)x.由题意得＝5%， 即(80%)x＝5%，两边同时取以10为底的对数得xlg0.8＝lg 0.05，即x＝≈13.4. 因而至少需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%. 12．若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数f(x)＝aenx(其中e≈2.71828…)．假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为(　　) A．5　　 B．8　　 C．9　　 D．10 解析：A　[由题意，f(5)＝ae5n＝∴e5n＝， 又f(m＋5)＝ae(m＋5)n＝， 即e(m＋5)n＝＝(e5n)2＝e10n， ∴(m＋5)n＝10n， ∴m＝5.] 13．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2020年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a， (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2020年和2022年的数据求出相应的解析式； (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2026年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2026年的年产量． 解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b， 若模型为f(x)＝2x＋a， 则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2， 即f(x)＝2x＋2， 此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为 则f(x)是减函数，与已知不符合． 由已知得 解得 所以f(x)＝x＋，x∈N. (2)2026年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13,2025年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1. 2026年的年产量为9.1万件． 学科网（北京）股份有限公司 $