第一章 特殊平行四边形（重难点单元自测）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦“特殊平行四边形”单元复习，以菱形、矩形、正方形性质与判定为核心，通过基础辨析、动态探究、新定义问题等层次设计，落实抽象能力、几何直观、推理意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形内角计算、矩形对角线性质、直角三角形中线定理（第3题）|基础巩固，结合生活情境（如第3题刻度尺测量）| |填空题|6/18|矩形折叠（第13题）、菱形动点最值（第14题）|能力提升，突出几何直观与空间观念| |解答题|8/78|菱形性质证明（第17题）、“奇妙四边形”新定义（第23题）、动态探究（第20题等边△APE）|创新应用，体现推理能力与模型意识，呼应中考新定义题型趋势|

第一章 特殊平行四边形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）如图，在菱形中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形性质，平行线性质，角平分线性质等．根据题意可知，继而得到，再利用角平分线性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（本题3分）有下列说法：①正方形是中心对称图形，又是轴对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③平行四边形相邻的两个内角互补；④菱形的对角线相等．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据正方形的性质对①进行判断；根据矩形的性质对②解析判断；根据平行四边形的性质对③解析判断；根据菱形的性质对④解析判断． 【详解】解：正方形是中心对称图形，又是轴对称图形，所以①正确； 矩形的对角线互相平分且相等，所以②错误； 平行四边形相邻的两个内角互补，所以③正确； 菱形的对角线互相垂直平分，所以④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质，熟练掌握以上图形的基本性质是解本题的关键． 3．（本题3分）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（    ） A．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，点D为的中点，， ∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：B． 4．（本题3分）如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，求出∠ABC＝60°，求出△ABC是等边三角形，求出AB＝2，根据勾股定理求出BO，求出BD，再求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC， ∴∠BAD＋∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AC＝2， ∴AO＝1，AB＝AC＝2， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO＝BO＝＝， ∴BD＝2， ∴菱形ABCD的面积S＝×AC×BD＝×2×2＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键． 5．（本题3分）如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作交于点，已知，的面积为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，得出的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接，如图所示：    由题意可得，为对角线的垂直平分线， ，， ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 6．（本题3分）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在图（1）中连接AC、BD，设AC与BD交于点O，在图（2）中连接BD，在图（1）中由菱形的性质及勾股定理求出菱形的边长，再在图（2）中由勾股定理求得BD的长即可． 【详解】解：在图（1）中连接AC、BD，设AC与BD交于点O，在图（2）中连接BD，如图所示： ∵将四根长度相等的木条首尾顺次相接， ∴在图（1）中，四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠BDC＝∠BDA， ∵∠ABC＝=60°， ∴∠OBC＝30°， 设OC＝x，则BC＝2x， ∵BD＝， ∴OB＝4， ∴在Rt△OBC中，由勾股定理得：x2＋(4)2＝（2x）2， 解得x＝4， ∴BC＝CD＝8． ∴在图（2）中，当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为正方形，由勾股定理得：BD＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 7．（本题3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，F是对角线AC上的一个动点，则FE+FB的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】连接BD，则AC垂直平分BD，FD＝FB，当D，F，E在同一直线上时，FE+FB的最小值等于DE的长，再根据△ABD是等边三角形，即可得到AE的长，进而得到FE+FB的最小值是． 【详解】解：如图所示，连接BD，则AC垂直平分BD，FD＝FB， ∴FE+FB＝FE+FD， ∴当D，F，E在同一直线上时，FE+FD的最小值等于DE的长， ∵AD＝AB，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， 又∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB，AE＝1， ∴Rt△ADE中，DE＝＝＝， ∴FE+FB的最小值是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了最短路线问题以及菱形的性质，熟悉菱形的基本性质是解决本题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 8．（本题3分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（  ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识点，把三角形的面积化为矩形的面积是解题的关键． 先证明、，把三角形的面积化为矩形的面积进而求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴的面积=矩形的面积． 故选：A． 9．（本题3分）如图，在菱形中，，，点同时由两点出发，分别沿方向向点C匀速移动，点E的速度是点F的速度的3倍（点E移动到点C时，都停止移动），当为等边三角形时，的长度为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题为考查菱形性质以及动点问题的综合题．连接，利用菱形性质、等边三角形的性质可证，进而得到；根据题意，，，即可求出． 【详解】解：连接，设点F的运动时间为，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 10．（本题3分）勾股定理有着悠久的历史，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt中，，，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于点，反向延长交于点，则长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出直角三角形斜边长度，过点作于点，再用等面积法算出斜边上的高，结合正方形性质，通过余角性质证明，，进而证明，，得，，即可得长，由四边形是正方形，长方形中，代入面积公式计算即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∵ 四边形是正方形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ∵四边形是正方形，长方形中， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形性质等，利用全等三角形推导线段长度是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）如图所示，在矩形中，，，点为的中点，点为上一点，连接，，满足，则________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． 在上取一点G，使得，易证，设，根据勾股定理求出，可知，，即可求出的值． 【详解】解：在上取一点G，使得， ∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）如图，已知正方形边长为，正方形的边长为2，与在同一条直线l上，连接，则的长为______．    【答案】 【分析】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，连接交于点G，根据正方形的性质得出，，，由勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质即可求解，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：连接交于点G，如图所示：    ∵正方形， ∴， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵正方形，正方形， ∴， ∴即， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则EF的长度是______． 【答案】 【分析】先利用矩形的性质得CD=AB=3，BC=AD=5，∠B=∠D=∠C=90°，则根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，再利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设DE=EF=x，CE=3-x，然后利用勾股定理得到12+(3-x)2=x2，再解方程求出x即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=3，BC=AD=5，∠B=∠D=∠C=90°， ∵△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的点F处， ∴AF=AD=5，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF= ， ∴CF=BC-BF=5-4=1， 设DE=EF=x，CE=3-x，， 在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2， ∴12+(3-x)2=x2， 解得x=， 即EF的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 14．（本题3分）如图，菱形的边长为2，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，的最小值，求出，进而即可求解． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵在菱形中，点A、C关于对称， ∴的最小值， ∵菱形的边长为2， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ 即的最小值． 故答案为： 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称—最短路线，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 15．（本题3分）如图，在边长为4的菱形中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出，当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， 当点运动到线段上的点时，取得最小值， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出． 16．（本题3分）如图，在正方形中，点O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④其中正确的是______．    【答案】①②③④ 【分析】先由正方形的性质和角度之间的关系证明，，进而证明，得到，，，，由此即可判断①②；进一步证明，根据正方形的性质即可得到，由此即可判断③；勾股定理得，，由此即可判断④． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中 ， （）， 同理可证：， ，， ，， 故①②正确； ， ， 四边形是正方形， ， ， 故③正确； 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ，故④正确． 故答案：①②③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等，掌握相关的性质及判定方法是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：17题9分，18、22题8分，19、20、23、24题10分，21题7分） 17．（本题9分）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． (1)如图1，过点B画的垂线； (2)如图2，E为边上一点，在边上画点F，使得； (3)如图3，E为边上一点，在边上画点F，使得． 【答案】(1) 如图1，直线即为所求． (2) 如图2，则点F即为所求． (3) 如图3，则点F即为所求． 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合菱形的性质，作直线即可； （2）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，则点F即为所求； （3）连接，相交于点G，连接并延长交于点F，，则点F即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．（本题8分）在中，，是的中点，过点作，且，连接交于． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵点是边的中点，， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线的性质得到，通过证明四边形是平行四边形，可得结论； （2）由得到，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（本题10分）已知：如图（1），边长为的菱形的对角线与相交于点O，若． (1)求证：四边形是正方形． (2)如图（2），E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长． (3)在（2）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）由菱形的性质得出，，，则，证出，求出，即可得出结论； （2）由正方形的性质得出，，，，得出，，证出，再证明，可得，然后利用勾股定理求出即可； （3）先证明，可得，然后可证，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵在正方形中，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，垂足为H， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相关性质定理，作出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20．（本题10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE． （1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　． （2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图2，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的长． 【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）2 【分析】（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD． （2）结论不变．证明过程同（1）． （3）在Rt△AOP中，求出OA，OP即可解决问题． 【详解】（1）BP=CE，CE⊥AD．     理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=60° ∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60° ∴△ABC、△ACD是等边三角形 ∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60° ∵△APE是等边三角形 ∴AP=AE，∠PAE=60° ∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC 即∠BAP=∠CAE， ∴△BAP≌△CAE（SAS） ∴BP=CE，∠ABP=∠ACE ∵BD平分∠ABC ∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30° ∴CE平分∠ACD ∴CE⊥AD． 故答案为BP=CE，CE⊥AD． （2）结论仍然成立．理由如下：如图，设CE交AD于H，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°． ∵△APE是等边三角形， ∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°． ∴△BAP≌△CAE．      ∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°． ∵∠CAH=60°， ∴∠CAH+∠ACH=90°． ∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．      （3）如图，连接BE， 由（2）可知CE⊥AD，BP= CE． 在菱形ABCD中，AD∥BC，∴CE⊥BC． ∵BC=AB=2，BE=2， 在Rt△BCE中，CE==8． ∴BP=CE=8．   ∵AC与BD是菱形的对角线， ∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD． ∴OA=AB=，BO==3， ∴OP=BP－BO=5， 在Rt△AOP中，AP==2， 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．第（2）题的证明过程可由（1）适当转化而得，第（3）题则可直接运用（2）的结论解决问题． 21．（本题7分）如图1，在正方形中，点P是对角线上的一点，连结． (1)求证：； (2)如图2，延长交线段于点Q，交的延长线于点G，点M是的中点，连结．求证：； (3)如图3，延长交射线于点Q，交于点G，点M是的中点，连结．若，，的长度为 ． 【答案】(1) 证明：∵为正方形的对角线， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：由（1）得：， ∴， 即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； (3) 【分析】（1）由正方形的性质得，再由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即，再由平行线的性质得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，则，证出，即可得出结论； （3）由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再证为等边三角形，得，然后证，得，证，得，设，则，由含角的直角三角形的性质得，最后由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵M为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 由勾股定理得： 即：， 解得：或（不合题意舍去）， ∴的长为：． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 22．（本题8分）【探究】如图1，正方形和正方形有公共顶点C．连接求证：． 【变式】如图2，菱形和菱形有公共顶点C，且、连接    （1）是否仍存在结论？若存在，给出证明，若不存在，请说明理由； （2）如图3，当点G恰好落在对角线上时，点F在延长线上，且，若的面积为9，直接写出菱形的面积． 【答案】 探究：证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 变式（1）存在． 证明：∵四边形和四边形都是菱形， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）24 【分析】（1）根据菱形的性质，结合已知条件推出，根据菱形四条边相等推出判定的条件，判定全等后再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先根据面积公式推出与的面积和等于的面积，再根据与之间的数量关系求出的面积，易得四边形的面积，然后根据推出的面积与四边形的面积，最后根据菱形的性质即可求出结果． 【详解】【探究】略 【变式】（1）略 （2）解：∵与菱形同底等高， ∴菱形的面积等于面积的2倍， 又∵的面积为9， ∴菱形的面积等于， ∴， ∵与中边与边上的高相等， ∴与的面积比等于与的比， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题综合考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．掌握相关结论进行几何推理是解题关键． 23．（本题10分）我们不妨约定：对角线互相垂直且相等的凸四边形叫做“奇妙四边形”．    (1)在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“奇妙四边形”的有_____；（请填序号） (2)如图1，为凸四边形内一点，如果和分别是以，为底的等腰直角三角形，求证：四边形是“奇妙四边形”； (3)如图2，“奇妙四边形”的对角线与交于点，、分别是边、的中点，若，求的长． 【答案】(1)④ (2) 证明： 、交于点，如图1：    和都是以，为底的等腰直角三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ∴四边形是“奇妙四边形” (3) 【分析】（1）根据“奇妙四边形”的定义判断即可； （2）如图1，由和都是等腰直角三角形，可证得，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，即可得出结论 （3）此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理以及勾股定理进行计算即可进行． 【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直且相等， 正方形，是“奇妙四边形”， 平行四边形的对角线互相平分， 平行四边形不是“奇妙四边形”， 矩形的对角线互相平分且相等， 矩形不是“奇妙四边形”， 菱形的对角线互相垂直平分， 菱形不是“奇妙四边形”， 故答案为：④． （2）略 （3）取的中点，连接，，    、分别为、的中点， 是的中位线， ， 同理可得，， ∵是“奇妙四边形” ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，中位线定理注意此题中的辅助线：构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明． 24．（本题10分）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，则___________度； ②若点E恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点E恰好落在边上． 过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①64，②2； （2）补图如下：四边形是菱形， 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）或 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）略 （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章特殊平行四边形 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要 求) 1.(本题3分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=140°，则∠DAC等于() D A.30° B.25° C.20° D.15° 2.(本题3分)有下列说法：①正方形是中心对称图形，又是轴对称图形；②矩形的对角线互相垂直； ③平行四边形相邻的两个内角互补；④菱形的对角线相等.其中说法正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(本题3分)如图，数学老师利用刻度直尺（单位：Cm)测量三角形教具的尺寸，点B,C分别对应 刻度尺上的刻度2和8，点D为BC的中点，若∠BAC=90°，则可求得AD的长为3Cm,所应用的数学 知识是() B D/ T中T 0123456789 A.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.三角形的中位线等于第三边的一半 D.以上都不正确 4.(本题3分)如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,∠BAD=120°，AC=2,则该 菱形的面积是() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A.4/3 B.8 c.2V3 D.4 5.(本题3分)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥BD交AD于点E, 已知AB=4,△DOE的面积为5，则AE的长为() A E D B A.2 B.3 c.5 D.2 6.(本题3分)数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得 ∠D=60°，对角线BD长为8V3cm,改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的对角线长为 () D B 图1 图2 A.8cm B.82cm C.8V3cm D.16cm 7.（本题3分)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，E是AB的中点，F是对角线AC上的一个 动点，则FE+FB的最小值是() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.1 B.2 c.2V2 D.3 8.(本题3分)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法. 如图所示，在△ABC中，分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,将 △ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3,AF=2,则矩形BCHG的面积是() G FE A.12 B.10 C.8 D.6 9.(本题3分)如图，在菱形ABCD中，AB=5,∠B=60°，点E,F同时由B,D两点出发，分别沿 BC,DC方向向点C匀速移动，点E的速度是点F的速度的3倍（点E移动到点C时，都停止移动），当 △AEF为等边三角形时，BE的长度为() B E 5 A. B.3 D.5 10.(本题3分)勾股定理有着悠久的历史，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票.如图，在t △ABC中，∠BAC=90°，AC=3,AB=4,分别以AB,AC,BC为边向外作正方形ABIH,正方形 ACFG,正方形BCDE,并按如图所示作长方形KLNP,延长BC交NL于点M,反向延长BC交PK于点J, 则长方形KLMJ的面积为() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B EAAAZ-APX 250 A.32 B.49 C.38 D.46 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(本题3分)如图所示，在矩形ABCD中，AB=6,AD=9,点E为CD的中点，点F为AD上一点， AF 连接BE,EF,满足∠DFE=2∠EBC,则FD A E B 12.(本题3分)如图，已知正方形ODEF边长为V2,正方形ABCO的边长为2，OA与OE在同一条直 线I上，连接CF、AD,则CF的长为一 B 13.(本题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰 好落在BC边上的点F处，则EF的长度是一· 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B F C 14.(本题3分)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的 一动点，则PM+PC的最小值为 A D 力 M 15.(本题3分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内 一动点，且满足MN=1,连接CN,则CN的最小值为 D M A B 16.(本题3分)如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，过点O作射线OM,ON分 别交BC,CD于点B,F,且∠EOF=90°，OC,EF交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF; ②CF=BE;③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的4：④DF2+CF=2OE其中正确的是 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E M G 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：17题9分，18、22题8分，19、20、23、24题10分，21题 7分) 17.(本题9分)如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画 法，保留画图痕迹)· B B B (图1) (图2) (图3) (1)如图1，过点B画AC的垂线： (2)如图2，E为AB边上一点，在CD边上画点F,使得DF=BE: (3)如图3，E为AB边上一点，在BC边上画点F,使得BF=BE. 18.(本题8分)在Rt△BDE中，∠BDE=90°，C是BE的中点，过点D作AD‖BE,且AD=BC, 连接AE交CD于F. D (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若DB=8,菱形ABCD的面积为40，求BE的长， 19.(本题10分)己知：如图(1)，边长为4V2的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若 ∠CAD=∠DBC. 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D E H B B 图(1) 图(2) (备用图) (1)求证：四边形ABCD是正方形. (2)如图(2)，E是OB上一点，BE=1,且DH⊥CE,垂足为H,DH与OC相交于点F,求线段DF的 长 (3)在(2)的条件下，连接OH,求OH的长. 20.（本题10分)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边 △APE,连接CE. (I)如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是 (2)如图2，当点P在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由： (3)如图2，连接BE,若AB=2V3,BE=2V19,求AP的长. E B C 图1 图2 21.(本题7分)如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，连结CP B B B 图1 图2 图3 (1)求证：△ADP≌△CDP； ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，延长AP交线段DC于点Q,交BC的延长线于点G,点M是GQ的中点，连结CM.求证： PC⊥MC: (3)如图3，延长AP交射线DC于点Q,交BC于点G,点M是GQ的中点，连结CM.若PM=4V3, ∠BAP=30°，AB的长度为_ 22.(本题8分)【探究】如图1，正方形ABCD和正方形CEFG有公共顶点C.连接BG、DE,求证： BG=DE 【变式】如图2，菱形ABCD和菱形CEFG有公共顶点C,且∠A=∠F、连接BG，DE. B 图1 图2 图3 (1)是否仍存在结论BG=DE？若存在，给出证明，若不存在，请说明理由： (2)如图3，当点G恰好落在对角线BD上时，点F在BD延长线上，且DF=2DG,若△CED的面积为 9,直接写出菱形ABCD的面积. 23.(本题10分)我们不妨约定：对角线互相垂直且相等的凸四边形叫做“奇妙四边形”. 图1 图2 (1)在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“奇妙四边形”的有；（请填序号） (2)如图1，P为凸四边形ABCD内一点，如果△PAB和△PCD分别是以AB,CD为底的等腰直角三角形， 求证：四边形ABCD是“奇妙四边形”； (3)如图2，“奇妙四边形”ABCD的对角线AC与BD交于点O,M、N分别是边AB、CD的中点，若 AC=BD=4,求MN的长， 24.(本题10分)【问题背景】在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点P在边AB上，点Q在边 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处. A(P) D A E D A D E 图1 图2 图3 【初步认识】 (1)如图1，折痕的端点P与点A重合. ①当∠CQE=52时，则∠AQB= 度； ②若点E恰好落在线段QD上，求BQ的长： 【深入思考】 (2)如图2，点E恰好落在边AD上. 过点E作EF‖AB交PQ于点F,连接BF.请在图2中画出线段EF,BF,并判断四边形PBFE的形状， 且证明你的结论： 【拓展提升】 (3)如图3，若DQ⊥PQ,连接DE.当△DEQ是以DQ为腰的等腰三角形时，请直接写出线段BQ的 长 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！