第2章一元二次方程典例精讲与强化训练-2026-2027学年数学九年级上册北师大版

**基本信息** 以“概念-解法-应用-创新”为逻辑主线，通过典例精讲与分层训练，系统整合一元二次方程的核心方法与实际应用，突出数学思维与创新意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|判别式证明、根与系数关系应用、换元法、新定义转化|从定义到解法（公式法/因式分解），延伸至实际应用（利润问题）及新定义拓展，构建完整知识链| |强化训练|19道（8单+6填+5解）|方程建模、根序点分析、增长率问题求解|覆盖概念辨析、计算技巧、实际应用（面积/销售），强化知识迁移与逻辑推理能力|

第2章一元二次方程典例精讲与强化训练 典例精讲 1．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 2．某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？ 3．定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 强化训练 一、单选题 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 3．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 4．一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 5．若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 7．若实数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 8．某商场今年1月份的营业额为100万元，3月份的营业额为169万元．若2、3月份营业额的月平均增长率相同．设月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____． 10．设是一元二次方程的两个根，则______． 11．已知方程的解是，则方程的解是___________． 12．已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 13．某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________． 14．定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 17．近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众的距离，又推动文化产业发展与消费升级．某景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长增加5米，宽增加3米，则扩建后展销区的面积为原来的4倍，求原矩形文创展销区的长和宽． 18．已知关于x的一元二次方程M：． (1)判断是否是方程M的根，并说明理由； (2)现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 19．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．第二周每个商品的单价应降低4元． 【详解】设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可． 【解答】解：第一周获利：（元）． 设第二周每个商品的单价应降低x元， 根据题意，得：， 即：， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）． 答：第二周每个商品的单价应降低4元． 3．(1) (2)①0；1；②， 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：的“对称方程”是； （2）解：由，移项可得：， 由互为“对称方程”的定义可得， ，， 解得：，， 化为， ， ，． 强化训练解析 1．D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 2．B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 3．B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 4．C 【分析】先利用判别式判断根的存在情况，再计算两根之和与两根之积，即可判断选项正误． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，，， 计算根的判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A，B错误； 根据一元二次方程根与系数的关系： 两根之和 ，∴选项D错误； 两根之积 ，∴选项C正确． 5．C 【分析】本题考查一元二次方程的整理，根与系数的关系和平面直角坐标系内点的象限特征，先将方程整理为一般形式，再求出两根之积和两根之和，得到点的坐标后判断象限即可． 【详解】解：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：，其中，， ∵对于一元二次方程，两根之积为，两根之和为 ∴ ， ∴点的坐标为，横纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限 6．A 【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形的一边长为 米，根据围栏总长为 10 米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为 10 米， ∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽）， 设矩形的一边长为米，则另一边长为米， ∵矩形区域的面积为 21 平方米， ∴根据矩形面积公式可得方程： ． 7．C 【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 8．B 【分析】从1月到3月共经历两次月增长，根据月平均增长率的增长规律列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为， ∵1月份营业额为100万元， ∴2月份营业额为万元， ∵3月份营业额是在2月份的基础上增长得到， ∴3月份营业额为万元， 又已知3月份营业额为169万元， 因此可列方程． 9．（答案不唯一） 【分析】已知一元二次方程的两个根，可利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再构造满足条件的一元二次方程即可． 【详解】解：设该一元二次方程的两根为，，取二次项系数为， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴这个方程可能是，（答案不唯一，只要满足条件即可） 10． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ． 11．， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 12． 5 【分析】（1）根据方程的解得到，结合，得到，利用不等式的性质求解即可； （2）易得，，根据完全平方公式的变形以及完全平方的非负性进行求解即可. 【详解】解：（1）∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴① ∵， ∴， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 且， ∴， ∴，而， ∴， ∴. 13． 【详解】根据题意，原价为118元，降价百分率为x，可得第一次降价后的售价为． 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上下降x，因此第二次降价后的售价为76，所以可列方程为． 14． 1或 【分析】（1）解方程得，根据根序点定义得到点的坐标为； （2）先确定方程有两个不相等的实数根，，由根序点在直线上，满足直线方程：，整理得：，再根据根与系数的关系列方程求解检验即可． 【详解】解：（1）解方程得， ∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：， ∴根序点的坐标为； （2）方程有根序点， 该方程有两个不相等的实数根， ， 根序点在直线上， 满足直线方程：，整理得：， 对于方程，由根与系数的关系得：， ， 整理得：， 解得：， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求， 的值为1或． 15．(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，，， ∵ ∴ ， ∴ （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴或， 解得． 16．(1)见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 17．原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米 【分析】设扩建前展销区的宽为x米，则可表示出扩建前展销区的长，再根据“扩建后展销区的面积为原来的4倍”列式求解即可． 【详解】解：设扩建前展销区的宽为x米， ∵该展销区的长比宽多2米， ∴扩建前展销区的长为米， ∴扩建前的面积为平方米， ∵将该展销区的长增加5米，宽增加3米， 则扩建后的长为米，宽为米， ∴扩建后的面积为平方米， ∵扩建后展销区的面积为原来的4倍， ∴，即， 解得（负值舍）， 即长为5米，宽为3米， 经检验，原面积为平方米， 扩建后面积为平方米， 扩建后展销区的面积为原来的4倍，成立 故原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米． 18．(1) 解：不是方程的根，理由如下： 将代入方程的左边，得， 方程的右边为， ∵，等式不成立， 因此不是方程的根； (2) 证明：设方程和相同的根为， 由题意得， 两式相减得，整理得， ∵方程，仅有一个相同的根， ∴， 若，两个方程完全相同，所有根都相同，不符合题意， 因此，得， 由（1）知不是方程的根，故公共根为， 将代入方程，得， 整理得，即，得证； (3) 满足条件的实数对为，对应整数根为和；，对应整数根为和． 【分析】（1）将代入方程，比较左右两边的值即可判断； （2）联立两个方程，作差整理后，根据仅有一个相同根的条件推出是公共根，代入方程即可证明结论； （3）由得，代入方程后结合根与系数关系整理得到，列举所有整数因数对，排除不符合条件的情况，即可得到所有解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 将代入方程，整理得， 设方程的两个整数根为，， 由根与系数的关系得，， 设，则， 消去得， 整理得， 配方得， ∵，是整数， ∴，都是整数， 列举所有可能的整数对： 当，解得， 代入得，，，，不符合，舍去； 当，解得， 代入得，，无解，舍去； 当，与上述情况结果相同，舍去； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，解得， 代入得，，，，符合条件； 当，与，结果相同，舍去； 综上，满足条件的实数对和对应整数根为： ，对应整数根为和； ，对应整数根为和． 19．(1) 购进A款产品200件，B款产品800件 (2) 【分析】（1）根据购进总数量和总利润的等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出第一周总销售额，再根据第二周总销售额与第一周相等的等量关系列方程，舍去不符合题意的解后得到a的值． 【详解】（1）解：设该平台第一周购进A款产品件，购进B款产品件， 根据题意可得 解得 答：该平台第一周购进A款产品200件，B款产品800件， （2）解：第一周总销售额：（元） 设， 根据题意得： 解得（不符合题意，舍去）， 即， 得 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $