第四章 基本平面图形（4核心+6题型+4难点+复习讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理第四章“基本平面图形”的复习要点与重难点，分线段射线直线、角、多边形、圆四个知识点构建知识框架，用思维导图呈现概念、性质及内在联系，突出线段中点、角平分线等核心内容的逻辑关联。 讲义亮点在于分层练习设计与数学思维培养，如线段动点问题通过分类讨论培养推理意识，角的动态旋转题发展几何直观。基础达标与能力进阶题组满足不同学生需求，解题要点总结方法技巧，助力教师实施精准教学，提升学生抽象能力与应用意识。

第四章 基本平面图形 复习要点 1. 理解线段、射线、直线的定义与特征，能区分它们的端点个数、延伸方向与能否度量，并会用规范的符号进行表示。 2. 掌握“两点确定一条直线”与“两点之间线段最短”两个基本事实，能区分两点间距离与线段的长度。 3. 掌握比较线段长短与角大小的方法（叠合法、度量法），理解线段中点与角平分线的定义及其几何语言表述。 4. 掌握度、分、秒的换算（60进制）以及余角、补角的概念，能进行角度的和差倍分计算与简单换算。 5. 理解多边形与圆的相关概念（顶点、边、对角线、圆弧、扇形、圆心角），能区分多边形与正多边形，会计算扇形圆心角的度数。 复习重难点 重点：线段、射线、直线的区分与表示，比较线段和角的大小，线段中点与角平分线的性质，以及度分秒的换算。 难点：运用线段中点与角平分线的性质进行线段和角的和差倍分计算，以及灵活运用分类讨论、方程等思想解决综合几何问题。 知识点 线段、射线、直线 1.概念：线段是直线上两点之间的部分，有两个端点；射线是将线段向一个方向无限延长形成的，只有一个端点；直线是将线段向两个方向无限延长形成的，没有端点。 2.表示方法：都可以用两个大写字母表示，线段、直线也可以用一个小写字母表示。表示射线时，必须将表示端点的字母写在前面。 3.直线的性质：两点确定一条直线。 4. 线段的性质：两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 5.线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做这个线段的中点。线段中点到线段两个端点的距离相等，对于任意一条线段，它都有且只有一个中点。 要点速测 1．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． 【答案】(1)直线、线段、射线如图所示． (2)如图，点即为所求．理由为：两点之间，线段最短． (3)点如图所示，或， 【分析】（1）根据直线、线段及射线的定义画图即可； （2）连接、，交于点，根据两点之间，线段最短解答即可； （3）根据求出，分点在点右侧和左侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：∵，， ∴， 如图，当点在点右侧时，， 当点在点左侧时，． 知识点 角 1.定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2.表示法：可以用三个大写字母表示，顶点字母写在中间；也可用一个大写字母表示（当以该字母为顶点的角只有一个时）；还可以用小写希腊字母或数字表示。 3.度量单位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 4.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线。 要点速测 2．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． （1）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解：． 3.（25-26六年级下·上海·期末）解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 【答案】(1)、 (2)①；②的度数为或 【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角， ∵，，，，，， ∴还能用一副三角板画出、、、、、的角． （2）解：①∵，，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 知识点 多边形及正多边形 1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.相关概念：多边形有顶点、边、内角、外角和对角线等概念。n边形一个顶点的对角线数为n-3，n边形的对角线总数为。 要点速测 4．（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 5．（25-26七年级上·四川达州·期末）若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线的公式． 从n边形的一个顶点出发的对角线条数为，据此求解即可． 【详解】解：∵ 从n边形的一个顶点出发可画出条对角线， ∴， ∴， ∴ 这个多边形是十一边形， 故选：B． 知识点 圆 圆的定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 要点速测 6．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．（π取3） （1）求塑胶地面休闲区的面积； （2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值． 【答案】（1）塑胶地面休闲区的面积为350平方米；（2） 【分析】根据圆的面积公式和长方形的面积公式计算相应的面积即可． 【详解】解：（1）S塑胶地面＝S长方形+S半圆＝10×20π×（）2＝200+50π≈350（平方米）， 答：塑胶地面休闲区的面积为350平方米； （2）S种花卉＝S长方形﹣S半圆＝200﹣150＝50（平方米）， S种草坪＝S半圆＝50π≈150（平方米）， 所以，广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值为． 题型1 直线、射线、线段的表示及性质应用 ▌例1 （25-26七年级上·河北唐山·期末）下列关于直线、射线、线段的说法中正确的是（  ） A．用直尺可以画一条长的直线 B．射线与射线表示同一条射线 C．过平面内三点中的每两点画直线，一定可以画3条 D．若点在线段外，则 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的基本概念及两点之间线段最短的性质，关键是准确区分直线、射线的特征，理解三点画直线的不同情况，以及灵活运用两点之间线段最短的定理． 【详解】解：选项A：∵直线向两方无限延伸，没有长度， ∴不能画出长的直线，A错误； 选项B：∵射线的端点是、延伸方向指向，射线的端点是、延伸方向指向，端点与延伸方向均不同， ∴不是同一条射线，B错误； 选项C：∵若三点在同一条直线上，过每两点画直线只能画1条，并非一定能画3条， ∴C错误； 选项D：∵两点之间线段最短，点在线段外， ∴，D正确； 故选：D． 解题要点 1.分清表示与区别：直线无端点，用两个大写字母或小写字母表示；射线有一个端点，表示时端点字母在前；线段有两个端点，可度量长度。 2.运用性质解题：利用“两点确定一条直线”判断作图；利用“两点之间线段最短”求最短路径或比较线段大小，注意中点及和差关系的应用。 ▌迁移练1-1（25-26七年级上·湖北恩施·期末）下列几何语句描述正确的是（   ） A．直线和直线是同一条直线 B．延长线段到点C，使 C．射线和射线是同一条射线 D．画直线厘米 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线和线段的联系与区别． 根据直线无限长不可度量、射线有端点且有方向、线段有端点可延长可度量的特点，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．点、、不一定共线，直线和直线不一定是同一条直线，A选项错误，不符合题意； B．线段有两个端点，可延长，延长线段到点使是合理的几何操作，B选项正确，符合题意； C．射线和射线的端点不同，不是同一条射线，C选项错误，不符合题意； D．直线无限长，无法度量长度，D选项错误，不符合题意． 故选：B． ▌迁移练1-2（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列说法错误的是（    ） A．射线比直线短 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．直线和直线表示同一条直线 【答案】A 【分析】本题考查直线与射线的定义，性质，表示方法等知识，需依据两者的定义与特征判断各选项的正误． 【详解】对于选项A：∵直线和射线均为无限延伸的，无法度量长度，不能比较长短， ∴A选项说法错误，符合题意； 对于选项B：∵过一点可以作无数条直线， ∴B选项说法正确，不符合题意； 对于选项C：∵射线的端点是A，射线的端点是B，延伸方向不同， ∴二者是不同的射线， ∴C选项说法正确，不符合题意； 对于选项D：∵直线没有端点，直线与直线表示同一条直线， ∴D选项说法正确，不符合题意； 综上，错误的说法是A选项． 故答案为：A． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（   ） A．线段与线段是两条不同的线段 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是两条不同的射线 D．直线与直线是同一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、线段和射线的概念及性质，根据直线、线段、射线的表示方法，以及它们的联系与区别逐一判断即可． 【详解】解：A项：线段与线段是同一条线段，选项说法错误，不符合题意； B项：射线与射线不是同一条射线，而是两条不同方向的射线，选项说法错误，不符合题意； C项：射线与射线是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D项：直线与直线是同一条直线，选项说法正确，符合题意， 故选：D． 题型2 画直线、射线、线段 ▌例2 （25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，平面上有四个点 ， ， ， ，根据下列语句画图： (1)画直线 ； (2)画射线 ； (3)画线段 ； (4)连接 ，并反向延长 至点 ，使． (5)在线段上找一点 ，使和最小，并说明理由________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)；两点之间，线段最短 【分析】（1）（2）（3）根据直线、射线、线段的定义作图即可； （4）反向延长 ，再分别以为圆心， 为半径作弧即可得到 ； （5）连接，相交于点 ，则点 即为所求．结合线段的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）反向延长 ，再分别以为圆心， 为半径作弧即可得到 ； （5）解：连接 ， 交于点 ，点 即为所求， 理由：两点之间，线段最短． 解题要点 1.区分端点与延伸：直线无端点，向两端无限延伸；射线有一个端点，向一端延伸；线段有两个端点，有固定长度。画图时严格按定义标注端点。 2.计数与作图：计数时注意不重不漏（如数线段用枚举法）；作图题要保留必要的作图痕迹，并根据题意标明字母和长度。 ▌迁移练2-1（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线m和直线外三点，，，按下列要求画图： (1)画射线； (2)画线段； (3)用圆规在射线上截取，保留圆规画图痕迹； (4)在直线上找一点，使得最小，并说明你的作图依据：______． 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2) 如图，线段BC即为所求； (3) 如图，线段BD即为所求； (4) 如图，点E即为所求．作图依据是：两点之间线段最短． 【分析】根据直线的定义画出图形；根据线段的定义画出图形；根据题目要求画出图形；连接AC交直线m于点E，点E即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 ▌迁移练2-2（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图，平面上有四个点，，，，根据下列语句画图： (1)画直线、射线、线段； (2)连接，并反向延长至点，使； (3)在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离和最小，并说明理由 ． 【答案】(1) 如图，直线AD、射线DC、线段CB即为所求． (2) 如图，BE即为所求． (3) 如图，点O即为所求． 两点之间线段最短． 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．． （1）根据直线、射线、线段的定义作图即可． （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求． （3）连接，相交于点，则点即为所求．结合线段的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：以点B为圆心，AD的长为半径画弧，交射线BA于点F，再以点F为圆心，AD的长为半径画弧，交射线BA于点E， 则BE即为所求． （3）解：连接AC，BD相交于点O，则点O即为所求． ▌迁移练2-3（25-26七年级上·山东滨州·期末）（1）如图，已知平面上四个点，，，，请根据下列语句用尺规作图并回答问题．（只保留作图痕迹，不写作图依据） 分别作直线、线段；作出射线与射线，两射线相交于点； 在线段上找一点，使的值最小，这样作图的依据是______． （2）如图是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中半圆形弯道的直径为，直道的长为．如图是体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地． 用含，的代数式表示跑道的周长为______（结果保留）； 用含，，的代数式表示两项比赛场地的总面积（图中阴影部分面积的和）． 【答案】（）如图， 如图，连接交于点，则点即为所求， 作图的依据是：两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （），． 【分析】（）根据题意作出图形即可； 连接交于点，然后通过两点之间线段最短即可求解； （）列代数式即可； 列代数式即可． 【详解】解：（）略 （）跑道的周长为， 故答案为：； 两项比赛场地的总面积 ． 题型3 线段长度的计算 ▌例3 （25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 解题要点 1.明确关系：根据图形或题意，确定线段间的和、差、倍、分关系，或利用中点、等分点性质，建立等量关系式。 2.分类讨论：当点的位置不确定时（如在线段上、延长线上），需分情况讨论，避免漏解，并验证结果是否符合图形位置条件。 ▌迁移练3-1（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据比例关系，由，求出，再根据，可得，计算即可； （2）由（1）中结果先求出，再作差求出，根据中点的条件求出，最后作差即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ． ． （2）解：，， ． ． ∵点E是的中点， ． ． ▌迁移练3-2（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，已知点为线段上一点，其中，点是的三等分点（靠近端），点是的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或 【分析】本题考查线段的和与差． （1）根据已知条件得到、、的长，继而根据，得到的长． （2）根据当点在点的左侧和右侧时，分两种情况讨论，得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∵点是的三等分点（靠近端），点是的中点, ∴,， ∴； （2）解：如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴点在点的左侧，即， 如图，当点在点的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的长度为或． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，已知线段，延长线段至C，使． (1)请根据题意将图形补充完整．直接写出________； (2)设，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点D运动到线段上，求与的数量关系，并说明理由； ②在点D，E沿直线向左运动的过程中，M，N分别是线段，的中点．当点C恰好为线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1) 图形补充完整如图， ； (2)①， 理由：如图， ∵，由（1）得，， 设运动的时间为t秒， ∴，， ∴. ②或． 【分析】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． （1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出的长，进而求出运动时间，求出、的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴CA＝， 故答案为：； （2）解：①略 ②当时， ∵， ， ∴， ∴， ， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 当时， ∵， ， ∴， ∴， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 综上，的长是或． 题型4 角的度量及计算 ▌例4 （25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，已知，在内画射线，平分． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查角的和差运算及角平分线的定义，关键是根据图形确定角之间的和差关系，利用角平分线的性质求出相关角的度数． （1）等于与的和，直接代入已知角度数值求和即可； （2）先根据角平分线的定义求出的度数，再通过的角差关系计算出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， 又∵， ∴． 解题要点 1.单位换算：牢记度、分、秒是六十进制，换算时乘60或除以60。计算中若出现小数度，需正确转化为度分秒形式。 2.加减运算：度、分、秒分别相加减，注意“逢60进1”或“借1当60”。乘法运算时分秒满60进位，除法运算则从度开始逐级相除。 ▌迁移练4-1（25-26七年级上·安徽六安·期末）【问题背景】已知一副三角尺，在三角尺中，，；在三角尺中，，，；已知两个三角尺有一个顶点A重合． （1）【初步感知】如图1，若与重合，，分别是，的平分线，则的度数为________；的度数为________． （2）【拓展探究】将三角尺按照图2方式摆放，，分别是，的平分线，若，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）首先求出，结合角平分线求出的度数； （2）首先表示出，，然后由角平分线表示出，，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴． ▌迁移练4-2（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. ▌迁移练4-3（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 题型5 多边形的相关计算 ▌例5 （25-26七年级上·广东深圳·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 解题要点 1.内角与外角和：牢记n边形内角和公式(n-2)×180°，外角和恒为360°。已知边数求角度，或已知角度求边数，均列方程求解。 2.对角线计算：n边形对角线条数为 n(n-3)/2。已知边数求条数，或已知条数求边数，直接代入公式解方程即可，注意n≥3且为整数。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点最多能引出条对角线求解即可． 【详解】解：从该九边形的一个顶点最多能引出条对角线， 故选：． 解题要点 ▌迁移练5-2（25-26七年级上·广东清远·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，利用n边形从一个顶点出发的所有对角线可将多边形分成个三角形的规律，列方程求解多边形的边数即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， ∵该多边形被分成4个三角形 ∴， 解得， ∴这个多边形是六边形， 故选：B． ▌迁移练5-3（2025八年级下·湖南怀化·竞赛）一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 【答案】或或 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 题型6 圆的相关计算 ▌例6 （25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 解题要点 1.半径搭桥：所有线段、角度计算最终都回归到半径上，利用同圆半径相等构造等腰三角形，转移边角关系。 2.定理转化：用垂径定理平分弦与弧，用圆周角定理将圆周角与圆心角、弧的度数互化，将未知条件转化为已知定理可直接计算的形式。 ▌迁移练6-1（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的比例，圆的面积公式，得到各圆半径是解题的关键． 设，则，，再根据圆的面积公式的计算求解即可． 【详解】解：设， ， ，， 则，，， ． 故选：C． ▌迁移练6-2（24-25九年级上·河北张家口·期末）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． ▌迁移练6-3（25-26七年级上·河南平顶山·期末）小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游泳区的长与宽之间满足． (1)游泳区的面积为______，休息区的面积为______；（用含的代数式表示） (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由； (3)当时，绿地的面积为______．（取） 【答案】(1)， (2) 小华的设计方案符合要求，理由如下： 休闲场所面积为：， 绿地面积：， ∵， ∴绿地面积大于休闲场所的一半面积， 即：符合要求； (3) 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、求差法比较大小，关键是利用求差比较法比较大小； （1）根据矩形及半圆的面积公式表示即可； （2）比较绿地面积与休闲场所的面积的一半作比较即可得出结论； （3）把代入绿地面积的代数式即可． 【详解】（1）解：游泳区：， 休息区：； 故答案为：，； （2）略 （3）解：当时，， 故答案为：． 难点一 线段有关的多解题问题 难点一：分类讨论的“完备性” 当题目条件（如点的位置、比例关系）未明确配图时，需根据线段的和差倍分关系，主动区分“点在线段上”“延长线上”或“反向延长线上”等不同情形。遗漏任一情况均会导致漏解，需借助数形结合构建无遗漏的分类框架。 难点二：计算过程的“严谨性” 不同图形位置下，线段间的数量关系（如和、差）会发生转换。列式时需依据对应图形调整运算符号，避免机械套用单一模式。同时需检验各解是否满足题设中的非负性和几何公理，确保所得解的有效性。 难点精练 1.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）延长线段到C，使，反向延长线段到D，使，点E为的三等分点，点F为的中点．若，则线段的长为____． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差计算、中点的性质和三等分点的性质，利用分类讨论的思想是解题关键．通过已知的长度，依次求出 的长度，然后确定点F和点E的位置，最后求的长度． 【详解】解：因为， 所以． 则． 因为， 所以． 因为反向延长到D， 所以D在A的左侧． 所以． 因为点F为的中点， 所以． 点E为的三等分点， 如图，当其靠近点A时， ，， 所以； 如图，当其靠近点D时， 所以， 所以； 综上所述，线段的长为或． 故答案为：或． 2．（25-26七年级上·山东·期末）若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为________． 【答案】12或24 【分析】本题考查线段的性质：根据点是中点，得；点和点是的三等分点，且，讨论D和E的位置，从而求出，再求． 【详解】解：如图，有两种情况： ①∵点和点是线段上的三等分点，且， ∴，因此． 又∵点是线段的中点， ∴． ②∵点和点是线段上的三等分点，且， ∴，因此． 又∵点是线段的中点， ∴． 故答案为：12或24． 3．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是______________________． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 难点二 角有关的多解题问题 难点一：图形位置关系的“不确定性” 题目若未明确给出图形，角的相对位置（如内部、外部或交叉）便会产生歧义。需针对射线或边的不同分布情况分类讨论，避免默认单一图形而漏解。 难点二：角度计算的“动态与边界” 涉及角平分线、旋转或折叠时，角度会随图形变化而动态改变。需注意运动过程中的临界状态（如重合或反向延长），确保分类完整且不重复，并舍去不合题意的解。 难点精练 1.（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 2．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）已知，若，则的度数是__________． 【答案】25°或75° 【分析】分OB在∠AOC中和OC在∠AOB中两种情况考虑，当OB在∠AOC中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB+∠BOC即可求出∠AOC的度数；当OC在∠AOB中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC即可求出∠AOC的度数． 【详解】解：分两种情况考虑． 当OB在∠AOC中时，如图1所示， ∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+25°＝75°； 当OC在∠AOB中时，如图2所示， ∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣25°＝25°． 故答案为：75°或25°． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．为的三等分线，设，则或2x，再由平分，设，则，则或，由此求解即可． 【详解】解：∵为的三等分线，设，则或2x， ∵平分，设，则， 则或， ∵平分， ∴或， ∴或x， ∵， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 难点三 线段与角的规律探究问题 难点一：图形交叠中的“计数对应” 核心在于厘清几何元素的生成逻辑。线段的条数取决于端点或交点的组合数，角的个数则需明确射线的公共端点及旋转次序。难点是避免遗漏或重复，必须依据“基本单元”或“分类标准”（如按边或按区域）有序计数。 难点二：动态情境下的“变量分析” 当涉及射线旋转或多线段运动时，需捕捉“临界状态”与“分类讨论”的时机。随着位置变化，数量关系（如角度和差）可能发生突变，必须利用代数式精准表示变化区间，并合理取舍结果，才能正确揭示深层规律。 难点精练 1.（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． 【迁移应用】： (2)若（不超过），其他条件不变，求的度数． (3)若（不超过），其他条件不变，求的度数． 【归纳总结】： (4)从上面的结果中你能归纳、总结出什么规律？ 【答案】(1) (2) (3) (4)，与的大小无关 【分析】本题考查角平分线的有关计算，角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）先根据角的和差关系求出，再根据角平分线的定义求出和，根据即可求解； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）观察前三问的已知条件及结果，可得，与的大小无关． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以． 因为平分， 所以， 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以． 因为平分， 所以， 所以． （3）解：因为，， 所以. 因为平分， 所以. 因为平分， 所以， 所以． （4）解：归纳总结的规律：，与的大小无关． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知点是直线上一点，，，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，运动时间为秒．当射线与重合时，运动停止． (1)如图1，当________时，射线与重合； (2)如图2，若射线运动的同时，另有一射线从出发，绕点运动，每隔5秒运动一次．当时，进行第一次运动，逆时针旋转；当时，从新位置进行第二次运动，顺时针旋转；当时，从新位置进行第三次运动，逆时针旋转……按照此规律不断运动（每次运动时间忽略不计）． ①当时，求的度数； ②在射线停止运动前，射线、、中恰有一条射线平分另外两条射线所形成的角，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)8 (2)①；②t的值为或或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，角平分线定义，数形结合，注意进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，求出，即可得出答案； （2）①求出当时，，，即可得出答案； ②分六种情况讨论：当时，当，在左侧时，平分，当，在右侧，在左侧时，平分，当，在右侧，平分，当时，，平分，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线与重合时， （2）解：①根据题意可得：当时，，， ∴； ②∵， ∴， 射线运动到所用时间为：（秒）， 当时，射线没有运动，即与重合，射线、、中不可能有一条射线平分另外两条射线所形成的角； 当，在左侧时，平分， ∴， ∴， ∴此时； 当，在右侧，在左侧时，平分， ∴， ∴， ∴此时； 当，在右侧，平分， ∴， ∴， ∴此时； 当时，此时射线进行了第二次运动，则，只存在平分， ∴， ∴， ∴此时； 当时，，，此时射线、、中不可能有一条射线平分另外两条射线所形成的角； 综上，当射线、、中恰有一条射线平分另外两条射线所形成的角时，t的值为或或或． 难点四 线段动点与动角的探究问题 难点一：动态图形中“变与不变”的识别 动点与动角的核心在于寻找运动中的不变量。难点在于如何从位置、大小等变化要素中，分离出恒定的几何关系（如线段和差、角的倍数或互补关系）。需利用“化动为静”的策略，抓住运动起始、关键分界或终止时刻的特殊状态，建立方程或函数模型来刻画变量间的约束。 难点二：多情况讨论的“分类标准”确定 随着点的移动或角的旋转，图形可能出现多种情形（如点的位置切换、射线旋转方向改变）。难点在于能否依据临界点（如端点、交点或特殊角）确立完备的分类框架，避免重复或遗漏。要求对每一种情况分别画出图形并列出对应代数式，确保结论的全面与严谨。 难点精练 1.（23-24七年级上·四川泸州·期末）如图，长方形纸片，点分别是边上的动点，将，分别沿，折叠，点的对应点分别是点，点． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点在同一直线上，探索与的关系，并说明理由． (3)若，直接写出折叠后的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）根据折叠的性质即可求解； （）根据折叠的性质分两种情况即可求解； 本题考查了折叠的性质，角的和差关系，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠可得， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当折叠后的图形如图时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当折叠后的图形如图时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为． 2．（期末押题培优01卷-【微专题】2025-2026学年七年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，点在射线（点在点，之间）上，且，点是线段上的一个动点，，，，三点按顺时针方向排列，点在射线上方，作平分． (1)如图，当点与原点重合，与重合时，求的度数； (2)如图，若，且，记． ①当点是线段的中点时，求的度数； ②猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)45° (2)①，②，见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义求解即可； （2）①当点是线段的中点时，，再根据角平分线的性质，求解即可；②利用角平分线的定义以及角之间的关系，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 平分， ． （2）解：①点是线段的中点， ，即， ， ． 平分， ， ． ②． 理由：依题意，得， 平分， ． ． ， ． 3．（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·期末）直线外有一定点，是直线上的一个动点．              (1)如图1所示，当点从左向右运动时，观察的变化情况，正确的是________ A．逐渐变大                B．逐渐变小                C．大小不变                D．无法确定 (2)当点运动到时，点运动停止，然后将射线绕着点顺时针旋转到如图2位置，且． ①求图2中，的度数； ②在图2的基础上，作射线平分，在内作射线，使得，如图3，求的度数． 【答案】(1)B (2)①∠AOC=40°，∠BOC=80°；②40° 【分析】（1）由图形及角的概念即可得到答案； （2）①根据α的度数可得∠AOC=40°，再根据比例可得∠BOC的度数；②根据角之间的比例关系可得∠CON和∠MOC的度数，再根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，当点O从左向右运动时，∠α逐渐变小， 故选B； （2）①当∠α=140°时，∠AOC=180°-140°=40°， ∵∠AOC：∠BOC=1：2， ∴∠BOC=2∠AOC=80°， 答：∠AOC=40°，∠BOC=80°； ②由①得，∠BOC=80°， ∵∠CON：∠BON=1：3， ∴∠CON=∠BOC=20°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC=∠AOC=20°， ∴∠MON=20°+20°=40°． 基础达标 1、 单选题 1.（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）小谦同学在与妹妹下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑白两色棋子若干，善于思考的他想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线，请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线的数量问题，画出符合题意的直线即可求解． 【详解】解：画出直线如图， 共有条直线， 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在直线上，下列说法正确的是（  ） A．点在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点在线段的延长线上 D．直线与直线不是同一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了点与线段的关系，直线、射线和线段的认识和表示方法． 根据点与线段的关系，直线、射线和线段的认识和表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A、点在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； B、射线与射线是同一条射线，故本选项正确，符合题意； C、点C在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； D、直线与直线是同一条直线，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角计算，需先明确钟表上每个大格、每分钟时针和分针转动的角度，再分别计算时分时针和分针的位置角度，最后求差值得到夹角． 【详解】解：钟表一圈为，共个大格 每个大格的度数为 分针每分钟转动，时针每分钟转动 时分时，分针指向，与点位置的夹角为 时针在点位置基础上转动分钟，与点位置的夹角为 时针与分针的夹角为 故选：B． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 5．（25-26八年级上·福建莆田·期中）一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题涉及多边形截角后边数的变化情况，需要考虑不同的截角方式，分析得到的多边形可能的形状． 【详解】解：A、当截线经过长方形的两个不相邻的顶点时，得到三角形，符合题意； B、当截线经过长方形的一个顶点和它不相邻的一条边上的一点时，得到四边形，符合题意； C、当截线经过一个角所邻的两条边上的任意两点（不与顶点重合）时，得到五边形，符合题意； D、因为截去一个角后得到的多边形可能是三角形、四边形或五边形，所以以上都有可能，符合题意． 故选： D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，，，，则的度数为________° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期末）过多边形的一个顶点最多可作5条对角线，则过一个顶点的对角线可将该多边形分为________个三角形． 【答案】6 【分析】本题考查多边形对角线，过n边形一个顶点有条对角线，这些对角线将这个n边形分成个三角形．根据过一个顶点有5条对角线，求出多边形边数，即可求对角线将这个n边形分成的三角形个数． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 解得：， ∴这5条对角线将这个8边形分成的三角形个数为：， 故答案为：6． 8．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出． 【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是北偏东_________． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，角平分线的定义，角度的计算，熟练掌握方向角的应用是解题的关键． 记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，根据计算出，即可解题． 【详解】解：∵的方向是北偏东，的方向是北偏西， ， 平分， ， 记正北方为， ， 的方向是北偏东． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 三、解答题 11．（25-26七年级上·河北张家口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查角度计算，注意度、分、秒进率为，满向前一个单位进1，不够相减时再向前借1当60． （1）先将度、分、秒分别对应相加，再根据度分秒的进制（进制）进行进位处理，得到最终结果； （2）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可； （3）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 12．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，已知四点、、、，请解答下列问题： (1)画直线，射线，线段，； (2)连接并延长线段到点，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (3)我们不用测量就可以判断出线段与的长之和大于线段的长，理由是 ． 【答案】(1) 解：如图，直线，射线，线段，即为所求： (2) 解：①以点为圆心，的长度为半径画弧； ②弧与的延长线交于点，此时，故； 如图，点即为所求： (3)两点之间，线段最短 【分析】（1）根据直线(无端点，向两方无限延伸)、射线(一个端点，向一方无限延伸)、线段(两个端点，有固定长度)的定义，分别画出指定图形即可． （2）要构造，只需在的延长线上截取，利用圆规截取等长线段的方法即可完成尺规作图． （3）观察、、三点的位置，通过“两点之间线段最短”的基本事实，对比折线与线段的长度得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据“两点之间，线段最短”：是连接、的线段，而是从到再到的折线，折线长度大于线段长度，故． 因此理由为：两点之间，线段最短． 13．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度； (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义， （1）根据，即可求解； （2）先求出的长，再根据三等分点的定义可求解； 【详解】（1）解：，， ， 点为线段的中点， ； （2）解：分两种情况： 当时，， ； 当时，， ； 综上可知，线段的长度为或． 14．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】（1）先求的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，最后根据平角的定义，求出的度数； （2）先根据是的平分线，，推出，同理推出，再求出，最后根据 求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 即． 15．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 【答案】(1)①； ②，理由如下： ， ； (2) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：①，， ， 平分，平分， ，， ； ②略 （2），， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 能力进阶 一、单选题 1.（25-26七年级下·浙江台州·期末）将一个圆进行切割，切痕为直线，要求切痕都两两相交，且任何三条切痕都不相交于同一点．如图1，若切1刀，能把圆分成2块；如图2，若切2刀，最多能把圆分成4块；如图3，若切3刀，最多能把圆分成7块．若切12刀，最多能把圆分成（     ） A．78块 B．79块 C．80块 D．81块 【答案】B 【分析】先根据题目找出块数与刀数的规律，再进行求解即可． 【详解】∵要想切的块数最多，则每一刀都要与所有已切过的刀都相交， ∴每多切刀都与前面刀相交，增加块， ∵圆原本是1块， ∴切12刀，最多能把圆分成（块）， 故选：B． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图所示，以下描述错误的是（   ） A．点A位于点B的北偏西方向 B．点A位于点C的北偏东方向 C．点C位于点B的北偏西方向 D．点B位于点A的南偏东方向 【答案】C 【分析】根据正北或正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角，结合图示逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，点A位于点B的北偏西方向，点C位于点A的南偏西方向， ∴点B位于点A的南偏东方向，点A位于点C的北偏东方向， ∴， ∵， ∴， ∴点C位于点B的北偏西方向， ∴选项C描述错误． 3．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，为的三等分线，则_______． 【答案】或 【分析】分当OC是∠AOB靠近OA的三等分线和当OC时∠AOB靠近OB的三等分线两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当OC是∠AOB靠近OA的三等分线， ∴； 如图所示，当OC时∠AOB靠近OB的三等分线， ， 故答案为：40°或80°． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个，即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； ， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm． 【答案】或 【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可． 【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB， ∴，． 设， 分类讨论：①当点C在AO之间时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； ②当点C在OB之间时，如图， 由图可知，，． ∴此时不成立； ③当点C在点B右侧时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； 综上可知OC的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26七年级上·河南许昌·期末）【概念学习】点C在直线上，若则称a是点C在直线上的“求真值”，记作 例如，如图，若则点M在直线上的“求真值”是记作若则故点D在直线上的“求真值”是记作 【理解与应用】 (1)已知点M在线段上，若，则若则 ． (2)如图，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1、3的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．若点C、D运动时，总有， ①求的值； ②若N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查对新定义的理解，线段的和差计算； （1）由“求真值”的定义可得，据此即可求解； （2）①设运动时间为t秒，由，可得，进而得到，即可求出； ②分类讨论：当点N在线段上时，可得，即可求出；当点N在线段的延长线上时，，即可求出. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：，. （2）解：①设运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ②当点N在线段上时，如图： ∵， ∴ ∴， ∴， 当点N在线段的延长线上时，如图： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 综上:或. 8．（25-26七年级下·山东淄博·期末）爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章基本平面图形 复习目标 1.理解线段、射线、直线的定义与特征，能区分它们的端点个数、延伸方向与能否度 量，并会用规范的符号进行表示。 2.掌握“两点确定一条直线”与“两点之间线段最短”两个基本事实，能区分两点间距 离与线段的长度。 复习要点 3.掌握比较线段长短与角大小的方法（叠合法、度量法），理解线段中点与角平分线的 定义及其几何语言表述。 4.掌握度、分、秒的换算(60进制)以及余角、补角的概念，能进行角度的和差倍分计 算与简单换算。 5.理解多边形与圆的相关概念（顶点、边、对角线、圆弧、扇形、圆心角），能区分多 边形与正多边形，会计算扇形圆心角的度数。 重点：线段、射线、直线的区分与表示，比较线段和角的大小，线段中点与角平分线的 性质，以及度分秒的换算。 复习重难点 难点：运用线段中点与角平分线的性质进行线段和角的和差倍分计算，以及灵活运用分 类讨论、方程等思想解决综合几何问题。 理脉络 知识体系构建 1/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段定义 射线定义 线段、射线、直线 直线定义 基本性质 角定义 角分类 梦 基本平 角平分线 知识梳理 角的和差 线段射线端点混淆 角平分线条件遗漏 多边形定义 易错点 多边形对角线数错 面 多边形 多边形元素 圆半径直径关系误 学法指导 图 对角线 线段中点计算 形 圆定义 圆 角平分线求角 圆元素 高频考点 多边形对角线计数 扇形 扇形圆心角计算 过主千 核心内容整合 知识点 线段、射线、直线 1概念：线段是直线上两点之间的部分，有两个端点：射线是将线段向一个方向无限延长形成的，只有一 个端点；直线是将线段向两个方向无限延长形成的，没有端点。 2表示方法：都可以用两个大写字母表示，线段、直线也可以用一个小写字母表示。表示射线时，必须将 表示端点的字母写在前面。 3.直线的性质：两点确定一条直线。 4.线段的性质：两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 5线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做这个线段的中点。线段中点到线段两个端点 的距离相等，对于任意一条线段，它都有且只有一个中点。 要点速测 1.(25-26六年级下山东威海期末)如图，平面内有四个点A,B,C,D,根据下列语句用尺规画图 (保留画图痕迹，不写画法)： 2/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B & (1)画直线BC、线段AB、射线AD; (2)在平面内确定一个点E,使E到A,B,C,D的距离之和最小，请在图中画出点E的位置，并说明理 由： (3)在直线BC上取点F,使BF=2BC,请画出点F;若BC=2,则CF= 知识点 角 1.定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2表示法：可以用三个大写字母表示，顶点字母写在中间：也可用一个大写字母表示（当以该字母为顶点 的角只有一个时)；还可以用小写希腊字母或数字表示。 3.度量单位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1=60′，1'=60”。 4角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线。 要点速测 2.(25-26七年级上湖南长沙阶段检测)计算： (1)90°-5132'15"： (2)3425'×2+35°42 3.(25-26六年级下·上海·期末)解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如30°、45°、60°、90°等， 小明利用三角板画出了一个120°的角，小乐利用三角板画出了一个15°的角，你还能用一副三角板画出多 少度的角？ (写出2个即可，要求小于180°) (2)小明将一个30°角的直角三角板COD的一边OC与直线EF重叠，OD在直线EF上方，∠COD=30°， 3/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 另一个45°的直角三角板AOB与三角板COD共顶点，∠AOB=45°，并且∠AOE=a,OM平分∠BOD 图1 备用图1 备用图2 ①当两个三角板如图1所示放置时，用含a的代数式表示∠BOM的度数 ②如果三角板COD固定不动，三角板AOB可以绕点O转动（角C的大小可以变化），当三角板AOB的一 边平分∠EOD时，求∠AOM的度数. 知识点 多边形及正多边形 1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。各边相等、各角也 相等的多边形叫做正多边形。 2.相关概念：多边形有顶点、边、内角、外角和对角线等概念。n边形一个顶点的对角线数为n-3,n边 n(n-3) 形的对角线总数为2 要点速测 4.(2025·河北沧州：模拟预测)用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的 边数为( A.5 B.6 C.7 D.8 5.(25-26七年级上四川达州期末)若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是 () A.十二边形 B.十一边形 C.十边形 D.九边形 知识点 圆 4/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆的定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆， 固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 要点速测 6.(25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中)随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化.为响应国 家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召.哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休 闲广场，规划设计如图所示.（π取3） (1)求塑胶地面休闲区的面积： (2)求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值. ←-10mk-10m→ 花宠 20m 塑胶地面休闲区 草坪 花卉 研题型 高频题型突破 题型1 直线、射线、 线段的表示及性质应用 ■例1(25-26七年级上河北唐山期末)下列关于直线、射线、线段的说法中正确的是() A.用直尺可以画一条30cm长的直线 B.射线AB与射线BA表示同一条射线 C.过平面内三点中的每两点画直线，一定可以画3条 D.若点C在线段AB外，则AC+BC>AB 解题要点 1.分清表示与区别：直线无端点，用两个大写字母或小写字母表示；射线有一个端点，表示时端点字 母在前：线段有两个端点，可度量长度。 2.运用性质解题：利用“两点确定一条直线”判断作图；利用“两点之间线段最短”求最短路径或比 较线段大小，注意中点及和差关系的应用。 5/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练1-1(25-26七年级上·湖北恩施期末)下列几何语句描述正确的是() A.直线AB和直线BC是同一条直线 B.延长线段AB到点C,使BC=AB C.射线OA和射线AO是同一条射线 D.画直线AB=3厘米 ■迁移练1-2(25-26七年级上·陕西西安·期末)下列说法错误的是() A.射线比直线短 B.过一点能作无数条直线 C.射线AB和射线BA表示不同射线 D.直线AB和直线BA表示同一条直线 ■迁移练1-3(25-26七年级上江西宜春·期末)如图，点A,B,C在直线1上，下列说法正确的是() A C A.线段AC与线段CA是两条不同的线段B.射线AC与射线CA是同一条射线 C.射线AB与射线AC是两条不同的射线D.直线AB与直线AC是同一条直线 题型2画直线、射线、线段 ■例2(25-26七年级上湖北荆州期末)如图，平面上有四个点A,B，C，D,根握据下列语句画图： A D ● B· .C (1)画直线AB: (2)画射线BC: 3)画线段CD: (4)连接AD,并反向延长AD至点E,使DE=2AD (5)在线段BD上找一点O,使OA+OC和最小，并说明理由 解题要点 1.区分端点与延伸：直线无端点，向两端无限延伸；射线有一个端点，向一端延伸；线段有两个端点， 有固定长度。画图时严格按定义标注端点。 2.计数与作图：计数时注意不重不漏（如数线段用枚举法）；作图题要保留必要的作图痕迹，并根据 题意标明字母和长度。 6/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练2-1(2425七年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)如图，已知直线m和直线外三点A,B,C,按下 列要求画图： G ·B m A. (1)画射线AB; (2)画线段BC; (3)用圆规在射线AB上截取BD=BC，保留圆规画图痕迹： (4)在直线m上找一点E,使得AE+CE最小，并说明你的作图依据： 迁移练2-2(25-26七年级上湖北荆州期末)如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画 图： A ·D B· 。C (I)画直线AD、射线DC、线段CB: (2)连接AB,并反向延长AB至点E,使BE=2AD: (3)在四边形ABCD内找一点O,使它与四边形四个顶点的距离和OA+OB+OC+OD最小，并说明理由· 迁移练2-3(25-26七年级上山东滨州期末)(1)如图，已知平面上四个点A,B,C,D,请根据下 列语句用尺规作图并回答问题.（只保留作图痕迹，不写作图依据) A ·D 分别作直线 、线段；作出射线 与射线，两射线相交于点： B ① AB AC AD BC 在线段1C上找一点”，使 O OB+OD 的值最小，这样作图的依据是 (2)如图1是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中半圆形弯道的直径为 7/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m,直道的长为n.如图2是体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形 比赛场地 80 m m 用含，的代数式表示跑道的周长为 n 图1 图2 ① m n (结果保留兀)： ② m n r 用含，”，的代数式表示两项比赛场地的总面积（图中阴影部分面积的和）， 题型3线段长度的计算 ■例3(25-26六年级下山东泰安期末)如图，P是线段AB上任意一点，AB=30cm,点C,D分别从 点P,B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cms,点D的运动速度为3Cm/s,运动的时间为s ←一 C P D B (1)若AP=20cm ①运动ls后，求CD的长； ②当点D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD: (2)如果1=4时，CD=2cm,试探索AP的长度. 解题要点 1.明确关系：根据图形或题意，确定线段间的和、差、倍、分关系，或利用中点、等分点性质，建立 等量关系式。 2.分类讨论：当点的位置不确定时（如在线段上、延长线上），需分情况讨论，避免漏解，并验证结 果是否符合图形位置条件。 ■迁移练3-1(25-26六年级下·山东济南期末)如图，已知点CD是线段AB上的点， AB=18,AC:BC=5:4,BD=3CD 8/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (I)求CD的长； (2)若点E是AD的中点，求CE的长. ■迁移练3-2(25-26七年级上山东聊城期末)如图，己知点C为线段AB上一点，其中 AC=12cm,CB=8cm,点D是AC的三等分点（靠近A端），点E是AB的中点. A D E C B (1)求DE的长度： (2)若点F在直线AB上，且CF=2CB,求AF的长度. 【迁移练3(25-26七年级上江苏南通期末)如图，已知线段·延长线段BM至C,使CB-号B A B (1)请根据题意将图形补充完整.直接写出AC=AB； (2)设AB=9cm,点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s,lcm/s的速度沿直线AB向左运动. ①当点D运动到线段AB上，求AD与CE的数量关系，并说明理由： ②在点D,E沿直线AB向左运动的过程中，M,N分别是线段DE,AB的中点.当点C恰好为线段BD的 三等分点时，求MN的长， 题型4角的度量及计算 I例4(25-26七年级上湖南永州期末)如图，已知，在∠AOB内画射线OC,OD平分∠AOC, 图1 图2 ()如图1，∠A0C=50,∠B0C=80°，求LA0B的度数： (2)如图2，若∠A0B=120°，∠A0C=40°，求∠B0D的度数. 9/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.单位换算：牢记度、分、秒是六十进制，换算时乘60或除以60。计算中若出现小数度，需正确转化 为度分秒形式。 2.加减运算：度、分、秒分别相加减，注意“逢60进1”或“借1当60”。乘法运算时分秒满60进位 除法运算则从度开始逐级相除。 ■迁移练41(25-26七年级上·安徽六安期末)【问题背景】已知一副三角尺，在三角尺ABC中， ∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°；在三角尺ADE中，∠E=90°，∠DAE=30°，∠D=60°；己知两个三角 尺有一个顶点A重合 (1)【初步感知】如图1，若AB与AE重合，AP,A9分别是∠CAE,∠BAD的平分线，则LCAD的度 数为 ∠PAQ的度数为 (2)【拓展探究】将三角尺按照图2方式摆放，AP,A犯分别是∠CAE,∠BAD的平分线，若 ∠BAE=C ∠PAQ ，求 的度数. 图1 图2 迁移练42(25-26七年级下广东中山期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O0,OF 平分∠BOC (1)若∠B0D=40°，求∠AOF的度数： 10/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠AOC:∠AOE=1:2,求∠COF的度数. ■迁移练43(23-24七年级上浙江杭州期末)如图1，已知∠A0B=120°，∠C0D=60°，OM在∠AOC 内，ON在∠BOD内，∠COD绕点0旋转，在旋转过程中始终有∠AOM=?∠A0C,∠BON=)∠BOD. 3 3 (本题中所有角均大于0°且小于等于180°) B(C) M A 0 D 图1 图2 (I)LCOD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON=: ②∠C0D从图2中的位置绕点O顺时针旋转心0<n<60),求∠M0C、∠N0D的度数.（用n的代数式 表示) (3)∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°(0<n<120且n≠60)，求∠M0N的度数， 题型5多边形的相关计算 ■例5(25-26七年级上广东深圳期末)我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八 边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为()分米 A.a B.a2 C.4a D.8a 解题要点 1.内角与外角和：牢记n边形内角和公式(n-2)×180°，外角和恒为360°。已知边数求角度，或已知 角度求边数，均列方程求解。 2.对角线计算：n边形对角线条数为n(n-3)/2。己知边数求条数，或已知条数求边数，直接代入公式 解方程即可，注意n≥3且为整数。 11/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练51(25-26七年级上辽宁沈阳·期末)如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第 四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角 线的条数是() 实物图 局部示意图 A.6 B.7 C.8 D.9 解题要点 ■迁移练52(25-26七年级上广东清远·期末)过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 4个三角形，这个多边形是() A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 ■迁移练5-3(2025八年级下·湖南怀化竞赛)一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为 题型6圆的相关计算 ■例6(25-26七年级上·江苏镇江·期末)如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于 球体大圆的周长)，然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆， 此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙.假设对篮球（半径约012米）和地球（半径约6371千米）分 别进行上述操作.那么，绳子与球体表面之间的空隙距离() A.地球的空隙更大 B.篮球的空隙更大C.一样大D.无法确定 12/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.半径搭桥：所有线段、角度计算最终都回归到半径上，利用同圆半径相等构造等腰三角形，转移边 角关系。 2.定理转化：用垂径定理平分弦与弧，用圆周角定理将圆周角与圆心角、弧的度数互化，将未知条件 转化为已知定理可直接计算的形式。 ■迁移练6-1(25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末)如图，点C在线段AB上，AC=2BC,以 A级4CC为宜径约三个圈的面积分划为，，及：则士8的位为() B 2 A. c.; D. ■迁移练6-2(24-25九年级上河北张家口·期末)下列图形中的角是圆心角的是() A B B B A B B 0 C D C Ⅱ迁移练6-3(25-26七年级上河南平顶山期末)小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案， 其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地.如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且游 13/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 泳区的长与宽之间满足a= -6 2 休 2b 游泳区 息 b 区 2a (1)游泳区的面积为一， 休息区的面积为一 :(用含b的代数式表示) (2)小华的设计方案符合要求吗？请说明理由： (3)当b=20m时，绿地的面积为m2.(π取3) 破难点方法聚焦透析 难点一线段有关的多解题问题 难点一：分类讨论的“完备性” 当题目条件（如点的位置、比例关系）未明确配图时，需根据线段的和差倍分关系，主动区分“点在线段 上”“延长线上”或“反向延长线上”等不同情形。遗漏任一情况均会导致漏解，需借助数形结合构建无 遗漏的分类框架。 难点二：计算过程的“严谨性” 不同图形位置下，线段间的数量关系（如和、差）会发生转换。列式时需依据对应图形调整运算符号，避 免机械套用单一模式。同时需检验各解是否满足题设中的非负性和几何公理，确保所得解的有效性。 难点精练 14/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1(2536七年级上辽宁葫产高期未)延长线股B到C,使C-写4，反向证长线段B到0，使 4D弓4C,点B为AD的三等分点，点P为CD的中点：若B=18m:则线段EF的长为一m 2.(25-26七年级上山东期末)若点C是线段AB中点，点D、点E是线段CB上的三等分点，且 EB=4cm,则AB的长为 3.（24-25七年级上全国期末)已知ABC、D四个点在同一条直线上，BC =34B,D为AB的中 点，且BD=lcm,则AC的长是 难点二角有关的多解题问题 难点一：图形位置关系的“不确定性” 题目若未明确给出图形，角的相对位置（如内部、外部或交叉）便会产生歧义。需针对射线或边的不同分 布情况分类讨论，避免默认单一图形而漏解。 难点二：角度计算的“动态与边界” 涉及角平分线、旋转或折叠时，角度会随图形变化而动态改变。需注意运动过程中的临界状态（如重合或 反向延长)，确保分类完整且不重复，并舍去不合题意的解。 口口难点精练 1.(23-24七年级上河南新乡期末)如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC∠A0B、 ∠B0C,若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”·如图②，若 ∠MON=120°，射线OP为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数是. ○ 图① 图② 2.(25-26七年级上陕西宝鸡期末)已知∠A0B=2∠B0C,若∠B0C=25°，则∠A0C的度数是 3.(23-24七年级上·陕西西安·阶段检测)已知射线OB,OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分 线，OE,OF分别平分∠BOD和∠COD,若∠EOF=14°，则∠AOC=一， 15/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点三线段与角的规律探究问题 难点一：图形交叠中的“计数对应” 核心在于厘清几何元素的生成逻辑。线段的条数取决于端点或交点的组合数，角的个数则需明确射线的公 共端点及旋转次序。难点是避免遗漏或重复，必须依据“基本单元”或“分类标准”（如按边或按区域） 有序计数。 难点二：动态情境下的“变量分析” 当涉及射线旋转或多线段运动时，需捕捉“临界状态”与“分类讨论”的时机。随着位置变化，数量关系 (如角度和差)可能发生突变，必须利用代数式精准表示变化区间，并合理取舍结果，才能正确揭示深层 规律。 口难点精练 1.(25-26七年级上全国课后作业)综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题.如图1， ∠AOB=∠COD=90°，射线OC在∠AOB的内部，射线OB在∠COD的内部. 图1 图2 特例分析 (1)若∠B0C=50°，则∠AOD的度数为_. 规律探究 (2)若∠BOC=a,求∠AOD的度数. 拓展延伸 (3)在图1的基础上，作射线OE平分∠AOC,OF平分∠BOD，,得到图2. ①若∠B0C=40°，则∠EOF的度数为_， ②若∠BOC=B,求∠EOF的度数： 2.(24-25七年级上贵州毕节期末)如图，已知∠AOB=120°，∠B0C=30°，OM平分∠A0C,ON平 16/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分∠BOC. M B C (1)求∠MON的度数. 【迁移应用】： (2)若∠AOB=a(a不超过l50°)，其他条件不变，求∠MON的度数. 3)若∠BOC=B(B不超过60°)，其他条件不变，求∠MON的度数. 【归纳总结】： (4)从上面的结果中你能归纳、总结出什么规律？ 3.(25-26七年级上浙江宁波期末)己知点O是直线AB上一点，∠B0C=90°，∠A0D=26°，射线OP 从OD出发绕点O以每秒8°的速度顺时针匀速旋转，运动时间为秒.当射线OP与OB重合时，运动停止， P D 图1 图2 (1)如图1，当t=时，射线OP与OC重合： (2)如图2，若射线OP运动的同时，另有一射线OQ从OC出发，绕点O运动，每隔5秒运动一次.当t=5 时，进行第一次运动，逆时针旋转10°：当1=10时，从新位置进行第二次运动，顺时针旋转20°：当1=15 时，从新位置进行第三次运动，逆时针旋转30°.…按照此规律不断运动（每次运动时间忽略不计）· ①当t=6时，求∠PO0的度数： ②在射线OP停止运动前，射线OP、OC、OQ中恰有一条射线平分另外两条射线所形成的角，请直接写 出所有满足条件的t的值， 17/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点四线段动点与动角的探究问题 难点一：动态图形中“变与不变”的识别 动点与动角的核心在于寻找运动中的不变量。难点在于如何从位置、大小等变化要素中，分离出恒定的几 何关系（如线段和差、角的倍数或互补关系）。需利用“化动为静”的策略，抓住运动起始、关键分界或 终止时刻的特殊状态，建立方程或函数模型来刻画变量间的约束。 难点二：多情况讨论的“分类标准”确定 随着点的移动或角的旋转，图形可能出现多种情形（如点的位置切换、射线旋转方向改变）。难点在于能 否依据临界点（如端点、交点或特殊角）确立完备的分类框架，避免重复或遗漏。要求对每一种情况分别 画出图形并列出对应代数式，确保结论的全面与严谨。 口口难点精练 1.(23-24七年级上·四川泸州期末)如图，长方形纸片ABCD,点E,M,N分别是边AB,AD,BC上的 动点，将∠AEM,∠BEN分别沿EM,，EN折叠，点A,B的对应点分别是点F,点G. 图1 图2 备用图 (I)如图1，若∠MEF=30°，∠GE=20°，求∠FEG的度数. (2)如图2，若点E,F,G在同一直线上，探索∠MEF与∠NEG的关系，并说明理由. (3)若∠MEN=x°，直接写出折叠后∠FEG的度数（用含x的代数式表示）. 2.(期末押题培优01卷-【微专题】2025-2026学年七年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）) 如图，点O在射线MN(点O在点M,N之间)上，且MO=3,点B是线段OM上的一个动点， ∠ABC=90°，A,B,C三点按顺时针方向排列，点C在射线MN上方，作BD平分∠MBC. O(B)A M N O B (1)如图，当点B与原点O重合，OA与OM重合时，求∠MOD的度数： (2)如图，若OB=10<1<3),且∠MBA=(30-)°，记∠ABD=a. 18/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当点B是线段OM的中点时，求aα的度数； ②猜想∠NBC和α的数量关系，并说明理由. 3.(25-26七年级上河南省直辖县级单位期末)直线AB外有一定点C,O是直线AB上的一个动点. B B B 0 图1 图2 图3 (1)如图1所示，当点0从左向右运动时，观察∠的变化情况，正确的是 A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.大小不变 D.无法确定 (2)当点O运动到∠Q=140°时，点0运动停止，然后将射线OB绕着点O顺时针旋转到如图2位置，且 ∠AOC:∠BOC=1:2 ①求图2中∠AOC,∠BOC的度数： ②在图2的基础上，作射线OM平分∠AOC,在∠BOC内作射线ON,使得∠CON:∠BON=1:3,如图 3,求∠MON的度数. 验成果 综合达标检测 基础达标 一、单选题 1.(25-26七年级上·湖北咸宁·期末)小谦同学在与妹妹下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘 上有黑白两色棋子若干，善于思考的他想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线，请你根据 图示，判断满足这种条件的直线共有() 19/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26七年级上·湖北武汉阶段检测)如图，点A,B，,C在直线I上，下列说法正确的是() A c! A.点A在线段BC上 B.射线AC与射线AB是同一条射线 C.点C在线段BA的延长线上 D.直线AB与直线CB不是同一条直线 3.(25-26七年级上·江苏南通期末)钟表上显示的时间是3时30分，此时，时针和分针的夹角的度数是 () A.60° B.75 C.90° D.100° 4.(25-26七年级下·黑龙江大庆·期末)如图，在学校图书馆0处观测到，物理实验室A位于点0的北偏 东52.5°的方向，教学楼B位于点0的南偏西1512'的方向，则∠AOB的度数为() 北 A.6742 B.14242 C.149°42 D.15618 5.(25-26八年级上福建莆田期中)一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.以上都有可能 二、填空题 6.(24-25七年级上·北京西城期末)如图，∠AOB=118°，∠COD=28°，∠C0D=2∠D0B,则∠AOC 的度数为 D B 7.(25-26七年级上陕西西安·期末)过多边形的一个顶点最多可作5条对角线，则过一个顶点的对角线 20/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可将该多边形分为 个三角形 8.(23-24八年级下·山东潍坊期末)如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点， 分别以两圆半径为边长作正方形OABC和正方形ODEF,点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分 的面积是 (结果保留π) 9.(25-26七年级上河南驻马店期末)如图，0A的方向是北偏东2020'，0B的方向是北偏西3535'， OA平分∠BOC,则OC的方向是北偏东 北 A B 西 东 10.(25-26七年级上山西吕梁期末)若A、B、C在同一直线上，AB=4cm,AC=4AB,D为BC中点， 则A、D两点间的距离是 一 三、解答题 11.(25-26七年级上河北张家口期末)计算： (1)2336'+6624': (2)180°-1324： 6(4312÷2-105)x3 12.(25-26七年级上河南驻马店期末)如图，已知四点A、B、C、D,请解答下列问题： D● ●B C (I)画直线AB,射线AC,线段AD,BD: 21/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接BC并延长线段BC到点E,使得BE=2BC(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： (3)我们不用测量就可以判断出线段AB与AD的长之和大于线段BD的长，理由是_， 13.(25-26七年级上：内蒙古鄂尔多斯期末)如图，点C为线段AB上一点，点D为线段CB的中点，且 AB=24cm,AC=10cm A C B (I)求线段BD的长度： (2)若点E在线段AB上，且点E是线段AB的三等分点，求线段ED的长度. 14.(25-26七年级上湖南岳阳期末)如图，已知点0为直线AB上一点，∠C0D=90°，OE是∠A0D 的平分线. D 图1 图2 (1)如图1，若∠C0E=55°，求∠B0D的度数： (2)如图2，OF是∠BOC的平分线，求∠EOF的度数. 15.(23-24七年级上·湖北孝感期末)从直线1上一点O在1同侧顺次引射线OA,OM,OB,ON,OC, 其中点A在直线1上. 图1 图2 (1)如图1，若OM平分∠AOC,ON平分∠BOC ①当∠AOB=120°，∠B0C=30°时，求∠MON的度数： ②当∠AOB与∠BOC的大小都发生变化时，试探究∠MON与∠AOB间的数量关系，并说明理由： ②图3，若OM为∠A0C的条n等分线且A0M∠40C,ON为∠B0C的一条n等分袋， n ∠B0N=∠B0C,当∠MON=90时，北时乙40B=135°，试直接写出n的值. 22/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力进阶 一、单选题 1.(25-26七年级下·浙江台州期末)将一个圆进行切割，切痕为直线，要求切痕都两两相交，且任何三条 切痕都不相交于同一点.如图1，若切1刀，能把圆分成2块；如图2，若切2刀，最多能把圆分成4块： 如图3，若切3刀，最多能把圆分成7块.若切12刀，最多能把圆分成() 图1 图2 图3 A.78块 B.79块 C.80块 D.81块 2.(25-26七年级上山西晋中·期末)如图所示，以下描述错误的是（) 东 不 4 C467 20° B A.点A位于点B的北偏西20°方向 B.点A位于点C的北偏东40°方向 C.点C位于点B的北偏西67°方向 D.点B位于点A的南偏东20°方向 3. (2023七年级下·广东深圳·竞赛)如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是( ）cm2. A.504 B.568 C.612 D.674 二、填空题 4.(25-26七年级上·黑龙江哈尔滨期末)若∠AOB=120°，OC为∠AOB的三等分线，则LBOC= 5.(2025·陕西西安·模拟预测)数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取 一定数量的点，连同五边形的5个项点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边 形内所有区域都变成三角形.如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形：当五边形内有2个点时， 可分得7个三角形（不计被分割的三角形）.当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为， 23/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26七年级上·福建福州期末)如图直线1上有AB两点，AB=12Cm,点O是线段AB上的一点， OA=2OB,若点C是射线AB上一点，且满足AC=CO+CB,则OC=cm. B 三、解答题 AC 7.(23-26七年级上河南许昌期未)【概念学习】点C在直线B上，若8=“则称a是点C在直线 AB上的“求真值”，记作Z(4,Be=a 微园：古他有别点M在直线上的“求真价”夹写2(。了活治则 AM 1 把-子数店D在直线B上的“求真省”是子记作z(。号 AD 2 A C M ò 【理解与应用】 ①已知点M在线段AB上，若AB=5,AM=25,则QZ(4Bw-:若BM=7QZ(4B)了则 AB=-· (2)如图，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从MB出发以1cm/s、3cms的速度沿直线BA向左 运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)，若点C、D运动时，总有MD=3AC, 0求2(4Bm的值： ②若N是直线4B上一点，且4N-BN=MW,求2(ABW的值， 8.(25-26七年级下·山东淄博期末)爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于 线段和角的问题分别进行了深入探究. 24/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)【初步探究】已知C,D是线段AB上的点，E,F分别是线段AC,BD的中点，AB=m,CD=n. 小明发现：线段EF与线段AB,CD之间存在一定的数量关系 ①如图1，当AC<AD时，线段EF的长为 (用含m,n的式子表示) AEC 图1 ②如图2，当AC>AD时，线段EF的长为 (用含m,n的式子表示) ED CF B 图2 (2)【类比探究】如图3，∠AOB=a,已知射线OC,OD在∠AOB的内部，且∠COD=B.若有射线OE, OF ∠AOC∠BOD ∠EOF 分别平分 ,请帮助小明同学求 、B 的度数：（用含，的式子表示） B B 图3 备用图1 (3)【拓展延伸】小明同学将一块含60°角的三角板COD的顶点O和∠AOB的顶点O重合，并分别在 ∠AOC,∠BOD的内部作射线OE,OF.已知∠COD=60°，∠A0B=a(60°<a<180°)， ∠AOE=k∠COE,∠BOF=k∠DOF EC B 图4 图5 备用图2 ①如图4，小明同学先将三角板COD放置于∠AOB的内部，且使∠AOC<∠AOD,则∠EOF= -；(用含，k的式子表示) ②小明同学又把三角板COD和∠AOB按如图5所示方式摆放（点D在射线OB上，OC在OD左侧），再 将三角板COD绕点O在∠AOB所在的平面内逆时针方向转动.若a=120°，k=1,∠BOD=0( 0°<0<180°)，问在三角板COD转动的过程中是否存在0，使得∠EOF=2∠AOC?若存在，请直接写出 25/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8的值；若不存在，请说明理由. 26/26