第二章 有理数的运算（2核心+7题型+5难点+复习讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学第二章“有理数的运算”复习讲义通过表格系统梳理了五种运算的法则、运算律及混合运算顺序，用思维导图呈现科学记数法、绝对值非负性、数轴应用等核心题型的分类框架，清晰标注重点为运算法则与运算律运用，难点为混合运算符号判断及(-a)ⁿ与-aⁿ的区分。 讲义亮点在于“情境化应用”与“错解分析”的练习设计，如通过直播助农日销售量偏差计算实际总量，培养用数学语言表达现实世界的模型意识，结合小明混合运算错题分析引导学生逆向推理运算顺序，提升运算能力与推理意识。分层设置基础达标与能力进阶练习，基础学生可掌握法则应用，优秀学生能突破规律探究等难点，为教师实施精准分层教学提供支持。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章有理数的运算 复习目标 1.理解有理数加法、减法、乘法、除法、乘方的运算法则，能区分加、减、乘、除、乘 方五种基本运算的法则特征及适用条件。 2.掌握加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，并能灵活运 用运算律简化有理数运算。 复习要点 3.掌握有理数混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括 号先算括号内的，能按规范顺序进行混合运算。 4.理解科学记数法的意义，掌握将绝对值大于10的数表示成a×10的形式（其中1≤a< 10),能根据要求取近似数。 5.理解转化思想（减法转化为加法、除法转化为乘法）与分类讨论思想（按同号、异号 分类确定符号)在有理数运算中的体现，区分各种运算律的适用场景。 重点：有理数的加、减、乘、除、乘方五种基本运算的法则，以及混合运算的顺序与运 复习重难点 算律的灵活运用。 难点：混合运算中符号的准确判断、运算顺序的把控，以及（与-的区分与理解。 理脉络 知识体系构建 加法法测 有理数加法 运算律 减法法则 有理数减法 转化为加法 乘法法则 有理数乘法 运算律 除法法则 有理数除法 有理数的 转化为乘法 知识梳理 符号判断错误 定义 有理数乘方 运算顺序混淆 运算 易错点 乘方底数误判 运算顺序 有理数混合运算 科学记数法位数错误 学法指导 运算技巧 混合运算技巧 算 定义 科学记数法 乘方运算 表示方法 高频考点 科学记数法应用 精确度 近似数精确度判断 近似数 有效数字 1/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过主干 核心内容整合 知识点 有理数的运算 1.法则： (1)加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加， 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. (2)减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即ab=a(-b). (3)乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都得0. (4)除法法则：除以-个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a÷ba·方b≠0)· (5)乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数， 0的任何非零次幂都是0. (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减：②同级运算，从左到右进行： ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.运算律： (1)交换律：①加法交换律：atb=b+a;②乘法交换律：ab=ba; (2)结合律： ①加法结合律：(atb)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：(ab)c=a(bc) (3)分配律：a(b+c)=b+ac 要点速测 1.(25-26六年级下·上海·期末)计算： 025+4((45) a2+-[-] 2.(25-26七年级上浙江衢州期末)直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在某次公 益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足计划量 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 记为负，下表是该团队一周的销售情况： 星期 三 四 五 六 日 与计划量偏差（千 +3 -5 0 +11 -7 +13 +5 克) (1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？ (2)若猕猴桃售价为8元/千克，则这一周销售收入共多少元？ 知识点 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10”的形式（其中1≤a<10,n是正整数），此种记法叫做 科学记数法 口要点速测 3.(2026内蒙古通辽二模)哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，2018年3 月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行.《2018上半年中国共享单车行业监测报告》 显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到529.1万人，将数据529.1万用科学记数法表示为() A.529.1×104 B.5.291×10 C.5.291×10 D.0.5291×10 研题型 高频题型突破 题型1用科学记数法表示绝对值大于1的数 ■例1(25-26七年级上：湖北省直辖县级单位·期末)2025年国庆中秋双节中，各地推出丰富多彩的文化 和旅游产品、服务、活动.经文旅局数据中心测算，假日8天，全国国内出游8.88亿人次.将数“888 亿”用科学记数法表示为() A.88.8×107 B.8.88×108 C.0.888×108 D.8.88×10 解题要点 将数写成a×10m形式(1≤a<10,n为整数) 0 等于原数整数位数减1。移动小数点确定a,数清位数，注意单位换算，先统一单位再表示。 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练1-1(25-26七年级上四川乐山期末)2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年.数据 25000用科学记数法可表示为() A.0.25×10 B.2.5×10 C.2.5×104 D.25×103 ■迁移练1-2(25-26七年级上·北京海淀·期末)中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套 2枚，计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为() 1.20 中国邮破CHINA 《丙午年》邮票 A.2668×104 B.2.668×10 C.2.668×108 D.0.2668×108 ■迁移练1-3(2025江苏南京·中考真题)全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行 动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷.用科学记数法表示3830000是() A.3.83×106 B.0.383×10 C.3.83×10 D.0.383×107 题型6绝对值的非负性 例2(25-26七年级上陕西西安阶段检测)若a-+6+2=0,则a-2b的值为 解题要点 绝对值≥0恒成立。 若a+b=0,则a=b=0(非负数和为零，各项皆零)。 常用于求字母值、化简或证明，注意含绝对值的式子有最小值。 1迁移练21(2025四川资阳中考直题)若(a-l少+6-2水0，则ab 1迁移练23(25-26七年级上广东汕头期中)若a-1+b+2=0,鄂么0+b)= 4/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3根据点在数轴上的位置判断式子的正负 ■例3(25-26七年级上广东广州期末)如图，已知4b是数轴上的两个数，下列正确的式子是() b 04→ A.a-b<0 B.a+b>0 C.ab0 D.ab<0 解题要点 原点左负右正。先标出各点符号与距离（绝对值大小），再判断和、差、积、商符号：同号得正，异 号得负，注意a一b即左减右。 ■迁移练3-1(25-26七年级上重庆期末)实数4，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是 () a A.a<-b B.a+b>0 C.b-a<0 D.ab>0 ■迁移练3-2(25-26七年级上湖南衡阳·期末)如图，AB两点在数轴上表示的数分别为4b,下列式 子成立的是() A B -1a 0 16→ A.a+b<0 B ab>0 c.lal<lo D.a-b>0 ■迁移练3-3(25-26七年级上湖北黄石期末)有理数a，b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子 中正确的是() a b 0 Aa>b B.-C>0 c.a小14 D.=b 题型4用数轴上的点表示有理数 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■例4(25-26七年级上湖南永州期中)在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数. --3到-(4.5)-(（-10°.-2 解题要点 画三要素：原点、正方向、单位长度。正数在原点右侧，负数在左侧。先定符号，再按绝对值确定位 置，标清对应点。数轴上的点与有理数一一对应。 1迁移练41(25-26七年级上浙江杭州：期中)把π，(（-2)，-1,0,2，-3这些数表示在数轴上，再 按从小到大的顺序用“<”连接起来. 5-4-3-2-1012345 迁移练42(21-22七年级上广东期中)把下列各数0，(-2)2，-1-3引，-(-1)在数轴上表示出 来，并用“<”号把这些数连接起来。 5-43-21012345 ■迁移练43(25-26七年级上：新疆阿克苏期中)把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从大到小的 顺序用“>”号连接起来 -25.（-2.05,0.-(-3).3 题型5有理数的混合运算 1例5(25-26七年级上湖南株洲期末)计算： (1)-18+25-12+30 2(3)*x+-16) 49 解题要点 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内。 技巧：同级运算从左到右，巧用运算律（交换、结合、分配），带分数化假分数，小数化分数，注意 符号。 6/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练5-1(25-26七年级上北京·期末)计算： a-3)x2-(（-5+-1 a-x3-(←2号 ■迁移练5-2(25-26七年级上·湖北咸宁·期末)计算： 43×(-2)-(-9)+8 a2x+(到4 ■迁移练5-3(25-26七年级下黑龙江大庆期末)计算： oH84(-2[(引 a+24+ 题型6有理数的混合运算中错解复原问题 】例6(25-26七年级上·甘肃平凉期未)小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误. -2号-[-4到x2+6解：原式=6号-(8+6第一步 =-63-(气2或第二步 =-9+4.…第三步 =-5.…第四步 (1)小明在第 步开始出现错误： (2)请给出该题的正确解答过程. 7/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 从错误结果反推原式，按运算顺序逆推（先乘方，再乘除，后加减，有括号先括号）。注意符号和括 号还原，检验复原结果是否满足条件。 ■迁移练6-1(24-25七年级上山西朔州期末)(1)计算： G(w x+1-1=x-7 (2)下面是小颖同学解方程2 6的过程，请认真阅读，并完成相应的任务。 (x+1)-6=x-7 解： 得 第一步 去括号，得3x+3-6=x-7 第二步 移项，得3x-x=-7-3-6 第三步 合并同类项，得2x=-16 第四步 方程两边同除以2，得x=-8 第五步 任务： ①以上求解步骤中，第一步进行的是 这一步的依据是 ②以上求解步骤中，第 步开始出现错误，具体的错误是 ③该方程正确的解为 ■迁移练6-2(25-26七年级上：江西鹰潭期中)阅读下面解题过程并解答问题：计算： -5分*到8 =(-15)÷(-5) (第二步) =3.(第三步) ()上面解题过程从第步开始错误： (2)请你写出正确的解答过程. 8/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1玉移猫(226年经上箭江金华复末小明与小红闲学计(》（过程下 小红： 小明： (第 款6( 原式 步) 6(到第) =16×(-8)×(-8) (第二步) =-16÷1（第三步) =1024(第三步) =-16(第四步) (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤. (2)请写出正确的解答过程. 题型7有理数的混合运算中应用问题 ■例7(25-26六年级上·山东烟台期末)某食品厂计划每天生产1000袋食品，实际每天生产量与计划量 相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 +50 -30 -60 +110 -90 +80 +90 (1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产 袋食品： (2)已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000元，食品售价为8元/袋，且需缴 纳本周销售总额10%的交易税，求本周的收益总额 解题要点 北师大版七上有理数混合运算应用题解题要点 审清题意，列出算式。先乘方、再乘除、后加减；有括号先算括号内。统一单位，注意符号。分步计 算，最后检验结果是否符合实际意义。 ☐迁移练7-1(25-26七年级上·浙江绍兴·期末)我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行 测试.现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位： ),经过测试，得到下表实验数据： 9/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 +50 -38 +31 -22 +20 (1)5次行走结束后，机器人停在何处？ (②)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度？ 】迁移练7-2(25-26七年级上浙江宁波期末)现将一批慈城年糕分装成6盒，以每盒3千克为标准，超 过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下， 每盒质量达到3±0.05千克的年糕为合格品. 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） -0.02 -0.01 0.01 -0.07 0.02 0.03 (1)这6盒年糕有盒是合格品，最重的一盒年糕是千克： (2)若每千克的年糕成本为10元，则这6盒年糕的成本共多少元？ ■迁移练7-3(25-26六年级下·上海·期末)某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由 于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正.不足记 为负)： 星期 三 四 五 六 日 与计划量 的差额 +9 -10 +12 -8 -5 +15 -6 (辆) (1)本周四销售该品牌儿童滑板车_辆： (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多_： (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 10/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 破难点 方法聚焦透析 难点一有理数的简便运算 难点1：运算律的逆向与拆分技巧 学生易正向使用交换律、结合律，但逆用（如提取公因数）或拆分（如将带分数拆为整数与分数）常不熟 练。难点在于敏锐识别可凑整、抵消或统一为相同因子的结构，并通过恒等变形简化计算。 难点2：多重符号的化简与去括号 涉及多个负号、绝对值及括号嵌套时，符号确定规则易混淆。难点在于逐层化简时确保符号与运算顺序同 步处理，若跳步或忽视负号对括号内每一项的影响，则极易导致符号错误。 难点精练 1.(25-26七年级上浙江金华期中)学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题。 计算： 下面是文文和园园的计算过程： 文文： 园园： (3号 1o6*-10 14119 7 1515 =10x70×(-10) =-7 =-70」 ()文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算： (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程。 2.(25-26七年级上·湖北恩施期中)解答下列问题： 1,1 1). 6÷ 6÷ (1)计算气23，方方同学的计算过程如下：原式 《52+1 .请你判断方方同学 的计算过程是否正确.若不正确，请你写出正确的计算过程： (2)请你参考下面黑板上老师的讲解，完成简便运算。 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 98×12=(100-2)×12=1200-24=1176 例1 例2 -16×233+17×233=(-16+17)×233=233 例33-4=-1,4-31，（3到(4)=1,4(3)=-1 发现a-b与b-a关系是 用简便方法计算：0-19识、 18*9 @13x号-034号+(1× ×37x034 @2-6466 3.(小升初衔接进阶专项训练03有理数的混合运算与整式的化简求值60题-2024年小升初数学无忧衔接 (2024新教材通用版))阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算. 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是ab+c)=ab+ac 反过来 h+ac=a(b+c).这就是说，当ab+ac中有相同的 ，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有8，因此逆用乘法分配律可得 23-17=高23+1)=高×40=25，这样计算就商崔得多 5 8 计算： (1)-29×588+28×588: -2023×2+2023× 6 (2 7 7 +2023x2 12/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04762(15)105(7别 ④-4+[月x8 难点二含乘方的有理数混合运算 难点1：运算优先级的层级嵌套 乘方、乘除、加减及括号形成多层运算结构。难点在于同时处理括号内的运算、乘方展开及同级运算从左 到右的规则，尤其在含多重括号时，学生易因顺序跳步导致中间结果错误。 难点2：乘方符号的底数辨别 区别（与-心是关键难点。前者底数为-，符号随指数奇偶变化；后者底数为，负号独立于乘方之外。 学生常混淆两者，尤其在指数为偶数时误判符号，导致整个计算方向性错误。 Q口难点精练 1.(25-26七年级上：湖南怀化期末)计算： f-5-4-(2] - 2.(25-26六年级上山东淄博期末)计算： 1)4+(-2×5-(-28)÷4 ②1+(-3)×[1+(-2] 3.(25-26七年级上安徽安庆期末)计算： a-5-4]3 13/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-4)x2+(-)5-10÷2 难点三有理数运算中的程序问题 难点1：程序流程的路径依赖与跳转 当程序含有条件判断（如“若结果为正则平方，否则加5”）或循环反馈时，每一步输出作为下一步输入。 难点在于严格按箭头方向执行，勿跳步，同时根据中间结果的符号正确选择分支，否则路径偏离会导致最 终输出错误。 难点2：多轮迭代中的符号惯性 含乘方、乘除的迭代程序，若中间结果反复出现负数或分数，后续运算的符号和顺序极易混淆。难点在于 每轮计算后需重置符号认知，结合运算优先级逐次推进，防止上一轮结果的符号惯性影响后续判断。 口难点精练 1.(25-26七年级上陕西榆林期中)如图是一个数值转换机，当输入的数字n是-5时，按照图中的程序 计算，求输出的答案 输入n→+(3→÷-2→×(-5)→输出答案 2.(25-26九年级下·河北邯郸期中)如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进 行卡片上的运算，如按“4→1→B”进行运算，则所列算式为(4-3)x(4), A B C D -4) 平方 3 (1)若按“- 6 →B→A→C”进行计算，先列出算式，再直接写出结果： ②若琪美同学按“】→DC→8→4进行计算，请列出算式并与出运算过程和结果。 3.(25-26七年级上四川宜宾期中)数学课上，老师用A,B,C,D四张圆形卡片分别代表一种运算， 并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片A，B,C，D的顺序重新排序，进行一次列式 14/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计算.例如，若按4>BC→D的顺序进行运免，则可列算式为[(+3)x(-3)2了.当卡片B或D排在第 一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片B或D的运算，然后再将剩余卡片继续运算.例如，若选择4， 并按D→1→B→C的顺序进行运算，则可列算式为（华+）小*(-3)-2 +3 ×(3) -2 平方 0)算式[+3)x(-3)-2丁的结果为，算式(4+3列×(3)-2的结果为： (②)若甲同学选择了A→C→B→D的运算顺序，求甲同学列式计算的结果： (3)乙同学选了-5，并按D→C→()→()的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为 66，求乙同学选择的运算顺序. 难点四有理数的混合运算中新定义型问题 难点1：新运算符号的代数化转译 题目定义新型运算（如b=心-山+b)。难点在于将陌生符号准确还原为含加、减、乘、除、乘方的 常规算式，尤其当参与运算的式子本身含括号或负数时，代入和符号变换极易出错。 难点2：新运算与常规优先级的混合 新定义运算常与常规运算（括号、乘方、乘除）混合出现。难点在于明确新运算本身的优先级（若未特殊 说明，通常视同高级运算)，同时兼顾括号对运算顺序的强制改变，若顺序错判则整体结果谬以千里。 难点精练 1.(25-26七年级上：陕西西安·期中)用“△”定义新运算，对于任意有理数a,b,都有ab=a2-ab. 例如：7a4-7-7×4=21」 求（3a 的值： 15/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②若维续用“”定义另一种新运算a*h=3ab-,例如：12=3×1x2-2”=2.求4)*(2△3) 2.(25-26六年级上山东济南期中)在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“⊕”，定义 a©b©c=la+b+c 2 -c:例如：3@2@（←）=13+2，川-()=4.诗根据以上定义解答下列间影： 2 (1)计算：（-2)®3⊕(-5)， ②若a=(少，6=(2水2.e=5-列+ 求a⊕bc. 3。（25-26七年级上广东广州期末)定义新运算：求若干个相同的有理数（口≠0 的除法运算叫做除方. a÷a÷a÷..÷g n个a 记作，比如把2÷2÷2记作2，（-3)÷(-3)-(-3)÷(-3)记作(-3).特别地，规定 a=a 0四根据除方的定义.（-2)(-2)*(-2)(-2)(-2)可记作 2023②= (2)直接写出计算结果： (3)计算： -42÷(-2)8+(-1)@ (a≠0)，n≥3 (4)对于有理数 时， a0= 难点五有理数运算中的规律探究问题 难点1：算式的结构特征提取 给定若千具有相同模式的算式（如12-22=-3,2-32-5)，难点在于敏锐识别数字变化规律与符号分布，提 炼出统一的代数形式（如2-(+1)P-(2+1)。学生易迷失于具体数值，难以捕捉共同框架。 难点2：规律的验证与拓展 归纳出猜想后，需通项代入验证其普遍性，并将规律推广至含参或较大数运算。难点在于兼顾特殊到一般 16/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的逻辑严密性，同时灵活运用该规律实现复杂式子的快速化简。 难点精练 。=1-11=1_1111 1.(25-26七年级上山东淄博阶段检测)观察：1×2引2,2×323,3x434,,以此类推。 请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律， ①写出第5个式子 ②写出第n个式子 1,1,1 (2)利用发现的规律，计算：2+612 9900 2.(25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测)阅读探究： ①P=1x2x3 6 ②12+22=2×3×5 6: ③1P+22+32=3×4x7 6: ④1+22+32+42=4×5×9 6;… (1)根据上述规律，则⑤P+22+32+4+52=一： (2)根据以上式子的规律，请写出第n个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：62+7+82+92+102+112+122 3.(25-26七年级上江苏淮安期中)观察下列算式，你会发现什么规律？ 1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 … 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：7×9+1= 17/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)用含有n的式子表示上面的规律： (3)用找到的规律解决下面的问题： t.〔+0+24-+ 验成果 综合达标检测 ©基础达标 一、单选题 1.(2026·湖南二模)2026的倒数是（) 1 1 A.-2026 B.2026 C.-2026 D. 2026 2.(24-25七年级上·云南昆明阶段检测)下列计算正确的是() A.（-3)+(-2)=-1 B.（-3)-(（-2)=-5 c.（-3x(-2)=-6 D.（3)÷(-2)=15 3.(25-26七年级上·湖南湘潭·期末)2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江， 为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约2.1万吨，数据“2.1 万”用科学记数法表示为() A.2.1×104 B.2.1×10 C.21×104 D.21×103 4（25-26六年级下上海期末)在037、2026、（←20261、0、-2号 23、-（-2)中，非负数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.(25-26七年级上广东东莞期中)有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数 有() ①g-b0:②>a:@b<0:①81. 18/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b 0 a A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 6。(2026-安微芜湖三模)计算：卜8-(-2) 7.(26-27六年级上海暑假作业)计算： 8.(26-27七年级全国暑假作业)根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、 直辖市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为 9.(25-26七年级下·广东深圳期末)定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b,都有 h=a-b+ab,创如：2※1=2-l+2x1=3.则-53 计算结果为 10.(25-26七年级下·云南文山期末)把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横 着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列这个 ta b a b 整体就叫=阶行列式.例如我们拒Cd称作二阶行列式，提定它的运算法则为Cdd-c,如 -2 1 2 3 2 5 =2×5-3×4=-2,请你计算49的值为 三、解答题 11.(25-26七年级下河北石家庄·开学考试)计算 1)2×5+(-2)-(-2)×(-3) 19/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26七年级上河北邯郸阶段检测)计算： 1)20+(14)-(←18)-13 e+2-(5 a9-9） -199 24 ×5 (4) 25 (用简便方法计算). 13.(26-27七年级全国小升初衔接)计算题. 1 0+23 +35 )200022000-2000'200 +.+100199 2000 (2)19.98×68+199.8×4.2-1998×0.1 111 1 1 3)1x55x9T9x13 十…十 21×2525×29 333×777-222×666 (4) 555×999 14.(25-26六年级下·上海·期末)某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原 因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正.不足记为负）： 星期 二 三 四 五 六 日 与计划量 的差额 +9 -10 +12 -8 -5 +15 -6 (辆) (1)本周四销售该品牌儿童滑板车辆： (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多_； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 15.(25-26七年级上山东济南阶段检测)综合与探究： 20/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 2÷2*2(-3)*(-3)(3)(3)等，类比有理数的乘方，我们把22+2写作2，读作2的圈3次方”， (-3)(-3)(-3)(-3)写作3)°，读作(3)的圈4次方” 一般地a宁a÷a--产aa≠0写作a°，读作“a的图”次方”， n个a (1)【初步探究】直接写出计算结果：2®= 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理 数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算， 除方 =2÷2÷2÷2=2× 乘方 21 形式 (②【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：(-3)°：一， 能力进阶 一、单选题 1.(25-26七年级上湖南湘潭·期中)如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=-1,则最后输出的结 果是多少？( 输入x ×4 -(-1) 输出 YES NO A.-11 B.11 C.-10 D.-21 21/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下重庆长寿期末)在一组互不相等的正整数，4，a,,0中任意提 m<m≤m川个数， 若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取.例如：在1,2,3,4,5 中，因为1+2+3+4+5=15.(1+2+4)+1×2×4=15 所以提取1,2,4这三个数就是完美提取（提取的 数字相同，排序不同，属于同一种提取).若要在1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数中实现完美 提取，下列说法正确的个数是() ①6,7是这十个数中的一种完美提取： ②1,2,4,5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 3.(2026河北中考真题)一游客计划从A地出发到B,C,D三地旅游，然后回到A地.该游客到三地 的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如A→D→B→C→A,若图中两地间连线上的数字表示两 地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为 百元. B 4.(25-26七年级下·安徽毫州期末)将二进制数101转化成十进制数这样进行：1×22+0×2+1×2°=5， 即二进制数101转化成十进制数为5.再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行： 1×23+1×22+0×2+1×2°=13 ,即二进制数1101转化成十进制数为13.依此类推. (1)将二进制数10011转化成十进制数为 (2)将十进制数23转化成二进制数为. 三、解答题 5.(26-27七年级全国小升初衔接)计算题（能简算的要简算） 22/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )45)*(-9)x(-3) ali) 8)2x4+4+(-2八： oe-名8+列 6.(25-26七年级下·安徽毫州期末)观察以下等式： 第1个，非) 2个成，得引 第个等高分传》 1-111 第4个等式：82-2{79， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： 1 111 (2运用你发现的规律求2一十4一+62一十g一十+102-的值. 23/23 第二章 有理数的运算 复习要点 1. 理解有理数加法、减法、乘法、除法、乘方的运算法则，能区分加、减、乘、除、乘方五种基本运算的法则特征及适用条件。 2. 掌握加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，并能灵活运用运算律简化有理数运算。 3. 掌握有理数混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内的，能按规范顺序进行混合运算。 4. 理解科学记数法的意义，掌握将绝对值大于10的数表示成a×10n的形式（其中 1≤a < 10），能根据要求取近似数。 5. 理解转化思想（减法转化为加法、除法转化为乘法）与分类讨论思想（按同号、异号分类确定符号）在有理数运算中的体现，区分各种运算律的适用场景。 复习重难点 重点：有理数的加、减、乘、除、乘方五种基本运算的法则，以及混合运算的顺序与运算律的灵活运用。 难点：混合运算中符号的准确判断、运算顺序的把控，以及(-a)n与-an的区分与理解。 知识点 有理数的运算 1.法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点速测 1.（25-26六年级下·上海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 2.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在某次公益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是该团队一周的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量偏差（千克） (1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？ (2)若猕猴桃售价为元/千克，则这一周销售收入共多少元？ 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用； （1）根据一周实际销售猕猴桃的数量相加计算即可； （2）将总数量乘以每千克的收入解答即可． 【详解】（1）解：（千克） （千克） 答：这周实际销售猕猴桃的总量是720千克． （2）解：（元） 答：这一周销售收入共5760元． 知识点 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），此种记法叫做科学记数法． 要点速测 3.（2026·内蒙古通辽·二模）哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到万人，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把万表示为的形式，其中，为整数进行解答，即可． 【详解】解：万． 题型1 用科学记数法表示绝对值大于1的数 ▌例1 （25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）2025年国庆中秋双节中，各地推出丰富多彩的文化和旅游产品、服务、活动．经文旅局数据中心测算，假日8天，全国国内出游亿人次．将数“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：亿． 故选：B． 解题要点 将数写成a×10ⁿ形式（1≤|a|<10，n为整数）。 n等于原数整数位数减1。移动小数点确定a，数清位数，注意单位换算，先统一单位再表示。 ▌迁移练1-1（25-26七年级上·四川乐山·期末）2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． ▌迁移练1-2（25-26七年级上·北京海淀·期末）中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． ▌迁移练1-3（2025·江苏南京·中考真题）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 题型6 绝对值的非负性 ▌例2 （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 解题要点 绝对值 ≥ 0 恒成立。 若 |a| + |b| = 0，则 a = b = 0（非负数和为零，各项皆零）。 常用于求字母值、化简或证明，注意含绝对值的式子有最小值。 ▌迁移练2-1（2025·四川资阳·中考真题）若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． ▌迁移练2-2（25-26七年级上·广东汕头·期中）若，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，绝对值． 根据非负数的性质求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， 所以且， 解得，， ∴． 故答案为：． 题型3 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 ▌例3 （25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知是数轴上的两个数，下列正确的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可得，再根据有理数的四则运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，， 故选：D． 解题要点 原点左负右正。先标出各点符号与距离（绝对值大小），再判断和、差、积、商符号：同号得正，异号得负，注意 a－b 即左减右。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·重庆·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴、绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键． 由数轴易得，且，然后求解即可． 【详解】解：由数轴可得：，且， 则，，， 则，， 则B、C、D选项错误，A选项正确， 故选：A ▌迁移练3-2（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，两点在数轴上表示的数分别为，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的特点和有理数的大小比较，根据两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键；根据两点在数轴上的位置判断出取值范围，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，， ∴A、B、D错误，不符合题意，故C正确，符合题意， 故选：C． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·湖北黄石·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较与绝对值的性质，关键是根据数轴上点的位置判断数的符号与绝对值大小．根据数轴及绝对值的相关知识逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，． ∵在的左侧， ∴，故选项A错误； ∵， ∴，故选项B错误； ∵到原点的距离比到原点的距离大， ∴，故选项C正确； ∵， ∴，故选项D错误； 故选：C． 题型4 用数轴上的点表示有理数 ▌例4 （25-26七年级上·湖南永州·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“”连接各数． ，，，． 【答案】 各数在数轴上的位置如图： 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方，根据数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键． 【详解】略 解题要点 画三要素：原点、正方向、单位长度。正数在原点右侧，负数在左侧。先定符号，再按绝对值确定位置，标清对应点。数轴上的点与有理数一一对应。 ▌迁移练4-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把，，，0，，这些数表示在数轴上，再按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】图见解析； 【分析】根据题目信息把数准确标注到数轴，再按照从左到右的顺序用“”连接即可． 【详解】解：，，如图所示， ． ▌迁移练4-2（21-22七年级上·广东·期中）把下列各数0，（﹣2）2，﹣|﹣3|，﹣（﹣1）在数轴上表示出来，并用“＜”号把这些数连接起来． 【答案】 各数表示在数轴上如图所示： 【分析】先化简各数，再将各数表示在数轴上，然后根据在数轴上右边的数总是比左边的数即可解答． 【详解】解： 由数轴可知： ▌迁移练4-3（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从大到小的顺序用“＞”号连接起来． ，，，，， 【答案】 将各数在数轴上表示出来，如下图所示， 【分析】本题考查了数轴和有理数的比较大小，关键是正确确定表示各数的点的位置．首先在数轴上确定表示各数的点，然后根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大用“＞”把它们连接起来即可． 【详解】解：，， ． 题型5 有理数的混合运算 ▌例5 （25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）利用有理数的加减法法则进行计算即可； （2）先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题要点 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内。 技巧：同级运算从左到右，巧用运算律（交换、结合、分配），带分数化假分数，小数化分数，注意符号。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)15 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘法，再算加减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练5-3（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型6 有理数的混合运算中错解复原问题 ▌例6 （25-26七年级上·甘肃平凉·期末）小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2) 原式 ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）逐一分析各个步骤，发现小明在第一步时计算开始出现错误； （2）先计算乘方，再计算除法，最终计算出结果． 【详解】（1）解：根据有理数的乘方运算规则，表示2的立方的相反数，即，而不是，所以第一步开始出现错误， 故答案为：一． （2）略 解题要点 从错误结果反推原式，按运算顺序逆推（先乘方，再乘除，后加减，有括号先括号）。注意符号和括号还原，检验复原结果是否满足条件。 ▌迁移练6-1（24-25七年级上·山西朔州·期末）（1）计算：； （2）下面是小颖同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：________，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 方程两边同除以2，得        第五步 任务： ①以上求解步骤中，第一步进行的是________，这一步的依据是________________________________； ②以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是________________________________； ③该方程正确的解为________． 【答案】（1）；（2）①去分母，等式的性质；②三，移项没变号；③ 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键： （1）根据乘法分配律计算； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解答． 【详解】解：（1） ； （2）①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质； 故答案为：去分母，等式的性质； ②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没变号； 故答案为：三，移项没变号； ③解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同除以2，得， 故答案为： ． ▌迁移练6-2（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） =3．（第三步） (1)上面解题过程从第 步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2) 原式 ． 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； （2）先计算括号，然后将除法变乘法，最后进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：由题意知，上面解题过程从第二步开始错误，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 故答案为：二； （2）解：略． ▌迁移练6-3（25-26七年级上·浙江金华·期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明：第一步，小红：第二步 (2) 解： 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）小明：第一步将错误地计算为，小红：第二步应该按照从左到右的顺序计算 （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：小明：第一步开始出错，小红：第二步开始出错 （2）略 题型7 有理数的混合运算中应用问题 ▌例7 （25-26六年级上·山东烟台·期末）某食品厂计划每天生产1000袋食品，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产_________袋食品； (2)已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000元，食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税，求本周的收益总额． 【答案】(1)200 (2)本周的收益总额为21480元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，找出这周产量最多的一天，这周产量最少的一天，再列式计算，即可作答． （2）先求出本周总产量，再结合食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（袋）， ∴这周产量最多的一天比最少的一天多生产200袋食品； （2）解：本周总产量为：（袋）． ∵食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税， 则（元）． 因此本周的收益总额为21480元． 解题要点 北师大版七上有理数混合运算应用题解题要点 审清题意，列出算式。先乘方、再乘除、后加减；有括号先算括号内。统一单位，注意符号。分步计算，最后检验结果是否符合实际意义。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 【答案】(1)机器人在点A向东41m处 (2)机器人共计耗电度 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘法的应用． （1）将表格中所给的有理数相加，即可解答； （2）将表格中所给数据的绝对值相加再即可解决问题． 【详解】（1）解：， 答：机器人在点A向东处； （2）解：， （度）． 答：机器人共计耗电度． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·浙江宁波·期末）现将一批慈城年糕分装成6盒，以每盒3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，每盒质量达到千克的年糕为合格品． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 0.01 0.02 0.03 (1)这6盒年糕有 盒是合格品，最重的一盒年糕是 千克； (2)若每千克的年糕成本为10元，则这6盒年糕的成本共多少元？ 【答案】(1)5，3.03 (2)这6盒年糕的成本共179.6元 【分析】本题考查了正负数和有理数的混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键． （1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：每盒质量达到千克的年糕为合格品，， 序号为①②③⑤⑥共5盒合格品； 最重的一盒年糕为（千克）； 故答案为：5，3.03； （2）解： （元） 答：这6盒年糕的成本共元． ▌迁移练7-3（25-26六年级下·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 【答案】(1) (2) 辆 (3) 本周实际销售总量达到了计划 【分析】（1）用计划数加上差额进行计算即可； （2）表格中的最大数据减去最小数据即可得出结果； （3）求出本周实际销量，进行判断即可. 【详解】（1）解：（辆）， 答：本周四销售该品牌儿童滑板车92辆； （2）解：（辆）， 答：本周销售量最多的一天比最少的一天25辆； （3）解：（辆）， （辆）， ， 故本周实际销售总量达到了计划. 难点一 有理数的简便运算 难点1：运算律的逆向与拆分技巧 学生易正向使用交换律、结合律，但逆用（如提取公因数）或拆分（如将带分数拆为整数与分数）常不熟练。难点在于敏锐识别可凑整、抵消或统一为相同因子的结构，并通过恒等变形简化计算。 难点2：多重符号的化简与去括号 涉及多个负号、绝对值及括号嵌套时，符号确定规则易混淆。难点在于逐层化简时确保符号与运算顺序同步处理，若跳步或忽视负号对括号内每一项的影响，则极易导致符号错误。 难点精练 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题． 计算：①；    ②． 下面是文文和园园的计算过程： 文文： ． 园园： ． (1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算； (2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程． 【答案】(1) 原式 ； (2) 有错误，园园错误地将带分数拆分为，正确拆分应为，再利用乘法分配律计算． 改正：原式 ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（）及带分数的正确拆分是解题的关键． （1）观察式子结构，发现两项均含有，利用乘法分配律提取公因式进行简便计算． （2）根据乘法对加法的分配律分析求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）解答下列问题： (1)计算，方方同学的计算过程如下：原式．请你判断方方同学的计算过程是否正确．若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考下面黑板上老师的讲解，完成简便运算． 例1   例2   例3  ，；，…… 发现与关系是______． 用简便方法计算：①； ②； ③． 【答案】(1) 解：除法没有分配律，故方方同学的计算过程不正确； 正确的计算过程如下： ； (2)互为相反数；①；②；③ 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据除法没有分配律，可判断方方同学的计算过程是否正确；先通分计算括号里的加法，再算除法，据此写出正确的计算过程即可； （2）根据例3可知与关系是互为相反数； ①仿照例1，利用乘法的分配律计算即可； ②仿照例2，逆用乘法的分配律计算即可； ③先根据绝对值的性质化简绝对值，再根据加减运算法则计算加减法即可． 【详解】（1）略 （2）解：发现与关系是互为相反数； 故答案为：互为相反数； ① ； ② ； ③ ． 3．（小升初衔接进阶专项训练03有理数的混合运算与整式的化简求值60题-2024年小升初数学无忧衔接（2024新教材通用版））阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 难点二 含乘方的有理数混合运算 难点1：运算优先级的层级嵌套 乘方、乘除、加减及括号形成多层运算结构。难点在于同时处理括号内的运算、乘方展开及同级运算从左到右的规则，尤其在含多重括号时，学生易因顺序跳步导致中间结果错误。 难点2：乘方符号的底数辨别 区别(-a)n 与-an是关键难点。前者底数为-a，符号随指数奇偶变化；后者底数为a，负号独立于乘方之外。学生常混淆两者，尤其在指数为偶数时误判符号，导致整个计算方向性错误。 难点精练 1．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法，最后计算减法即可； （2）原式先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）按照有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）按照有理数混合运算法则：先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 . 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算. （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算. （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算. 【详解】（1）解： . （2）解： . 难点三 有理数运算中的程序问题 难点1：程序流程的路径依赖与跳转 当程序含有条件判断（如“若结果为正则平方，否则加5”）或循环反馈时，每一步输出作为下一步输入。难点在于严格按箭头方向执行，勿跳步，同时根据中间结果的符号正确选择分支，否则路径偏离会导致最终输出错误。 难点2：多轮迭代中的符号惯性 含乘方、乘除的迭代程序，若中间结果反复出现负数或分数，后续运算的符号和顺序极易混淆。难点在于每轮计算后需重置符号认知，结合运算优先级逐次推进，防止上一轮结果的符号惯性影响后续判断。 难点精练 1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图是一个数值转换机，当输入的数字是时，按照图中的程序计算，求输出的答案． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先将代入程序，然后按照程序图计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 当时，原式． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 【答案】(1)，； (2)9； (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可； （3）分两种情况：或列出算式，求出结果进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵甲同学选择了的运算顺序， ∴可列算式， ∵ ， ∴他的计算结果为； （3）解：∵乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算， ∴将剩下的卡片有两种情况：或， 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； ∵乙同学列式计算的结果刚好为， ∴乙同学选择的顺序为． 难点四 有理数的混合运算中新定义型问题 难点1：新运算符号的代数化转译 题目定义新型运算（如a b = a2 - ab + b）。难点在于将陌生符号准确还原为含加、减、乘、除、乘方的常规算式，尤其当参与运算的式子本身含括号或负数时，代入和符号变换极易出错。 难点2：新运算与常规优先级的混合 新定义运算常与常规运算（括号、乘方、乘除）混合出现。难点在于明确新运算本身的优先级（若未特殊说明，通常视同高级运算），同时兼顾括号对运算顺序的强制改变，若顺序错判则整体结果谬以千里。 难点精练 1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“”定义另一种新运算，例如：．求． 【答案】(1)24 (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26六年级上·山东济南·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给定义进行求解即可； （2）根据题意先得出a、b、c的值，然后再代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 难点五 有理数运算中的规律探究问题 难点1：算式的结构特征提取 给定若干具有相同模式的算式（如12-22=-3，22-32=-5 ），难点在于敏锐识别数字变化规律与符号分布，提炼出统一的代数形式（如n2-(n+1)2=-(2n+1)）。学生易迷失于具体数值，难以捕捉共同框架。 难点2：规律的验证与拓展 归纳出猜想后，需通项代入验证其普遍性，并将规律推广至含参或较大数运算。难点在于兼顾特殊到一般的逻辑严密性，同时灵活运用该规律实现复杂式子的快速化简。 难点精练 1．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）观察：，，，…，以此类推．请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律， ①写出第5个式子___________________； ②写出第个式子___________________； (2)利用发现的规律，计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算．解题的关键是得到． （1）①根据题干给定的算式，直接作答即可；②根据题干给定的算式，概括出相应的规律即可； （2）根据规律，拆项相加即可． 【详解】（1）解：①第5个式子：； ②第个式子； （2） ． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律，解决本题的关键是根据阅读材料中所给的式子，找到式子的变化规律，根据规律解决问题． 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律进行计算即可； 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律，写出从到的连续正整数的平方和的计算公式； 利用中得到的计算规律可得：，由可知，两个等式求差，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律可得：； （2）解：根据规律可得：第个式子是： （3）解：由可知， ， 由可知：， ． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【答案】(1)64， (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；掌握有理数的运算法则是解题的关键； （2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，即可总结出含有n的式子表示的规律；发现数字间的关系是解题的关键； （3）将原式变形为知，，然后再利用（2）的规律计算即可；灵活对原式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：64，． （2）解：观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，则第n个等式为：． 故答案为:． （3）解： ． 故答案为． 基础达标 一、单选题 1．（2026·湖南·二模）2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：万． 4．（25-26六年级下·上海·期末）在、、、0、、中，非负数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解∶∵非负数是指大于或等于0的数． ，，，，，是非负数． ∴符合条件的非负数共有4个． 5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 二、填空题 6．（2026·安徽芜湖·三模）计算：_______ 【答案】 【详解】解：． 7．（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 8．（26-27七年级·全国·暑假作业）根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为________________． 【答案】 【详解】解：27亿． 9．（25-26七年级下·广东深圳·期末）定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 10．（25-26七年级下·云南文山·期末）把四个数字分成横着两行、竖着两列，左右各画一根竖线包住，横着的一组数叫一行，从上往下是第一行、第二行；竖着的一组数叫一列，从左往右是第一列、第二列.这个整体就叫二阶行列式．例如我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如，请你计算的值为______． 【答案】16 【分析】根据题干所给的运算法则，结合有理数的四则混合运算法则，计算即可得出结果． 【详解】解：∵把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)(用简便方法计算)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察算式可得算式中有个同分母的带分数，可将整数部分与整数部分相加，分数部分与分数部分相加，利用求和公式来简便计算； （2）观察算式发现、、相似，可通过乘数之间扩大和缩小将它们都变成，从而利用乘法分配律来简便计算； （3），，……，，用裂项相消的方法即可计算； （4）分子，分母，分子、分母即可先约分． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 14．（25-26六年级下·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 【答案】(1) (2) 辆 (3) 本周实际销售总量达到了计划 【分析】（1）用计划数加上差额进行计算即可； （2）表格中的最大数据减去最小数据即可得出结果； （3）求出本周实际销量，进行判断即可. 【详解】（1）解：（辆）， 答：本周四销售该品牌儿童滑板车92辆； （2）解：（辆）， 答：本周销售量最多的一天比最少的一天25辆； （3）解：（辆）， （辆）， ， 故本周实际销售总量达到了计划. 15．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 2．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题根据完美提取的定义，先计算1到10的总和，再逐个验证三个说法，统计正确说法的个数即可，考查有理数混合运算的应用． 【详解】解：首先计算1到10这十个数的总和，得． 对①，提取6和7，按定义计算得，等于总和，符合完美提取的定义，故①正确． 对②，提取1，2，4，5，按定义计算得，不符合定义，故②错误． 对③，枚举所有符合条件的完美提取： 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，最小的乘积为，不可能符合条件； 因此一共只有3种完美提取，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 二、填空题 3．（2026·河北·中考真题）一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 【答案】 【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值． 【详解】解：根据题意，从地出发到，，三地旅游，然后回到地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案： 方案一：路线为，交通费用为：（百元）； 方案二：路线为，交通费用为：（百元）； 方案三：路线为，交通费用为：（百元）； 方案四：路线为，交通费用为：（百元）； 方案五：路线为，交通费用为：（百元）； 方案六：路线为，交通费用为：（百元）； 因为， 所以此次旅游的交通费用最少为21百元． 4．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 【答案】 19 10111 【分析】（1）根据题中给出的示例，二进制数转化为十进制数的方法是将每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，然后相加即可； （2）将十进制数转化为二进制数，可采用“除2取余法”，即不断用2去除该数，直到商为0为止，然后将余数倒序排列即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴将二进制数10011转化成十进制数为19； （2）， ， ， ， ， 将余数从下往上排列，得到：10111， 经检验：， ∴将十进制数23转化成二进制数为10111． 三、解答题 5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题（能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)35 (3)2 (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 6．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $