13.3 三角形的内角与外角（分层作业练知识）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，覆盖三角形内角与外角全知识点，通过操作、推理、应用培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（如内角和证明、直角三角形锐角互余）|基础题型（选择、填空、证明），通过折叠、旋转操作理解概念| |B组|综合知识点（如角平分线与平行线结合、三角板摆放）|跨知识点应用，培养运算能力与推理意识| |C组|复杂情境（动态旋转、多角平分线综合）|探究性问题，发展空间观念与创新意识| |拓展|中考考点|真题情境（高铁结构、折叠椅），强化模型意识与应用能力|

分层作业 13.3 三角形的内角与外角 目 录 A组 巩固过关 知识点01 三角形内角和定理的证明 知识点02 与平行线有关的三角形内角和问题 知识点03 与角平分线有关的三角形内角和问题 知识点04 三角形折叠中的角度问题 知识点05 三角形内角和定理的应用 知识点06 直角三角形的两个锐角余互 知识点07 锐角互余的三角形是直角三角形 知识点08 三角形的外角的定义及性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 三角形内角和定理的证明 1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 2．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 3．著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 知识点02 与平行线有关的三角形内角和问题 4．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 5．如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，，则________． 【答案】/40度 【分析】由，可得，利用平行线与角平分线可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 6．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明： ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解： 平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． 知识点03 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．如图，在中，，是的角平分线且，相交于点O，，求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】解：∵，是的角平分线， ， ． ， ． 8．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于点，已知，则_______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知．又因为，，所以，进而根据三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵、、为三角形的角平分线， ∴，，． ∴ ． ∴． 又∵，， ∴． ∵，， ∴． 9．如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和可得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∴． 知识点04 三角形折叠中的角度问题 10．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 11．如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 12．如图，将沿折叠，使点落在点处，试探究，与的关系． 【答案】 ； 由折叠可得， ∵， ∴，， ∴ ． 【分析】先由折叠可得，则，，然后再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】略 知识点05 三角形内角和定理的应用 13．一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】三角形按角分类由最大角的度数决定，需先结合内角和与角度比求出最大角的度数． 【详解】解：∵ 三角形内角和为，三个内角度数的比为． ∴最大角的度数为． ∴这个三角形是直角三角形． 14．如图所示，有一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一条边上．如果，那么的度数是_________． 【答案】 【分析】根据两直线平行内错角相等和直角三角板的特点即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：   理由如下：    又       (2) 【分析】（1）依据同位角相等，即可得到，由平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （2）利用平行线的性质得出和的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解： ， 在中， ， ， ，   ， ， ， ，    答：的度数为． 知识点06 直角三角形的两个锐角余互 16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 17．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 18．如图，相交于点．求的大小． 【答案】 【分析】利用题目已知角度和三角形内角和，计算和的度数，再用即可求解． 【详解】解：， ， ． 知识点07 锐角互余的三角形是直角三角形 19．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 20．若中，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定． 利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角度关系判断三角形的类型． 【详解】解：在中，． ，， 则． 是直角三角形． 故答案为：，直角． 21．如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 知识点08 三角形的外角的定义及性质 22．体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：. 23．如图，是的外角，若，，则_______ 【答案】 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， ∴. 24．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图2，，，，请你求出的度数． 【答案】 【分析】延长交于，根据平行线的性质得出，利用三角形外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵， ∴． B组 能力进阶 1．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理，求出，，再利用平角求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． 2．如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．(25-26八·福建泉州安溪县·期末)若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和为，计算各选项的内角，判断是否存在角，即可得到答案． 【详解】解：根据三角形内角和定理，，逐个判断： A、，代入得， ，是直角三角形，不符合题意； B、，变形得，代入得， ，是直角三角形，不符合题意； C、， 设，，，则，解得， ，是直角三角形，不符合题意； D、， 设，则，代入得，解得， ，，没有角，不是直角三角形，符合题意． 4．(25-26八·四川达州·期末)如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 5．下列说法中正确的个数是（     ） ①三角形的中线、角平分线、高线都是直线 ②任意一个三角形的内角和都是 ③三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形 ④三角形的一个外角一定大于它的内角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的基础概念，只需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可，用到三角形相关定义、内角和定理、分类标准和外角性质等初中知识点． 【详解】解：逐个判断说法正误： ①三角形的中线、角平分线、高线都是线段，不是直线，故①错误； ②根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和都是，故②正确； ③三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等边三角形是按边分类的结果，故③错误； ④当三角形的内角为钝角或直角时，它对应的外角不大于该内角，故④错误； ∴正确的说法只有1个． 6．一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当时,的度数为__________． 【答案】 /15度 【分析】根据平行线的性质可得，再结合三角板的角度特征和三角形外角的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7．如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 【答案】80 【分析】根据三角形外角的性质得到，再由邻补角互补可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．(25-26八·吉林长春朝阳区·期末)如图，的角平分线、交于点．若，则的大小为______度． 【答案】 【分析】根据的角平分线交于点O，可得，再由三角形的外角的性质以及三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：∵的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【详解】解：依次分析：①是中线， ，①正确； ②是角平分线， ，②正确； ③， ， 又， ，③正确； ④通过是中线可以得到，但是无法得到，④错误． 综上可知，正确结论的序号有①②③． 10．如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面三个结论：①；②；③图中阴影部分的面积之和大于的面积．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①② 【分析】根据平移的性质，三角形面积、平行四边形、长方形面积之间的关系进行判断即可． 【详解】解：∵两个大小相同的和，，， ，，，， 由平移的性质可知，，，， ， ， 因此①正确； ，， ， ， 因此②正确； ， ∴， ， 因此③不正确； 综上所述，正确的结论有①②． 11．如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，．求的大小． 【答案】(1)，理由：∵， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． C组 思维拔高 1．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据，可得，据此可判断①；根据三角形内角和定理可得，再由平角的定义可得，则可得到，再根据，可得，据此可判断③；过点E作，则，由平行线的性质可得，则，即可得到，同理可得，则，据此可判断④；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解；∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故结论中正确的有①③④． 2．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（     ） ①； ②； ③设，则； ④． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，分别对四个结论进行推导验证；利用推导角的关系，结合计算具体角度表达式，从而判断结论的正确性． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵共线， ∴， ∴ ，故④正确； ∵， 而， ∴与不一定相等，故①错误； 综上所述，正确的结论是②④． 3．(25-26八·福建泉州永春县·期末)商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点，，，， ， ，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，，根据题意得出，，，进而表示出，求得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：设，，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ 如图，延长交于点 ∵ ， ， ∴， ∴ 4．如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，点在的延长线上，平分，点在的延长线上，且平分，若，则下列结论：①；②；③设，；④的度数为，其中正确的结论为__________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】利用平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理判断即可； 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，故③不正确； 设，由④可知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ，故④正确； 故正确的是①②④； 5．将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 【答案】或或 【分析】根据题意分三种情况进行讨论，画出图形，根据平行线的性质以及角的和差进行求解． 【详解】解：①如图，当时，，过点作， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，交直线于点，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图，当时，过点作， ∴， ∴， ∴； 综上，所有满足条件的t为或或． 6．(25-26八·湖南衡阳衡东县·期末)如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 【答案】/ 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，整理可得，同理可得，由此推出，即可求解． 【详解】解： 与的平分线交于点， ， ， ， ， 同理可得， …… 以此类推， 的大小为． 7．点为直线外一点，射线，直线分别与，相交于点，，连接，射线平分．点是线段上一点（不与点重合），点是射线上一点（不与点重合），连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②在内部作射线交于点，使，若，求的度数． (2)过点作的垂线交直线于点，直线平分，且与直线交于点，用等式表示，，之间的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)①证明：， ， ， ． 由图可得，， ∵， ． ∵， ， ； ②的度数为； (2) 【分析】（1）①由与，根据同旁内角互补得，进而推出，结合证得两角互补，故；②由平行得，按比例设参解得，结合平行线性质与三角形内角和算出，由角平分线得； （2）由得，表示出；由平分，推得．设交于点，结合平行线同旁内角互补与三角形外角定理，代入，整理得． 【详解】（1）解：①略 ②， ∴， 设，， ， ∴ 解得， ∴， 设射线交于点，如图， ， ， ∴， 又∵， ∴， 在中， 解得， 平分， ； （2）解：， ， ∵， ∴， 平分， ， ∴， ∵， ∴， 设直线，交直线于点，如图， ， ，即． 由图可得，， 将代入， 得， 平分， ， 又∵， ∴， ∴． 8．是锐角三角形，点D在线段上，交于点E，点F 在线段上（点F不与点A，E，B重合），连接，过点F作交射线于点G（点G不与点B重合） (1)如图1，当点F 在线段上时，，求的度数； (2)当点F 在线段上时，请在备用图中探究下列问题： ①直接写出与之间满足的数量关系 ； ②若与的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或． 【分析】（1）过点F作，交于H，根据三角形内角和定理，平行线的性质求解即可； （2）①分两种情况，画出图形利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可； ②分两种情况，画出图形，分别根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①情况1：当点G在线段上时，结论：． 理由：设交于J， ∵， ∴， ∵，， ∴． 情况2：当点G在的延长线上时，， 延长交于K， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②情况1：点G在线段上时，作， ∵， ∴， ∵与的角平分线所在直线相交于点P， ∴，， ∴； 情况2：当点G在的延长线上时，延长，交于点Q， ∵， ∴，， 在中，， ∵与的角平分线所在直线相交于点P， ∴，， ∴， 中，． 综上，的度数为或． 拓展 链接中考 1．(2026·四川省攀枝花市·中考)如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的等量关系进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知，， ∴， ∵为直角三角板，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．(2026·江苏省扬州市·中考)图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．(2026·河南·中考)如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.3 三角形的内角与外角 目 录 A组 巩固过关 知识点01 三角形内角和定理的证明 知识点02 与平行线有关的三角形内角和问题 知识点03 与角平分线有关的三角形内角和问题 知识点04 三角形折叠中的角度问题 知识点05 三角形内角和定理的应用 知识点06 直角三角形的两个锐角余互 知识点07 锐角互余的三角形是直角三角形 知识点08 三角形的外角的定义及性质 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 三角形内角和定理的证明 1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 2．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 3．著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 知识点02 与平行线有关的三角形内角和问题 4．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，，则________． 6．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 知识点03 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．如图，在中，，是的角平分线且，相交于点O，，求的度数（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于点，已知，则_______． 9．如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 知识点04 三角形折叠中的角度问题 10．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 12．如图，将沿折叠，使点落在点处，试探究，与的关系． 知识点05 三角形内角和定理的应用 13．一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 14．如图所示，有一块含有角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一条边上．如果，那么的度数是_________． 15．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 知识点06 直角三角形的两个锐角余互 16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．中，，，则______． 18．如图，相交于点．求的大小． 知识点07 锐角互余的三角形是直角三角形 19．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 20．若中，，则___________，是___________三角形． 21．如图，平分．求证：是直角三角形． 知识点08 三角形的外角的定义及性质 22．体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 23．如图，是的外角，若，，则_______ 24．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图2，，，，请你求出的度数． B组 能力进阶 1．已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．(25-26八·福建泉州安溪县·期末)若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是（     ）． A． B． C． D． 4．(25-26八·四川达州·期末)如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 5．下列说法中正确的个数是（     ） ①三角形的中线、角平分线、高线都是直线 ②任意一个三角形的内角和都是 ③三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等边三角形 ④三角形的一个外角一定大于它的内角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当时,的度数为__________． 7．如图①是停车场的地锁，图②为其示意图，若，则________． 8．(25-26八·吉林长春朝阳区·期末)如图，的角平分线、交于点．若，则的大小为______度． 9．如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 10．如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面三个结论：①；②；③图中阴影部分的面积之和大于的面积．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 11．如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，．求的大小． 12．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． C组 思维拔高 1．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（     ） ①； ②； ③设，则； ④． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 3．(25-26八·福建泉州永春县·期末)商场导购机器人可以帮顾客快速找到店铺、电梯、卫生间、收银台，避免迷路．如图是根据机器人照片抽象出的一幅直观图．已知：与交于点，，，， ， ，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，为上的两点，，为上的两点，点在的延长线上，平分，点在的延长线上，且平分，若，则下列结论：①；②；③设，；④的度数为，其中正确的结论为__________（填序号）． 5．将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒． 6．(25-26八·湖南衡阳衡东县·期末)如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 7．点为直线外一点，射线，直线分别与，相交于点，，连接，射线平分．点是线段上一点（不与点重合），点是射线上一点（不与点重合），连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②在内部作射线交于点，使，若，求的度数． (2)过点作的垂线交直线于点，直线平分，且与直线交于点，用等式表示，，之间的数量关系，直接写出结果． 8．是锐角三角形，点D在线段上，交于点E，点F 在线段上（点F不与点A，E，B重合），连接，过点F作交射线于点G（点G不与点B重合） (1)如图1，当点F 在线段上时，，求的度数； (2)当点F 在线段上时，请在备用图中探究下列问题： ①直接写出与之间满足的数量关系 ； ②若与的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出的度数． 拓展 链接中考 1．(2026·四川省攀枝花市·中考)如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 2．(2026·江苏省扬州市·中考)图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 3．(2026·河南·中考)如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $