3.4《 圆心角》（1） 课堂分层训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册3.4《圆心角》（1）同步练，分层清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|圆心角定义、基本性质（等角对等弧弦）|选择填空结合简单证明，强化概念理解与几何直观| |能力提升|直径与弦关系、弧度数计算、性质综合应用|中档证明与计算，培养推理能力与运算能力| |综合拓展|多知识点结合证明、半径求解|复杂问题解决，发展创新意识与模型观念|

3.4《 圆心角》（1）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、基础夯实 （共10题） 1．如图，下列各角是圆心角的是( ) A．∠AOB B．∠CBD C．∠BCO D．∠DAO 2．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；（4）三角形的外心到三角形各顶点距离相等.其中正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（       ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，则的度数是（       ） A． B． C． D． 5．图中是圆心角的是（　　） A．    B．    C．    D．    6．顶点在 的角叫作圆心角． 7．如图，MN为⊙O的弦，∠M=55°，则∠MON的度数是 8．如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，则AC BD（填“＞”“＜”或“=”） 9．已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC. 10．已知：如图，，是的直径，C是上一点，且． 求证： ． 二、能力提升 （共11题） 11．有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦。其中正确的是 12．下列说法中，正确的是（   ） A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 13．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为40°，则∠AOC等于（   ） A．40° B．50° C．60° D．70° 14．如图，在⊙O中，C是的中点，若∠A=50°，则∠BOC=( ) A．40° B．45° C．50° D．60° 15．如图，C，D为半圆的三等分点，则下列说法： ①；②∠AOD=∠DOC=∠BOC；③AD=CD=OC；④△AOD是等边三角形．其中正确的是( ) A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 16．如图，C是⊙O直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若所对圆心角的度数为40°，则所对圆心角的度数为( ) A．40° B．80° C．150° D．120° 17．如图，在⊙O中，，则下列结论： ①AB=CD； ②AC=BD； ③∠AOC=∠BOD； ④． 其中正确的是 (填序号)． 18．如图，在OA中，弦DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则点A到弦BC的距离等于 19．如图，在⊙O中， ，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ cm． 20．如图，在中，弦，于E，于H． （1）求证：． （2）若的半径为5，，，求的长． 21．如图，在⊙O中，AB，DE为⊙O的直径，C是⊙O上一点，且． （1）BE与CE有什么数量关系?为什么? （2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形?请说明理由． 三、综合拓展 （共2题） 22．已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． （1）求证：． （2）如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 23．如图1，，是的弦，且，连接，． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，，求的半径． 试卷 第页 共页 试卷 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 【答案区】 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得∠AOB是圆心角， 故答案为：A 【分析】根据圆心角的定义（以圆心为顶点的角，两边是圆的半径）结合图形判断即可求解。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：① 不在同一条直线上的三点确定一个圆。如果三点在同一条直线上，是无法确定一个圆的。所以 “三点确定一个圆” 的说法错误。 ② 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。如果没有 “同圆或等圆” 这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧也不一定相等。所以 “相等的圆心角所对的弧相等” 的说法错误。 ③ 同圆或等圆中，等弦所对的弧有优弧和劣弧之分，一条弦对应两条弧，等弦所对的优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等，但优弧和劣弧不相等。所以 “同圆或等圆中，等弦所对的弧相等” 的说法错误。 ④ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。所以三角形的外心到三角形各顶点距离相等，该说法正确。 综上，只有说法④正确，正确的个数是1个。 故答案为：A. 【分析】 本题需要根据圆的相关性质和三角形外心的定义，对每个说法逐一进行分析判断，从而确定正确说法的个数. 3．【答案】A 【解析】 【解答】解：∵点D，C是的三等分点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴； 故答案为：A 【分析】本题考查弧长与圆心角的关系.根据 ， 利用同弧或等弧所对的圆心角相等可得： ， 再利用平角的定义可得： ， 代入数据进行计算可求出答案． 4．【答案】D 【解析】 【解答】解： ， ， ． 故答案为：D 【分析】如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可求出答案. 5．【答案】B 【解析】 【解答】解：对于A，为圆周角，故A错误； 对于B，是圆心角，故B正确； 对于C，不是圆心角，故C错误； 对于D，不是圆心角，故D错误； 故选：B 【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角． 6．【答案】【第1空】圆心； 【解析】【解答】 解： 顶点在圆心的角是圆心角. 故答案为：圆心. 【分析】 根据圆心角的定义来判断. 7．【答案】【第1空】70°； 【解析】【解答】解：∵OM与ON都是半径， ∴∠M=∠N. ∵MN为⊙O的弦，∠M=55°， ∴∠MON=180°-2∠M=70°. 故答案为：70°. 【分析】先说明∠M=∠N ， 再利用三角形的内角和求解. 8．【答案】【第1空】=； 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴AC=BD， 故答案为：=. 【分析】根据得出 ， 即可得出AC=BD. 9．【答案】证明：∵AB=CD， ∴ ， ∴ ， . 【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得 ， 推出 ， 据此可得结论. 10．【答案】证明：∵， ∴． 又∵（已知）， ∴， ∴． 【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可知，同圆中相等的圆心角所对的弦相等可得BE=AD，结合已知得AD=CE，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等即可得出结论. 11．【答案】【第1空】①③⑤； 【解析】【解答】解：①直径是圆中最长的弦，故直径是弦正确； ②弦不一定是直径，故该选项错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故正确； ④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，正确， 故正确的有：①③⑤， 故答案为：①③⑤ 【分析】根据圆的定义及性质逐一判断，进而即可求解。 12．【答案】B 【解析】【解答】A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意； B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项符合题意； C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意； D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据圆的弧、弦、圆心角定义逐项判定即可。 13．【答案】B 【解析】【解答】解：连接OE，如图所示： ∵的度数为40°， ∴∠COE=40°， ∵OC=OE， ∴∠OCE=（180°-∠COE）=50°， ∵CE//AB， ∴∠AOC=∠OCE=50°， 故答案为：B. 【分析】连接OE，先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出∠OCE的度数，再利用平行线的性质可得∠AOC=∠OCE=50°，从而得解. 14．【答案】A 【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝50°， ∴∠AOB＝180°−50°−50°＝80°， ∵点C是的中点， ∴∠BOC=∠AOB＝40°， 故答案为：A． 【分析】先利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出∠AOB＝180°−50°−50°＝80°，再利用弧与圆心角的关系可得∠BOC=∠AOB＝40°. 15．【答案】A 【解析】【解答】解：∵C，D为半圆的三等分点， ∴ ， ∴①正确； ∵ ， ∴∠AOD=∠DOC=∠BOC， ∴②正确； ∵ ∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，∠AOD=∠DOC=∠BOC； ∴ ∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°， ∵OA=OD=OC=OB， ∴△AOD，△OCD，△BOC均为等边三角形， ∴AD=CD=OC， ∴③和④正确， 综上，正确的结论是①②③④， 故答案为：A. 【分析】利用弧、弦和圆周角的关系可得 ， ∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，再证出△AOD，△OCD，△BOC均为等边三角形，从而得解. 16．【答案】D 【解析】【解答】解：连接OE，OD，如图所示， ∵所对圆心角度数为40°， ∴∠AOD＝40°， ∵CD＝CO， ∴∠D＝∠COD＝40°， ∴∠OCE＝∠D＋∠COD＝80°， ∵OD＝OE， ∴∠E＝∠D＝40°， ∴∠BOE＝∠OCE＋∠E＝120°． 即所对圆心角度数为120°． 故答案为：D． 【分析】连接OE，OD，先求出∠OCE＝∠D＋∠COD＝80°，再结合∠E＝∠D＝40°，求出∠BOE＝∠OCE＋∠E＝120°，即可得到所对圆心角度数为120°． 17．【答案】【第1空】①②③④； 【解析】【解答】解：①∵ ， ∴AB=CD，∴①正确； ②∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴AC=BD，∴②正确； ③∵ ， ∴∠AOC=∠BOD，∴③正确； ④∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴④正确； 综上，正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④. 【分析】利用弧、弦和圆周角的关系及弧的计算方法逐项分析判断即可. 18．【答案】【第1空】3； 【解析】【解答】解：作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连结BF，如图所示： ∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF， ∴ ， ∴DE=BF=6． ∵AH⊥BC， ∴CH=BH， ∵AC=AF， ∴AH=BF=3． 故答案为：3. 【分析】作AH⊥BC于点H，延长CA交⊙A于点F，连结BF，先求出∠DAE=∠BAF，可得DE=BF=6，再利用垂径定理可得AH=BF=3． 19．【答案】【第1空】2； 【解析】【解答】解：∵ ， ∴OC⊥AB， ∴AD＝DB＝ AB＝4（cm）， ∴ （cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）， 故答案为：2． 【分析】先求出OC⊥AB，再求出AD=DB=4cm，最后利用勾股定理计算求解即可。 20．【答案】 （1）证明：， ，， 即， （2）解：连接，如图所示： ∵， ， ∵， ． 由勾股定理，得． ∵OH⊥BC， ∴BH=BC=2，∠OHB=90°， ． 【解析】证明： ， ， ， 即 ， ． 解：连接 ， 如图所示： ， ， ． 由勾股定理，得 ． 同理可得 ． ． 【分析】（1）利用圆心角、弧、弦的关系可证得 ， 由此可推出 ， 然后利用圆心角、弧、弦的关系可证得结论. （2）连接 ， 可得到AB的长，利用垂径定理可求出EB的长，利用勾股定理求出OE的长；利用垂径定理可求出BH的长，再利用勾股定理求出OH的长，然后求出OE+OH的长. 21．【答案】 （1）解：BE=CE．理由如下： ∵AB，DE是⊙O的直径， ∴∠AOD=∠BOE， ∴． ∵， ∴， ∴BE=CE． （2）解：连接OC，如图所示， ∵∠BOE=60°，BE=CE， ∴∠COE=60°． ∵OC=OE， ∴△COE是等边三角形． ∵∠AOC=180°-60°-60°=60°，OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OE=CE=OA=AC=OC， ∴四边形OACE是菱形． 【解析】【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AOD=∠BOE，再利用圆心角和弧的关系可得 ， 再利用弧的运算求出 ， 最后利用弧与弦的关系可得BE=CE； （2）连接OC，先证出△COE是等边三角形，再结合∠AOC=180°-60°-60°=60°，OA=OC，证出△AOC是等边三角形，证出OE=CE=OA=AC=OC，从而可证出四边形OACE是菱形． 22．【答案】 （1）证明： ， ，即， （2）解：①连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过O作与F， 由①得：， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴ 【解析】证明： ， ， 即 ， ； 解：①连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴； ②过O作与F， 由①得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， 设 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∵的半径为5， ∴ ， 在中， ， ∴ ， 解得：或（舍去）， ∴ ， ， ∴ ． 【分析】（1）由等弧和之间有公共弧 ， 则 ， 即； （2）①连接 ， 由圆周角定理和对顶角相等可证明 ， 则 ， 再利用SSS可证明 ， 则有； ②过O作与 ， 由垂径定理得到 ， 设 ， 则由①知 ， ， 再利用勾股定理即可． 23．【答案】 （1）证明：， ， ，即， ； （2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 【解析】证明： ， ， ， 即 ， ； （也可通过证明三角形全等解决） 解：如图，过点作于点 ， 交于点F，连接 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 在中， ， 设的半径为 ， 中， ， ， 解得 ， 即的半径为13． 【分析】（1）根据相等弦长所对弧长相等可得 ， 再根据弧之间的关系可得 ， 即AB=CD，即可求出答案. （2）过点作于点 ， 交于点F，连接 ， ， 根据垂径定理可得 ， ， 根据得出 ， 在中，根据勾股定理可得EF=8， 设的半径为 ， 中， 根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案。 答案 第页 共页 答案 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $