第2章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册一元二次方程单元卷，90分钟120分，覆盖全章知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，融合古代数学文化、文旅热点等真实情境，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式|第6题引用《新编直指算法统宗》，渗透文化传承| |填空题|5/15|根的性质、无实根条件、新运算|第15题新定义运算，考查创新意识| |解答题|8/75|解方程、利润问题、几何动态、配方法应用|23题结合文旅经济，21题阅读材料考配方法，体现模型意识与推理能力|

绝密★启用前 学校： 姓名： 班级： 考号： 一元二次方程单元测试卷 (北师大版) 考试范围：九年级上册第2章全部内容；考试时间：90分钟满分：120分 题号 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程：①2x2-1 x1,②2x2-2y=0:®7x2+1=0:④ =0其中是一元二次方程的有() 2 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和③ 2.用公式法解一元二次方程2x2-x-1=0时，a,b,c的值依次为() A.2,1,1 B.2,-1,-1 C.2,1,-1 D.-2,1,1 3.用公式法解方程x2-1=2x时，得x= ☐±V4-4×(-1) 则“处应填() 2 A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.一元二次方程x2-2x-5=0根的情况为() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 5.已知x=1是关于x的方程x2+2m+2=3的一个根，则代数式d2+2a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 6.我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只 云方面、圆径适等.”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为252平方步，只知道正方 形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地 的边长为x步，根据题意可列方程为() A.x2+x2=252 =252 C.x2+πx2=252 D.4x+=252 试卷第1页（共6页） 7.将一元二次方程x2-x=0配方后变形为(x+a)=b,则a的值为() A.-1 B.1 C. n 8.根据下列表格x与ax2+bx+c的对应值，对一元二次方程m2+bx+c=0的根，下列说法错误的是() -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ax2+bx+c 0.43 0.09 -0.2 -0.33 -0.43 -0.44 -0.37 -0.23 0 0.31 A.方程有一根为1 B.方程有一根的取值范围是-0.4<x<-0.2 C.方程有一根为-0.33 D.方程有两个不相等的实数根 9.关于x的方程m2+bx+c=0(a≠0)中，若a,b,c满足4a+2b+c=0和4a-2b+c=0,则该方程的根是() A.5=2,X2=0 B.x1=-4,x2=4 C.5=2,6=-2 D.无法确定 10.我们规定一种新运算“★”，其意义为★b=a2-3b,如3★5=32-3×3×5=9-45=-36，若 (x+2)★x=1,则x的值为() A-1或 B.-1+√7或-1-√7 c.-l+万或-1-万 D.1+或- 2 2 2 2 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.己知关于x的方程x2++2=0有一个根为-2，则a的值为 12.已知关于x的一元二次方程x2-6x-1=0没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值： 13.如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为 一个数的平方，再减去这 个数，最后加上1，其运 算结果和这个数相同，求 这个数。 我们先把题意翻译成数学 表达式，设这个数为x 14.在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛 制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有支. 试卷第2页（共6页） 15.对于实数，n,现定义一种运算“⑧如下：m⑧n= m+m+m之川若x⑧(-2)=10，则实数x的值 n2++n(<n) 为 三.解答题（共8小题，共5分） 16.(8分)解一元二次方程 (1)(x+2)2-4=0 (2)x2-1+2(x+1)=0 (3)x2-4x+2=0 (4)2x2-3x+1=0 17.(6分)已知关于x的一元二次方程x2+x-3x-9=0. (1)若方程不含x的一次项，求m的值和方程的解： (2)当m=-3时，求方程的解. 试卷第3页（共6页） 18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m-3=0. (1)求证：该方程有两个实数根： (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由， 19.(9分)关于x的一元二次方程x+(2k+1)x+k2+1=0. (I)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围. (2)若方程有两个实数根x、七且满足x2+x,2=5,求k的值. 试卷第4页（共6页） 20.（10分)一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市 场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个. (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)因商场改变销售策略，在不改变（1)的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484 个，求这两周的平均增长率. 21.(10分)【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项 式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题 例如：分解因式x2+2x-3=（x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).又如，求代 数式2x2+4x-6的最小值，我们可以通过配方得到： 2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2[(x2+2.x+1)-4=2(x+1)-8.因为(x+12≥0，所以2(x+1)2≥0，则 2(x+1)-8≥-8，当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-8x+7: (2)当x为何值时，多项式-2x2-4x+5有最大值？并求出这个最大值. (3)若多项式x+4与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式. 试卷第5页（共6页） 22.(12分)如图，在△ABC中，B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2c/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另外一点也随 之停止移动. (1)如果P,2分别从A,B同时出发，那么第几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？ (2)如果P,2分别从A,B同时出发，那么第几秒时，PQ的长度等于5cm? 23.(12分)五一假期，全网出圈的‘黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩.宣城某乡镇果蔬专 业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业.结合提供的素材， 解决相关问题， 探索果园土地规划和销售利润问题 该专业合作社辖区内有一块长方形果园ABCD,图1是果园的平面图， AxL 2x 素 其中AB=200米，BC=300米.准备在它的四周铺设道路，上下两 E M 种植园区 材 条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中 F 间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12 BxI 米，且不小于5米. 图1 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观.若每平方米的 素 草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓.受天 材 气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销 2 售.若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草 莓.果园每月的承包费为2万元. 图2 问题解决： (1)若中间种植的面积是44800m2,则路面设置的宽度是否符合要求。 (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 试卷第6页（共6页） 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一元二次方程单元测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第2章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 2．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 3．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 4．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 5．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 8．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 9．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 12．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 13．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 17．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19．（9分）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 20．（10分）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 21．（10分）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 22．（12分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 23．（12分）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一元二次方程单元测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第2章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 2．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 【答案】B 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 3．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 4．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 5．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 6．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 7．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 8．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 9．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 10．我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 12．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 13．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【答案】1 【分析】设这个数是，根据题意建立一元二次方程，求解即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 即这个数是1． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有8支． 15．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 17．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 18．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 19．（9分）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 20．（10分）一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 21．（10分）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 22．（12分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 23．（12分）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $