13.3.1 课时2 直角三角形的性质与判定 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版数学八年级上册“直角三角形的性质与判定”同步练，以“基础理解—技能应用—综合拓展”分层设计，覆盖5个递进知识点，通过实际情境题与几何推理题结合，培养抽象能力与推理意识，实现知识从单一到综合的巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|直角三角形两锐角互余|结合工地钢架等实际情境题，强化性质直观认知| |技能应用|互余求角度、判定定理|含翻折问题与判定选择题，训练运算能力与推理意识| |综合拓展|性质与中点/角平分线综合|设计几何推理与动态问题，提升知识关联与创新意识|

2026－2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训练 第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 课时2 直角三角形的性质与判定 ▌课时目标 1. 理解并掌握直角三角形“两锐角互余”的性质及“有两个角互余的三角形是直角三角形”的判定方法，能准确表述定理内容。 2. 能熟练运用两锐角互余的关系求解直角三角形中未知锐角的度数，规范角度计算的书写步骤。 3. 能结合线段中点、角平分线等已学知识，综合运用直角三角形性质解决简单的几何计算与推理问题，体会知识间的关联。 ▌课时目录 知识点01：直角三角形两锐角互余 知识点02：利用互余关系求锐角度数 知识点03：直角三角形的判定定理 知识点04：直角三角形性质的综合计算 知识点05：直角三角形与线段中点、等分点的综合 ▌知识点01：直角三角形两锐角互余 直角三角形的两个锐角之和等于90°，即两锐角互余，这是三角形内角和定理的直接推论，仅适用于直角三角形。 几何表示：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 注意：该性质是直角三角形的专属特征，锐角三角形、钝角三角形不具备此性质，使用时需先确认三角形为直角三角形。 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短和直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：要让支撑柱用料最短，那么支撑柱应垂直于轨道直线， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形的性质得出直角，结合垂直定义利用同角的余角相等求出，最后在直角三角形中求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 ▌知识点02：利用互余关系求锐角度数 求解方法分两类： 1. 已知直角三角形的一个锐角度数，直接用90°减去已知角的度数，即可得到另一个锐角的度数； 2. 若两个锐角存在倍分、和差等数量关系，可结合∠A＋∠B＝90°列方程求解。 示例：Rt△ABC中∠C＝90°，∠A是∠B的2倍，设∠B＝x，则∠A＝2x，列方程2x＋x＝90°，解得x＝30°，即∠B＝30°，∠A＝60°。 5．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是（     ） A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确 【答案】D 【分析】根据三角形内角和及角平分线求出，结合翻折得到，由此判断①；根据翻折性质得到，结合①即可判断②；根据直角三角形两锐角互余判断③． 【详解】解：在中，，， ∴， 当为的平分线时，， 由翻折得， ∴， ∴点落在上，故①正确； 由翻折得， 由①知点落在上， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴平分，故③正确． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，结合得到，再由角平分线定义得，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ． 在中，， ． ， ， 平分， ， 在中，三角形内角和为， ． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，点表示轮船的初始位置，点表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短的性质，当轮船行驶到距离灯塔最近点时，轮船与灯塔的连线垂直于航线，构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：当轮船行驶到距离灯塔最近点时， 此时轮船位置（即点）与灯塔的连线垂直于航线， ， ， 在中，， ． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是，则另一个锐角的补角的度数为________． 【答案】 /160度 【详解】解：直角三角形的两锐角互余，已知一个锐角为， 另一个锐角的度数为， 互补的两个角和为， 另一个锐角的补角的度数为. ▌知识点03：直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 推导依据：三角形内角和为180°，若两个内角之和为90°，则第三个内角＝180°－90°＝90°，因此该三角形为直角三角形。 该判定方法无需寻找直角，只需验证两个角的和是否为90°，比“有一个角是直角的三角形是直角三角形”更便捷。 几何表示：在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则∠C＝90°，△ABC为直角三角形。 注意：判定时只需确认两个角的和，无需额外验证第三个角。 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 10．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 11．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据每个条件，利用内角和为推导角的大小，判断是否有角． 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． 12．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 ▌知识点04：直角三角形性质的综合计算 可结合已学的三角形内角和、角平分线、中线等知识进行计算： 1. 结合角平分线：若CD平分Rt△ABC的直角∠C，则∠DCB＝45°； 2. 结合中线：直角三角形任意一边上的中线将三角形分为两个小三角形，若中线在直角边上，可利用中线平分面积的性质计算面积； 3. 结合角度关系：可联动外角、对顶角等知识，结合互余性质求解未知角。 示例：Rt△ABC中∠C＝90°，CD平分∠ACB，则∠DCB＝∠ACB＝45°；若CE是BC边上的中线，则S△CEA＝S△CEB＝S△ABC。 13．（25-26七年级下·山东德州·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且， (1)求证：； 在括号内填写相应的依据． 证明：∵，垂足为D， ∴（     ）， ∴在中,（直角三角形的两个锐角互余）， ∵， ∴（     ）， ∴（     ）； (2)若，，求，的度数． 【答案】(1)证明：∵，垂足为D， ∴（垂线的性质）， ∴在中,（直角三角形的两个锐角互余）， ∵， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）； (2)， 【分析】（1）根据证明过程填写相应的依据即可； （2）利用平行线的性质求出，再利用垂线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，直线，连接、交于点，点、分别在线段、上，连接并延长至点，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． (2) 【分析】（1）由得到，结合，得到，即可得证结论； （2）由垂直的定义得到，则，根据邻补角互补求出，从而根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 16．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． 【答案】(1)10 (2)①；②或 【分析】（1）首先利用角平分线的定义，由得到的度数，再结合，根据平行线的同旁内角互补性质的得到的度数；因为，所以，进而可推导的度数． （2）对于①，先根据角平分线定义分别得到和的表达式，再过点作平行于的辅助线，利用平行线的内错角相等的性质，将拆分为两个角的和，代入已知表达式化简即可．对于②，先确定的度数，结合得到的度数；因为点在直线上，所以分在线段上和在的延长线上两种情况，分别利用三角形内角和定理或角的和差关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①过点作，过点作， ， ，， 平分，， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ②， ， 当点在延长线上时， 过点作， ， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 当点在线段上时， 过点作， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 所以的值为或． （用三角形内角和解也可） ▌知识点05：直角三角形与线段中点、等分点的综合 当题目中出现直角三角形边上的中点、n等分点时，可结合已学的中线、角平分线、线段等分点知识，利用直角三角形两锐角互余的性质推理： 1. 中点与中线：连接中点和对应顶点得到中线，利用中线平分面积的性质计算面积，或结合等腰三角形“等边对等角”的性质推导角的关系； 2. 等分点与长度：若已知直角边被n等分，可结合线段长度关系与角度关系求解。 示例：Rt△ABC中∠C＝90°，D为AB的中点，若∠A＝30°，则∠B＝60°，因D为AB中点，故BD＝AD，∠BCD＝∠B＝60°。 注意：此处仅用等腰三角形性质推导，不提及斜边中线等于斜边一半的结论，避免超纲。 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余， 先根据角平分线的定义求出，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴． 在中，， ∴． 故选：B． 18．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【详解】解：依次分析：①是中线， ，①正确； ②是角平分线， ，②正确； ③， ， 又， ，③正确； ④通过是中线可以得到，但是无法得到，④错误． 综上可知，正确结论的序号有①②③． 19．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先中线的性质确定，将的周长比的周长少5的数量转化成边的数量关系得到，可求解． 【详解】（1）解：， ． 又为的角平分线， ． 为边上的高， ， ． （2）解：为边上的中线， ． 又的周长比的周长少5，， ， ， ． 20．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【分析】（1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解． （2）①根据，得出，结合，即可得，得证；②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）略 ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角板如图放置，直线，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，内错角相等，得到的度数，再利用平角得到的度数，根据三角形内角和得到的度数，最后利用平角即可得出结果． 【详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·河北承德·期末）将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用的条件，根据平行线的性质，确定与的数量关系结合已知的等腰直角三角板角度，求出的度数，进而得到的度数根据含角的直角三角板的内角特征，求出的度数利用平角为的性质，结合、的度数，计算的度数． 【详解】解：在等腰直角三角板中，，， ∴。 在三角板中，，， ∴ ． ，直线截两条平行线， ∴． 四点共线， ∴． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）下列命题为真命题的是（     ） ①若，则；②相等的角是对顶角；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④如果直线，，那么直线；⑤同位角相等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 【答案】B 【分析】根据平方的性质，对顶角的定义，直角三角形的判定，平行公理的推论，平行线的性质，逐个判断命题真假即可得到答案． 【详解】解：①若，可得或，例如满足但，因此①是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被截所得的同位角相等，但不是对顶角，因此②是假命题； ③三角形内角和为，若三角形有两个角互余，则两个角和为，第三个角为，因此该三角形是直角三角形，③是真命题； ④根据平行公理的推论，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若，，则，④是真命题； ⑤只有两直线平行时，同位角才相等，没有条件的情况下同位角不一定相等，因此⑤是假命题； 综上，真命题为③④． 二、填空题 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 6．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 【答案】20 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理求出，从而即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·广东广州·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，，．给出下列结论：①；②；③；④若，则；⑤若，则．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【详解】解：由题可知，，，，， ，， ，故①正确； ，， ， ， ，故②正确； 如图，， ， ， ，故③正确； ，，，，， ， ， 与不平行，故④错误； ， ， ， ，故⑤正确； 综上，正确的有：①②③⑤． 8．（25-26七年级下·北京·期末）已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 【答案】75 【分析】分别过点、作的平行线、，设，首先利用三角形内角和定理求出的度数，进而用含的代数式表示出，接着根据平分将用表示出来，利用“平行于同一条直线的两条直线平行”构建起平行关系网，随后利用平行线的性质及的条件，逐步推导出与关于的表达式，最后结合角平分线的性质求出目标角． 【详解】解：如图，分别过点，点作的平行线，， ， 设 ， 平分 ， ， 平分 ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理与角平分线的定义，解决此类问题的通法是“过拐点作平行线”，这一辅助线能将分散在不同位置的角联系起来，“设而不求”（设）则是处理此类角度计算题的高效技巧． 三、解答题 9．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 10．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）综合与探究一一问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点分别在边和上，．三角尺中，．猜想与的数量关系，并说明理由． 【问题初探】： (1)若，则_____； (2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点作，交于点，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 【类比再探】： (3)如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)60 (2) ， 证明：过点作，交于点， ， 设， ， ， ， ， ， ； (3) 证明：过点作，交于点，设， ， ， ， ， ， ，即． 【分析】（1）根据，可求得补角的值，已知,根据三角形内角和定理可求得的值，进一步求出补角的值，再根据求出的值，又知道，用三角形内角和定理即可求出的值． （2）过点作，设，即可求出，根据“两直线平行，内错角相等”可以求出的值，再根据，, 即可确定与的数量关系． （3）过点作，即可求出的值为，设，即可求出的值，根据“两直线平行，内错角相等”可以求出的值，再根据，, 即可确定与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴, 在中，， ∴, ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴的值为． （2）略． （3）略． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训川练 第十三章三角形 13.3.1三角形的内角 课时2直角三角形的性质与判定 课时目标 1. 理解并掌握直角三角形“两锐角互余”的性质及“有两个角互余的三角形是直角三角 形”的判定方法，能准确表述定理内容。 2.能熟练运用两锐角互余的关系求解直角三角形中未知锐角的度数，规范角度计算的书 写步骤。 3.能结合线段中点、角平分线等已学知识，综合运用直角三角形性质解决简单的几何计 算与推理问题，体会知识间的关联。 课时目录 知识点01：直角三角形两锐角互余 知识点02：利用互余关系求锐角度数 知识点03：直角三角形的判定定理 知识点04：直角三角形性质的综合计算 1/11 知识点05：直角三角形与线段中点、等分点的综合 知识点01：直鱼三角形硒锐角互途 直角三角形的两个锐角之和等于90°，即两锐角互余，这是三角形内角和定理的直接推 论，仅适用于直角三角形。 几何表示：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A十∠B=90°。 注意：该性质是直角三角形的专属特征，锐角三角形、钝角三角形不具备此性质，使用时 需先确认三角形为直角三角形。 1.(25-26七年级下·海南省直辖县级单位期末)如图所示，工地地面的钢架直线b与轨道直线a形成的夹 角∠OAB=48°.为了加固钢架b,施工队需要在支点O处焊接一根支撑柱OB连接轨道，为节省钢材， 要让支撑柱用料最短，则支撑柱OB与钢架b形成的夹角∠AOB的度数为() b 0 B A.60° B.52° C42° D.30° 2.(25-26七年级下重庆荣昌期末)如图，长方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE,过点E作 EF⊥AE交CD于点F,若∠EFC=70°，则∠BAE的度数是() D FC E A.20° B.30° C.35 D.70° 3.(25-26七年级下福建泉州期末)如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D,若∠B=38°， ∠C=62°，则∠DAE的度数是() 2/11 A.12° B.14° C.18o D.22° 4.(25-26七年级下辽宁大连期末)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=40°， ∠C=80°，则∠EAD的度数为() E D A.15° B.20° C.25° D.30 知识点02：利甲互余关系求锐角度数 求解方法分两类： 已知直角三角形的一个锐角度数，直接用90°减去已知角的度数，即可得到另一个锐角的 度数： 若两个锐角存在倍分、和差等数量关系，可结合∠A十∠B=90°列方程求解。 示例：Rt△ABC中∠C=90°，∠A是∠B的2倍，设∠B=x,则∠A=2x,列方程2x十x= 90°，解得x=30°，即∠B=30°，∠A=60°。 5.(25-26七年级下河北秦皇岛·期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，D是边AB上的 一个动点，连接CD,当CD为∠ACB的平分线时，将aCDB沿着CD翻折，得到△CDE.如下结论：① 点E落在AC上；②DE⊥AC:③DE平分∠ADC.结论正确的是() A.①②正确B.②③正确 C.①③正确 D.①②③都正确 6.(25-26七年级下·重庆期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E.若 3/11 ∠B=70°，∠DAE=20°，则∠C的度数是()· B D E A.10 B.20 C.30 D.40 7.(25-26七年级下·广东深圳期末)如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，点A表示轮 船的初始位置，点B表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点A行驶到距离灯塔最近点时，此时 ∠ACB的度数为() 30° B A.40° B.50° C.60° D.80° 8.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)在一个直角三角形中，一个锐角是70°，则另一个锐角的补角的度数 为 知识点03：直鱼三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 推导依据：三角形内角和为180°，若两个内角之和为90°，则第三个内角=180°一90°= 90°，因此该三角形为直角三角形。 该判定方法无需寻找直角，只需验证两个角的和是否为90°，比“有一个角是直角的三角 形是直角三角形”更便捷。 几何表示：在△ABC中，若∠A十∠B=90°，则∠C=90°，△ABC为直角三角形。 注意：判定时只需确认两个角的和，无需额外验证第三个角。 9.(25-26七年级下·吉林长春·期末)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A+∠B=90° C.∠A:∠B:∠C=123 D.∠A=∠B=∠C 10.(25-26七年级下·辽宁锦州期中)下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() A,∠A=90°-∠B B.∠A+∠B=∠C 4/11 C.AB:BC:AC=1:2:3 D.AC是BC边上的高 11.(25-26八年级上广东肇庆期中)在下列条件中：①∠A=∠B-∠C,②∠A-∠B=90°，③ :∠B:∠C=2:3:5,④∠A无2B=ZC中，能确定A4BC是直角三角形的条件有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(25-26八年级上吉林白城期末)如图，AB⊥CD,垂足为B,E是线段AD上一点，CE交AB于 F,∠A=∠C.求证：△CED是直角三角形. 知识点04：直鱼三鱼形性质的综合计算 可结合已学的三角形内角和、角平分线、中线等知识进行计算： 结合角平分线：若CD平分Rt△ABC的直角∠C,则∠DCB=45°； 结合中线：直角三角形任意一边上的中线将三角形分为两个小三角形，若中线在直角边 上，可利用中线平分面积的性质计算面积； 结合角度关系：可联动外角、对顶角等知识，结合互余性质求解未知角。 1 示例：Rt△ABC中∠C=90°，CD平分∠ACB,则∠DCB=2∠ACB=45°；若CE是BC边 上的中线，则SACEA-=SACEB=2 SAABC 13.(25-26七年级下山东德州期中)把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为 () A.120° B.125 C.130° D.135° 14.(25-26七年级下·辽宁大连阶段检测)如图，△ABC中，BD1AC,垂足为D,点E在BC边上，连 5/11 接DE,且∠A+∠BDE=90°， D (1)求证：AB/DE: 在括号内填写相应的依据. 证明：：BD⊥AC,垂足为D, .∠ADB=90°()， :在△ABC中，∠A+∠ABD=90°（直角三角形的两个锐角互余）， .∠A+∠BDE=90°」 .∠ABD=∠BDE(), .ABI/DE ( (②)若∠CED=110°，∠CBD=50°，求∠A,∠C的度数. 15.(25-26七年级下陕西汉中期末)如图，直线AB∥CD,连接AD、BC交于点O,点E、F分别在 线段OB、OA上，连接EF并延长至点G,∠C+∠BEG=180° G I)EG与AB平行吗？为什么？ 2)若AD⊥BC,∠DFG=140°，求∠B的度数. 16.(25-26七年级下辽宁大连期末)如图1，直线AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点G,H, 若过点G作PG⊥EF,PH平分∠CHG,PG,PH交于点P.设∠CHP=a. 6/11 图1 图2 备用图 (1若a=40°，则∠AGP= 0 (②)点卫是平面内一点，连接G,QH,依题意回答下列问题： ①如图2，若G0,Hg分别平分∠AGP,∠PHG,则∠GOH的度数是多少？（用含a的式子表示） ②若点0在直线pG上，∠PQ-写GD,且∠COH=75”,求a的值. 3 知识点05：直角三角形与线段中点，笔分点的综合 当题目中出现直角三角形边上的中点、等分点时，可结合已学的中线、角平分线、线段 等分点知识，利用直角三角形两锐角互余的性质推理： 中点与中线：连接中点和对应顶点得到中线，利用中线平分面积的性质计算面积，或结合 等腰三角形“等边对等角”的性质推导角的关系； 等分点与长度：若已知直角边被等分，可结合线段长度关系与角度关系求解。 示例：Rt蚣ABC中∠C=90°，D为AB的中点，若∠A=30°，则∠B=60°，因D为AB中 点，故BD=AD,∠BCD=∠B=60°。 注意：此处仅用等腰三角形性质推导，不提及斜边中线等于斜边一半的结论，避免超纲。 17.(24-25八年级上北京期中)如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC,且 ∠ADC=100°，则∠DMC的度数是() 7/11 A.50 B.40° C.45° D.55° 18.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B<∠C,AD是高，AE是角 平分线，AF是中线.给出下面四个结论：①BF=CF:②∠CAE=45°；③∠B=∠CAD;④ SA=SAC.上述结论中，正确结论的序号有 19.(25-26七年级下山西临汾期末)如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点， 连接AD (I)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=54,∠B=24°，求∠DAE的度数. 2)当AD为BC边上的中线时，若AB=13,△ADC的周长比△ABD的周长少5，求AC的长度. 20.(25-26九年级下浙江杭州阶段检测)如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点 0 不与点E,C重合)，连 接D,DC平分∠DB,支 ,交AB G 于点 G D D 图1 图2 (1)若∠ADC=120°，求∠BDG的度数； (2)若DM⊥DG交AC于点M. ①求证：DM平分∠ADC: ②如图2，DF⊥AB交AB于点F,连接EF,PF⊥EF交AD于点P,∠DFP+∠B=2∠ADM,请判 断AF与PF的大小关系，并说明理由. 8/11 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·重庆秀山期末)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,∠BCD=60°， ∠ABD=75°，则∠ADB的度数是() B A A.35 B.459 C.55 D.60° 2.(25-26七年级下山东青岛期末)一副三角板如图放置，直线BC∥EF,则∠ADE的度数是（) D B A.70° B.75 C.80° D.85° 3.(25-26七年级下·河北承德期末)将一副三角板按如图的方式摆放，已知点D在BC的延长线上， ∠A=45°，∠E=30°，要使得AC∥DE,则LFDP的度数应该是() P E A A.70° B.75° C.80° D.85o 4.(25-26七年级下·辽宁大连期末)下列命题为真命题的是（) ①若a2=b2,则a=b;②相等的角是对顶角：③有两个角互余的三角形是直角三角形：④如果直线 9/11 a∥cb∥c allb ,那么直线”；⑤同位角相等. A.①②⑤ B.③④ C.④⑤ D.①③ 二、填空题 5.(25-26八年级上广东广州期末)Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A,则∠B=。 6.(25-26七年级下四川达州期中)如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交AC于点 E,LBAC=60°，∠EBC=25°，则∠DAC=° D 7.(25-26七年级下·广东广州期末)将一副三角板按如图所示的方式放置，∠C=45°，∠D=30°.给出 下列结论：①∠1=∠3；②∠2+∠CAD=180°；③∠3-∠4=15°；④若∠2=30°，则BC∥AD;⑤若 ∠4=∠C,则∠3=60°.其中正确的有 .(填序号) 4>B D 8.(2526七年级下北京期末)已知1，将含有30的直角三角板48C按如图方式摆放，其中 ∠B=90°，∠C=30°，∠EAC与∠FDB的角平分线交于点G,则∠G= 0 E G B 三、解答题 9.(25-26七年级下·云南昆明期末)如图，AD,CE是△ABC的两条高. 10/11 B 1)若∠B=50°，LACE=10°，求∠CAD的度数： 2)AB=4cm,BC=&cm,CE=6cm,求AD的长. 10.(25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末)综合与探究一一问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题： 如图1，将含30°的三角尺EFG如图方式摆放，点A、C分别在边EF和FG上，AB∥CD.三角尺 EFG ∠EGF=30°，∠EFG=90°，∠FEG=60 中， 猜想∠BAB上∠FCD 与 的数量关系，并说明理由. M H B G G 图1 图2 图3 【问题初探】： ()若∠FCD=150°，则∠EAB=°： 2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法.如图2，过点C作CM∥EF,交AB于点H, 请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定∠EAB与∠FCD的数量关系，再说明理由； 【类比再探】： B)如图3，把“∠EFG=90°”改为“∠EFG=B”,其它条件不变，猜想∠EAB与∠FCD的数量关系， 并说明理由. 11/11