1.2.2～1.2.4 数轴、相反数、绝对值 培优专题训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以“题型点拨+分层训练”构建数轴、相反数、绝对值综合应用体系，通过几何直观与代数推理融合，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数轴距离|4题|距离公式|数轴概念→距离计算→分类讨论| |点的移动|4题|移动规律|静态数轴→动态变化→方程应用| |折叠问题|4题|对称性质|数轴折叠→中心对称→距离转化| |符号化简|2题|奇负偶正|多重符号→相反数概念→直接化简| |相反数结合|4题|几何意义|相反数定义→数轴位置→距离关系| |绝对值非负性|2题|非负性质|绝对值定义→非负性→方程求解| |绝对值化简|4题|性质化简|绝对值性质→符号判断→代数化简| |绝对值与数轴|4题|距离和模型|绝对值几何意义→距离和→最值探究|

数轴、相反数、绝对值培优专题训练 题 型 概 览 重 点 强 化 重点题型1：数轴上两点间的距离 ★ 点拨　数轴两点间距离公式，若点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点间距离为|a-b| 1．（2026•高碑店市模拟）如图，数轴上的点M，N分别表示数﹣3，1． （1）求点M，N之间的距离； （2）数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【答案】（1）4；（2）﹣1或3． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式计算即可． 【解答】解：（1）由数轴可知：点M，N之间的距离为1﹣（﹣3）＝1+3＝4； （2）由条件可知点A表示的数为1﹣2＝﹣1或1+2＝3， 即x的值﹣1或3． 2．（2025秋•泰安校级月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是﹣3． （1）则B所表示的数是　 　 ． （2）数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为　　 ． （3）数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为　 　 ． （4）若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是　 　 ，D、E两点间的距离是　 　 ． 【答案】（1）4；（2）；（3）2或6；（4）4，1． 【分析】（1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可； （4）首先根据移动方式求出点E表示的数，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【解答】解：（1）由题知，如图所示， 所以点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）因为点A表示的数是﹣3，点B表示的数为4， 则，所以P点表示的数为． 故答案为：； （3）因为点B表示的数为4， 则4﹣2＝2，4+2＝6，所以点C表示的数为2或6． 故答案为：2或6； （4）由所给平移方式可知， 3﹣4+5＝4，所以点E表示的数为4， 则4﹣3＝1，所以D、E两点间的距离是1． 故答案为：4，1． 3．（2025秋•南关区期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为5，点P为数轴上任意一点． （1）线段AB的长度为　 　 ； （2）若点P到点A，B的距离相等，则点P表示的数为　 　 ； （3）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，求出点P表示的数； （4）若点P到点A，B的距离之和为11．直接写出点P表示的数． 【答案】（1）8；（2）1；（3）9或3；（4）或． 【分析】（1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识解答； （3）利用数轴知识解答； （4）利用数轴知识解答． 【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8， ∴线段AB的长度为8； 故答案为：8； （2）5﹣（﹣3）＝8，8÷2＝4，﹣3+4＝1， ∴若点P到点A，B的距离相等，则点P表示的数为1； 故答案为：1； （3）设点P对应的数为p， 当点P在点B右边时，PA＝3PB，∴p﹣（﹣3）＝3（p﹣5），解得p＝9， 当点P在点A、点B之间时，PA＝3PB，∴p﹣（﹣3）＝3（5﹣p），解得p＝3， ∴出点P表示的数为9或3； （4）设点P对应的数为p， 当点P在点B右边时，PA+PB＝11，∴p﹣（﹣3）+（p﹣5）＝11，解得p， 当点P在点A左边时，PA+PB＝11，∴（﹣3）﹣p+（5﹣p）＝11，解得p． ∴点P表示的数为或． 4．（2025秋•广丰区期中）如图，数轴上点A表示的数是﹣2，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是﹣1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4＝5，则称点P为点A、B的“5格距点”． （1）若点P表示的数是2，则n的值为　 　 ； （2）数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，求出所有的整点P； （3）若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】（1）5；（2）﹣2，﹣1，0，1，2，3； （3）①当P在AB之间时，点P表示的数为：，此时 n＝5； ②当P在点A左边时，点P表示的数为：﹣7，此时 n＝5+10＝15． 【分析】（1）由题意可求出点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段AB上，从而得出整点P所表示的数是﹣2，﹣1，0，1，2，3： （3）分两种情况讨论：当P在AB之间时，AB＝5，点P表示的数为，此时n＝5；当P在点A左边时，PA＝AB＝5，点P表示的数为﹣7，此时 n＝15． 【解答】解：（1）∵点P表示的数为2， ∴点P到点A的距离是2﹣（﹣2）＝4， 点P到点B的距离为3﹣2＝1， ∴点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为 4+1＝5， ∴n＝5． 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴PA+PB＝5，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是﹣2，﹣1，0，1，2，3； （3）①当P在AB之间时，AB＝5， 点P表示的数为：，此时 n＝5； ②当P在点A左边时，PA＝AB＝5， 点P表示的数为：﹣2﹣5＝﹣7，此时 n＝5+10＝15． 重点题型2：数轴上点的移动 ★ 点拨　在数轴上移动时，越往右数越大，越往左数越小。利用路程=速度×时间公式计算。 1．（2025秋•焦作期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若PA＝4PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）﹣2，6，图见解答；（2）或； （3）3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化，其值为16． 【分析】（1）根据AB＝8，且OB＝3OA，就可以确定a和b的值； （2）分别用含x的代数式表示出PA和PB长度，再根据PA＝4PB建立等式，就可以求出x的值； （3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB﹣PA，并化简就可以确定这是一个定值． 【解答】解：（1）因为AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b， 所以a＝﹣2，b＝6． 故答案为：﹣2，6； （2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去． 因为PA＝4PB， 所以x+2＝4（6﹣x）， 所以x； ②当P点位于B点右侧时， 因为PA＝4PB， 所以x+2＝4（x﹣6）， 所以x， 所以x的值为或； （3）3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化， t秒后，A点的值为（﹣2﹣t），P点的值为2t，B点的值为（6+3t）， 所以3PB﹣PA ＝3（6+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣2﹣t）] ＝18+3t﹣（2t+2+t） ＝18+3t﹣3t﹣2 ＝16． 所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化，其值为16． 2．（2025秋•紫金县期末）在数轴上，点A，B，C分别位于﹣2，1，6的位置上，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，点A与点B之间的距离表示为m，点B与点C之间的距离表示为n，点A与点C之间的距离表示为p． （1）当t＝2时，求点A，B，C所处位置分别表示的数； （2）用含t的关系式表示p的长度； （3）m﹣n的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】（1）点A表示的数为﹣4，点B表示的数为3，点C表示的数为12；（2）p＝8+4t； （3）m﹣n的值不会随着时间t的变化而改变，且m﹣n＝﹣2． 【分析】（1）根据题意，t秒钟过后，点A表示的数为（﹣2﹣t），点B表示的数为（1+t），点C表示的数为（6+3t），当t＝2时，代入求解即可； （2）用点C表示的数为（6+3t）减去点A表示的数为（﹣2﹣t）即可求得p的长度； （3）先求得m＝3+2t，n＝5+2t，据此可求得m﹣n的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，t秒钟过后，点A表示的数为（﹣2﹣t），点B表示的数为（1+t），点C表示的数为（6+3t）， 当t＝2时，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为3，点C表示的数为12； （2）t秒钟过后，点A表示的数为（﹣2﹣t），点B表示的数为（1+t），点C表示的数为（6+3t）， ∴p＝6+3t﹣（﹣2﹣t）＝8+4t； （3）t秒钟过后，点A表示的数为（﹣2﹣t），点B表示的数为（1+t），点C表示的数为（6+3t）， ∴m＝1+t﹣（﹣2﹣t）＝3+2t，n＝6+3t﹣（1+t）＝5+2t， ∴m﹣n＝3+2t﹣（5+2t）＝﹣2， ∴m﹣n的值不会随着时间t的变化而改变，且m﹣n＝﹣2． 3．（2025秋•兴宁市期末）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． （1）求出点N所对应的数； （2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； （3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 【答案】（1）点N所表示的数为1；（2）点P所对应的数是﹣3.5或1.5； （3）当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数为﹣37，﹣35或﹣45，﹣47． 【分析】（1）根据数轴表示数的意义，由点M表示的数是﹣3，点N在点M的右侧且MN＝4，可确定点N所表示的数； （2）因为MN＝4，因此点P不可能在点M、N之间，所以分两种情况进行解答，即点P在点M的左侧，在点N的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （3）设Q移动的时间为ts，用含有t的代数式表示移动后点P、Q所表示的数，再根据两点距离计算方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数． 【解答】解：（1）∵点M表示的数是﹣3，点N在点M的右侧且MN＝4， ∴点N所表示的数为﹣3+4＝1， 答：点N所表示的数为1； （2）因为MN＝5，因此点P不可能在点M、N之间， 当点P在点M的左侧时，设点P所表示的数为x，则PM＝﹣3﹣x，PN＝1﹣x， 由PM+PN＝5得，﹣3﹣x+1﹣x＝5， 解得x＝﹣3.5， 当点P在点N的右侧时，设点P所表示的数为y，则PM＝y+3，PN＝y﹣1， 由PM+PN＝5得，y+3+y﹣1＝5， 解得y＝1.5， 所以当点P到点M，N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是﹣3.5或1.5； （3）点P从点M向左移动5s后所对应的数为﹣3﹣2×5＝﹣13， 设点Q移动的时间为ts，则点P所对应的数为（﹣13﹣2t），点Q所对应的数为（1﹣3t）， ①当点Q在点P的右侧时，有（1﹣3t）﹣（﹣13﹣2t）＝2， 解得t＝12， 此时点P所表示的数为﹣13﹣2×12＝﹣37，点Q所表示的数为1﹣3×12＝﹣35， ②当点Q在点P的左侧时，有（﹣13﹣2t）﹣（1﹣3t）＝2， 解得t＝16， 此时点P所表示的数为﹣13﹣2×16＝﹣45，点Q所表示的数为1﹣3×16＝﹣47， 答：当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数为﹣37，﹣35或﹣45，﹣47． 4．（2025秋•四川期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】（1）﹣4、6﹣6t；（2）①5秒；②1或9秒 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 重点题型3：数轴上的折叠问题 ★ 点拨　折叠重合部分的长度相等。 1．（2025秋•淄川区期末）已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1对应的点与数﹣1对应的点重合，则数轴上数﹣2对应的点与数2对应的点重合． 根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题： 已知数轴上﹣4对应的点与数0对应的点重合． （1）数轴上数3对应的点与数　 　 对应的点重合； （2）若点A到原点的距离为5，且点A，B经折叠后重合，则点B表示的数为　 　 ； （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2026，且点M，N经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，求点M，N表示的数． 【答案】（1）﹣7；（2）﹣9或1；（3）点M表示的数为1011，点N表示的数为﹣1015． 【分析】（1）根据题意得出折点表示的数为﹣2，据此可解决问题； （2）根据题意得出点A表示的数为5或﹣5，再结合折点表示的数为﹣2即可解决问题； （3）根据折点表示的数为﹣2进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为数轴上﹣4对应的点与数0对应的点重合， 则， 所以折点表示的数为﹣2， 则3﹣（﹣2）＝5，﹣2﹣5＝﹣7， 所以数轴上数3对应的点与数﹣7对应的点重合． 故答案为：﹣7； （2）因为点A到原点的距离为5， 所以点A表示的数为5或﹣5． 当点A表示的数为5时， 5﹣（﹣2）＝7，﹣2﹣7＝﹣9， 所以点B表示的数为﹣9； 当点A表示的数为﹣5时， ﹣2﹣（﹣5）＝3，﹣2+3＝1， 所以点B表示的数为1， 综上所述，点B表示的数为﹣9或1． 故答案为：﹣9或1； （3）因为数轴上M，N两点之间的距离为2026，点M，N经折叠后重合， 所以2026÷2＝1013． 又因为点M表示的数比点N表示的数大， 所以点M表示的数为：﹣2+1013＝1011，点N表示的数为：﹣2﹣1013＝﹣1015． 2．（2025秋•潮南区期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”． 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与﹣2表示的点重合，则﹣7表示的点与　 　 表的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为　 　 ，对折后6表示的点与数　 　 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为12（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①2，﹣2；②点A表示的数是﹣4，点B表示的数是8． 【分析】找到左右折叠后的中心点表示的数计算即可． 【解答】解：（1）∵左右折叠的纸面，2表示的点与﹣2表示的点重合， ∴对折中心点对应的数是0， ∴﹣7表示的点与7表示的点重合． 故答案为：7； （2）①∵左右折叠的纸面，﹣1表示的点与5表示的点重合， ∴对折中心点对应的数是：2， 故答案为：2． 设：对折后6表示的点与数x表示的点重合，依题意得： ， 解得x＝﹣2， 故答案为：﹣2． ②∵数轴上A，B两点之间距离为12（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， ∴点A、B到中心点2的距离相等，且距离为：12÷2＝6， ∴点A表示的数为：2﹣6＝﹣4， 点B表示的数为：2+6＝8． 3．（2024秋•武安市期末）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　 　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【答案】（1）2；（2）①点D表示的数为﹣3；②A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 【分析】（1）根据表示1的点与表示﹣1的点重合，可得其中点为原点，则﹣2与2重合； （2）根据表示﹣1的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【解答】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合， ∴折痕经过原点， ∴表示﹣2的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）∵表示﹣1的点与表示3的点重合， ∴1， ∴折痕经过表示1的点， ①1﹣（5﹣1）＝﹣3， ∴点D表示的数为﹣3； ②A：13.5，B：15.5． ∴A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 4．（2025秋•扬州月考）已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数﹣2的点与表示数0的点重合，则解答下列各题： （1）此时折痕经过的点表示的数是　 　 ；数轴上表示数3的点与表示数　 　 的点重合； （2）若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是　 　 ； （3）若数轴上经折叠后重合的两点A和B之间的距离为100（A在B的左侧），则A点表示的数是　 　 ；B点表示的数是　 　 ． 【答案】（1）﹣1；﹣5；（2）﹣8或4；（3）﹣51；49． 【分析】（1）根据题目中对折痕点解释可知，折痕点是两个点的中间数字，再根据题目给的条件计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离计算方法计算即可； （3）根据已知条件可得点A到折痕点﹣1的距离与点B到折痕点﹣1的距离相等，计算即可得解． 【解答】解：（1）∵数轴上数﹣2表示的点与数0表示的点关于点﹣1对称， 而3﹣（﹣1）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，∴数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合． 故答案为：﹣1；﹣5． （2）点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示6时，6﹣（﹣1）＝7，﹣1﹣7＝﹣8， 当点A表示﹣6时，﹣1﹣（﹣6）＝5，﹣1+5＝4， ∴B点表示的数是﹣8或4， 故答案为：﹣8或4． （3）∵经折叠后重合的两点A、B之间的距离为100，（A在B的左侧）， ∴点A到折痕点﹣1的距离与点B到折痕点﹣1的距离相等，且都为100÷2＝50， 由于A在B的左侧， 所以B点表示的数是﹣1+50＝49，A点表示的数是﹣1﹣50＝﹣51， 故答案为：﹣51，49． 重点题型4：多重符号的化简 ★ 点拨　重点关注“-”号，口诀奇负偶正。 1．（2025秋•图木舒克校级月考）化简下列各数： （1）﹣（+3.5）＝　 　 ； （2）﹣（﹣11）＝　 　 ； （3）　 　 ； （4）﹣[+（﹣5.8）]＝　 　 ． 【答案】（1）﹣3.5；（2）11；（3）；（4）5.8． 【分析】（1）根据相反数的定义，“+”可省略，“﹣”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （2）根据相反数的定义，“+”可省略，“﹣”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （3）根据相反数的定义，“+”可省略，“﹣”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数； （4）根据相反数的定义，“+”可省略，“﹣”表示取相反数，按照符号法则逐步化简名数． 【解答】解：（1）﹣（+3.5）＝﹣3.5， 故答案为：﹣3.5； （2）﹣（﹣11）＝11， 故答案为：11； （3）∵， ∴， 故答案为：1； （4）∵+（﹣5.8）＝﹣5.8， ∴﹣[+（﹣5.8）]＝﹣（﹣5.8）＝5.8， 故答案为：5.8． 2．（2025秋•德州月考）化简： （1）﹣（+7）＝　 ； （2）+（﹣3.7）＝　 　 ； （3）﹣（﹣2019）＝　 　 ； （4）　 　 ； （5）+[﹣（﹣8）]＝　 　 ； （6）　 ； 【答案】（1）﹣7；（2）﹣3.7；（3）2019；（4）；（5）8；（6） 【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，分数的基本性质，进行求解即可． 【解答】解：（1）﹣（+7）＝﹣7； （2）+（﹣3.7）＝﹣3.7； （3）﹣（﹣2019）＝2019； （4）； （5）+[﹣（﹣8）]＝8； （6） 重点题型5：相反数与数轴的结合 ★ 点拨　注意观察点在数轴上的位置，确定正负。互为相反数的点在数轴上与原点距离相等。 1．（2025秋•滦州市期中）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上三点，且满足AB＝12，BC＝5． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是　 　 ，点C表示的数是　 　 ． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是　 　 ． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动3个单位，求此时P的值． 【答案】（1）﹣12，5；（2）；（3）2． 【分析】（1）根据原点位置结合AB＝12，BC＝5，即可解答； （2）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； （3）先表示出A，B，C三点表示的数，求和即可． 【解答】解：（1）∵原点落在点B处，BC＝5，AB＝12， ∴点C表示的数是0+5＝5，点A表示的数是0﹣12＝﹣12， 故答案为：﹣12，5； （2）∵BC＝5，AB＝12， ∴AC＝AB+BC＝17， ∵A，C表示的数互为相反数， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴此时点B表示的数是， 故答案为：； （3）∵将原点从点B向左移动3个单位， ∴点B表示的数是3， ∵AB＝12，BC＝5， ∴点A表示的数是3﹣12＝﹣9，点C表示的数是3+5＝8， ∵P表示A，B，C三点表示的数之和， ∴P＝﹣9+3+8＝2． 2．（2024秋•榕江县校级月考）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上分别用A、B两点表示﹣a，﹣b． （2）若数b与﹣b表示的点相距20个单位长度，则b与﹣b表示的数分别是什么？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与﹣a表示的数是多少？ 【答案】（1）见下图；（2）b=﹣10，﹣b=10；（3）a=5，﹣a=﹣5 【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b； （2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b与﹣b表示的数； （3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a与﹣a表示的数． 【解答】解：（1）如图： （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为20÷2＝10， 所以b表示的数是﹣10，﹣b表示的数是10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为10﹣5＝5， 所以a表示的数是5，﹣a表示的数是﹣5． 3．（2025秋•钱塘区期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点A，B，C． （1）若点A表示的数是﹣2，直接写出点B，C表示的数． （2）若点A，C所表示的数互为相反数，求出点B表示的数． （3）若点B与原点之间的距离为3，求出点C表示的数． 【答案】（1）点B表示的数是4，点C表示的数是6． （2）点B表示的数是2． （3）若点B与原点左侧之间的距离为3，点C表示的数是﹣1； 若点B与原点右侧之间的距离为3，点C表示的数是5． 【分析】（1）根据数轴上点的表示方法即可求解； （2）先确定原点的位置，即可得到点B表示的数； （3）分情况讨论，点B在原点左侧或右侧，即可求出点C表示的数． 【解答】解：（1）点B表示的数是4，点C表示的数是6． （2）点B表示的数是2． （3）若点B与原点左侧之间的距离为3，点C表示的数是﹣1； 若点B与原点右侧之间的距离为3，点C表示的数是5． 4．（2025秋•平桥区月考）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是　 　 ，点C表示的数是　 　 ． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是　 　 ． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【答案】（1）﹣9，3；（2）3；（3）0． 【分析】（1）根据原点位置结合AB＝9，BC＝3，即可解答； （2）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； （3）先表示出A，B，C三点表示的数，求和即可． 【解答】解：（1）∵原点落在点B处，BC＝3，AB＝9， ∴点C表示的数是0+3＝3， 点A表示的数是0﹣9＝﹣9， 故答案为：﹣9，3； （2）∵BC＝3，AB＝9， ∴AC＝AB+BC＝12， ∵A，C表示的数互为相反数， ∴点C表示的数是6，点A表示的数是﹣6， ∴此时点B表示的数是6﹣3＝3， 故答案为：3； （3）∵将原点从点B向左移动2个单位： ∴点B表示的数是2， ∵BC＝3，AB＝9， ∴点A表示的数是2﹣9＝﹣7，点C表示的数是3+2＝5， ∵P表示A，B，C三点表示的数之和， ∴若将原点从点B向左移动2个单位，则P＝﹣7+2+5＝0． 重点题型6：绝对值的非负性 ★ 点拨　|a|≥0，多个非负数相加和为0，代表每个非负数均为0。 1．（2025秋•武汉校级月考）已知|x﹣3|+|y﹣4|＝0，求5x﹣2y的值． 【答案】7 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣3|+|y﹣4|＝0， ∴x﹣3＝0，y﹣4＝0， ∴x＝3，y＝4， ∴5x﹣2y＝5×3﹣2×4＝7． 2．（2025秋•古县期中）已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值；（2）已知|x+y+z|＝5，求z的值． 【答案】（1）x＝2，y＝﹣3；（2）6或﹣4． 【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出x+y+z＝±5，再结合（1）中的结果即可求出z的值． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+3|＝0， 又∵|x﹣2|≥0，|y+3|≥0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3； （2）∵|x+y+z|＝5， ∴x+y+z＝±5， 由（1）知x＝2，y＝﹣3， ∴z＝5﹣2﹣（﹣3）＝5﹣2+3＝6或z＝﹣5﹣2﹣（﹣3）＝﹣5﹣2+3＝﹣4， 即z的值为6或﹣4． 重点题型7：绝对值的化简计算 ★ 点拨　根据绝对值的性质进行化简，大于0不变，小于0变相反数。 1．（2025秋•同步）（1）如图，计算：|﹣3﹣a|﹣|b+1|﹣（a﹣b）． （2）若2＜x＜3，化简：|2﹣x|+|x﹣3|． （3）已知|x+2|与|y﹣5|互为相反数，求2|x﹣y|的值． 【答案】（1）2；（2）1；（3）14． 【分析】（1）根据数a、b在数轴上的位置﹣3﹣a＜0，b+1＞0，再根据绝对值的定义进行计算即可； （2）根据|2﹣x|+|x﹣3|的意义进行计算即可； （3）根据相反数的定义以及绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）由a、b在数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0＜1＜b， ∴﹣3﹣a＜0，b+1＞0， ∴|﹣3﹣a|﹣|b+1|﹣（a﹣b）＝3+a﹣b﹣1﹣a+b＝2； （2）当2＜x＜3时，|2﹣x|+|x﹣3|＝|2﹣3|＝1； （3）∵|x+2|与|y﹣5|互为相反数， ∴|x+2|+|y﹣5|＝0， ∴x+2＝0，y﹣5＝0， 解得x＝﹣2，y＝5， ∴2|x﹣y|＝2×|﹣2﹣5|＝14． 2．（2025•通川区校级开学）若2＜a＜4，化简|2﹣a|+|a+4|． 【答案】2a+2． 【分析】根据a的范围2＜a＜4，判断绝对值内的符号，从而化简表达式． 【解答】解：∵2＜a＜4， ∴2﹣a＜0，a+4＞0， ∴原式＝（a﹣2）+（a+4）＝2a+2． 故答案为：2a+2． 3．（2025秋•东源县期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C． （1）填空：A，B之间的距离为 ，B，C之间的距离为 ； （2）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a|． 【答案】（1）a﹣b；b﹣c；（2）3a﹣c． 【分析】（1）根据数轴得出c＜b＜0＜a，|a|＞|c|＞|b|，求出距离即可； （2）根据数轴得出c＜b＜0＜a，|a|＞|c|＞|b|，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）从数轴可知：c＜b＜0＜a，|a|＞|c|＞|b|， ∴A，B之间的距离为a﹣b；B，C之间的距离为b﹣c； 故答案为：a﹣b；b﹣c； （2）∵从数轴可知：a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0， ∴|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a| ＝a+b+（c﹣b）﹣2（c﹣a） ＝a+b+c﹣b﹣2c+2a ＝3a﹣c． 4．（2025秋•桐柏县月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 【答案】0． 【分析】由数轴可得c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞|b|，得到a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，再根据绝对值的意义和整式的加减进行化简即可． 【解答】解：根据题意可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0， ∴原式＝﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）﹣（c﹣a） ＝﹣a+b﹣b+c﹣c+a ＝0． 重点题型8：绝对值与数轴的结合 ★ 点拨　由两点距离公式可知，形如|x-a|+|x-b|代表x到a、b两点的距离和。 1．（2025秋•抚州校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；那么，表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ； （2）如果数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，并计算这些点表示的数的和． 【答案】（1）5；（2）6；（3）12． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离列式计算即可； （2）先根据a的取值范围去掉绝对值号，然后进行计算即可； （3）分x＜﹣2、﹣2≤x≤5和x＞5三种情况，分别化简绝对值，由此可得出符合条件的整数点，再相加即可． 【解答】解：（1）∵数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|， ∴﹣3和2两点之间的距离是|﹣3﹣2|＝5， 答：﹣3和2两点之间的距离是5， 故答案为：5； （2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间， ∴a+4＞0，a﹣2＜0， ∴|a+4|+|a﹣2|＝a+4+2﹣a＝6， 故答案为：6； （3）根据题意，可分以下三种情况： ①当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣5|＝﹣x﹣2+5﹣x＝﹣2x+3＞7， ②当﹣2≤x≤5时，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+5﹣x＝7， ③当x＞5时，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+x﹣5＝2x﹣3＞7， 则使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5， ∴﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12， 故这些点表示的数的和是12． 2．（2025秋•长安区校级月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助如图的数轴进行以下探索： 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|） （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　 　 ，最小距离是　 　 ． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x﹣3|+|x﹣6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少． 【答案】（1）3，5；（2）﹣4或2；（3）8，2； （4）当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值为3． 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算公式进行计算即可； （2）根据绝对值的几何意义进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义进行计算即可； （4）根据绝对值的几何意义进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为|4﹣1|＝3，|﹣3﹣2|＝5， 所以数轴上表示4和1的两点之间的距离是3，表示﹣3和2两点之间的距离是5． 故答案为：3，5； （2）因为代数式|x+1|的值可看成数轴上表示数x的点到表示﹣1的点的距离， 又因为|x+1|＝3， 则﹣1﹣3＝﹣4，﹣1+3＝2， 所以x＝﹣4或2． 故答案为：﹣4或2； （3）因为|a﹣3|＝2，|b+2|＝1， 所以a＝1或5，b＝﹣3或﹣1， 则A、B两点间的最大距离是：5﹣（﹣3）＝8，最小距离是：1﹣（﹣1）＝2． 故答案为：8，2； （4）代数式|x﹣3|+|x﹣6|的值可看成数轴上表示数x的点到表示3和6的点的距离之和． 当表示数x的点在表示3的点和6的点之间时（包括端点）， 代数式|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值为：6﹣3＝3， 所以当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值为3． 3．（2025秋•开鲁县月考）如下图所示，在数轴上，a，b，c对应的数，且b和c到原点距离相等，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）如果a，b，c对应的数分别为﹣3.7、﹣2.5、+2.5，则数轴上表示5与a的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣4和c两点之间的距离是　 　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，则a到c的距离是　 　 ． （2）确定符号：a﹣b　 　 0，c﹣b　 　 0，b+c　 　 0，a﹣c　 　 0； （3）化简：|a|+|b|+|c| 【答案】（1）8.7，6.5，6.2；（2）＜，＞，＝，＜；（3）﹣a﹣b+c． 【分析】（1）根据数轴上点的位置，以及数轴上两点间距离，即可得到结果； （2）根据数轴上a，b，c三点的位置，判断式子的正负，从而得到结果； （3）根据a，b，c的正负，化简即可得到结果． 【解答】解：（1）∵a对应的数为﹣3.7， ∴数轴上表示5与a的两点之间的距离是|5﹣（﹣3.7）|＝8.7， ∵c对应的数为+2.5， ∴表示﹣4和c两点之间的距离是|﹣4﹣（+2.5）|＝6.5， ∵a、c对应的数分别为﹣3.7、+2.5， ∴a到c的距离是|﹣3.7﹣（+2.5）|＝6.2． 故答案为：8.7，6.5，6.2． （2）∵|b|＝|c|，|a|＞|c|，a＜b＜0＜c， ∴b+c＝0，a﹣c＜0，a﹣b＜0，c﹣b＞0， 故答案为：＜，＞，＝，＜． （3）∵c＞0，a＜0，b＜0， ∴|a|+|b|+|c|＝﹣a﹣b+c． 4．（2025秋•内蒙古校级月考）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：5﹣3＝2；4与﹣2在数轴上的对应点间的距离可以表示为：4﹣（﹣2）＝6；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是　 　 ． ②数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是　 　 ． ③数轴上表示﹣5和2的两点之间的距离是　 　 ． 归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|． 应用： （2）①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：|m﹣4|＝6，则m＝　 　 ． ②若数轴上表示数m的点位于﹣3与4之间，则|m+3|+|m﹣4|＝　 　 ． ③若|m+4|+|m﹣1|＝5，其中m为整数，则m＝　 　 ． 【答案】（1）3；2；7；（2）①10或﹣2；②7；③﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1． 【分析】（1）①利用数轴上两点距离公式|a﹣b|，计算6和3的距离； ②同理，计算﹣2和﹣4的距离； ③同理，计算﹣5和2的距离； （2）①根据绝对值方程|m﹣4|＝6，分情况求解m； ②根据m的范围判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算； ③根据绝对值的几何意义，分析|m+4|+|m﹣1|的取值，结合m为整数求解． 【解答】解：（1）①根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示6和3的两点之间的距离：|6﹣3|＝3； ②根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离：|﹣2﹣（﹣4）|＝|﹣2+4|＝2； ③根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示﹣5和2的两点之间的距离：|﹣5﹣2|＝|﹣7|＝7． 故答案为：3；2；7； （2）①∵|m﹣4|＝6， ∴m﹣4＝6或m﹣4＝﹣6， 解得：m＝10或﹣2． 故答案为：10或﹣2； ②∵﹣3＜m＜4， ∴m+3＞0，m﹣4＜0， |m+3|+|m﹣4| ＝（m+3）+（4﹣m） ＝m+3+4﹣m ＝7． 故答案为：7； ③|m+4|+|m﹣1|表示数轴上m到﹣4和1的距离之和， ∵﹣4到1的距离为|1﹣（﹣4）|＝5， ∴当﹣4≤m≤1时，距离和为5． 又∵m为整数， ∴m＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1． 故答案为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 数轴、相反数、绝对值培优专题训练 题 型 概 览 重 点 强 化 重点题型1：数轴上两点间的距离 ★ 点拨　数轴两点间距离公式，若点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点间距离为|a-b| 1．（2026•高碑店市模拟）如图，数轴上的点M，N分别表示数﹣3，1． （1）求点M，N之间的距离； （2）数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 2．（2025秋•泰安校级月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是﹣3． （1）则B所表示的数是　 　 ． （2）数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为　　 ． （3）数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为　 　 ． （4）若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是　 　 ，D、E两点间的距离是　 　 ． 3．（2025秋•南关区期末）如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为5，点P为数轴上任意一点． （1）线段AB的长度为　 　 ； （2）若点P到点A，B的距离相等，则点P表示的数为　 　 ； （3）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，求出点P表示的数； （4）若点P到点A，B的距离之和为11．直接写出点P表示的数． 4．（2025秋•广丰区期中）如图，数轴上点A表示的数是﹣2，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是﹣1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4＝5，则称点P为点A、B的“5格距点”． （1）若点P表示的数是2，则n的值为　 　 ； （2）数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，求出所有的整点P； （3）若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 重点题型2：数轴上点的移动 ★ 点拨　在数轴上移动时，越往右数越大，越往左数越小。利用路程=速度×时间公式计算。 1．（2025秋•焦作期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若PA＝4PB，求x的值； （3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 2．（2025秋•紫金县期末）在数轴上，点A，B，C分别位于﹣2，1，6的位置上，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，点A与点B之间的距离表示为m，点B与点C之间的距离表示为n，点A与点C之间的距离表示为p． （1）当t＝2时，求点A，B，C所处位置分别表示的数； （2）用含t的关系式表示p的长度； （3）m﹣n的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 3．（2025秋•兴宁市期末）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． （1）求出点N所对应的数； （2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； （3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 4．（2025秋•四川期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 重点题型3：数轴上的折叠问题 ★ 点拨　折叠重合部分的长度相等。 1．（2025秋•淄川区期末）已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1对应的点与数﹣1对应的点重合，则数轴上数﹣2对应的点与数2对应的点重合． 根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题： 已知数轴上﹣4对应的点与数0对应的点重合． （1）数轴上数3对应的点与数　 　 对应的点重合； （2）若点A到原点的距离为5，且点A，B经折叠后重合，则点B表示的数为　 　 ； （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2026，且点M，N经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，求点M，N表示的数． 2．（2025秋•潮南区期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”． 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与﹣2表示的点重合，则﹣7表示的点与　 　 表的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为　 　 ，对折后6表示的点与数　 　 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为12（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 3．（2024秋•武安市期末）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　 　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 4．（2025秋•扬州月考）已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数﹣2的点与表示数0的点重合，则解答下列各题： （1）此时折痕经过的点表示的数是　 　 ；数轴上表示数3的点与表示数　 　 的点重合； （2）若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是　 　 ； （3）若数轴上经折叠后重合的两点A和B之间的距离为100（A在B的左侧），则A点表示的数是　 　 ；B点表示的数是　 　 ． 重点题型4：多重符号的化简 ★ 点拨　重点关注“-”号，口诀奇负偶正。 1．（2025秋•图木舒克校级月考）化简下列各数： （1）﹣（+3.5）＝　 　 ； （2）﹣（﹣11）＝　 　 ； （3）　 　 ； （4）﹣[+（﹣5.8）]＝　 　 ． 2．（2025秋•德州月考）化简： （1）﹣（+7）＝　 ； （2）+（﹣3.7）＝　 　 ； （3）﹣（﹣2019）＝　 　 ； （4）　 　 ； （5）+[﹣（﹣8）]＝　 　 ； （6）　 ； 重点题型5：相反数与数轴的结合 ★ 点拨　注意观察点在数轴上的位置，确定正负。互为相反数的点在数轴上与原点距离相等。 1．（2025秋•滦州市期中）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上三点，且满足AB＝12，BC＝5． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是　 　 ，点C表示的数是　 　 ． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是　 　 ． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动3个单位，求此时P的值． 2．（2024秋•榕江县校级月考）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上分别用A、B两点表示﹣a，﹣b． （2）若数b与﹣b表示的点相距20个单位长度，则b与﹣b表示的数分别是什么？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与﹣a表示的数是多少？ 3．（2025秋•钱塘区期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点A，B，C． （1）若点A表示的数是﹣2，直接写出点B，C表示的数． （2）若点A，C所表示的数互为相反数，求出点B表示的数． （3）若点B与原点之间的距离为3，求出点C表示的数． 4．（2025秋•平桥区月考）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是　 　 ，点C表示的数是　 　 ． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是　 　 ． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 重点题型6：绝对值的非负性 ★ 点拨　|a|≥0，多个非负数相加和为0，代表每个非负数均为0。 1．（2025秋•武汉校级月考）已知|x﹣3|+|y﹣4|＝0，求5x﹣2y的值． 2．（2025秋•古县期中）已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值；（2）已知|x+y+z|＝5，求z的值． 重点题型7：绝对值的化简计算 ★ 点拨　根据绝对值的性质进行化简，大于0不变，小于0变相反数。 1．（2025秋•同步）（1）如图，计算：|﹣3﹣a|﹣|b+1|﹣（a﹣b）． （2）若2＜x＜3，化简：|2﹣x|+|x﹣3|． （3）已知|x+2|与|y﹣5|互为相反数，求2|x﹣y|的值． 2．（2025•通川区校级开学）若2＜a＜4，化简|2﹣a|+|a+4|． 3．（2025秋•东源县期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C． （1）填空：A，B之间的距离为 ，B，C之间的距离为 ； （2）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a|． 4．（2025秋•桐柏县月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 重点题型8：绝对值与数轴的结合 ★ 点拨　由两点距离公式可知，形如|x-a|+|x-b|代表x到a、b两点的距离和。 1．（2025秋•抚州校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；那么，表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ； （2）如果数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，并计算这些点表示的数的和． 2．（2025秋•长安区校级月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助如图的数轴进行以下探索： 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ．（一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|） （2）如果|x+1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a，b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　 　 ，最小距离是　 　 ． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x﹣3|+|x﹣6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少． 3．（2025秋•开鲁县月考）如下图所示，在数轴上，a，b，c对应的数，且b和c到原点距离相等，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）如果a，b，c对应的数分别为﹣3.7、﹣2.5、+2.5，则数轴上表示5与a的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣4和c两点之间的距离是　 　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，则a到c的距离是　 　 ． （2）确定符号：a﹣b　 　 0，c﹣b　 　 0，b+c　 　 0，a﹣c　 　 0； （3）化简：|a|+|b|+|c| 4．（2025秋•内蒙古校级月考）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：5﹣3＝2；4与﹣2在数轴上的对应点间的距离可以表示为：4﹣（﹣2）＝6；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是　 　 ． ②数轴上表示﹣2和﹣4的两点之间的距离是　 　 ． ③数轴上表示﹣5和2的两点之间的距离是　 　 ． 归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|． 应用： （2）①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：|m﹣4|＝6，则m＝　 　 ． ②若数轴上表示数m的点位于﹣3与4之间，则|m+3|+|m﹣4|＝　 　 ． ③若|m+4|+|m﹣1|＝5，其中m为整数，则m＝　 　 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $