专题01 平方根与立方根有关的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以平方根与立方根的六种模型为核心，通过基础计算、非负性应用、整数小数部分、解方程、综合应用及规律探索题型，构建从概念到拓展的系统训练，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求平方根或立方根|5题|直接考查定义与计算|概念基础，强化数感| |非负性解题|5题|利用算术平方根非负性求参数|性质应用，培养推理意识| |整数小数部分|5题|估算与拆分运算|数的表示，发展几何直观| |解方程|5题|平方根与立方根定义的逆向应用|概念深化，提升运算能力| |综合应用|5题|结合定义与性质的多步推理|知识整合，培养模型意识| |规律探索|5题|观察归纳与应用拓展|创新思维，发展数据意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平方根与立方根有关的六种模型 题型归纳 题型一求a(20)的平方根或立方根 题型二利用算术平方根的非负性解题 题型三求算术平方根的整数部分和小数部分 题型四利用平方根与立方根的定义解方程 题型五平方根与立方根的综合 题型六与算术平方根、立方根有关的规律探索题 题型专练 题型一：求√a(a20)的平方根或立方根 1.4 ±2 2 ±2 2 3. 7 士3 4. ±V5 5. 0或1 3 8 +2 题型二：利用算术平方根的非负性解题 6.1 7.8 8.±1 9.2 10.1 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：求算术平方根的整数部分和小数部分 11.6 12.V13+6/6+V13 13.-13 14.41 15.-5 题型四：利用平方根与立方根的定义解方程 16. 9 【答案】(I)x= 2或x=2 (2)x=-1 【详解】(1)解：4(x+1)2=49, 两边同除以4得：(x+1=49 4 开平方得：x+1= 2, 5 9 解得：x= 2或xs 2: (2)解：(3x-1)°+64=0. 移项得：(3x-1°=-64， 开立方得：3x-1=4, 解得：x=-1. 17. 【答案】(1) x=7,x2=6 (2) 【详解】(1)解：(2x-1)2-169=0, 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2x-1}=169, :(±13)}=169 .2x-1=13或2x-1=-13, 解得，x=7,x2=6 (2)解：125(x-2)°=-343， (x-2)=-343 125 引器 t-2=-7 , 解得，x=3 5 18. 【答案】(1)x=-2 ②x写政x月 7 【详解】(1)解：(x-)+27=0 (x-103=-27 x-1=-3 解得x=-2; (2)解：9(x-)2=16 --9 x=号 解得r了或x={ 3 19. 【答案】(1)x=2或x=-6 (2)x=-1 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解： 3+j=4 2+l=士4=2， 解得：x=2或x=6: (2)解：2(x-1)°=-16 (x-1°=-8， x-1=-8=-2, 解得：x=-1. 20. 【答案四x35=-了 3 1 (2)x=- 4 【详解】(1)解：9(x+1}=4, +-号 1=号 1 水= 355 3: (2)解：8(x-1°=-125 ∴(x-102-125 64 t-1s-5 4 x=4 1 题型五：平方根与立方根的综合 21. 【答案】(1)a=5,b=2 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)a+2b的平方根为±3 【详解】(1)解：：a-b是27的立方根，且27的立方根是3， .a-b=3. .3a+b-1的算术平方根是4， ∴.3a+b-1=42=16, 整理得3a+b=17, a-b=3 联立得方程组 3a+b=17' [a=5 解得1b=2 (2)解：把a=5,b=2代入a+2b得a+2b=5+2×2=9, .a+2b的平方根为±√9=3」 22 【答案】(1)a=4,b=3 (2)±13 【详解】(1)解：2a+1的算术平方根是3， 2a+1=9, 解得a=4, 3a-b-1的立方根是2， ∴3a-b-1=8,即3×4-b-1=8, 解得b=3: (2)解：由(1)知a=4,b=3, ∴.20b+a-51=20×3+4-51=13, ∴.20b+a-51的平方根是±13 23. 【答案】(1)x=6:y=-8； (2)±10 【详解】(1)x-2的平方根是+2， x-2=4. 解得：x=6, 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+3y-9的立方根是-3， .x+3y-9=(-3)°，即6+3y-9=-27, 解得：y=-8 (2):x2+y2=62+(-8)2=100 ∴.x2+y的平方根为±V100=±10 24. 【答案】(1)a=5,b=17 (2)±6 【详解】(1)解：5a+2的立方根是3， ∴.5a+2=27, .a=5, b-1的算术平方根是4， b-1=16, .b=17; (2)解：当a=5,b=17时，4a+b-1=4×5+17-1=36, ,36的平方根是6， ∴.4a+b-1的平方根是6 25 【答案】(1)x=10,y=14 (2)±v6 【详解】(1)解：由题意可得，3x-5=52,1-2y=(-3)°， 即3x-5=25,1-2y=-27. 解得x=10,y=14 故x,y的值为x=10,y=14 (2)将x,y的值代入Vx+2y-2,得 x+2y-2=10+2×14-2=10+28-2=36. ∴.Vx+2y-2=V36=6, Vx+2y-2的平方根为±V6. 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六：与算术平方根、立方根有关的规律探索题 26. 【答案】（①）10 V 2n+l=n (n+1)2n+1 1 ③5 2024 (492025 【详解】 (1)解： -19=9 10010： 2×2-11 (2)解：第1个等式： 22 2 第2个等式： 2×3-1_2 第3个等式： V-ie-V 2×4-1_3 42 4 2×5-14 第4个等式： 52 5 …y 2(n+1)-1 n 第n个等式： (n+1)2 n+1: 29 225 123414 一X一×…× 23451 15 (4)解：1 4049 =x. 4049 2n-1_n-1 n2 n 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即2n-1=4049 解得n=2025, .,x= 2025-12024 20252025· 27. 【答案】(1)14.6：144：0.142 (2)148:1.45 (3)286 【详解】(1)解：观察表格中数据，发现：当x=14.6时，x2=213.16, .V213.16=14.6: 当x=14.4时，x2=207.36, ∴.V20736=207.36×100=V207.36×V100=14.4×10=144: 当x=14.2时，x2=201.64, .V0.020164=√201.64÷10000=√201.64÷V10000=14.2÷100=0.142: (2)解：21904<22000<22201. .148<√22000<149， 22000与21904更接近， ∴.与√22000最接近的整数是148： .2.0736<2.1<2.1025,且2.1与2.1025更接近， 且√2.1025=√210.25÷100=√210.25÷V100=14.5÷10=1.45, V2.≈1.45； (3)解：V204.49=14.3,V207.36=14.4, .V20449=143,√20736=144， .143<Vn<144, .V20449<n<√20736， .20449<n<20736 ∴整数n的个数为：20736-20449-1=286 28 【答案】(1)0.1：10： 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①31.6：②32400： (3)12.89 【详解】(1)解：x=√0.01=0.1： y=V100=10 (2)解：①根据表格观察发现，被开方数左右移动两位，算术平方根左/右移动一位. 被开方数从10到1000，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位. V10≈3.16， .V1000≈31.6」 ②算术平方根左右移动一位，被开方数左右移动两位. 算术平方根从18变成180.小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位. V3.24=1.8, ∴.a=32400 (3)解：被开方数左/右移动三位，立方根左右移动一位. 32.14≈1.289， 被开方数从2.14变为2140，小数点向右移动三位， ∴立方根小数点向右移动一位， 2140≈12.89 29 11183 【答案】()1+ 314,182 (2)999 100 小+g+1年=1+-1 11 【详解】(1)解：根据题意， 1314-1829 ,11 .11 (2)解： 1+992+100 +号g》+可0 -100-100 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9999 100· 30. 【答案】(1) -15 (2) 心 3) x=1 [x=2 2或，-4或x=3 y= y=- 33y=2 【详解】(1)解：103=1000,1003=1000000,1000<3375<1000000， .3375是两位数， 53=125 .3375的个位数字应是5， 将3375的小数点向前移动3后约为3， 13=1,23=8, .3375的十位数字应为1， .3375=15, 依据“负数的立方根是负数”得到：-3375=-15： (2)解：5-4x=-x+10】 ∴.5-4x=-（x+10)」 解得：x=5: (3)解：x-2+2=x, .x-2=x-2, ∴.(x-2)=x-2 ∴x-2=0或1或-1， x=2或3或1， 当x=1时，可得：1-2x=1=-1, :3y-1与1-2x互为相反数， 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3y-1=1, 2 解得：y=3, x=1 即 _2； 当x=2时，可得：1-2x=3=-5, 3y-1与1-2x互为相反数， 3y-1=3, 即3y-1=3. 解：少子 x=2 即 当x=3时，可得：-2x=5=-5, ∵3y-1与1-2x互为相反数， 3y-1=5」 即3y-1=5】 解得：y=2 11/11 专题01 平方根与立方根有关的六种模型 题型一 求(a≥0)的平方根或立方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型四 利用平方根与立方根的定义解方程 题型五 平方根与立方根的综合 题型六 与算术平方根、立方根有关的规律探索题 题型一：求(a≥0)的平方根或立方根 1．（25-26七年级下·四川德阳·期中）的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵ ，算术平方根为非负数， ∴ 的算术平方根是； ∵， 的平方根是， 即的平方根是． 2．（25-26七年级下·广东湛江·期中）4的平方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 2 【详解】解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）7的算术平方根________；的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出7的算术平方根，化简后，再根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解： 7的算术平方根为． ．故的平方根为． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）64的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 8 【分析】平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．注意第二个空先求出，再计算平方根． 【详解】解：， 的算术平方根是8， ， 的平方根是， 故答案为：8，． 5．（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 【答案】 0或 8 2 【分析】（1）结合立方根的性质，得出0或都满足自身的立方根等于它本身，即可作答． （2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答． （3）先开立方根再算平方根得出的平方根是；先求出64的算术平方根，再求出其立方根，即可作答． 【详解】解：（1）的立方根等于0，的立方根等于，的立方根等于 即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或； （2）， （3）先化简得，的平方根为； 化简，的立方根为． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 6．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是________． 【答案】 【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求出，的值，再代入所求代数式根据乘方法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 8．（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 9．（2026·广东汕头·一模）已知，则的算术平方根为_____． 【答案】2 【分析】根据算术平方根与平方项均为非负数，两个非负数的和为0时，每一项都为0，即可求出x与y的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由，得， 解得， 由，得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为2． 10．（25-26七年级下·广东江门·期中）若实数m，n满足，则的算术平方根为________． 【答案】1 【分析】根据求出实数，得到代数式的值，再求算术平方根即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，且，解得， ，则的算术平方根为1． 题型三：求算术平方根的整数部分和小数部分 11．（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再估算无理数的取值范围得到整数部分的值，计算后，根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：的立方根是， ， ， ，即， 是的整数部分， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 12．（25-26七年级下·广东惠州·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【答案】/ 【分析】先估算得到的整数部分和小数部分，再代入式子计算即可． 【详解】解：， ， ． ． 13．（25-26七年级下·北京西城·期中）已知分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，进而得到的取值范围，求出整数部分和小数部分，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，， ， 不等式同乘得，， 不等式两边同时加得， ， 是的整数部分， ， 是的小数部分， ， ． 14．（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）已知a，b，c均为实数，且的立方根是4，正数b的平方根分别是与，c是的整数部分．则______． 【答案】41 【分析】利用正数的平方根互为相反数先求出，再求出，利用立方根、二次根式的性质先确定、，再代入求值． 【详解】解：∵正数的平方根分别是与， ， ， ， ， ∵，即，是的整数部分， ∴， ∵的立方根是， ， ， ． 15．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 题型四：利用平方根与立方根的定义解方程 16．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 17．（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 18．（25-26七年级下·辽宁抚顺·阶段检测）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． 19．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． 20．（25-26七年级上·山东烟台·期中）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同时除以9，再开平方，即可作答； （2）方程两边同时除以8，再开立方，即可作答； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 题型五：平方根与立方根的综合 21．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于、的方程，联立求解得到、的值； （2）将与的值代入计算，最后根据平方根的定义得到结果． 【详解】（1）解：∵是27的立方根，且的立方根是， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 整理得， 联立得方程组， 解得； （2）解：把，代入得， ∴的平方根为． 22．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根定义列方程求解即可； （2）将a、b代入中求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得， 的立方根是2， ，即， 解得； （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是． 23．（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 24．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 25．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 题型六：与算术平方根、立方根有关的规律探索题 26．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 27．（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 28．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 29．（25-26七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 30．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平方根与立方根有关的六种模型 题型归纳 题型一求Va(20)的平方根或立方根 题型二利用算术平方根的非负性解题 题型三求算术平方根的整数部分和小数部分 题型四利用平方根与立方根的定义解方程 题型五平方根与立方根的综合 题型六与算术平方根、立方根有关的规律探索题 题型专练 题型一：求a(a20)的平方根或立方根 1.(25-26七年级下四川德阳期中)16的算术平方根是 √16的平方根是 2.(25-26七年级下广东湛江·期中)4的平方根是 V16的算术平方根是 3.(25-26七年级下广东江门期中)7的算术平方根 √81的平方根是 4.(25-26七年级下辽宁盘锦阶段检测)64的算术平方根是 ， √25的平方根是 5.(25-26七年级下福建莆田·期中)填空题 (1)如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 (2) 27 (8= (3)64的平方根是 √64的立方根是一· 题型二：利用算术平方根的非负性解题 2026 6,(25-26八年级下安徽毫州期未)若，y为实数，且满是x-3+V+3=0:则 的值是 115 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级下湖南长沙期末)已知实数m和n满足Vm-10+30-m=n-6,则Vm2-n2的值为 8.(25-26七年级下·天津南开期中)如果V2x-6与V2+y互为相反数，那么x+y的平方根是 9.(2026广东汕头一模)已知Vx+2+(y-6)=0,则x+y的算术平方根为一 10.(25-26七年级下广东江门期中)若实数，n满足Vm-3+n+2=0,则m+n的算术平方根为 题型三：求算术平方根的整数部分和小数部分 11.(25-26七年级下·云南昭通阶段检测)已知a的立方根是3，b是V90的整数部分，则a+b的平方根 8 12.(25-26七年级下广东惠州期中)若13的整数部分为a,小数部分为b,求a2+b的值为一 13.(25-26七年级下·北京西城期中)己知m,n分别是8-V3的整数部分和小数部分，则n-m= 14.(25-26七年级下辽宁鞍山阶段检测)已知a,b,c均为实数，且6a+34的立方根是4，正数b的平 方根分别是3x-7与x-9,c是V37的整数部分.则2a+b+c= 15.(25-26七年级上浙江金华期末)已知V11的整数部分为a,11小数部分为b,x,y为有理数，若 x,y,a,b满足11x+y+a=2b,则x+y的值为 题型四：利用平方根与立方根的定义解方程 16.(25-26七年级下贵州遵义期中)求下列各式中x的值： (①)4(x+1)2=49: (2)(3x-1)3+64=0 17.(25-26七年级下·陕西期末)求x的值： (1)(2x-1)2-169=0: (2)125(x-2)3=-343 18.(25-26七年级下辽宁抚顺阶段检测)求下列各式中x的值： (1)(x-1)+27=0. 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)9(x-1)2-16 19.(25-26七年级下甘肃平凉期中)求下列各式中x的值： )-4 (2)2(x-1)3=-16 20.(25-26七年级上山东烟台期中)解下列方程 (1)9(x+1)2=4. (28(r-)°-125 8· 题型五：平方根与立方根的综合 21.(25-26七年级下陕西榆林期末)已知a-b是27的立方根，3a+b-1的算术平方根是4. (1)求a与b的值： (2)求a+2b的平方根. 22.(25-26七年级下·安徽准南期末)已知2a+1的算术平方根是3,3a-b-1的立方根是2. (1)求4，b的值： (2)求20b+a-51的平方根， 23.(25-26七年级下·河南安阳期中)已知x-2的平方根是+2，x+3y-9的立方根是一3. (1)求y的值： (2)求x2+y2的平方根. 24.(25-26八年级上·江苏连云港期中)已知5a+2的立方根是3，b-1的算术平方根是4. (1)求a、b的值； (2)求4a+b-1的平方根. 25.(25-26八年级上宁夏银川期中)已知3x-5的算术平方根是5,1-2y的立方根是-3. (1)求x,y的值： (2)求Vx+2y-2的平方根. 题型六：与算术平方根、立方根有关的规律探索题 315 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(25-26七年级下·湖北荆门期末)在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展 开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 3 94 第1个等式： 2: ，5_2 第2个等式：V--： 第3个等式： 16 第4个等式： 25=5: 19 (1)【规律发现】 100 (2)用含字母n的式子表示第n个等式： (n≥l且n为整数)： 9 29 (3)【规律应用】计算： 1V9V16 25 225 4049 (4)若 3 =x符合上述规律，则x的值为 27. (25-26七年级下·江西·阶段检测)根据下表回答下列问题： 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 2 (1)V213.16 √20736= v0.020164= (2)V22000与哪个整数最接近？求√2.1的近似值（结果精确到0.01）； (3)若143<Vn<144,则满足条件的整数n有 个 28.(25-26七年级下·河北秦皇岛·期中)探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 10 a 0.0001 0.01 10000 0 Va 0.01 x 1 100 (1)表格中x= y= (2)从表格中探究a与√a数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知V10≈3.16，则V1000≈ ②已知V3.24=1.8,若Va=180,则a= (3)拓展：已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140= 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.(25-26七年级下·陕西期末)先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： +p+2分=1+1-5=3 11 22: ,1,1 +2+=1+ 117 236 ,1,1 ,1113 +家+=1+3412 (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： 11 1+13+14 (2)运用以上你发现的规律计算： 11 1,1 1+p+2+V1+2++V1+3+4 …+,1 99+1002 30.(25-26七年级下福建福州：期中)小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-1728的立方根？ 他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000，所以1728是两位数： ②其次观察了立方数：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,6=216,73=343,82=512， 93=729:猜想1728的个位数字是2： ③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为P=1,2=8,所以1728的十位数字应为1，于是猜想 1728=12,验证得：1728的立方根是12： ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到-1728=-12，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两 个数的立方根也互为相反数：反之也成立. 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)-3375=； (2②)若5-4x=-x+10,则x=_: (3)已知x-2+2=x,且3y-1与1-2x互为相反数，求x,y的值. 515