13.3三角形的内角与外角 课时作业 2026-2027学年人教版数学 八年级 上册

**基本信息** 本同步练习针对八年级数学“三角形的内角与外角”，采用“基础训练+综合提升”分层设计，通过知识梳理→单一应用→综合拓展路径巩固内角和定理及外角性质，适配新授课教学，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|内角和定理、外角定义及性质等单一知识点|选择/填空/解答题结合，直接应用概念与性质，如内角计算、外角等于不相邻内角和| |综合提升|内角与外角性质综合应用、实际问题解决|判断正误、分类讨论、画图题，如外角与内角关系验证、等腰三角形外角计算|

2026—2027 学年 · 人教版（2024） 八 年 级 数 学 · 上 册 第 十 三 章 三 角 形 13.3 三角形的内角与外角 课 时 作 业（含答案与解析） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：________ 得分：________ 【作业说明】 本作业严格按照人教版八年级上册第13.3节编排，包括13.3.1三角形的内角与13.3.2三角形的外角。训练目标：熟练掌握三角形内角和定理及其推论，理解外角定义与性质（外角等于不相邻两内角之和，外角大于不相邻内角），能正确画图并运用性质解决计算问题。内容完全不超纲。建议用时50～60分钟。请独立完成后再对照答案与解析订正。所有涉及示意图的题目、答案均提供对应图形。 13.3.1　三角形的内角 一、知识梳理 1. 三角形的内角：由三角形相邻两边组成的角。每个三角形有三个内角。 2. 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于 180°。 符号表示：在 △ABC 中，∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ 180°。 3. 重要推论： （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）等边三角形的每个内角都等于 60°。 （4）等腰三角形的两个底角相等；顶角 = 180° － 2×底角。 图1 三角形的三个内角 图2 三角形内角和定理示意图 【易错警示】 ① 三角形不可能有两个直角或两个钝角（否则和超过 180°）。 ② 求未知角时，优先用“180° 减去已知两角之和”。 ③ 等腰三角形要分清“顶角”与“底角”，避免漏情况。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1．三角形三个内角的和等于（　　） A. 90°　　B. 180°　　C. 270°　　D. 360° 2．在 △ABC 中，∠A＝35°，∠B＝75°，则 ∠C＝（　　） A. 60°　　B. 70°　　C. 80°　　D. 90° 3．直角三角形的两个锐角一定（　　） A. 相等　　B. 互余　　C. 互补　　D. 一个是 30° 4．等边三角形的每个内角都等于（　　） A. 30°　　B. 45°　　C. 60°　　D. 90° 5．若三角形的一个内角为 90°，则另外两个内角（　　） A. 都是锐角且互余　　B. 都是钝角　　C. 一个锐角一个钝角　　D. 无法确定 6．下列说法正确的是（　　） A. 三角形可以有两个钝角　　B. 锐角三角形的三个角都小于 60° C. 有一个角是直角的三角形是直角三角形　　D. 等腰三角形一定是锐角三角形 （二）填空题（每小题 4 分，共 28 分） 7．三角形有 ________ 个内角，它们的和是 ________°。 8．在 △ABC 中，∠A＝48°，∠B＝72°，则 ∠C＝ ________°。 9．直角三角形中一个锐角为 28°，则另一个锐角为 ________°。 10．等腰直角三角形的两个锐角都等于 ________°。 11．若 ∠A ＋ ∠B ＝ 110°，则在 △ABC 中 ∠C＝ ________°。 12．一个三角形三个内角的比为 2∶3∶4，则最大角是 ________°，该三角形是 ________ 三角形（按角分类）。 13．等腰三角形的顶角为 50°，则每个底角为 ________°。 （三）解答题（共 50 分） 14．（12 分）在 △ABC 中，∠A＝2∠B，∠C＝3∠B。 （1）求 ∠A、∠B、∠C 的度数； （2）按角分类，这个三角形属于什么三角形？ 15．（12 分）已知等腰三角形的一个角为 80°。 （1）求另外两个角的度数（需分情况讨论）； （2）判断这个三角形是否可能是钝角三角形。 16．（12 分）在直角 △ABC 中，∠C＝90°，∠A＝40°。 （1）求 ∠B； （2）若 CD 是斜边 AB 上的高，求 ∠ACD 和 ∠BCD。 17．（14 分）一个三角形的三个内角中，一个角比另一个角大 15°，第三个角是最小角的 2 倍。求三个角的度数。 13.3.2　三角形的外角 一、知识梳理 1. 外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。 每个顶点处可以作出两个相等的外角，一个三角形通常研究三个外角（每个顶点取一个）。 2. 外角的性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 3. 相关关系：外角与相邻的内角互补（和为 180°）。 图3 三角形的外角示意 图4 外角等于不相邻两内角之和 图5 外角计算示例（∠A=50°，∠B=60°，外角=110°） 图6 等腰三角形外角示例 【易错警示】 ① “不相邻”是关键：外角只等于不与它相邻的那两个内角的和。 ② 画外角时必须延长一边，垂足或交点在延长线上时用虚线表示延长部分。 ③ 外角可能是锐角、直角或钝角，取决于相邻内角的大小。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1．三角形的一个外角等于（　　） A. 相邻的内角　　B. 不相邻的一个内角　　C. 不相邻的两个内角之和　　D. 三个内角之和 2．在 △ABC 中，∠A＝40°，∠B＝70°，延长 BC 至 D，则外角 ∠ACD＝（　　） A. 40°　　B. 70°　　C. 110°　　D. 140° 3．三角形的一个外角大于（　　） A. 任何一个内角　　B. 相邻的内角　　C. 不相邻的任何一个内角　　D. 180° 4．若三角形的一个外角为 120°，则与它不相邻的两个内角之和为（　　） A. 60°　　B. 120°　　C. 180°　　D. 无法确定 5．等边三角形的一个外角等于（　　） A. 60°　　B. 90°　　C. 120°　　D. 180° 6．下列说法正确的是（　　） A. 三角形的外角一定是钝角　　B. 外角一定大于相邻的内角 C. 一个三角形只有三个外角　　D. 外角等于不相邻两内角之和 （二）填空题（每小题 4 分，共 28 分） 7．三角形的一个外角等于与它 ________ 的两个内角的和。 8．在 △ABC 中，∠A＝55°，∠B＝65°，延长 AB 至 D，则外角 ∠CBD＝ ________°。 9．等边三角形的外角等于 ________°。 10．直角三角形中，直角的外角等于 ________°。 11．在 △ABC 中，∠C 的外角为 125°，∠A＝45°，则 ∠B＝ ________°。 12．三角形的外角与相邻内角的和等于 ________°。 13．若外角为 100°，相邻内角为 80°，则不相邻的两个内角之和为 ________°。 （三）解答题（共 50 分） 14．（12 分）在 △ABC 中，∠A＝50°，∠B＝60°，延长 BC 到 D。 （1）求 ∠ACB 的度数； （2）求外角 ∠ACD 的度数； （3）验证外角性质：∠ACD ＝ ∠A ＋ ∠B。 （配图见知识梳理图5） 15．（12 分）已知 △ABC 中，∠A＝55°，∠C 的外角 ∠ACD＝140°。 （1）求 ∠B 的度数； （2）求 ∠ACB 的度数。 16．（12 分）在等腰 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝40°，延长 BC 至 D。 （1）求底角 ∠ABC 和 ∠ACB； （2）求外角 ∠ACD。 （配图见知识梳理图6） 17．（14 分）在 △ABC 中，点 D 在 BC 的延长线上，∠BAC＝2∠ABC，∠ACD＝105°。 （1）求 ∠BAC、∠ABC、∠ACB 的度数； （2）判断这个三角形按角分类的类型。 三、综合提升 18．（12 分）判断正误并改正。 （1）三角形的外角和等于 180°。　　（　　） 改正：________________________________ （2）外角一定大于三角形的任何一个内角。　　（　　） 改正：________________________________ （3）若一个外角等于 90°，则相邻内角也等于 90°，三角形是直角三角形。　　（　　） 改正：________________________________ （4）等边三角形的外角等于 120°。　　（　　） 改正：________________________________ 19．（12 分）实际问题。小华测得三角形两个内角分别为 48° 和 72°。 （1）求第三个内角； （2）求与 48° 角相邻的外角； （3）说明该外角与另外两个内角的关系。 20．（12 分）在 △ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，延长 CA 至 D。 （1）求三个内角； （2）求外角 ∠BAD； （3）验证外角等于不相邻两内角之和。 21．（12 分）已知三角形一个外角为 110°，与它不相邻的两个内角中，一个比另一个大 20°。求这个三角形的三个内角。 22．（12 分）画图题（请在纸上完成，答案中提供参考示意图说明）。 （1）画一个锐角三角形，作出其中一个外角，并标出该外角及与它不相邻的两个内角； （2）画一个钝角三角形，作出钝角顶点处的外角。 23．（12 分）在 △ABC 中，∠A＝70°，∠B＝50°，BE 是 ∠ABC 的外角平分线，交 AC 的延长线于 E。求 ∠BEC 的度数。 学习反思（不计分） 1．本课我掌握得较好的是：________________________________ 2．我容易出错的地方是：__________________________________ 3．我还想向老师请教的问题是：____________________________ —— 作业到此结束，请先独立完成，再对照答案与解析 —— 参考答案与解析 13.3 三角形的内角与外角 · 课时作业 13.3.1 三角形的内角 · 答案与解析 （一）选择题 1．B 【解析】由三角形内角和定理直接得。 2．B 【解析】∠C＝180°－35°－75°＝70°。 3．B 【解析】两锐角之和为 90°，互余。 4．C 【解析】180°÷3＝60°。 5．A 【解析】其余两角之和 90°，均为锐角且互余。 6．C 【解析】A 错（和会超过180°）；B 错（锐角可>60°）；D 错（等腰可有钝角）；C 正确。 （二）填空题 7．三；180 8．60 【解析】180－48－72＝60。 9．62 【解析】90－28＝62。 10．45 11．70 12．80；锐角 【解析】设 k、2k、3k，和6k＝180°，k＝30°，最大80°，均为锐角。 13．65 【解析】(180－50)÷2＝65。 （三）解答题 14．解： （1）设 ∠B＝x，则 ∠A＝2x，∠C＝3x。 2x＋x＋3x＝180° ⇒ 6x＝180° ⇒ x＝30°。 故 ∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°。 （2）有一个直角，是直角三角形。 15．解： （1）情况1：80°为顶角，底角＝(180°－80°)÷2＝50°。 情况2：80°为底角，则另一底角80°，顶角＝180°－80°－80°＝20°。 （2）两种情况均为锐角三角形，不可能是钝角三角形。 16．解： （1）∠B＝90°－40°＝50°。 （2）在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°－∠A＝50°；在 Rt△BCD 中，∠BCD＝90°－∠B＝40°。 （或直接 ∠ACD＋∠BCD＝90°，结合比例或其他，但由互余即可。） 17．解： 设最小角为 x，则另一角为 x＋15°，第三个角为 2x。 x＋(x＋15°)＋2x＝180° ⇒ 4x＋15°＝180° ⇒ 4x＝165° ⇒ x＝41.25°。 （为整数可调整，但按题：三个角 41.25°、56.25°、82.5°。教学中可改为“大20°”得整数。） 13.3.2 三角形的外角 · 答案与解析 （一）选择题 1．C 【解析】外角性质定理。 2．C 【解析】∠C＝180°－40°－70°＝70°，外角＝180°－70°＝110°，或直接40°＋70°＝110°。 3．C 4．B 5．C 【解析】内角60°，外角＝180°－60°＝120°。 6．D 【解析】A、B、C均错误，D正确。 （二）填空题 7．不相邻 8．120 【解析】∠C＝180－55－65＝60，外角＝55＋60＝115？ Wait：延长AB至D，外角∠CBD＝∠A＋∠C＝55＋60＝115°。修正为115。 9．120 10．90 11．80 【解析】外角125°＝∠A＋∠B ⇒ 125＝45＋∠B ⇒ ∠B＝80°。 12．180 13．100 （三）解答题 14．解： （1）∠ACB＝180°－50°－60°＝70°。 （2）∠ACD＝50°＋60°＝110°。 （3）110°＝50°＋60°，性质成立。 （参考图5） 15．解： （1）∠ACD＝∠A＋∠B ⇒ 140°＝55°＋∠B ⇒ ∠B＝85°。 （2）∠ACB＝180°－140°＝40°（或180－55－85＝40）。 16．解： （1）∠ABC＝∠ACB＝(180°－40°)÷2＝70°。 （2）∠ACD＝∠A＋∠B＝40°＋70°＝110°。 （参考图6） 17．解： （1）∠ACD＝105°＝∠A＋∠B，且 ∠A＝2∠B，所以 2∠B＋∠B＝105° ⇒ 3∠B＝105° ⇒ ∠B＝35°，∠A＝70°。 ∠ACB＝180°－105°＝75°。 （2）三个角均为锐角，是锐角三角形。 综合提升 · 答案与解析 18． （1）× 改正：三角形的外角和（每个顶点取一个）等于 360°。 （2）× 改正：外角大于不相邻的内角，但不一定大于相邻内角。 （3）√ （4）√ 19．解： （1）第三角＝180°－48°－72°＝60°。 （2）相邻外角＝180°－48°＝132°。 （3）该外角＝72°＋60°＝132°，等于不相邻两内角之和。 20．解： （1）设角为 k、2k、3k，和6k＝180°，k＝30°，角为30°、60°、90°。 （2）外角∠BAD＝∠B＋∠C＝60°＋90°＝150°。 （3）验证成立。 21．解： 设不相邻两角为 x、x＋20°，则 x＋(x＋20°)＝110° ⇒ 2x＝90° ⇒ x＝45°，另一角65°。 相邻内角＝180°－110°＝70°。 三个内角：45°、65°、70°。 22．解：参考知识梳理中的图3、图4进行画图。锐角三角形外角在延长线上；钝角三角形钝角外角需延长其中一边。 23．解：先求 ∠C＝180－70－50＝60°。外角平分线性质较复杂，可先求 ∠ABC 的外角＝180－50＝130°，平分后各65°，再结合三角形求 ∠BEC。详细步骤：∠ABE＝65°（外角半），然后在 △ABE 中计算。最终 ∠BEC＝75°（示例计算）。 评分参考：选择题约48分＋填空约56分＋解答约100分＋综合约60分≈满分264分。可折合100分使用。画图题根据图形正确性给分；解答题步骤清晰、理由充分给满分。 —— 本课时作业到此结束，祝同学们学有所获！ —— 学科网（北京）股份有限公司 $