第四章 整式的加减（2核心+7题型+4难点+复习讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理了整式的加减知识体系，将整式概念、同类项、去括号法则等要点按照“概念辨析-法则应用-实际建模”的递进关系组织，并用对比框架呈现单项式与多项式的区别、去括号符号变化规律，清晰标注重难点分布。 讲义亮点在于“分层递进式”练习设计，题型覆盖概念判断（如例1单项式系数辨析）、几何应用（如例7阴影面积计算）等，难点突破部分针对“整式无关问题”“整体代入求值”等，引导学生通过符号运算和逻辑推理解决问题，培养运算能力与模型意识。基础题夯实概念，综合题提升应用，教师可据此实施分层教学，助力学生系统掌握整式加减。

第四章 整式的加减 复习要点 1. 理解整式的概念，能区分单项式与多项式，并准确辨析单项式的系数与次数、多项式的项与次数。 2. 掌握同类项的概念，能准确识别同类项，并运用合并同类项法则（系数相加，字母及指数不变）进行化简。 3. 掌握去括号法则，能区分括号前是“+”号与“-”号时的不同处理方式，避免符号错误。 4. 掌握整式加减运算的一般步骤（去括号、合并同类项），能进行准确的化简与求值。 5. 理解用字母表示数的一般性，能运用整式表示实际问题中的数量关系，并初步探索数与图形中的变化规律。 复习重难点 重点：整式相关概念的辨析，以及整式加减运算法则（去括号、合并同类项）的掌握与应用。 难点：识别同类项，正确处理去括号时符号的变化，以及将实际问题中的数量关系抽象为整式表达式。 知识点 整式的相关概念 1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数和是次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项的次数是多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 要点速测 1．（25-26七年级上·河北张家口·期末）在式子：①，②，③，④中，单项式有__________，多项式有__________，整式有__________．（填序号） 【答案】 ②④ ① ①②④． 【分析】根据单项式，单项式，整式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①是多项式，是整式，②是单项式，是整式，③，不是整式，④，是单项式，是整式， ∴单项式有②④；多项式有①；整式有①②④． 故答案为：②④；①；①②④． 2．（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的次数是_____，系数是__________________． 【答案】 4 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此即可求解． 【详解】单项式中，数字因数是， 因此系数是； 字母部分包括、和，它们的指数分别为1、1和2，指数之和为， 因此次数是4． 故答案为：4；． 3．（25-26七年级上·山东滨州·期末）整式是______次______项式． 【答案】 五 四 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的概念即可得解，熟练掌握多项式的概念是解此题的关键． 【详解】解：整式是五次四项式， 故答案为：五，四． 知识点 整式的加减 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。 3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项。 要点速测 4．（25-26七年级上·广东茂名·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26七年级上·吉林白山·期末）已知，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意表达出，然后去括号化简即可； （2）根据（1）中的结果并转化得，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：因为，， 所以． 题型1 单项式、多项式、整式的判断 ▌例1 （25-26七年级上·湖南·期末）下列说法错误的是（   ） A．的系数是 B．是单项式 C．的次数是 D．是一次单项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数和定义，关键是熟练利用知识点进行判断；单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，单独的数字和字母也是单项式. 【详解】解：∵ 单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，单独的数字和字母也是单项式， ∴ 中，的指数为，的指数为，次数为， ∴ 选项C错误，选项A、B、D均正确. 故选：C． 解题要点 1.抓分母：看字母是否出现在分母中。若分母含字母，则不是整式（属分式），更非单项式或多项式。 2.看运算：整式只含加、减、乘、乘方。单项式是数字与字母的乘积（无加减）；多项式是多个单项式的和（有加减）。 ▌迁移练1-1（25-26七年级上·重庆·期末）关于整式的概念，下列说法错误的是（   ） A．是二次三项式 B．是四次单项式 C．的系数是 D．的次数是3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的相关概念（单项式的系数、次数，多项式的次数、项数），熟练掌握这些概念的定义是解题的关键． 根据整式中单项式的系数、次数以及多项式的次数、项数的定义，对每个选项逐一进行分析判断正误，即可． 【详解】解：A、∵ 多项式的项为（次数）、（次数）、（次数），最高次数为，项数为， ∴ 它是二次三项式， 故A正确，不符合题意． B、∵ 单项式的次数为， ∴ 它是四次单项式， 故B正确，不符合题意． C、∵ 单项式的系数是，而不是， ∴ C选项错误，符合题意． D、∵ 单项式的次数为， ∴ D选项正确，不符合题意． 故选：C． ▌迁移练1-2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了整式、单项式和多项式的定义，根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的积， ∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和， ∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误； ∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误； 综上，只有②正确， 故选：B． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·宁夏银川·期中）在，，，，，，单项式有________________．多项式有 ________________，整式有 ________________． 【答案】 ， ， ，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． 题型2 多项式系数、指数中字母求值 ▌例2 （24-25七年级上·吉林·期末）若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的项与系数的概念，熟练掌握“多项式不含某次项时，该项的系数为0”是解题的关键．根据多项式不含某次项则对应项系数为0，求出a、b的值，再计算． 【详解】解：∵多项式不含三次项， ∴， ∴． ∵多项式不含一次项， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 解题要点 1.系数求值：紧扣“同类项”定义，即字母相同且指数对应相等。据此列方程，解出参数后，务必回代检验系数是否为非零实数（系数为0则该项不存在）。 2.指数求值：利用幂的运算法则（乘、除、乘方）化简等式，转化为底数相同的形式，进而建立关于字母指数的方程，最后解方程并验根（确保底数不为零且指数有意义）。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式为四次三项式，需满足第一项系数非零且次数为4，其他项次数较低．通过计算各项次数，结合条件求解m． 【详解】解：∵多项式为四次三项式， ∴第一项系数，即． 第一项次数为， 第二项次数为， 第三项次数为． ∵最高次数为4， ∴， 解得，即或． 但， ∴． 故选：C． ▌迁移练2-2（25-26六年级上·上海金山·期末）一次式 中，一次项系数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的一次项系数的概念，识别一次式中的一次项并确定其系数即可． 【详解】解：在表达式中，是一次项，其系数为， 因此一次项系数是． 故答案为：． ▌迁移练2-3（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）如果整式是关于x的二次三项式，那么___________． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式的定义，观察已知的整式，由二次三项式的定义可知“二次”指次数最高项的次数是2，结合整式可得，由此可解． 【详解】解：整式是关于x的二次三项式， ， ， 故答案为：4． 题型3 同类项与合并同类项 ▌例3 （25-26七年级上·云南普洱·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合并同类项：字母及其指数不变，只把系数相加减． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、不是同类项，不能合并，原计算错误； D、，原计算正确． 解题要点 1.识别条件：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同（与系数无关）。 2.合并法则：只把系数相加减，字母和字母指数不变。注意移项时连同符号一起移动，避免漏项或符号错误，最终结果按某字母降幂排列。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合并同类项：字母及其指数不变，系数相加减． 【详解】解：A、不是同类项，原计算错误； B、不是同类项，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确． ▌迁移练3-2（25-26七年级上·江苏无锡·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的运算法则，需先判断各项是否为同类项，再依据合并同类项法则（系数相加减，字母及字母的指数保持不变）判断运算正误． 【详解】解： A、与n不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、与不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·山东淄博·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型4 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ▌例4 （24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果与是同类项，那么＝_____． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出、的值，再求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ． 解题要点 1.列方程：根据同类项定义（所含字母相同，且相同字母的指数相等），将对应字母的指数分别用等号连接，列出方程或方程组。 2.解方程：准确解出所列方程（组），得到字母或代数式的值。注意检验解是否满足题目隐含条件（如指数为正整数）。 ▌迁移练4-1（24-25七年级上·云南德宏·期末）若单项式和是同类项，则__________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数相同，列出方程求得与的值，再代入计算的值. 【详解】解：根据同类项的定义可得： ， 解得：， 则. ▌迁移练4-2（25-26七年级上·福建漳州·期末）若与是同类项，则的值为______． 【答案】 【分析】同类项是所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式，根据同类项中相同字母的指数相等这一关键条件，直接建立关于的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴． ▌迁移练4-3（25-26七年级上·山东滨州·期末）若与是同类项，则______． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数相等，列出关于、的方程，求解、的值后代入代数式计算即可． 【详解】解：与是同类项， 对于字母的指数，可得：，解得； 对于字母的指数，可得：，解得； 将，代入，可得：． 题型5 整式的加减运算 ▌例5 （25-26七年级上·福建泉州·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于合并同类项和去括号． （1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题要点 1.去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，不变号；是“-”，全变号），正确去掉括号，注意分配律的应用，防止漏乘。 2.合并同类项：找出同类项，将它们的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。运算结果按某一字母的降幂或升幂排列，确保最简。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减的运算，掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）（2）先去括号，再合并同类项进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：，， ． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·江苏泰州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·河南洛阳·期末）化简： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，核心知识点为去括号法则与合并同类项法则．去括号时，括号前是负系数的，需将系数乘到括号内每一项并改变对应项的符号；合并同类项时，仅将同类项的系数相加，字母及字母的指数保持不变． （1）先运用去括号法则去掉式子中的两个括号，再识别同类项并合并即可得到最简结果； （2）先将括号前的系数乘到括号内每一项完成去括号操作，再合并同类项化简式子． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型6 整式的加减中的化简求值 ▌例6 （24-25七年级上·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，40 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 解题要点 1.先去括号：根据去括号法则（括号前为正，去括号不变号；为负，去括号全变号）或乘法分配律，逐层去掉括号。 2.再合并同类项：将化简后的式子中，所含字母相同且相同字母指数相同的项，系数相加减，字母及指数不变。最后代入数值计算即可。 ▌迁移练6-1（24-25七年级上·江西赣州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为 【分析】先去括号，合并同类项，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． ▌迁移练6-2（25-26七年级上·山西太原·期末）先化简，再求值． ，其中． 【答案】化简为，值为 【分析】先根据乘法分配律去括号(注意括号前是负系数时，括号内每一项都要变号)，再合并同类项将整式化为最简形式，最后代入给定的、的值计算出最终结果． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． ▌迁移练6-3（25-26七年级上·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；15 【分析】先根据整式的加减运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 题型7 整式的加减运算与应用 ▌例7 （25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图所示，其中长方形的长为，宽为． (1)求阴影部分的面积；（用字母表示） (2)当时，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用及代数式求值，解题的关键是正确的表示出阴影部分的面积． （1）根据“阴影部分的面积长方形面积以为半径的圆的面积以为直径的圆的面积”列式求解，即可解题； （2）将代入解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 解题要点 1.去括号与合并：先去括号（注意符号变化），再合并同类项（系数相加，字母及指数不变），将结果化为最简形式。 2.代入求值或列式：化简后，若给出字母值则直接代入计算；若为应用题，则根据题意列出整式表示数量关系，再化简求解。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，其中窗框将A型窗框分成了两个小长方形，窗框将B型窗框分成了两个小长方形，已知A型、B型窗框的长都是x米，宽都是y米．（制作窗框时，均要用材料，接缝处忽略不计） (1)制作这两种造型的窗框，每种各需要多少米的材料？ (2)当，，若一位用户要定做A型窗框和B型窗框各1个，则该用户定做的窗框总共需要多少米的材料？ 【答案】(1)A需要材料米，B需要材料米 (2)这两种造型的窗框各1个，共需要25米的材料． 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式． （1）由长方形图形特征，列代数式表示图形中线段长即可求解； （2）由（1）知共需材料的长度为米，再将，，代入求值即可． 【详解】（1）解：制作A种造型的窗框一个，需要材料米， 制作B种造型的窗框一个，需要材料米； （2）解：由（1）得则制作这两种造型的窗框各1个， 共需要米的材料； 当，时， 米， 则这两种造型的窗框各1个，共需要25米的材料． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，合肥新四军渡江战役纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花坛，尺寸如图所示（单位：米）． (1)求阴影部分的面积（用含的代数式表示，保留）； (2)当，取3时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)阴影部分的面积为14.5平方米 【分析】本题考查了整式的加减的应用，正确的列出代数式是解题的关键． （1）利用两个长方形的面积之和减去半圆的面积即可； （2）将，取3代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为 阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，取3时， ． 答：阴影部分的面积为14.5平方米． ▌迁移练7-3（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，长方形是一个花圃的示意图，四边形区域（阴影部分）种花，剩余两个三角形区域（三角形和三角形）种草，已知长方形花圃的长为，宽为，点E、F分别在线段上． (1)用含a、b的代数式表示种花区域（阴影部分）的面积；（结果化为最简） (2)当，时，求种花区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)种花区域（阴影部分）的面积为； (2)种花区域（阴影部分）的面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，代数式求值，正确列出代数式是解决本题的关键． （1）用长方形的面积减去两个三角形的面积即可； （2）将，代入（1）中结果，计算即可解答． 【详解】（1）解： 答：种花区域（阴影部分）的面积为； （2）解：当，时， 则， 答：种花区域（阴影部分）的面积为． 难点一 整式的加减中的无关问题 难点1：对“无关”条件的转化误区难点在于将文字描述准确转化为数学条件。如“值与字母x无关”，则含x 的所有项系数必须为0，需合并后令系数和为零。常见错误是只关注最高次项，忽略一次项和常数项中的隐含变量，导致条件不全。 难点2： 对“不含有”与“无关”的区分 “不含有某项”特指该项系数为零，是局部条件；而“与某字母无关”是整体要求，需该字母所有次数项的系数和均为零。解题时若混淆，易漏解或错设条件，尤其在多项式含多个字母时，需明确主元再分类讨论。 难点精练 1．（25-26六年级上·山东泰安·期末）已知关于x，y的多项式． (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则，将原式变形为，再根据该多项式不含三次项得出，求出结果即可； （2）将，整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵该多项式不含三次项， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． 2．（25-26七年级上·重庆忠县·期末）设a是已知常数，如果，，且的常数项为0． (1)求常数a的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 12 【分析】本题考查整式的加减，整式的无关项问题，整体代入求值，理解题目所给式子中a表示数，通过条件列方程求出a是解题关键． （1）计算，用含a的式子表示计算结果的常数项，令该式子等于0，解出a的值即可； （2）根据（1）中的结果，计算，再根据所给条件，整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∴常数项为， 由题意，得， ∴； （2）解：代入，得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·山东德州·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知 ，．若的值与y无关，求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可； （2）先求出，再根据的值与y无关，得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解： ， 把，代入得： 原式； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与y无关， ∴， 解得：． 难点二 带有字母的绝对值化简问题 难点1： 符号的“不确定性” 字母代表未知数，其正负性未定，导致绝对值内整体符号无法直接判断。化简时必须先明确字母取值范围或分类讨论，不能默认其为正，否则易错。 难点2：分类讨论的“完整性” 通常需根据零点分段法划分区间，讨论要既不遗漏也不重复。尤其含多个绝对值时，需确保每种情况下的符号假设与化简结果严格对应，避免区间合并错误或边界值处理失误。 难点精练 1.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知，，为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：，，； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了数轴与有理数的大小关系、绝对值的化简以及整式的加减运算． （1）由数轴得，， ，从而判断进行； （2）先根据数轴得到，，，再利用绝对值的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ， ， 故答案为：，，； （2）， ，， ． 2．（25-26七年级上·江苏·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数、利用数轴判断式子的正负性，整式的加减运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由数轴可知，则，，，即可作答； （2）根据（1）中结论及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：观察数轴，得， ∴，，； （2）解：由（1）得，，； ． 3．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)_________0，_______0，_______0；（填“”“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2)0 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，合并同类项，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的位置，确定它们的正负，进而判断它们的和与差的正负； （2）先确定绝对值内式子的正负，根据绝对值的意义去绝对值，然后化简即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：，且， ∴，，； 故答案为：，，； （2）解：因为，，， 所以 难点三 整式的加减中的新定义型问题 难点1：对新定义运算法则的准确“翻译”与代入 题目常定义如“※”或“△”等抽象符号，需严格按示例将整式代入对应位置。学生易犯代入时漏括号的错误，尤其在涉及减法时，未将后项整体视为被减数，导致符号处理失误，从而影响后续化简。 难点2：对“结果与某字母无关”或“不含某次项”条件的转化 此类条件本质是合并后该项的系数为0。难点在于化简后如何正确提取系数并建立方程。特别是系数含多个参数，或“无关”与“恒等”概念混淆时，容易遗漏条件或列错等式，导致参数求解失败。 难点精练 1.（24-25六年级上·山东济南·期末）定义新运算：． (1)若，，化简； (2)若，求（1）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算及代入求值，非负性的运用，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的计算方法，整式的混合运算法则计算即可； （2）根据非负性得到的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ∴ ； （2）解：，， ∴， ∴， ∴原式． 2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）定义：对于一个两位数，它的个位数字与十位数字不相同，且都不为零，将其个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，除以11所得的商记为．例如，对调个位数字与十位数字得到的新两位数为31，因为，所以． (1) ； (2)若，在下列各数中可能为 （填序号）； ①14；②25；③32；④43 (3)若的十位数字是，个位数字是，猜想 （用含，的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1)12 (2)②④ (3) ， 理由如下： ∵x的十位数字是m，个位数字是n， ∴x为， ∴． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键． （1）参照示例，代入运算，即可得到结果； （2）对所给的四个数字，逐一计算，可得到结果； （3）表示出这个两位数，代入运算，可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：，， ，， ∴若，则x可能为25或43； （3）略 3．（25-26七年级上·河北保定·期末）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______________．任何数同0进行“※”运算，都得__________________． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． 【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值；（2）； （3）当时，； 当时，； 当时，． 【分析】本题考查有理数加法运算，去括号，绝对值，以及新定义． （1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2） =； （3） 略 难点四 用整体代入法求代数式的值 难点1：构造与识别“整体” 关键在于敏锐观察已知条件与所求代数式之间的结构关联。难点在于当系数不匹配或符号相反时，需通过恒等变形（如提取负号、倍数）主动构造出整体，而非生硬代入。 难点2： 变形过程中的等价性 对已知条件进行变形时必须保持恒等，避免引入额外倍数或符号错误。同时，需注意整体与部分的辩证关系，确保每一步变换都严格等价，否则会导致求值结果的偏差。 难点精练 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 2．（25-26七年级上·山西晋城·期中）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 整体思想 在数学解题过程中，“整体思想”是一种重要的思想方法，它能将复杂问题转化为简单问题，在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例如：合并同类项时，，这里是将“”看成一个整体进行运算．类似地，我们也可以把多项式看成一个整体．比如把看成一个整体，则： ． 任务： (1)把看成一个整体，计算的结果为___________． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把看成一个整体，再进行合并，即可作答． （2）把代入，进行计算，即可作答． （3）把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， 则 ． 3．（25-26七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 基础达标 一、单选题 1．（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用去括号法则与合并同类项法则，逐一验证各选项计算的正误． 【详解】解：，A计算错误； ，B计算正确； ，C计算错误； 与不是同类项，不能合并，D计算错误． 3．（2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 4．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和项数的概念及代数式求值，多项式为二次三项式，则最高次项为二次，且项数为三．由四次项系数为零得，由二次项存在，再求常数项． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴四次项系数，即， 且为二次项，即， 此时多项式为， 常数项为． 故选： C． 5．（2026·云南临沧·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据前几个代数式，分别找出系数和t的指数随序号n的变化规律，即可推导得到第n个代数式． 【详解】解：将代数式按序号 依次分析规律： ∵当时，系数为，的指数为； 当时，系数为，的指数为； 当时，系数为，的指数为； 当时，系数为，的指数为； ∴第个代数式的系数为，的指数为， ∴第个代数式是． 二、填空题 6．（2026·天津·一模）计算的结果等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是整式的加减法，去括号时，括号前面是负号，括号里面的符号要变号，掌握去括号的规则是解决本题的关键． 【详解】． 7．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 8．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 【答案】 4 【详解】∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等， 可得 ，，解得 ， ∴ ． 9．（2026·四川成都·模拟预测）若，则__________． 【答案】 【分析】先进行去括号，再用整体思想用，数据代入即可． 【详解】原式 10．（25-26六年级下·山东济宁·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 6 1 8 7 5 3 2 9 4 图① 2 图② 【答案】6 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的加法运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为S（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为S）． 设三阶幻方的9个数字分别为： 2 a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”， 可得： ， 解①得， 解②得， 则， 再代入①得． 三、解答题 11．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项得到化简结果； （2）先去括号，再合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据有理数a、b在数轴上的位置，结合有理数的加法法则可得答案； （2）根据（1）中结论和绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，，则； （2）解：∵，， ∴ ． 14．（25-26七年级上·广东东莞·期中）我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示，其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用大圆的面积减去小圆的面积即可； （2）将代入（1）中求出的代数式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，． ∴图中阴影部分的面积为． 15．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 【分析】（1）分析图形，已知小长方形较短边为，大长方形总长为，大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边，计算即可； （2）分别根据图形计算阴影的一条较短边和阴影的一条较短边，再计算两者之和，最后再计算阴影和阴影的周长值之和即可． 【详解】（1）∵大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边， ∴小长方形的较长边为； （2）阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为，左侧两个空白小长方形的竖直高度各为， ∴的较短边为 ， 阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为， ∴的较短边为 ； ∴两者和为：，因此题目说法正确； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 周长和为：； ∵ 结果中仅含，不含， ∴周长之和与有关，与无关． 16．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级下·四川达州·期中）图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，，进而作差，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，，， ∴． 2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】抓住每次操作插入相邻两整式的平均数、两端整式不变的特点，分别验证三个结论． 【详解】解：初始整式为，，每次操作仅在相邻整式间插入平均数，两端整式不变． ① 第一次操作插入的平均数为， ∴ 第一次操作后整式序列为，，，共3个． ∵ 第二次操作需在相邻两组间分别插入平均数，与的平均数为，与的平均数为， ∴ 第二次操作后整式序列为，，，，，共5个． ∴ 从左往右第四个整式为， 故①正确． ② 代入，，得初始两整式的值为，． 第一次操作后三个整式的值为，，，和为． 第二次操作后五个整式的值为，，，，，和为． 第三次操作后九个整式的值为，，，，，，，，， 和为， 故②错误． ③ 设第次操作后整式个数为，初始． ∵ 每次操作后新增整式个数等于原有整式的间隔数，即， ∴ ． 计算得：，，，．．． ∴ 第次操作后整式个数为．当时，， 故③正确． 综上，正确的结论有2个． 二、填空题 3．（2026·河南周口·一模）按照一定规律排列的式子：，，，，…，第2026个式子是________． 【答案】 【分析】本题考查了找规律的能力和幂的运算性质，解题的关键是观察分子和分母的指数变化规律．先观察前几个式子的规律：第1个式子的分子是，分母是，第2个式子的分子是，分母是；第3个式子的分子是，分母是，由此发现规律：第个式子的分子是分母是，再将代入即可． 【详解】解：观察已知式子： 第1个式子：其中， 第2个式子：其中， 第3个式子：其中， 由此可见，第个式子的规律为：分子：分母：， 第2026个式子为：， 故答案为：． 4．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【分析】设中心格内的数为，根据三阶幻方的性质，任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，且和为，利用这一性质表示出相关位置的数，通过列方程即可得出之间的关系． 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题 5．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号法则、合并同类项法则以及代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，以及代数式的值与某字母取值无关时，该字母的系数为0这一性质是解题的关键． （1）先对进行去括号、合并同类项化简，再将、的表达式代入，整理得到含、的式子． （2）根据（1）中化简结果与取值无关的条件，求出的值，再将所求式子变形为与相关的形式，代入计算． 【详解】（1）解：，， ． ； （2）解：由（1）可知：， （）中式子的值与字母的取值无关， ， 解得， ， ． 6．（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 【答案】(1)； (2)；化简为． 【详解】（1）解：原式 当 时，中式子的值为 ，当时，中式子的值为， ，解得， ． （2）解：由数轴可知， 故由解得， 由解得， 由的相反数是得； ， ． 7．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 8．（25-26六年级上·山东泰安·期末）【知识再现】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把，看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0， 即原式，其中，则． 【方法应用】 (1)当______，______时，关于的多项式不含项和项． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】此题考查了整式的加减无关型问题，解题的关键是正确化简． （1）根据题意得到，，然后求解即可； （2）首先将A和B代入，然后去括号，合并同类项，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含项和项 ∴，， ∴，； （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴ ∴． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； 即其中是对称式的是①③； （2）解：①根据题意得：该单项式是； ②根据题意得：该多项式可以为； （3）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴所得结果不是对称式． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． （1）根据阅读提供的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，，，先求出的值，然后整体代入计算代数式的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：，，， ， ， ． 11．（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)；；；0 (3)选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【分析】（1）把去括号，计算即可得答案；将的方框移动到图1中的其他位置，根据题目情境即可列式，去括号计算即可得答案为0，探究发现，无论移动到哪，总有：，，，进一步计算即可得答案． （2）设，根据题目情境，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． （3）选择A，设，根据“Z型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案；选择B，设，根据日历中用“Y型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章整式的加减 复习目标 1.理解整式的概念，能区分单项式与多项式，并准确辨析单项式的系数与次数、多项式 的项与次数。 2.掌握同类项的概念，能准确识别同类项，并运用合并同类项法则（系数相加，字母及 指数不变)进行化简。 复习要点 3.掌握去括号法则，能区分括号前是“+”号与“”号时的不同处理方式，避免符号错 误。 4.掌握整式加减运算的一般步骤（去括号、合并同类项），能进行准确的化简与求值。 5.理解用字母表示数的一般性，能运用整式表示实际问题中的数量关系，并初步探索数 与图形中的变化规律。 重点：整式相关概念的辨析，以及整式加减运算法则（去括号、合并同类项）的掌握与 应用。 复习重难点 难点：识别同类项，正确处理去括号时符号的变化，以及将实际问题中的数量关系抽象 为整式表达式。 理脉络 知识体系构建 单项式 整式定义 多项式 系数 单项式 次数 项 多项式 次数 知识梳理 常数项 单项式系数次数混淆 多项式项数遗漏常数项 定义 易错点 式的 同类项 同类项指数误判 合并法则 去括号符号错误 学法指导 减 去括号 整式加减 同类项判断与合并 合并同类项 整式化简求值 高频考点 化简求值 整式应用 实际应用列式 实际应用 1/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过主干 核心内容整合 知识点 整式的相关概念 1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数， 所有字母的指数和是次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项 的次数是多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称为整式。 要点速测 1 3x2y2z a+1 2(a+b) 1.(25-26七年级上河北张家口期末)在式子：①6 ,② 2，③x,④0.la中，单项式 有 多项式有 一，整式有 (填序号) 2 2. (25-26七年级上~四川成都期末)单项式mmr的次数是 系数是 3. (25-26七年级上·山东滨州期末)整式 xy+xy2+9x2y3-4 是 次 项式 知识点 整式的加减 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和 字母的指数不变。 2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”， 去掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。 3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合 并同类项。 要点速测 4.(25-26七年级上：广东茂名·期中)化简： 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)6m+n-2m-5n 22a-2b)+a+(5a-3b) 5.(25-26七年级上吉林白山期末)已知A=2a2-a+3b-ab,B=a2+2a-b+ab. (1)化简A-2B: (2)当a-b=2,ab=-1时，求A-2B的值. 研题型 高频题型突破 题型1单项式、 多项式、整式的判断 例1(25-26七年级上湖南期末)下列说法错误的是() A子y的系数是号 B.0是单项式 C. 3少的次数是 D.-x是一次单项式 解题要点 1.抓分母：看字母是否出现在分母中。若分母含字母，则不是整式（属分式），更非单项式或多项式。 2.看运算：整式只含加、减、乘、乘方。单项式是数字与字母的乘积（无加减）；多项式是多个单项 式的和（有加减）。 ■迁移练1-1(25-26七年级上·重庆期末)关于整式的概念，下列说法错误的是() A.I-a2-ab 是二次三项式 B. 是四次单项式 C.- 2 r的系数是π D.-4ab2的次数是3 2 x-y ■迁移练1-2(25-26七年级上江苏镇江·期末)下列判断：①5不是单项式；②3是多项式：③0 1+x 不是单项式；④x是整式.其中正确的有() A.2个 B.1个 C.3个 D.4个 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b2 y+3 ab+x 3 1 ■迁移练13(25-26七年级上·宁夏银川期中)在3,2，-2， 5,y,a+b,单项式有 多项式有 整式有 题型2多项式系数、 指数中字母求值 例2(24-25七年级上吉林期末)若关于x的多项式(a-3列x+4r+(4-b)x+3中不含三次项和一次项， 则d=() A.7 B.12 C.64 D.81 解题要点 1.系数求值：紧扣“同类项”定义，即字母相同且指数对应相等。据此列方程，解出参数后，务必回 代检验系数是否为非零实数（系数为0则该项不存在）。 2.指数求值：利用幂的运算法则（乘、除、乘方）化简等式，转化为底数相同的形式，进而建立关于 字母指数的方程，最后解方程并验根（确保底数不为零且指数有意义）。 1迁移练2(25-26七年级上·安微准南期中)已知多项式（m-3列中>+y-2y 是关于x,y的四次 三项式，m的值是() A.6 B.3 C.-3 D.-3或3 3 【迁移练2-2(25-26六年级上·上海金山期末)一次式2x+2中，一次项系数是 迁移练23(2425六年级下黑龙江绥化期末)如果整式x2-5x+2是关于x的二次三项式，那么n= 题型3同类项与合并同类项 ■例3(25-26七年级上·云南普洱期末)下列计算正确的是() A.7x+x=7x2 B.5y-3y=2 6x+2y=8y C. D.3y-2y=xy 4/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.识别条件：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同（与系数无关）。 2.合并法则：只把系数相加减，字母和字母指数不变。注意移项时连同符号一起移动，避免漏项或符 号错误，最终结果按某字母降幂排列。 ■迁移练31(25-26七年级上·安徽六安期末)下列运算中，结果正确的是() A.a+2a2=3a B.5a+b=5ab C.3a-a=2 D.3ab-2ab=ab ■迁移练3-2(25-26七年级上·江苏无锡期末)下列运算正确的是（) 5m+n=5mn B.a+a=2a C.xy-x=x D.-y+y=0 ■迁移练3-3(25-26七年级上山东淄博·期末)计算 (1)m+r-6m+2n2 2r-2y-(g-6) 题型4已知同类项求指数中字母或代数式的值 例4(24-25七年级上河北石家庄期末)如果xy"与2xy是同类项，那么mn= 解题要点 1.列方程：根据同类项定义（所含字母相同，且相同字母的指数相等），将对应字母的指数分别用等 号连接，列出方程或方程组。 2.解方程：准确解出所列方程（组），得到字母或代数式的值。注意检验解是否满足题目隐含条件 (如指数为正整数)。 迁移练41(2425七年级上云南德宏期末)若单项式2x"y和-xy是同类项，则mn= ■迁移练42(25-26七年级上福建漳州期末)若ab与-3ab是同类项，则m的值为一 迁移练43(25-26七年级上山东滨州期末)若8xy与3xy2”是同类项，则m+m2= 5/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5整式的加减运算 ■例5(25-26七年级上福建泉州期末)化简： ①4ow-3y+y-y 25a-3b)+5a-2b) 解题要点 1.去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，不变号：是“-”，全变号），正确去掉括号，注意分 配律的应用，防止漏乘。 2.合并同类项：找出同类项，将它们的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。运算结果按某一字 母的降幂或升幂排列，确保最简。 1迁移练5-1(25-26七年级上四川乐山期末)己知M=3x2-2xy+y2,N=2x2+y-3y2」 (1)求M+2N: (2)求2M-3W. ■迁移练5-2(25-26七年级上：江苏泰州期末)化简： 0)4a-ah-3a2）+2ab ②2x+4x-x2) ■迁移练5-3(25-26七年级上河南洛阳·期末)化简： a)-2ab+3a）-2(2a-b)+2ab a2r-+3x-4x-r+: 题型6整式的加减中的化简求值 例6(24-25七年级上浙江宁波期末)先化简，再求值：3ab-ab2-3d2b-2ab+)+3,其中a=2, 6/23 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=-2 解题要点 1.先去括号：根据去括号法则（括号前为正，去括号不变号；为负，去括号全变号）或乘法分配律， 逐层去掉括号。 2.再合并同类项：将化简后的式子中，所含字母相同且相同字母指数相同的项，系数相加减，字母及 指数不变。最后代入数值计算即可。 迁移练61(2425七年级上江西赣州期末)先化简，再求值： 54d2-2ab）4(5d-3ab2）,其中 a=-1.b=2. ■迁移练6-2(25-26七年级上山西太原期末)先化简，再求值. 2d-2ab）-3(d+ab)+d,其中a=-2b=3 ■迁移练6-3(25-26七年级上安徽合肥期末)先化简，再求值： G)m a=-1,b=-3 题型7整式的加减运算与应用 ■例7(25-26七年级上安徽合肥期末)如图所示，其中长方形的长为a,宽为b. (1)求阴影部分的面积：（用ab字母表示） (2)当a=3,b=1时，求阴影部分的面积.（结果用π表示） 解题要点 1.去括号与合并：先去括号（注意符号变化），再合并同类项（系数相加，字母及指数不变），将结 果化为最简形式。 2.代入求值或列式：化简后，若给出字母值则直接代入计算；若为应用题，则根据题意列出整式表示 数量关系，再化简求解。 ☐迁移练7-1(25-26七年级上陕西渭南期末)如图是用相同材料做成的A,B两种造型的长方形窗框， 7/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中窗框MN将A型窗框分成了两个小长方形，窗框PO将B型窗框分成了两个小长方形，已知A型、B 型窗框的长都是x米，宽都是y米.（制作窗框时，MWP吧均要用材料，接缝处忽略不计） A型 B型 (1)制作这两种造型的窗框，每种各需要多少米的材料？ (2)当x=2,y=3,若一位用户要定做A型窗框和B型窗框各1个，则该用户定做的窗框总共需要多少米 的材料？ Ⅱ迁移练7-2(25-26七年级上·安徽阜阳·期末)如图，合肥新四军渡江战役纪念馆要在两块紧挨在一起的 长方形荒地上修建一个半圆形花坛，尺寸如图所示（单位：米）· 《-2 ()求阴影部分的面积（用含x的代数式表示，保留π）： (2)当x=8,兀取3时，求阴影部分的面积。 迁移练7-3(25-26七年级上·陕西西安·期末)如图，长方形ABCD是一个花圃的示意图，四边形ACFE 区域（阴影部分）种花，剩余两个三角形区域（三角形ABC和三角形DEF)种草，己知长方形花圃的长 为m,宽为4m,点E、F分别在线段ADCD上. 4 a (1)用含a、b的代数式表示种花区域（阴影部分）的面积；（结果化为最简） 8/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当a=6,b=2时，求种花区域（阴影部分）的面积. 破难点 方法聚焦透析 难点一整式的加减中的无关问题 难点1：对“无关”条件的转化误区难点在于将文字描述准确转化为数学条件。如“值与字母x无关”， 则含ⅹ的所有项系数必须为0，需合并后令系数和为零。常见错误是只关注最高次项，忽略一次项和常数 项中的隐含变量，导致条件不全。 难点2：对“不含有”与“无关”的区分 “不含有某项”特指该项系数为零，是局部条件：而“与某字母无关”是整体要求，需该字母所有次数项 的系数和均为零。解题时若混淆，易漏解或错设条件，尤其在多项式含多个字母时，需明确主元再分类讨 论。 难点精练 1.(25-26六年级上山东泰安期末)已知关于x,y的多项式 5x2-2y2-「3y+4y2+(9y-2y2-2mgy2）+7x2]-1 (I)若该多项式不含三次项，求的值： ②在（山）的条件下，当+y=26=-12 时，求这个多项式的值 A=(a+3)x2+a(x+1) 2.(25-26七年级上重庆忠县期末)设4是已知常数，如果 B=(5-a)x2+2(x-l) ,且A+B的常数项为0. (1)求常数a的值： (2)若2x2+x-3=0,求A+B的值. 3.(25-26七年级上·山东德州期末)先化简，再求值： 0b+(b+3a6)-2oib-ab）,共中a=2·b= 9/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知 4=5-4y+y,B=r+30-2y.若2A-3B 的值与y无关，求x的值， 难点二带有字母的绝对值化简问题 难点1：符号的“不确定性” 字母代表未知数，其正负性未定，导致绝对值内整体符号无法直接判断。化简时必须先明确字母取值范围 或分类讨论，不能默认其为正，否则易错。 难点2：分类讨论的“完整性” 通常需根据零点分段法划分区间，讨论要既不遗漏也不重复。尤其含多个绝对值时，需确保每种情况下的 符号假设与化简结果严格对应，避免区间合并错误或边界值处理失误。 口难点精练 1.(25-26七年级上·陕西渭南期末)已知a,b,c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示. a0b c (1)用“>”或“<”填空：a0,b0,c-a0: 2)化简： a+b-c-c-a 2.(25-26七年级上江苏期末)有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空：b-C0,a+b0,c-a0. 2)化简： b-c+a+b-c-a 3.(25-26七年级上·安徽准北期末)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示. a 0b c→ (1)a+c 0,c-b0,a-b0:(填“>”“<”或“=”) 2)化简：a+c-c-+la+ 10/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点三整式的加减中的新定义型问题 难点1：对新定义运算法则的准确“翻译”与代入 题目常定义如“※”或“△”等抽象符号，需严格按示例将整式代入对应位置。学生易犯代入时漏括号的 错误，尤其在涉及减法时，未将后项整体视为被减数，导致符号处理失误，从而影响后续化简。 难点2：对“结果与某字母无关”或“不含某次项”条件的转化 此类条件本质是合并后该项的系数为0。难点在于化简后如何正确提取系数并建立方程。特别是系数含多 个参数，或“无关”与“恒等”概念混淆时，容易遗漏条件或列错等式，导致参数求解失败。 口难点精练 1.(24-25六年级上山东济南期末)定义新运算：A@B=2A+B」 (1)若A=a2b-2ab2,B=-2a2b+3ab2,化简A@B: (2若a-2+b+2=0 求)中1@B的值. 2.(25-26七年级上山东青岛期末)定义：对于一个两位数x,它的个位数字与十位数字不相同，且都 不为零，将其个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，除以1 13+31=4,所以 所得的商记为S(x)·例如x=13,对调个位数字与十位数字得到的新两位数为31，因为11 S(13)=4 539)= (2)若S(x)=7 在下列各数中x可能为（填序号）： ①14；②25：③32；④43 3)若*的十位数字是m，个位数字是”，猜想S() _(用含m,”的代数式表示)，并说明理由. 3.(25-26七年级上河北保定期末)【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3※5=8， (3)※5=-8， 3※0=3， (-3)※(-5)=8. 3※(-5)=-8. (-3)※0=3. 【归纳】 (1)两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 任何数同0进行“※”运算， 都得 【运用】 (-12)※(4※0) (2)计算： （-7)※x (3)化简： 难点四用整体代入法求代数式的值 难点1：构造与识别“整体” 关键在于敏锐观察已知条件与所求代数式之间的结构关联。难点在于当系数不匹配或符号相反时，需通过 恒等变形（如提取负号、倍数）主动构造出整体，而非生硬代入。 难点2：变形过程中的等价性 对已知条件进行变形时必须保持恒等，避免引入额外倍数或符号错误。同时，需注意整体与部分的辩证关 系，确保每一步变换都严格等价，否则会导致求值结果的偏差。 口难点精练 1.(25-26七年级上·湖南湘潭期末)【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想 方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简4(a+b-2(a+b)+(a+b} 解：原式(4-2+1)(a+b) =3(a+b) 参照本题阅读材料的做法进行解答： 12/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )若把a-看成一个整体，合并 (a-b)6-5(a-b)°+7(a-b) 的结果是_； (2)已知： x2-2y=3 3x2-7y+21+y ,求代数式 的值： 3)已知a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9,求 a-c)+(2b-d)-(2-c八的值. 2.(25-26七年级上山西晋城期中)请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务. 整体思想 在数学解题过程中，“整体思想”是一种重要的思想方法，它能将复杂问题转化为简单问题，在多项式的 化简与求值中的应用极为广泛. 咖：合并同类顶。5机-+=6-3+=3，这里是将香被一个坚传进行运东，天地，我 们也可以把多项式看成一个整体.比如把a+b看成一个整体，则： 5(a+b)-3(a+b)+(a+b)=(5-3+1)(a+b)=3(a+b) 任务： (①)e(a+b看成-个整体，计算3(a+b)-7(a+b+2(a+b的结果为 2-3y=-4 (2)已知 3x2-9y+2025 求代数式 的值。 2+2ab=1,ab-2b2=-2 (3)已知 求代数式3a2+5ab+2b 的值 4x+2x-x=(4+2-1)x=5x 3. (25-26七年级上广东东莞期中)【阅读理解】我们知道： 类似的，若 我们把 a+b)看成一个整体，则有 (a+b)+2(a+b)-(a+b)=(4+2-1)x(a+b)=5(a+b) .这种解决问题 的方法渗透了数学中的“整体思想”.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极 为广泛· 13/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③ ④ ① ② ⑤ 【方法运用】 1把a-b)看成一个整体，则3(a-b-7a-b)+2(a-b= (22知r+2y=5 3x2+6y+21 ,求代数式 的值； (3)当x=2025时，代数式ax2-x+1的值是m,则当x=-2025时，求ax2-x+1的值（结果用含m的代数式 表示)· 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长 为x,②号正方形的边长为'，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长. 验成果 综合达标检测 基础达标 一、单选题 1.(2026·上海奉贤·三模)下列代数式中，不是单项式的是() A.d B.3a c.9 D.a+3 2.(25-26七年级上：湖南湘潭·期中)下列计算正确的是() A.7a-6a=1 B.-(2a+3b)=-2a-3b C.3(a-b)=3a-b D.a+4a2=4a3 3.(2026·青海西宁·二模)下列说法中正确的是() 14/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A,单项式3的次数为1，系数是3 B.单项式2mn和3m是同类项 C.多项式 x2y+3xy-4 是二次三项式 D.多项式-x2+2x-1的项是-x2,2x和1 （a-3)x4-x+x-ab 4.(25-26七年级上江苏南通阶段检测)若关于x的多项式 为二次三项式，则常数 项是() A.-9 B.9 C.-6 D.6 5.(2026云南临沧二模)按一定规律排列的代数式：21,4r,8,161,·,第n个代数式是 () A.2t"+2 B.2”t+2 C.2nt2n+1 D.2"t2m-1 二、填空题 6.(2026天津一模)计算3a-20)-(a-)的结果等干 7.(25-26七年级上上海期中)整式ab-a2+3ab2-4a+3b按a降幂排列的结果是 &.(2526七年级上湖南湘潭期中)若y与2xy是同类项，则m+n的值是 9.(2026四川成都模拟预测)若+2y=5,3a-4h=7,则9a-4)2(60+)+1= 10.(25-26六年级下·山东济宁·期中)幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.把洛书 用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中， 如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图② 的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则x= 15/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 9 4 图① -4 -2 2x 图② y -4 -2 2 6 三、解答题 11.(25-26七年级上湖南湘潭·期中)化简 (1)4x-3-x+1 a3r+(x-4y）-r 12.(25:26七年级上辽宁大连期末)先化简，再求值：2(y+2)3xy+2+4,其中 x=-1y=1 13.(25-26七年级上湖南湘潭期中)有理数a、b在数轴上的位置如图所示： 0b (I)用“>”或“<”填空：a0,b+10: (2)化简： |2+la-2lb+1 14.(25-26七年级上：广东东莞期中)我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像 16/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 头模组如图所示，其中大圆的半径为，中间小圆的半径为2”，4个半径为6”的高清圆形镜头分布在两 圆之间. (1)请用含r的式子表示图中阴影部分的面积： (2)当"=2Cm时，求图中阴影部分的面积（结果保留π）. 15.(25-26七年级下·山东菏泽期末)如图，长为(cm),宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块， 除阴影A,B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm A 2 (1)小长方形的较长边为. cm(用代数式表示)； (②)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 2x-y+4)cm ,是 的（填正确错误）； 阴影A和阴影B的周长值之和与x (填有关无关)，与 (填有关无关)： 16.(25-26七年级上湖南湘潭期中)教科书91页第15题是这样的：若a+b=7,ab=10,求 (5ab+4a+7b)+(6a-3ab)-(4ab-3b) 的值，小明是这样做的： 原式=5ab+4a+7b+6a-3ab-4ab+3b =10a+10b-2ab =10(a+b)-2ab =10×7-2×10 =50. 17/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在这里，他把a+b作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想. 【方法运用】： (1)若代数式x2-2x=5,求代数式3x2-6x-1的值： (2)当x=1时，代数式ax3+bx+5的值为8.当x=-1时，求代数式ar+br+5的值； x2-2xy+y2=20xy-y2=6 (3)若 ，求代数式-3+2y2 的值. 能力进阶 一、 单选题 1.(25-26九年级下四川达州期中)图1是长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片，将6张如图1的纸 片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影 部分（即两个长方形）的面积分别表示为S,品，若“=8,6=4，则-5 的值是() S2 S 图1 图2 A.8 B.16 C.32 D.64 2.(25-26八年级下重庆巫山期末)在整式4,2x+y之间插入它们的平均数：3x+)少，记作第一次操 1 作，在4x与3x+2)之间和3x+2y与2x+y之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推。 53 ①第二次操作后，从左往右第四个整式为2x+4': 1 ②经过三次操作后，若x=2,y=-1,则所有整式的值之和为10 ③经过10次操作后，将得到1025个整式. 以上三个结论正确的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 18/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 26河南周口·一模)按照一定规律排列的式子：3,5；7；9，，第2026 4.(2026江苏苏州·一模)“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1)，是世界上最早的“幻方”. 把9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个 “三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中，b,C之间的关系为 洛书 000000000 a b 图1 图2 三、解答题 A=2x2+3xy-2x-1B=x2-xy-1 5.(25-26七年级上四川达州：期末)已知 5A-2(B+2A (1)化简： ,将结果用含有x、y的式子表示： ②)若(1)中式了的值与字母的取值无关，求-+2A4B 的值. 6.(25-26七年级上·山东济南期中)按要求解答 (1)已知：A=2a2+3ab-2a-1,B=a2+ab-1. ①计算 4A-(3A+2B) ②若a=1和a=0时(1)中式子的值相等，求2 -26-+ 的值 (2)已知：有理数0，b,C在数轴上的位置如图所示， a>4 19/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 0 a b ①若a+10=20,b2=400,c的相反数是30，求a,b,c的值： ②化简：b-c小-k-3aH2a+bl 7.(25-26七年级上四川宜宾期中)【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司 开展“打车计费”实践活动。 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程 计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在lOkm及以内的，不收远途费，超 过10km的，超出部分每千米收0.4元.”收费标准如下： 计费项 里程费 时长费 远途费 目 单价 1.8元/km 0.45元/min 0.4元/km 【实践探究】老师说： “若乘客的行车里程为2km,行车时间为4min,则需付车费1.8×2+0.45×4=5.4 （元).” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为5km,行车时间为l0min,则需付车费元. (②)若小明的行车里程为akm,行车时间为bmin,则需付车费多少元？（用含a,b的代数式表示，并化 简) (3)若小王、小张的行车里程分别为9.5km与14.5km,且小王的行车时间比小张的行车时间多24min,谁付 的车费更多？ 8.(25-26六年级上山东泰安期末)【知识再现】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ar-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求a的值”. 通常的解题方法是把x,'看作字母，把α看作系数合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以 含x项的系数为0， 即原式(a+3)x-6y+5 其中a+3=0,则a=-3」 【方法应用】 (1)当b= ,C= 时，关于x的多项式 3x4-(b+5)x3+(c-1)x2-5x+1 不含项和项 20/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知 A=-3x2-2xy+3y+1B=2x2+2xy-1m ,且24+38的值与'的取值无关，求的值。 9.(25-26六年级下·黑龙江绥化期中)【新视角新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的 值都不变，这样的式子叫作对称式.例如：式子abc中任意两个字母交换位置，可得到式子bac,aCb,cba, 因为abc=bac=acb=cba,所以abc是对称式.而式子a-b中的字母a,b交换位置，得到式子b-a,但 是a-b≠b-a,所以a-b不是对称式， (1)下列式子：①a+b+c;②ab;③a2+b2,其中是对称式的是（填序号）. (2)①写出一个系数为-2，只含有字母a,b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式： ②写出一个只含有字母4，b的三次三项式，使该多项式是对称式： ®)尼知A三ab-2bc+2a,B=Qb4c,求543B,并判断所得结果是香是对称式 5 4x+2x-x=(4+2-1)x=5x a+b) 10.(25-26七年级上：安徽合肥期中)我们知道： 类似的，若我们把 看成一个整体，则 4a+b)+2(a+b)-(a+b)=(4+2-a+b)=5a+D).这种解决问题的方法渗透了数 学中的“整体思想”.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛.请运用 “整体思想”解答下面的问题： 1)把a-b)看成-个整体，合并3(a-b-7a-b+2(a-b, (2)记知：+2y=6 求代数式3r-6y+21 的值： 3)已知a-2b=3,2b-c=-6,c-d=10,求a-c)+(2b-d)-(2b-c 的值， 11.(25-26七年级下广东茂名期末)项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜.现需设计一套 灌溉系统、 【任务规划】基地长为a米，宽为b米.计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若千 条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域 21/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 6 B 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形ABCD,AD=BC=a,AB=CD=b.在AB和CD边上铺设主 管道.从AD边开始(AD不用安装)，每间隔d米安装一条与AD平行的支管道(d为正整数)，直到 BC边，恰好将基地完全覆盖， 【解决问题】 (I)请用含a,b,d的代数式表示需要的支管道总条数n. (2)已知a=18,b=30,d=3.求n的值，并计算所有支管道的总长度. (3)预算主管道每米成本20元，支管道每米成本10元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5 元)（固定装置成本仅与支管道条数有关）·总预算为C元， ①请推导C与a,b,d的数量关系式 ②当a=18,b=30,总预算C=3160元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由 12.(26-27七年级全国小升初衔接)数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历， 小乐在其中画出一个3×3的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“ 亿+c)-(a+d)”的值.探索其运算结果的规律。 日一二三四五六 123 567891011 12131415161718 0 b 19202122232425 ai b 2627282930 d c d d 图1 图2 图3 图4 (1)初步分析：计算图1中10+2)-(8+24) 的结果为：将3×3的方框移动到图1中的其他位置，通过计算 b+c)-(a+) 可以发现 的值均为_： (2)数学思考：小乐认为(1)中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整。 22/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：设a=x,则b=x+2,c=x+14,d=-, 可得b+c=_,a+d=-, 则6+c)-a+d) (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究.请从下列A、B两题中任 选一题作答， A.在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究。b+©)(+)，的值的规律，写出你的 结论，并说明理由： B.在日历中用“了型框”框住位置如图4所示的四个数，探究亿+c)(a+),的值的规律，写出你的 结论，并说明理由. 23/23