第十五章 轴对称 期考讲义专项 2026-2027学年人教版八年级数学上册期末复习

第十五章 轴对称 单元复习+小测 （核心知识+9易错辨析+9典例精讲） 【知识点01】轴对称与轴对称图形 （1）轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这条直线叫做对称轴。 关键提醒：对称轴是直线，不是线段、射线。 （2）两个图形成轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合。 核心性质： 成轴对称的两个图形一定全等； 对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； 对应线段相等、对应角相等。 两者联系：将轴对称图形沿对称轴分割，可得到两个成轴对称的图形；将两个成轴对称的图形视为一个整体，就是一个轴对称图形。 【知识点02】线段的垂直平分线（中垂线） 定义：经过线段中点，且垂直于这条线段的直线。 性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：若点P在AB的垂直平分线上，则PA=PB。 判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上。 关键要点：确定一条线段的垂直平分线，必须找到两个满足条件的点，两点确定一条直线。 【知识点03】画轴对称图形与坐标轴对称规律 （1）作图步骤：找图形关键点→作出各关键点的对称点→按原图形顺序顺次连接对称点。 （2）平面直角坐标系对称规律： 点(x,y)关于x轴对称：(x,-y)（x坐标不变，y坐标变号） 点(x,y)关于y轴对称：(-x,y)（y坐标不变，x坐标变号） 【知识点04】等腰三角形 （1）核心性质 等边对等角：若AB=AC，则∠B=∠C。 三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。 关键提醒：三线合一仅适用于底边，腰上的高、中线、角平分线不具备该性质。 （2）判定定理：等角对等边，若∠B=∠C，则AB=AC。 【知识点05】等边三角形 （1）性质：三边完全相等，三个内角均为60°，共有3条对称轴。 （2）判定方法： 三边对应相等的三角形； 三个内角都相等的三角形； 有一个角是60°的等腰三角形。 【知识点06】含30°角的直角三角形性质 在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则该锐角所对的直角边等于斜边的一半。 关键前提：该定理仅适用于直角三角形，普通三角形不成立。 【知识点07】最短路径问题（将军饮马模型） 核心原理：两点之间，线段最短。借助轴对称化折为直，将折线距离转化为直线距离求解最小值。 同侧两点：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，连线与直线的交点即为动点最优位置； 异侧两点：直接连接两点，连线与直线的交点即为所求位置。 易错点序号 错误说法/误区 正确理解与解析 1 等腰三角形的对称轴是顶角平分线/底边中线/高（线段） 对称轴是直线，正确表述为：顶角平分线所在直线、底边中线所在直线、底边高所在直线 2 全等的两个图形一定成轴对称 成轴对称的图形一定全等，但全等图形不一定成轴对称，图形位置不满足对称条件则不成立 3 一个点满足PA=PB，即可确定AB的垂直平分线 单点仅能证明该点在垂直平分线上，需两个不同的点才能确定整条垂直平分线 4 等腰三角形任意边上都满足三线合一 三线合一只针对底边和顶角，腰上的高、中线、角平分线不重合 5 已知等腰三角形一个内角为70°，直接计算底角为55° 未指明角度类型需分类讨论：70°可为顶角（底角55°），也可为底角（顶角40°） 6 有一个角是60°的三角形是等边三角形 判定前提是等腰三角形+一个60°角，普通三角形仅有一个60°角不是等边三角形 7 任意三角形中，30°角对的边是斜边的一半 该定理仅限直角三角形，无直角前提不成立 8 混淆坐标对称规律：x轴对称变x，y轴对称变y x轴对称：x不变、y变号；y轴对称：y不变、x变号 9 混淆中垂线与角平分线性质 中垂线：点到线段两端点距离相等；角平分线：点到角两边的垂线段距离相等 【题型一】轴对称及其性质 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，若与关于直线l对称，分别交l于点M，O，N，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．直线 C． D． 4．（25-26八年级上·青海果洛·阶段检测）中，，以直角边所在的直线为对称轴，作的轴对称图形，则所得到的的形状一定是__________ ． 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 6．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【题型二】折叠问题 7．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期末）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（），为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______°． 10．如图，折叠直角三角形纸片，使点落在上的点处．已知，，则_____，_____． 11．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 12．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【题型三】线段的垂直平分线 13．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 14．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 15．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 16．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段的垂直平分线，并简要说明作图方法（不可以用圆规，不要求证明） 17．近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须适合下列条件：①使其到两公路距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定点的位置． 18．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知点A，B以及直线l． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交直线l于点P（要求保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，M，N是直线l上的两点．若．求证：． 【题型四】命题与定理 19．（25-26八年级上·贵州·期末）下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 20．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列四个命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都等于 D．如果，那么 21．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 22．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 23．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 24．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，P为内部的一点，，，垂足分别为M，N．写出命题“若，则”的逆命题，并证明该逆命题． 25．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【题型五】画轴对称的图形 26．（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，点关于轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 28．（24-25八年级上·全国·单元测试）雨后，地上的积水犹如一块澄澈的平面镜，某路段监控摄像头在雨后拍摄，由于位置偏离，拍摄中心聚集在了水面上，摄像头侦测到一小轿车超速行驶，积水中倒映的车牌为“”，那么该小轿车的真实车牌号为________． 29．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 30．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积． 31．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 32．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为（    ）； (3)在轴上找出点，使取最小值．并直接写出的坐标． 【题型六】轴对称综合题 33．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（   ）． A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 35．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在轴上找一点，使得的周长最小，则当的周长取得最小值时，点坐标是________． 36．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 37．（25-26八年级上·广西河池·期末）综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． (1)尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）； (2)在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明； (3)如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值． 38．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型七】等腰三角形 39．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 40．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 41．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 42．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）已知等腰三角形的一个底角等于，则它的顶角的度数是_____________． 43．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个． 44．如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 45．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 46．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 47．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 48．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）已知：如图，点是的边的中点，，，垂足分别为点，，且．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 49．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． (1)请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 【题型八】等边三角形 50．如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 51．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 52．（25-26八年级上·北京丰台·期末）在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 53．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 54．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 55．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则的值是__________． 56．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知，如图，在中，，点D在边上，点F在边上，连接并延长交的延长线于点E，，．求证：是等边三角形． 【题型九】最短路径问题 57．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 58．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 59．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 60．（2025八年级上·全国·专题练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 61．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 62．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 1. 核心概念本质：本章所有知识点围绕“折叠重合”的对称核心展开，区分单一图形的轴对称图形、两个图形的轴对称关系，牢记对称轴始终为直线。 2. 核心工具：线段垂直平分线：性质用于证明线段相等，判定用于证明点在直线上，是几何证明、求线段长度、求图形周长的常用工具。 3. 等腰三角形重难点：依托“等边对等角、等角对等边”实现边角转化，三线合一为专属解题捷径，但需严格区分腰与底；边长、角度计算务必分类讨论，避免漏解。 4. 特殊三角形结论：熟练掌握等边三角形的性质与判定、含30°角直角三角形的边长结论，做题时严格把控使用前提，杜绝乱用定理。 5. 坐标与几何模型：熟记平面直角坐标系对称口诀，快速求解对称点坐标；将军饮马模型的核心是轴对称“化折为直”，解决线段和的最小值问题。 6. 核心思想与常考题型：本章核心为转化思想，将对称条件转化为边角关系，常结合全等三角形综合考查；高频题型包括：垂直平分线求周长、等腰三角形角度与边长计算、坐标对称变换、最短路径问题、等腰三角形与全等综合证明。 一、单选题 1．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 4．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 6．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 9．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）命题“若，则”的逆命题是假命题，请你举出一个反例：______． 11．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 12．（25-26八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 13．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________． 14．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长______． 15．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在长方形中，为对角线，，E为边上一动点，将沿所在直线翻折，得到．当的一条边与平行时，的度数为_________． 16．（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中， （1）的面积等于_______； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 三、解答题 17．如图，已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点，过点分别作垂直于于点，垂直于于点，和有什么数量关系？请说明理由． 18．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 19．如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 20．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 21．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现． 【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？ 【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：； 【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数． 22．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）问题初探：如图a和b，在中，，，直线l经过点B，过点A，C分别作于点E，于点F，则图中有一对全等三角形，由这对全等三角形能得到一些线段的数量关系． 这类图形的特点是具有三个直角的顶点在同一条直线上，这个模型称为一线三直角模型问题：如图，在平面直角坐标系中，点A是y轴负半轴上的一个动点，点B是x轴负半轴上的一个动点，连接，过点B作，使，且点C在x轴的上方． (1)初步运用：如图①，连接．若点，点，请求出点C的坐标； (2)灵活运用：如图②，过点B作轴，且，连接交x轴于点F，若，不变，请求出的面积； (3)拓展延伸：如图③，点A，点B在滑动过程中，把沿y轴翻折使得刚好落在边上，此时交y轴于点H，过点C作轴于点N，求证：． 23．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题探究】 （1）如图①，在直线的异侧有A，B两点，连接，且．点为直线上的动点，连接，，则的最小值为__________； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 【问题解决】 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供大家观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中，，为原有的一条小路，于点，为方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在线段，上，且满足，为节约成本，要求新开发的两条小路的长度和尽可能的小，求出当最小时的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 单元复习+小测 （核心知识+9易错辨析+9典例精讲） 【知识点01】轴对称与轴对称图形 （1）轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这条直线叫做对称轴。 关键提醒：对称轴是直线，不是线段、射线。 （2）两个图形成轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合。 核心性质： 成轴对称的两个图形一定全等； 对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； 对应线段相等、对应角相等。 两者联系：将轴对称图形沿对称轴分割，可得到两个成轴对称的图形；将两个成轴对称的图形视为一个整体，就是一个轴对称图形。 【知识点02】线段的垂直平分线（中垂线） 定义：经过线段中点，且垂直于这条线段的直线。 性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：若点P在AB的垂直平分线上，则PA=PB。 判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上。 关键要点：确定一条线段的垂直平分线，必须找到两个满足条件的点，两点确定一条直线。 【知识点03】画轴对称图形与坐标轴对称规律 （1）作图步骤：找图形关键点→作出各关键点的对称点→按原图形顺序顺次连接对称点。 （2）平面直角坐标系对称规律： 点(x,y)关于x轴对称：(x,-y)（x坐标不变，y坐标变号） 点(x,y)关于y轴对称：(-x,y)（y坐标不变，x坐标变号） 【知识点04】等腰三角形 （1）核心性质 等边对等角：若AB=AC，则∠B=∠C。 三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。 关键提醒：三线合一仅适用于底边，腰上的高、中线、角平分线不具备该性质。 （2）判定定理：等角对等边，若∠B=∠C，则AB=AC。 【知识点05】等边三角形 （1）性质：三边完全相等，三个内角均为60°，共有3条对称轴。 （2）判定方法： 三边对应相等的三角形； 三个内角都相等的三角形； 有一个角是60°的等腰三角形。 【知识点06】含30°角的直角三角形性质 在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则该锐角所对的直角边等于斜边的一半。 关键前提：该定理仅适用于直角三角形，普通三角形不成立。 【知识点07】最短路径问题（将军饮马模型） 核心原理：两点之间，线段最短。借助轴对称化折为直，将折线距离转化为直线距离求解最小值。 同侧两点：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，连线与直线的交点即为动点最优位置； 异侧两点：直接连接两点，连线与直线的交点即为所求位置。 易错点序号 错误说法/误区 正确理解与解析 1 等腰三角形的对称轴是顶角平分线/底边中线/高（线段） 对称轴是直线，正确表述为：顶角平分线所在直线、底边中线所在直线、底边高所在直线 2 全等的两个图形一定成轴对称 成轴对称的图形一定全等，但全等图形不一定成轴对称，图形位置不满足对称条件则不成立 3 一个点满足PA=PB，即可确定AB的垂直平分线 单点仅能证明该点在垂直平分线上，需两个不同的点才能确定整条垂直平分线 4 等腰三角形任意边上都满足三线合一 三线合一只针对底边和顶角，腰上的高、中线、角平分线不重合 5 已知等腰三角形一个内角为70°，直接计算底角为55° 未指明角度类型需分类讨论：70°可为顶角（底角55°），也可为底角（顶角40°） 6 有一个角是60°的三角形是等边三角形 判定前提是等腰三角形+一个60°角，普通三角形仅有一个60°角不是等边三角形 7 任意三角形中，30°角对的边是斜边的一半 该定理仅限直角三角形，无直角前提不成立 8 混淆坐标对称规律：x轴对称变x，y轴对称变y x轴对称：x不变、y变号；y轴对称：y不变、x变号 9 混淆中垂线与角平分线性质 中垂线：点到线段两端点距离相等；角平分线：点到角两边的垂线段距离相等 【题型一】轴对称及其性质 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 2．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，若与关于直线l对称，分别交l于点M，O，N，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．直线 C． D． 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，利用轴对称的性质一一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，直线，， 故选项A，B，D正确，无法判断选项C成立， 故选：C． 4．（25-26八年级上·青海果洛·阶段检测）中，，以直角边所在的直线为对称轴，作的轴对称图形，则所得到的的形状一定是__________ ． 【答案】等腰三角形 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质．画出的轴对称图形即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 因为， 所以点B，A，在一条直线上． 由对称可知， ， 所以是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【知识点】轴对称中的光线反射问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】(1) (2) 如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【详解】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： 【题型二】折叠问题 7．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】本题考查三角形的外角定理以及折叠的性质，掌握三角形的外角定理是解题的关键．由折叠的性质可求得，，再利用外角可求得，则可求得答案． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期末）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（），为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，，再根据折叠的性质可得，代入计算即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∴，， ∴． 由折叠的性质得：， ∴，解得， 故选：A． 9．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______°． 【答案】54 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线的性质得出相关角的度数，根据翻折的性质得出相等的角，然后根据角的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据长方形纸条对边平行可得， 根据翻折的性质可得， 故答案为：54． 10．如图，折叠直角三角形纸片，使点落在上的点处．已知，，则_____，_____． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】根据三角形内角和定理得到，由折叠对称性得到，，继而根据三角形内角和定理得到． 【详解】∵， ∴， ∵折叠后点落在上的点处， ∴，， ∴． 11．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当在上方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ， ； 当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ； 综上分析可知，此时或． 12．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质及平角的意义．根据折叠的性质和平角的意义，得出关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴． ∴． 【题型三】线段的垂直平分线 13．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 14．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短 【分析】延长至点，使得，连接，，，先得出的最小值为的长，再得出当时，的长最小，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， ∴此时有， ∵， ∴， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值． 15．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出的周长，再结合三角形三边关系得出当点、、在同一直线上时，的值最小为，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， ∴的周长最小值是． 16．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段的垂直平分线，并简要说明作图方法（不可以用圆规，不要求证明） 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．连接格点，交于点，再找到格点，使得，然后作直线即可． 【详解】解：如图，连接格点，交于点，则点为的中点，再找到格点，使得，然后作直线，则即为所求作， ． 17．近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须适合下列条件：①使其到两公路距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定点的位置． 【答案】解：如图所示：点即为所求． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】先作两公路夹角的角平分线，再作甲村和乙村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P． 【详解】略 18．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知点A，B以及直线l． (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交直线l于点P（要求保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，M，N是直线l上的两点．若．求证：． 【答案】(1) 由题意，作图如下： (2) 证明：由作图可知，， 又∵， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，画出中垂线，确定点即可； （2）证明，即可得出结论． 【题型四】命题与定理 19．（25-26八年级上·贵州·期末）下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、互逆定理 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 20．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列四个命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都等于 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题的定义，熟练根据直角三角形判定、全等三角形定义、等边三角形判定及立方的性质判断逆命题的真假是解题的关键． 先写出各命题的逆命题，再根据直角三角形判定、全等三角形定义、等边三角形判定及立方的性质逐一判断逆命题的真假即可． 【详解】解：选项A：原命题的逆命题为如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，由于三角形内角和为，两个锐角互余即和为，则第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； 选项B：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，由于对应角相等的三角形是相似三角形，不一定满足对应边相等，则该逆命题为假命题； 选项C：原命题的逆命题为每个角都等于的三角形是等边三角形，由于三个角都相等的三角形是等边三角形，每个角满足此条件，则逆命题为真命题 选项D：原命题的逆命题为如果a³=b³，那么，由于实数的立方具有一一对应性，若，则，则逆命题为真命题； 故选：B． 21．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角，因此逆命题不成立，故没有逆定理． 【详解】解：定理“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 然而，相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角； 或者，两直线平行时同位角相等，但它们也不是对顶角． 因此，逆命题不成立，所以原定理没有逆定理． 故答案为：没有． 22．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 23．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【知识点】互逆定理、判断是否为互逆命题 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，P为内部的一点，，，垂足分别为M，N．写出命题“若，则”的逆命题，并证明该逆命题． 【答案】 解：逆命题为：若，则． 证明：，， ． 在和中， ， ． ∴． 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，逆命题． 先写出逆命题，证明，即可． 【详解】略 25．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【知识点】判断命题真假、根据平行线判定与性质证明、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【题型五】画轴对称的图形 26．（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，点关于轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，利用“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”这一规律求解即可． 【详解】解：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 又点的坐标是， 点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即点关于轴对称的点的坐标为． 故选：A． 27．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 28．（24-25八年级上·全国·单元测试）雨后，地上的积水犹如一块澄澈的平面镜，某路段监控摄像头在雨后拍摄，由于位置偏离，拍摄中心聚集在了水面上，摄像头侦测到一小轿车超速行驶，积水中倒映的车牌为“”，那么该小轿车的真实车牌号为________． 【答案】苏 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据成轴对称的性质求解即可． 【详解】由轴对称的性质可得，该小轿车的真实车牌号为苏． 故答案为：苏． 29．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 【答案】(1) (2)5 【知识点】坐标系中的对称、坐标与图形综合 【分析】（1）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标； （2）第一象限角的平分线上的点横纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标和点A与点B的距离． 【详解】（1）解：∵轴， ， ， 点的坐标为． （2）点在第一象限角的平分线上， ， ， 点的坐标为． 、两点间的距离为． 30．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】（1）分别作出点B，C关于y轴的对称点，，顺次连接A，，得到，根据点的位置即得的坐标； （2）根据割补法列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； 点的坐标是； （2）解：的面积为． 31．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)2 (2) 解：， 证明：作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由关于y轴的对称点的坐标为，得，，则，，由，，求得 （2）作交的延长线于点F，则，由，，，可证明，得，，由，，得，而，可证明，得，所以，则． 【详解】（1）解：关于y轴的对称点的坐标为， ，， ，， ，， ，， ， 的面积为． （2）略 32．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为（    ）； (3)在轴上找出点，使取最小值．并直接写出的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)如图，点即为所求； ， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （3）连接，与轴的交点即为点，进而写出点的坐标即可. 【题型六】轴对称综合题 33．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度问题(轴对称综合题)、三角形的外角的定义及性质、线段问题(轴对称综合题)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，，，因此，当，，，四点共线时，取到最小值．设，用和表示出和，作差得出结果． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ∴， 当，，，四点共线时，取到最小值， 设此时点、的位置为，，设， 由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 34．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】角度问题(轴对称综合题)、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 35．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在轴上找一点，使得的周长最小，则当的周长取得最小值时，点坐标是________． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点 故答案为：． 36．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 如图，即为所作图形； (2)35 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、面积问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接、， 四边形的面积为：． 37．（25-26八年级上·广西河池·期末）综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． (1)尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）； (2)在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明； (3)如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值． 【答案】(1) 解：如图所示； (2) 证明：如图所示， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， 当与重合时，； 当与不重合时，中， ∵，， ∴， 综上，； (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用、作垂线(尺规作图)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了尺规作图—过一点作已知直线的垂线，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作直线的垂线，然后找出点的对称点，连接两点即可得出交点； （2）根据轴对称的性质得出垂直平分，得出，然后分两种情况进行讨论，利用线段的和差以及三角形的三边关系进行证明即可； （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，取格点，根据点的坐标确定线段的长度，根据等边对等角得出角的度数，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小， 取格点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) (3)存在点，使得与全等，、和 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 【题型七】等腰三角形 39．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】三线合一、根据三角形中线求面积 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 40．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】找出图中的等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 41．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确． 【详解】解：，为的角平分线， ， ，故①正确； ， ，故②错误； 设与交于点，如图， ，故③正确； ，故④正确． 42．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）已知等腰三角形的一个底角等于，则它的顶角的度数是_____________． 【答案】/20度 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算出顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，该等腰三角形一个底角为， 该等腰三角形的另一个底角也为， 顶角的度数为：． 43．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个． 【答案】6 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个． 【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个： 故答案为：6． 44．如图，已知点B是直线外一点，A是直线上一点，且，点P是直线上一动点，当是等腰三角形时，它的顶角的度数为________ 【答案】或或 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①时，，则； ②当时，或； ③当时，，则， 综上：当是等腰三角形时，它的顶角的度数为或或． 45．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【答案】10 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 46．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【知识点】根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 47．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】根据，得到，从而得到，结合，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）已知：如图，点是的边的中点，，，垂足分别为点，，且．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ， ； (2) 证明：是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键． （1）运用证明，进而得到； （2）根据题意得到，由（1）知，运用证明，推出，即可证明结论． 49．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． (1)请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查坐标与轴对称，网格中画等腰三角形，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的定义是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点的坐标即可； （2）根据等腰三角形的定义和网格特点确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点H的坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：如（1）图，点． 【题型八】等边三角形 50．如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出的长，在中利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 51．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】结合等边三角形和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可知，利用角平分线的判定可证平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等易得，故④正确． 【详解】解：∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中，， ∴， ∴， 故①正确； 又∵，，， ∴， ∴， 故②正确； 连接，过分别作于，于，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分， 所以③正确； 如图2，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故选：C． 52．（25-26八年级上·北京丰台·期末）在中，．将两个完全一样的三角板如图摆放，它们一组较短的直角边分别在上，且这组直角边所对的顶点重合于点，射线交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、三线合一、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点． 根据等腰三角形的性质即可判断B、C、D，可得，则，再根据大角对大边分析判断A即可． 【详解】解：由题意得，，即 ∵， ∴，， 即，故B、C、D正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A错误，符合题意 故选：A． 53．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形的边角关系，三角形的分类，等边三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据“大边对大角”的性质及三角形内角和定理判断各说法；①③④正确，②错误． 【详解】解：∵在中，， ∴根据大边对大角，对，对，对， ∴，故①正确． ∵且， ∴且， 又∵， ∴， 若，则为钝角三角形，故②错误． ∵， ∴， 又∵最小，对应对角最小， ∴，故③正确． ∵， ∴为等边三角形，所有角均为，为锐角三角形，故④正确． ∴正确的个数为3． 故选C． 54．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 55．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则的值是__________． 【答案】/ 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先通过在上截取构造等边，结合已知的等边和，利用等边三角形的边与角的性质，证明与全等，得到，再结合是中点的条件，推导出，从而确定和的值并计算． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∴ ∵为定值， ∴，， ∴． 56．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知，如图，在中，，点D在边上，点F在边上，连接并延长交的延长线于点E，，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：如图，在上取一点M，连接，使得， ∵与是对顶角， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】如图，在上取一点M，连接，使得．先证明，得出，，再证明，则，，再根据三角形外角的性质，得，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】解决本题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的判定与性质进行推理论证． 【题型九】最短路径问题 57．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 58．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最短路径问题、两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 59．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【知识点】最短路径问题、列代数式、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 60．（2025八年级上·全国·专题练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 【答案】 如下图，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明：如下图，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点，的对称轴，点，在上， ∴，， ∴． 在中，∵， ∴，即最小． 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了最短路径问题．用轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与的交点上，即，，三点共线）． 【详解】略 61．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2) 如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 62．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 【知识点】最短路径问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求；（3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 1. 核心概念本质：本章所有知识点围绕“折叠重合”的对称核心展开，区分单一图形的轴对称图形、两个图形的轴对称关系，牢记对称轴始终为直线。 2. 核心工具：线段垂直平分线：性质用于证明线段相等，判定用于证明点在直线上，是几何证明、求线段长度、求图形周长的常用工具。 3. 等腰三角形重难点：依托“等边对等角、等角对等边”实现边角转化，三线合一为专属解题捷径，但需严格区分腰与底；边长、角度计算务必分类讨论，避免漏解。 4. 特殊三角形结论：熟练掌握等边三角形的性质与判定、含30°角直角三角形的边长结论，做题时严格把控使用前提，杜绝乱用定理。 5. 坐标与几何模型：熟记平面直角坐标系对称口诀，快速求解对称点坐标；将军饮马模型的核心是轴对称“化折为直”，解决线段和的最小值问题。 6. 核心思想与常考题型：本章核心为转化思想，将对称条件转化为边角关系，常结合全等三角形综合考查；高频题型包括：垂直平分线求周长、等腰三角形角度与边长计算、坐标对称变换、最短路径问题、等腰三角形与全等综合证明。 一、单选题 1．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． A．人物、车轮两侧形态不对称，无对称轴，不符合题意； B．人物身体左右倾斜，两侧无法重合，无对称轴，不符合题意； C．一手持拍、一手摆开，左右造型不同，无对称轴，不符合题意； D．存在竖直中线，左右两边完全对称，是轴对称图形，符合题意． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、角度问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于y轴对称的点的性质，得，求出n值代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称， ∴， 解得，， ∴． 4．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】画轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的性质，分类讨论不同的对称轴求解即可． 【详解】解：情况1：以垂直平分线为对称轴 情况2：以垂直平分线为对称轴 情况3：以直线为对称轴 情况4：以直线为对称轴 综上，符合条件的点共有4个． 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确写出逆命题是解题关键． 先写出各选项命题的逆命题，再依据全等三角形、对顶角、等边三角形的判定及有理数的性质，判断逆命题的真假，进而选出正确选项． 【详解】解：选项：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为相等的角是对顶角， ∵相等的角可能是同位角、内错角等，不一定是对顶角， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， ∵三个内角都相等的三角形是等边三角形， ∴该逆命题是真命题； 选项：原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等， ∵互为相反数的两个有理数平方相等，但本身不相等， ∴该逆命题是假命题． 综上，逆命题为真命题的是选项． 故选：． 6．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、折叠问题 【分析】根据题意可得，进而可得，再根据三角形外角定理可得的度数． 【详解】解：， ， 由翻折可知，又， ， ， ． 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；由等腰三角形的三线合一可得，所以可知垂直平分线段，进而可得答案． 【详解】解：连接，， 由作法得，， 垂直平分， ，故①正确； ，， ， 由作法得平分， ， ， ， 在中，， ， ，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ，    ， ， 垂直平分线段，故④正确． 故正确的个数有3个． 8．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 9．（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定 【分析】①根据证明即可； ②证明，得出，即可证明； ③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； ④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴不可能是等边三角形，故③错误；    ④∵， ∴，， ∴点M、B在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故④正确；    综上分析可知，正确的有3个． 二、填空题 10．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）命题“若，则”的逆命题是假命题，请你举出一个反例：______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】举反例、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了写出命题的逆命题，举反例等知识，原命题的逆命题是“若，则”，该命题为假命题，当a与b互为相反数时，成立，但，举反例需满足且． 【详解】解：原命题“若，则”的逆命题是“若，则”．逆命题是假命题， 因为当a与b互为相反数时，成立，但． 例如，取，，则，，即，但． 故反例为：当时，但． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 12．（25-26八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 【答案】，，，， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、格点图中画等腰三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 由不共线的三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题． 【详解】解：依题意，由不共线的三点构成轴对称图形， ∴是等腰三角形， 则以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 或以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 或以为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 如图，共有符合要求的点坐标为：，，，，， 故答案为：，，，， 13．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________． 【答案】15 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，由作图可得平分，则，从而根据含角的直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长______． 【答案】30 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】由平分得到，由平行线的性质得到，从而可得，故．同理可得，．由此，的周长可转化为即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得，， ∴ ． 【点睛】利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形是求解此类问题常用的方法． 15．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在长方形中，为对角线，，E为边上一动点，将沿所在直线翻折，得到．当的一条边与平行时，的度数为_________． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】的一条边与平行，需要依次看三边中的哪条边与平行，其中与相交，不可能平行；时，利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可；时，计算出后，需要讨论这种情况是否存在． 【详解】如图，当时， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由翻折知 ， ∵， ∴； 如图，当时， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折知 ， 由长方形的对称性可知， ∴， ∵， ∴点在点C左侧，满足题意； 综上，的度数为或． 16．（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中， （1）的面积等于_______； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 【答案】 以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图-作轴对称点． ()根据三角形的面积公式即可求解； ()利用轴对称找最短路径， 周长，为定点，需使最小，即分别作关于的对称点，连线与的交点即为． 【详解】（）解：∵在中，， ∴； 故答案为：； （）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点； 以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点； 分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点； 连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 故答案为：以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 三、解答题 17．如图，已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点，过点分别作垂直于于点，垂直于于点，和有什么数量关系？请说明理由． 【答案】，理由如下： 如图，连接，， 是的平分线，，， ， ， ∵在的垂直平分线上， ， 在Rt和Rt中， ， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，根据角平分线性质求出，根据线段垂直平分线求出，根据HL证，即可得出答案． 【详解】略. 18．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1) 解：如图所示，直线即为所作； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）根据尺规作图—垂直平分线的作图步骤，逐步作图即可； （2）延长到点E，使，连接，先推导出，得到，进而推导出，得到，可证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长到点E，使，连接， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)解：如图，点即为所求； 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据点的平移规律，左减右加，上加下减，写出、、的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点. 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； ∴， 即； （3）略 20．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、线段问题(轴对称综合题)、角度问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 21．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现． 【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？ 【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：； 【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数． 【答案】 [实践探究]理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴； [类比探究]∵； 如图所示， 折叠，使得，交于F，则， 在中，， ∴，即； [拓展应用] 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】[实践探究]由三角形外角的性质可得； [类比探究]证明，如图所示，折叠，使得，交于F，则，由三角形三边关系得到，据此可证明； [拓展应用]由折叠的性质可得，则，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质和前面的结论证明，由三角形内角和定理得到，则，即可得到． 【详解】解：[实践探究]略 [类比探究]略 [拓展应用]由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）问题初探：如图a和b，在中，，，直线l经过点B，过点A，C分别作于点E，于点F，则图中有一对全等三角形，由这对全等三角形能得到一些线段的数量关系． 这类图形的特点是具有三个直角的顶点在同一条直线上，这个模型称为一线三直角模型问题：如图，在平面直角坐标系中，点A是y轴负半轴上的一个动点，点B是x轴负半轴上的一个动点，连接，过点B作，使，且点C在x轴的上方． (1)初步运用：如图①，连接．若点，点，请求出点C的坐标； (2)灵活运用：如图②，过点B作轴，且，连接交x轴于点F，若，不变，请求出的面积； (3)拓展延伸：如图③，点A，点B在滑动过程中，把沿y轴翻折使得刚好落在边上，此时交y轴于点H，过点C作轴于点N，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 解：延长，相交于点E， 与关于y轴对称， ， 又，， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】（1）通过作辅助线构造全等三角形，证明，再根据全等三角形对应边相等的性质求出相关线段的长度，从而确定点C的坐标； （2）通过作辅助线构造全等三角形，证明，求出的长度，再利用三角形面积公式计算出的面积； （3）通过作辅助线，先后证明和，再根据全等三角形对应边相等的性质，通过线段代换得出结论． 【详解】（1）解：作轴于点D， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：作轴于点D， 由（1）知，， ∴， ， ，即， 又∵ 在和中， ， ， ， ． （3）略 23．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题探究】 （1）如图①，在直线的异侧有A，B两点，连接，且．点为直线上的动点，连接，，则的最小值为__________； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 【问题解决】 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供大家观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中，，为原有的一条小路，于点，为方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在线段，上，且满足，为节约成本，要求新开发的两条小路的长度和尽可能的小，求出当最小时的度数． 【答案】（1）4； （2）证明：， ， 在与中， ， ； （3） 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了两点之间线段最短、全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得答案； （2）根据题目给出的两组对应边相等，结合平行线的性质推出夹角相等，利用边角边证得全等三角形，从而得到对应线段相等即可； （3）以为边，为顶点，向下作，使得，连接，证明，推出，当、、三点共线时，最小，进而计算的度数． 【详解】解：（1）∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线的时候，的最小值为； 故答案为：4； （2）略 （3）如图所示，以为边，为顶点，向下作，使得，连接， 在与中， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时，点位置如图所示， 此时，， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $