专题09 平方根《典例全解·题型通关》（十大题型30道题）2026-2027学年八年级上册数学（苏科版）

**基本信息** 以十大题型30道题系统覆盖平方根核心内容，构建从算术平方根到平方根的概念生成、性质应用及拓展延伸的完整逻辑链，突出运算能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求算术平方根|3|直接计算与几何背景题|算术平方根概念→计算应用| |算术平方根非负性|3|绝对值、平方结合的求值题|非负性质→综合应用| |估算取值范围|3|范围判断与数值转换题|数感培养→估算方法| |规律探索|3|数字规律与归纳推理题|特殊到一般→推理意识| |实际应用|3|面积、物理公式应用题|数学建模→应用意识| |平方根概念理解|3|概念辨析与性质题|平方根概念→性质理解| |求平方根|3|直接计算与条件题|平方根计算→运算能力| |代数式平方根|3|代数式化简求值题|代数运算→综合应用| |已知平方根求数|3|利用相反数性质解题|平方根性质→逆向思维| |解方程|3|几何与代数综合题|方程思想→问题解决|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题09 平方根（十大题型30道题） 目录 知识点一求一个数的算术平方根 1 知识点二利用算术平方根的非负性解题 2 知识点三估计算术平方根的取值范围 2 知识点四与算术平方根有关的规律探索题 3 知识点五算术平方根的实际应用 3 知识点六平方根概念理解 4 知识点七求一个数的平方根 4 知识点八求代数式的平方根 4 知识点九已知一个数的平方根，求这个数 5 知识点十利用平方根解方程 5 知识点一求一个数的算术平方根 1．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．如图是用个相同的小长方形与个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，（其中）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算： 知识点二利用算术平方根的非负性解题 4．已知，则的值是（     ） A． B． C．9 D． 5．若m、n满足，则的值是______． 6．已知，求． 知识点三估计算术平方根的取值范围 7．估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．设为正整数，且，则的值为______． 9．一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的x的取值范围是_________； (2)输出y的最小值是_________； (3)若，求满足题意的x值． 知识点四与算术平方根有关的规律探索题 10．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 11．若 则 _______________． 12．阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 知识点五算术平方根的实际应用 13．一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 14．竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 15．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 知识点六平方根概念理解 16．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 17．一个正数的平方根是和，则的值是______． 18．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 知识点七求一个数的平方根 19．的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 20．若实数与满足，则的平方根为__________． 21．已知a、b满足求的平方根． 知识点八求代数式的平方根 22．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 23．如果，求的值为__________． 24．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 知识点九已知一个数的平方根，求这个数 25．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 26．一个正数的平方根是与，则这个正数等于_____． 27．已知与是正数的两个不相等的平方根． (1)求的值； (2)求这个正数． 知识点十利用平方根解方程 28．两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 29．如果，那么_____． 30．小强发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和．为了说明这一“发现”的正确性，他进行了验证．如：为偶数，的一半为． (1)【探究】设“发现”中的两个已知正整数为，请论证“发现”中的结论正确； (2)【运用】若正整数为满足，则_____． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题09 平方根（十大题型30道题） 目录 知识点一求一个数的算术平方根 1 知识点二利用算术平方根的非负性解题 3 知识点三估计算术平方根的取值范围 4 知识点四与算术平方根有关的规律探索题 6 知识点五算术平方根的实际应用 7 知识点六平方根概念理解 9 知识点七求一个数的平方根 10 知识点八求代数式的平方根 11 知识点九已知一个数的平方根，求这个数 12 知识点十利用平方根解方程 14 知识点一求一个数的算术平方根 1．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的算术平方根为． 2．如图是用个相同的小长方形与个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，（其中）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大正方形的面积是，大正方形的边长可以表示为，可得：，故A选项正确；根据小正方形的面积是，小正方形的边长可以表示为，可得：，故B选项正确；根据平方差公式可得：，故C选项错误；根据大正方形的面积等于个小长方形的面积加上小正方形的面积，可得：，故D选项正确． 【详解】解：A选项：大正方形的面积为， 大正方形的边长为， ， 故A选项正确； B选项：小正方形的面积为， 小正方形的边长为， ， 故B选项正确； C选项：，， ， ， 故C选项不正确； D选项：小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为， 大正方形的面积为， 又大正方形的面积为， ， 故D选项正确； 故选：C． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查乘方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的运算． 先根据对应运算法则计算出每一项的值，再进行加减运算即可． 【详解】解： 知识点二利用算术平方根的非负性解题 4．已知，则的值是（     ） A． B． C．9 D． 【答案】C 【详解】∵ 任意数的平方是非负数，算术平方根也是非负数，且 ∴ ，， ∴ ， 解得 ， 则． 5．若m、n满足，则的值是______． 【答案】4 【分析】根据平方数与算术平方根的非负性求出、的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵，且， 又， ∴， 解得：， ∴． 6．已知，求． 【答案】9.5 【详解】解：， 又，，， ，，， 解得：，，， ． 知识点三估计算术平方根的取值范围 7．估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】通过找到与6相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ 根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大． 可得 ， 即 ， ∴ 的值在2和3之间． 8．设为正整数，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 9．一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的x的取值范围是_________； (2)输出y的最小值是_________； (3)若，求满足题意的x值． 【答案】(1)，且x为整数 (2) (3)22、23 【分析】本题考查了算术平方根，解一元一次不等式，解决本题的关键是熟记算术平方根． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）根据题意得到求出，得到当时，y有最小值，然后代数求解即可； （3）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴，且x为整数； （2） ∴ ∴ ∵，且x为整数； ∴当时，y有最小值 ∴ ∴输出y的最小值是； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∵x为整数 ∴，23． 知识点四与算术平方根有关的规律探索题 10．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【答案】B 【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴是将的小数点向右移动1位得到的， 根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位， ∴将的小数点向右移动2位，可得． 11．若 则 _______________． 【答案】 【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 12．阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 知识点五算术平方根的实际应用 13．一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设该茶几桌面的边长是，根据正方形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该茶几桌面的边长是 由题意得， 解得或（舍去）， ∴该茶几桌面的边长是， 故选：B． 14．竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 【答案】10 【分析】根据题意，将已知条件代入计算公式，求解算术平方根即可． 【详解】解：把，代入公式中，得 解得：米/秒，（负值舍去）． 15．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 知识点六平方根概念理解 16．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 【答案】A 【分析】根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根，据此解答即可． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根． 17．一个正数的平方根是和，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 18．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可得出a、b的值； （2）先求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根为． 知识点七求一个数的平方根 19．的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的平方根是． 20．若实数与满足，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】利用非负数的和为则每个非负数都为的性质列方程组，解出，的值，再计算并求其平方根． 【详解】解：， 则， 解得， 则，其平方根为． 21．已知a、b满足求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程组，先根据得，故，即可求出平方根． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴， ∴的平方根是． 知识点八求代数式的平方根 22．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 23．如果，求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， 则， 故答案为：． 24．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可； （2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：（1） . （2） ， ∴， . 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键． 知识点九已知一个数的平方根，求这个数 25．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据题意列方程求解即可； 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 26．一个正数的平方根是与，则这个正数等于_____． 【答案】 【分析】本题考查平方根，解题的关键是理解平方根的概念：一个正数的平方根有两个且互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．据此列出方程求出的值，可得答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴和互为相反数， ∴， 解得：， ∴，， ∴这个正数为：． 故答案为：． 27．已知与是正数的两个不相等的平方根． (1)求的值； (2)求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结果可求出这个正数的算术平方根，由此即可求解． 【详解】（1）解：与是正数的两个不相等的平方根， ， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， 即的值为． 知识点十利用平方根解方程 28．两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 29．如果，那么_____． 【答案】或 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方根的定义解方程．设，将原方程转化为，利用平方差公式求解． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 所以， 因此， 即或． 故答案为：或． 30．小强发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和．为了说明这一“发现”的正确性，他进行了验证．如：为偶数，的一半为． (1)【探究】设“发现”中的两个已知正整数为，请论证“发现”中的结论正确； (2)【运用】若正整数为满足，则_____． 【答案】(1) 解：“发现”中的结论正确 设“发现”中的两个已知正整数为， ， 为偶数、为偶数， 是偶数， 即两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数； ， 该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和； (2) 【分析】（1）根据题中材料里的“发现”，将文字描述转化为代数式，再运用完全平方公式及整式混合运算计算即可论证“发现”中的结论正确性； （2）由（1）中“发现”可知，将条件代入计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中“发现”可知， 正整数为满足， ， 则， ， 为正整数， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式、整式混合运算、代数式求值及求平方根等知识，读懂题意，灵活运用完全平方公式及整式混合运算法则求解是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $