3.2 圆心角（2）-课时同步分层练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级“圆心角（2）”新授课同步练，以“基础巩固-综合应用-能力提升”分层设计，通过梯度化题型培养抽象能力、推理能力与几何直观，构建从单一知识到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|圆心角、弧、弦关系，扇形统计图圆心角计算|以选择、填空、简单证明为主，如第1题辨析圆心角与弦的关系，夯实概念理解| |巩固应用|结合直径、内接三角形、全等证明的综合应用|增加中档解答题，如第18题证明等边三角形并计算面积，提升推理能力| |能力应用|四边形与圆的性质综合（菱形判定、角度计算）|设置复杂综合题（第20题），融合平行线、圆的对称性，发展几何直观与创新意识|

3.2 圆心角（2）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．如图，在中，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故答案为：D． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 2．为了了解学生最喜欢的粽子口味，学校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的扇形统计图，其中喜欢鲜肉粽的扇形圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形统计图；圆心角的概念 【解析】【解答】解：． 故答案为：A． 【分析】扇形统计图所有占比是1，先求出鲜肉粽所占百分比，再根据扇形统计图圆心角的求法，用鲜肉粽占的百分比乘以360°即可求出答案。 3．如图，点A，B，C在⊙O上，，连结OA交BC于点M，则∠AMC的度数是（　　） A．108° B．109° C．110° D．112° 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：如图， 连接OB， OC， 故选： B. 【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得出. 又 得到 .再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 最后根据三角形外角的性质求出即可. 4． 如图，在⊙O中，弧，弧BC，弧CD，弧DA的度数之比为1：2：3：4，弦AC，BD交于点E. 则∠AEB的度数是（　　） A．90° B．72° C．54° D．36° 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：连接AB，如图所示 ， ∵ ∴ ∴∠BAC=36°，∠ABE=72° ∵∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE ∴∠AEB=180°-72°-36°=72° 故答案：B. 【分析】由弧的比例可知、的度数，即可得∠BAE和∠ABE的度数，再由三角形内角和定理可得∠AEB的度数. 5．如图，在⊙O中，若，则下列判断错误的是（　　） A．AB=CD B．AC=CB C． D．∠AOC=∠BOD 【答案】B 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：∵ ∴AB=CD， ∴AC=BD， 故答案为：B . 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系即可求解。 6．如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　． 【答案】52° 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；对顶角及其性质；圆的对称性 【解析】【解答】解：如图，作C、E关于直径AB的对称，对称点为M、N， 则，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN， ∵ ∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE， ∴∠AFM=∠BFD，∠BGN=∠AGD， ∵A、F、G、B共线， ∴D、F、M三点共线，D、G、N三点共线， ∵的度数是55°，的度数是21°， ∴、的度数分别为55°、21°， ∴的度数为180°-55°-21°=104°， 根据圆周角定理知， ∠FDG的度数为的度数， 即∠FDG=×104°=52°. 故答案为： 52°. 【分析】根据圆的对称性知，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，再根据题意得证D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，最后根据圆周角定理知 ∠FDG的度数为的度数. 7．如图，在中，，则　 　度． 【答案】70 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：（180°-40°）÷2=70° 因此∠B=70° 故答案为：70. 【分析】因为，并且在同一个圆内，因此AB=AC，此时△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，然后利用三角形内角和即可求出∠B的值。 8．如图，⊙O 的弦 AB 和弦 CD 相交于点 E，AB＝CD，求证：AD＝CB 【答案】证明：∵AB=CD ∴ ∴ ∴= ∴AD=BC. 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】本题根据两个相等的弦对应的弧长相等，即AB=CD可得=，然后同时减去，得=，最后根据两个相等的弧长，对应的弦长相等，即可得出证明结果。 9．已知：如图，A、B、C、D 是 上的点，，. （1） 证明：； （2） 求 BD 的长. 【答案】（1）证明：， ， 即， ∴. （2）解：，， . 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】(1)由∠1=∠2各∠DOB=∠COA，即得； (2)由BD=AC即得结果. 二、巩固应用 10．如图，是直径，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；补角；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：∵， ∴（同弧对应的圆心角相等）， ∵， ∴∠AOC=180°-=140°， ∴， ∵OA、OD都是的半径， ∴OA=OD， ∴△ AOD是等腰三角形， ∴. 故选：B. 【分析】本题先根据等弧对应相等圆心角的性质，得到两个圆心角相等，再结合平角的定义求出∠AOD的度数，最后利用等腰三角形两底角相等的性质即可得出答案. 11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠ABC=50°，的度数为70°，则∠DBC等于（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：∵的度数为70° ∴∠ABD=35° ∵∠DBC=∠ABC-∠ABD ∴∠DBC=50°-35°=15° 故答案为：B . 【分析】由圆周角定理知∠ABD的度数，由此可得∠DBC的度数. 12． 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：B . 【分析】连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 13．如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形是（　　） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵是弧的中点， ∴； 又∵， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是是菱形， 故答案为：C． 【分析】连接，根据等弧所对的圆心角相等得到，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOC与△BOC都是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出OA=AC=BC=OB，从而根据四边相等的四边形是菱形可得四边形AOBC是菱形. 14．如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，（等边对等角） ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 【分析】由三角形内角和定理可得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，可得答案． 15．如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC， ∵DE=FC=CG， ∴OM=ON=OP， MD=ME=NF =NC = PC = PG， ∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， ∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形， ∴AG=AD， BF = BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 在 ‘中，由勾股定理得： 即 解得： (不合题意，舍去)， 是等腰直角三角形， ∴⊙O的半径为 故答案为： 【分析】过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P，连接OC，由弦心距和垂径定理得出OM =ON =OP，MD=ME=NF=NC=PC=PG， 推出小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， 得AP=AM， BM=BN， CP=CN，△CNO是等腰直角三角形， 则AG = AD，BF=BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 求出 然后在Rt△ABC中，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题. 16． 如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD=∠CAB，AD=2，AC=4，则⊙O的半径为　 　. 【答案】 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解： 如图， 连结 BC. ∵∠ACD=∠CAB，∴.∴ AD=BC=2.∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.在 Rt△ABC 中，∵AC=4，BC=2，∴ ⊙O 的直径 2 .∴⊙O的半径为 故答案为：. 【分析】连接BC，则有AD=BC=2，然后根据勾股定理求出AB长解答即可. 17． 如图，MB，MD 是⊙O 的两条弦，点A，C 分别在，上，且AB=CD，M是 的中点.求证：MB=MD. 【答案】证明：∵M是 的中点， 即 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得到再根据 的中点得到再根据弧、弦、圆心角的关系证明即可. 18．如图，△ABC 为⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，弦DC 平分∠ADB. （1）求证：△ABC 为等边三角形； （2）若BD=3，AD=5，过点C 作BD 的平行线，交 DA 的延长线于点E，试求△CAE 面积. 【答案】（1）证明：∵CD平分 为等边三角形 （2）解：如图， 作 于点M， 由 (1) 知： ∴△CDE是等边三角形， ∴CD=CE， ∵∠BCD=60°-∠ACD =∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE(SAS)， ∴BD=AE =3， ∴DC = DE= DA+AE =8， ∵CM⊥ED， ∴△CAE面积为： 【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明； (2)作 于点M，结合 (1)可得 是等边三角形，然后证明 可得BD=AE=3，根据等边三角形三线合一可得DM的长，根据勾股定理得CM的长进而可得 面积. 19．如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 【答案】证明：∵AC=BC ∴∠CAB=∠CBA ∴ ∴ ∴ ∴AE=BF 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可. 三、能力应用 20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且 ，连接OA、OF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴∠CBD=∠ABD， ∵CD∥AB， ∴∠ABD=∠CDB， ∴∠CBD=∠CDB， ∴CB=CD， ∵BE是⊙O的直径， ∴ ， ∴ ， ∴AB=BC=CD， ∵CD∥AB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵∠AOF=3∠FOE， 设∠FOE=x，则∠AOF=3x， ∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x， ∵OA=OF， ∴∠OAF=∠OFA= （180-3x）°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=2x， ∴∠ABC=4x， ∵BC∥AD， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴4x+2x+ （180-3x）=180， x=20°， ∴∠ABC=80°． 【知识点】平行线的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得： ，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，可求出∠ABC=4x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+ （180-3x）=180，求出x的值，则可得∠ABC的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 圆心角（2）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．如图，在中，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．为了了解学生最喜欢的粽子口味，学校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的扇形统计图，其中喜欢鲜肉粽的扇形圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，，连结OA交BC于点M，则∠AMC的度数是（　　） A．108° B．109° C．110° D．112° 4． 如图，在⊙O中，弧，弧BC，弧CD，弧DA的度数之比为1：2：3：4，弦AC，BD交于点E. 则∠AEB的度数是（　　） A．90° B．72° C．54° D．36° 5．如图，在⊙O中，若，则下列判断错误的是（　　） A．AB=CD B．AC=CB C． D．∠AOC=∠BOD 6．如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　． 7．如图，在中，，则　 　度． 8．如图，⊙O 的弦 AB 和弦 CD 相交于点 E，AB＝CD，求证：AD＝CB 9．已知：如图，A、B、C、D 是 上的点，，. （1） 证明：； （2） 求 BD 的长. 二、巩固应用 10．如图，是直径，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 11．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径.若∠ABC=50°，的度数为70°，则∠DBC等于（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 12． 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 13．如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形是（　　） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 14．如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 15．如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　． 16． 如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD=∠CAB，AD=2，AC=4，则⊙O的半径为　 　. 17． 如图，MB，MD 是⊙O 的两条弦，点A，C 分别在，上，且AB=CD，M是 的中点.求证：MB=MD. 18．如图，△ABC 为⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，弦DC 平分∠ADB. （1）求证：△ABC 为等边三角形； （2）若BD=3，AD=5，过点C 作BD 的平行线，交 DA 的延长线于点E，试求△CAE 面积. 19．如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 三、能力应用 20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且 ，连接OA、OF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故答案为：D． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 2．【答案】A 【知识点】扇形统计图；圆心角的概念 【解析】【解答】解：． 故答案为：A． 【分析】扇形统计图所有占比是1，先求出鲜肉粽所占百分比，再根据扇形统计图圆心角的求法，用鲜肉粽占的百分比乘以360°即可求出答案。 3．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：如图， 连接OB， OC， 故选： B. 【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得出. 又 得到 .再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 最后根据三角形外角的性质求出即可. 4．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：连接AB，如图所示 ， ∵ ∴ ∴∠BAC=36°，∠ABE=72° ∵∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE ∴∠AEB=180°-72°-36°=72° 故答案：B. 【分析】由弧的比例可知、的度数，即可得∠BAE和∠ABE的度数，再由三角形内角和定理可得∠AEB的度数. 5．【答案】B 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：∵ ∴AB=CD， ∴AC=BD， 故答案为：B . 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系即可求解。 6．【答案】52° 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；对顶角及其性质；圆的对称性 【解析】【解答】解：如图，作C、E关于直径AB的对称，对称点为M、N， 则，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN， ∵ ∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE， ∴∠AFM=∠BFD，∠BGN=∠AGD， ∵A、F、G、B共线， ∴D、F、M三点共线，D、G、N三点共线， ∵的度数是55°，的度数是21°， ∴、的度数分别为55°、21°， ∴的度数为180°-55°-21°=104°， 根据圆周角定理知， ∠FDG的度数为的度数， 即∠FDG=×104°=52°. 故答案为： 52°. 【分析】根据圆的对称性知，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，再根据题意得证D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，最后根据圆周角定理知 ∠FDG的度数为的度数. 7．【答案】70 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：（180°-40°）÷2=70° 因此∠B=70° 故答案为：70. 【分析】因为，并且在同一个圆内，因此AB=AC，此时△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，然后利用三角形内角和即可求出∠B的值。 8．【答案】证明：∵AB=CD ∴ ∴ ∴= ∴AD=BC. 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】本题根据两个相等的弦对应的弧长相等，即AB=CD可得=，然后同时减去，得=，最后根据两个相等的弧长，对应的弦长相等，即可得出证明结果。 9．【答案】（1）证明：， ， 即， ∴. （2）解：，， . 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】(1)由∠1=∠2各∠DOB=∠COA，即得； (2)由BD=AC即得结果. 10．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；补角；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：∵， ∴（同弧对应的圆心角相等）， ∵， ∴∠AOC=180°-=140°， ∴， ∵OA、OD都是的半径， ∴OA=OD， ∴△ AOD是等腰三角形， ∴. 故选：B. 【分析】本题先根据等弧对应相等圆心角的性质，得到两个圆心角相等，再结合平角的定义求出∠AOD的度数，最后利用等腰三角形两底角相等的性质即可得出答案. 11．【答案】B 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：∵的度数为70° ∴∠ABD=35° ∵∠DBC=∠ABC-∠ABD ∴∠DBC=50°-35°=15° 故答案为：B . 【分析】由圆周角定理知∠ABD的度数，由此可得∠DBC的度数. 12．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：B . 【分析】连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 13．【答案】C 【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵是弧的中点， ∴； 又∵， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是是菱形， 故答案为：C． 【分析】连接，根据等弧所对的圆心角相等得到，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△AOC与△BOC都是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出OA=AC=BC=OB，从而根据四边相等的四边形是菱形可得四边形AOBC是菱形. 14．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，（等边对等角） ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 【分析】由三角形内角和定理可得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，可得答案． 15．【答案】 【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC， ∵DE=FC=CG， ∴OM=ON=OP， MD=ME=NF =NC = PC = PG， ∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， ∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形， ∴AG=AD， BF = BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 在 ‘中，由勾股定理得： 即 解得： (不合题意，舍去)， 是等腰直角三角形， ∴⊙O的半径为 故答案为： 【分析】过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P，连接OC，由弦心距和垂径定理得出OM =ON =OP，MD=ME=NF=NC=PC=PG， 推出小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形， 得AP=AM， BM=BN， CP=CN，△CNO是等腰直角三角形， 则AG = AD，BF=BE， 设DE=FC=CG=x(x>0)， 求出 然后在Rt△ABC中，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题. 16．【答案】 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解： 如图， 连结 BC. ∵∠ACD=∠CAB，∴.∴ AD=BC=2.∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.在 Rt△ABC 中，∵AC=4，BC=2，∴ ⊙O 的直径 2 .∴⊙O的半径为 故答案为：. 【分析】连接BC，则有AD=BC=2，然后根据勾股定理求出AB长解答即可. 17．【答案】证明：∵M是 的中点， 即 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得到再根据 的中点得到再根据弧、弦、圆心角的关系证明即可. 18．【答案】（1）证明：∵CD平分 为等边三角形 （2）解：如图， 作 于点M， 由 (1) 知： ∴△CDE是等边三角形， ∴CD=CE， ∵∠BCD=60°-∠ACD =∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE(SAS)， ∴BD=AE =3， ∴DC = DE= DA+AE =8， ∵CM⊥ED， ∴△CAE面积为： 【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明； (2)作 于点M，结合 (1)可得 是等边三角形，然后证明 可得BD=AE=3，根据等边三角形三线合一可得DM的长，根据勾股定理得CM的长进而可得 面积. 19．【答案】证明：∵AC=BC ∴∠CAB=∠CBA ∴ ∴ ∴ ∴AE=BF 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”证明即可. 20．【答案】（1）证明：∵ ， ∴∠CBD=∠ABD， ∵CD∥AB， ∴∠ABD=∠CDB， ∴∠CBD=∠CDB， ∴CB=CD， ∵BE是⊙O的直径， ∴ ， ∴ ， ∴AB=BC=CD， ∵CD∥AB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵∠AOF=3∠FOE， 设∠FOE=x，则∠AOF=3x， ∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x， ∵OA=OF， ∴∠OAF=∠OFA= （180-3x）°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=2x， ∴∠ABC=4x， ∵BC∥AD， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴4x+2x+ （180-3x）=180， x=20°， ∴∠ABC=80°． 【知识点】平行线的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得： ，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，可求出∠ABC=4x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+ （180-3x）=180，求出x的值，则可得∠ABC的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $