第2章 实数的初步认识章节复习（11题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义以“实数的初步认识”为核心，通过表格对比算术平方根、平方根、立方根的定义、性质及运算公式，构建“概念-性质-运算”知识模块，结合数轴与实数对应关系深化数形结合思想，系统呈现重难点分布与内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，如“即学即练”夯实基础，11类题型覆盖求平方根、无理数识别等，例11通过规律探究培养推理意识，结合数轴问题发展几何直观。基础题与变式题兼顾不同学生，助力教师实施精准复习，提升运算能力与抽象思维。

第2章 实数的初步认识章节复习 教学目标 1. 系统梳理平方根、立方根、实数的概念与性质，构建实数知识结构体系。 2. 掌握实数的分类与大小比较，能进行实数的简单四则运算（含近似计算）。 3. 通过数轴与实数的对应关系，深化数形结合思想，提升运算与抽象能力。 教学重难点 重点： 1. 平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，实数的分类。 2. 实数与数轴上的点的一一对应关系，实数的运算与比较大小。 难点： 1. 正确区分平方根与算术平方根，理解无理数的存在性及实数与数轴上点的对应。 2. 在实数范围内进行运算，特别是涉及绝对值、符号处理及近似计算时的准确性。 知识点01 算术平方根、平方根、立方根 项目 算术平方根 平方根 立方根 定义 如果一个正数x的平方等于a（即 x2 = a），那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。 如果一个数x的平方等于a（即x2= a），那么这个数x叫做a的平方根（也称二次方根） 如果一个数x的立方等于 a（即x3 = a），那么这个数x叫做a的立方根（也称三次方根）。 表示方法 （读作“根号a”） （读作“正负根号a”） （读作“三次根号a”），其中a是被开方数，3是根指数。 被开方数范围 a≥0 a≥0 任意实数 性质 1. 非负性：≥0（双重非负：a≥0且≥0）。 2. 唯一性：一个非负数只有一个算术平方根。 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数。 2. 0的平方根是0。 3. 负数没有平方根。 1. 每个实数都有且只有一个立方根。 2. 正数的立方根是正数。 3. 负数的立方根是负数。 4. 0的立方根是0。 重要公式 ()2=a(a≥0) = ()3=a；；（负号可以移到根号外）. 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东泰安·期末） ； ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． 利用求一个数的算术平方根和立方根的法则进行求解即可． 【详解】解：； ； 故答案为：4，． 2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）的算术平方根是 ，的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 9 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根、根据算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义求解即可． 【详解】解：，81的算术平方根是， 的立方根是， ，5的平方根是， 故答案为：9，，． 知识点02 实数的概念与分类 1. 无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型：含有π的数；开方开不尽的数；有特定结构但不循环的小数。 2. 实数的分类 按定义分类： 实数 按性质分类： 实数 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 知识点03 实数的性质与运算 1. 基本性质 相反数：实数a的相反数是-a。若a与b互为相反数，则a + b = 0。 绝对值：|a| = 倒数：非零实数a的倒数是。 2. 实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。 比较大小：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。正数 > 0 > 负数。 3. 实数的运算 运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 常用计算口诀： 平方根：正数俩，互为相反数；零的平方根还是零；负数没有平方根。 算术根：非负数，它本身；双重非负要记准。 立方根：数不分正负，根也不分正负；符号跟着里面走。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】先根据立方根和算术平方根的定义运算、绝对值运算，再进行实数运算即可求解． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·福建福州·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行实数运算即可求解． 【详解】解： ． 3．（2026九年级·全国·专题练习）如图是一个数值转换器，原理如图所示． 输入x取算术平方根结果是无理数输出y (1)当输入x值为16时，求输出的y值． (2)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入x是一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出y，请写出两个符合要求的x值． 【答案】(1) (2)存在．或1或负数 (3)见解析 【分析】本题为程序图计算问题，考查了算术平方根，无理数等知识． （1）根据数值转换器进行计算即可求解； （2）根据0，1的算术平方根是本身，负数没有平方根即可得到或1或负数时，始终输不出y值； （3）根据算术平方根的定义，即可确定这个两位数（答案为不唯一）． 【详解】（1）解：，为有理数， ，为有理数， 为无理数， ∴； （2）解：当或或负数时，始终输不出y值． ∵0，1的算术平方根是本身，一定是有理数， 当或1时，始终输不出值， ∵负数没有算术平方根， ∴若输入负数，同样始终输不出值． 综上所述，或1或负数； （3）解：答案不唯一． 如或或或． 题型01 求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【例1】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）196的平方根是 ；169的算术平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 ±14 13 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，理解各自的概念正确化简各数是解题关键． 【详解】解：196的平方根是，169的算术平方根是13，的立方根是， 故答案为：；13；． 【变式1-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根．先计算的值，再求其算术平方根；直接计算的立方根 【详解】解：，的算术平方根是；的立方根是． 故答案为：； 【变式1-2】（2025八年级上·广东深圳·专题练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，根据平方根、算术平方根和立方根的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵，， ∴的算术平方根是； ∵， ∴， 故答案为：；；． 【变式1-3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义直接计算． 【详解】解：①，4的平方根是； ②，4的算术平方根是2； ③由于，所以的立方根是； 故答案为：，2，． 题型02 无理数的识别 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现，下列选项中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据无理数的定义，需根据“无限不循环小数是无理数，有理数包括整数、分数（有限小数、无限循环小数）”，逐一分析再判断． 【详解】解：=7，7是整数，属于有理数， 故A不符合； 是无限不循环小数，属于无理数， 故B符合； 是有限小数，属于有理数， 故C不符合； 是有限小数，属于有理数， 故D不符合， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）下列各数中：，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根与立方根，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，中，是无理数的有：，，，共3个； 故选：B． 【变式2-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）在下列实数：①；②；③；④；⑤；⑥2.020202⋯（相邻两个2之间有1个0）中，无理数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义分析即可，无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”． 【详解】解：在实数：①；②﹔③；④；⑤；⑥2.020202⋯（相邻两个2之间有1个0）中， ②﹔③；⑤是无理数，共3个． 故选：D． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义（无限不循环小数），进行判断即可． 【详解】解：在​、、​、​、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）中，无理数有、​​、0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）共3个； 故选C． 题型03 实数的比较大小 【例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）比较大小： 5．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，可将5转化为 ，然后比较被开方数的大小本题考查实数的大小比较． 【详解】解：∵，且， ， 即． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）比较大小： 2．（填＞、＝或＜） 【答案】< 【分析】本题考查实数的大小比较，核心思路是利用平方的方法比较两个正数的大小．可以将整数转化为与左边分数同分母的形式，再比较分子的大小；也可通过平方法，利用“正数的平方大则原数大”的规律判断． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，可采用移项法，将被比较的式子变形，然后通过平方比较变形后两边正数的大小，从而得出原式的大小关系． 【详解】解：比较与的大小，即比较与的大小，也就是比较与的大小 ∵，，， ∴， 两边同时减去2，得， 即. 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）比较大小：① ；② ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确将根号内的数字移到根号内部以及判断根式的大致范围是解题的关键． 对于①，通过平方比较两数的大小；对于②，通过比较分子的大小来判断分数的大小． 【详解】解：①比较和： ∵，， ∵， ∴； ②比较和： 由于分母相同，比较分子和， 计算， 因为，所以，即， 因此； 故答案为：；． 题型04 利用算术平方根的非负性求解 【例4】（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式和绝对值， 根据，，，可得， ． 【详解】解：根据，，，可得 ， ． 即 ，． 解得 ，． 所以． 故答案为： 【变式4-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知实数，满足与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵且， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，由列方程求出、的值，代入代数式，由乘方运算计算即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查绝对值，二次根式的被开方数，平方等的非负性，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将方程左边分组并完成平方，得到三个非负项之和为零，从而每个项必须为零，求出x，y，z的值，即可解答． 【详解】解：原方程可化为． ∵，，， ∴，，， 即， 解得，，． ∴． 故答案为：2025． 题型05 实数与数轴 【例5】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，若数轴上点，对应的实数分别为和，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），则点对应的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，用点表示数轴上的数，二次根式的加法法则，求出半径，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点，对应的实数分别为和， ∴， 又∵以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧）， ∴， ∴点对应的实数是， 故答案为． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，将面积为6的正方形的顶点放在数轴上，以表示实数2的点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵将面积为6的正方形放在数轴上， ∴正方形的边长为． ∵以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧， ∴ ∴点E表示的数为． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·周测）春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 【答案】B与C 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答． 【详解】解： ， ∴此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母与之间． 故答案为：与． 【变式5-3】（25-26七年级上·浙江温州·期中）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 （1）点C在刻度尺上对应的数为 ； （2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质和数轴知识 （1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识和实数的性质解答． 【详解】解：（1）根据题意得点C在刻度尺上对应的数为 ； 故答案为：； （2）， 点A与点C所表示的数分别是，， ， 点B在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 题型06 实数的性质 【例6】（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 【变式6-1】（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 【变式6-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 【变式6-3】（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 【答案】/ 【分析】先由实数在数轴上的位置判断，得到，再由算术平方根、立方根定义化简后，再去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，则， ． 题型07 程序设计与实数运算 【例7】（25-26八年级上·山西临汾·期末）有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，小亮设计了一个计算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与实数计算，直接利用运算公式代入x的值，进而计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 题型08 利用平方根与立方根的定义解方程 【例8】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． (1)方程两边同时除以，再把两边同时开平方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值； (2)把常数项移到等号右边，再把两边同时开立方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． 【详解】（1）解：， 方程两边同时除以得：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 移项可得：， 合并同类项得：． 【变式8-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ， ， ． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根求方程的解，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）运用立方根的计算求解即可； （2）运用平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：， 开立方，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 开平方，得， ∴或， 解得． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各等式中的实数． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可； （2）直接开立方即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 题型09 实数的运算 【例9】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的性质、算术平方根、立方根等知识点，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质、立方根、绝对值的定义计算，再根据有理数加、减法计算即可； （2）先根据绝对值的定义、算术平方根、立方根的性质计算，再根据有理数加、减法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用零次幂的意义和算术平方根的定义计算，再算加法即可； （2）先利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，立方根的定义计算，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式9-2】（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，正确计算是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可； （2）先化简绝对值，去括号，立方根，然后再计算加减即可； （3）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式9-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，关键是掌握立方根和算术平方根的性质：负数的立方根是负数，正数的立方根是正数． （1）先分别化简每个立方根、算术平方根，再将各结果进行有理数的加减运算； （2）先化简立方根、算术平方根和乘方项，再通过加法交换律和结合律简便计算有理数的和． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10 平方根与立方根的综合问题 【例10】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的算术平方根是，得，解得，因为的立方根是，得，解得，即可作答． （2）直接把，代入计算，得出平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 【变式10-2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根定义，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义． （1）根据立方根和算术平方根定义列出方程组，解方程组即可； （2）先求出的值，然后再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴． ∴的平方根是． 【变式10-3】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识即可求解； （2）先求出，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身， ，，， ，，． （2）解：∵，，， ∴， ∵64的平方根为 的平方根为． 题型11 与算术平方根、立方根有关的规律问题 【例11】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 【变式11-1】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老师出示了一组有规律的算式．仔细观察下列算式，并探求规律： ，，，， 实践探究： (1)按照此规律，①计算：_____； ②第个式子是_____（用含的式子表示，且为整数）； (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，仔细观察，找出规律是解题的关键． （1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②第一个式子为：，第二个式子为：，第三个式子为：，第四个式子为：，从而推出第个式子是； （2）结合（1），将二次根式化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，那么， 故答案为：； ②第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， 那么第个式子是， 故答案为：； （2）解： 【变式11-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 【变式11-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 1．给出下列各数：，，，，，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数是无理数． 根据无理数的定义，逐个判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是整数，是有理数； 是无理数，是无理数； ，是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无理数； ∴无理数有2个． 故选：C． 2．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根和平方根的定义，逐项判断即可． 本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 【详解】解：A、，符合题意； B、表示的平方根，结果为，原式错误，不符合题意； C、，不符合题意； D、，，，不符合题意； 故选： A． 3．下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③算术平方根不可能是负数；④的算术平方根是；⑤负数的立方根是负数．其中正确的说法有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查根据算术平方根和立方根的定义，逐个判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵ 负数没有算术平方根，∴ ①错误； ∵ 0的算术平方根是0，不是正数，∴ ②错误； ∵ 算术平方根是非负数，∴ ③正确； ∵ 的算术平方根是   ，不是 ，∴ ④错误； ∵ 负数的立方根是负数，∴ ⑤正确. ∴ 正确的有③和⑤，共2个， 故选B． 4．如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点是的中点得，设点表示的数是，列方程求解即可；本题主要考查了线段中点，数轴，实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 设点表示的数是， 则， 解得， 则点表示的数是， 故选：C． 5．对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 6．比较大小：3 （填写“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．已知a是的整数部分，那么a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了估算无理数的大小． 通过比较平方数确定的范围，从而得到整数部分． 【详解】解：因为， ， 所以的整数部分为3． 故答案为：3． 8．已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值，根据非负数的性质：平方项和算术平方根均非负，和为零则每个部分为零，由此求出a和b的值，再计算代数式的值． 【详解】解：因为，，且， 所以，． 由，得，即； 由，得，即． 因此， 所以． 故答案为：． 9．若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义和性质，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求解的值，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得， 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：． 10．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 11．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根，熟练掌握定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可得出结果； （2）利用立方根的定义解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据幂的运算、算术平方根、绝对值、立方根的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、绝对值的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 14．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 15．如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算． （1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值； （2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2． 1．数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 在数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数有，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），共3个， 故选：C． 2．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 3．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提． 根据实数在数轴上对应的点的位置判断出：，的符号，再根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：，，且， 因此，，， 所以，．， 故选D 4．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， ∴ 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 5．现对实数，定义一种运算：．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，算术平方根、立方根的计算，掌握新定义的运算规则是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 6．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 7．（1）计算：； （2）求等式中的值：． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）先进行去绝对值，开方运算，再进行加减运算即可； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原等式变形为， ∵， ∴． ∴或． 8．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 9．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，_______；当时，_______． (2)当输入的值小于100，且输出的值是时，输入的值可以是_______． (3)是否存在输入某个值后，却始终输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)3，9，81； (3)存在，1，0． 【分析】本题考查流程图，涉及算术平方根定义与运算、无理数概念等知识，看懂流程图，熟练掌握算术平方根运算是解决问题的关键． （1）按照无理数筛选器的工作流程图，代值运算即可得到答案； （2）按照无理数筛选器的工作流程图，逆运算即可得到答案． （3）根据算术平方根是本身的数是0和1解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则； 当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则； 故答案为：，； （2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下： 当输出y的值是时，则；；； ∴输入x的值可以是3，9，81， 故答案为：3或9或81． （3）解：存在， 当时，，循环取算术平方根始终是0，不能输出无理数； 当时，，循环取算术平方根始终是1，不能输出无理数； 所以，满足要求的x的值是0和1． 10．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 11．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章实数的初步认识章节复习 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01算术平方根、平方根、立方根 2.知识清单 知识点02实数的概念与分类 知识点03实数的性质与运算 题型01求一个数的平方根、算术平方根、立方根 题型02无理数的识别 题型03实数的比较大小 题型04利用算术平方根的非负性求解 实数的初步认识 题型05实数与数轴 题型06实数的性质 3.题型精讲 题型07程序设计与实数运算 题型08利用平方根与立方根的定义解方程 题型09实数的运算 题型10平方根与立方根的综合问题 题型1与算术平方根、立方根有关的规律问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.系统梳理平方根、立方根、实数的概念与性质，构建实数知识结构体系。 教学目标 2.掌握实数的分类与大小比较，能进行实数的简单四则运算（含近似计算）。 3.通过数轴与实数的对应关系，深化数形结合思想，提升运算与抽象能力。 重点： 教学重难点 1.平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，实数的分类。 2.实数与数轴上的点的一一对应关系，实数的运算与比较大小。 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点： 1. 正确区分平方根与算术平方根，理解无理数的存在性及实数与数轴上点的对应。 2.在实数范围内进行运算，特别是涉及绝对值、符号处理及近似计算时的准确性。 知识清单 知识点01算术平方根、平方根、立方根 项目 算术平方根 平方根 立方根 定义 如果一个正数x的平方等于a 如果一个数x的平方等于a 如果一个数x的立方等于a (即x2=a),那么这个正 (即x2=a),那么这个数x (即x3=a),那么这个数x 数x叫做a的算术平方根。 叫做α的平方根（也称二次 叫做a的立方根（也称三次方 规定：0的算术平方根是0。 方根) 根)。 表示方法 Va(读作“根号a”) ±Va(读作“正负根号 ā（读作“三次根号a”), a”) 其中a是被开方数，3是根指 数。 被开方数范围 20 a20 任意实数 性质 1.非负性： a≥0（双重非 1.正数有两个平方根，它们 1.每个实数都有且只有一个立 负：≥0且a≥0)。 互为相反数。 方根。 2.唯一性：一个非负数只有 2.0的平方根是0。 2.正数的立方根是正数。 一个算术平方根。 3.负数没有平方根。 3.负数的立方根是负数。 4.0的立方根是0。 重要公式 (Va)2=a(a≥0) Va -lal= a,(a≥0) a=:a3=a: -a,a<0) -a=-a(负号可以移到根 号外). 【即学即练】 1,(25-26七年级上山东泰安期末)√4= -27= 1 2.(25-26七年级上山东淄博·月考) √(-81)}的算术平方根是 27的立方根是 ，25 的平方根是」 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点02 实数的概念与分类 1.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型：含有π的数；开方开不尽的数；有特定结构但不循环的小数。 2.实数的分类 按定义分类： 有理数 实数 整数〔有限小数或无限循环小数】 分 无理数（无限不循环小数） 按性质分类： 正实数 正有理数 正无理数 实数 零 负实数 负有理数 负无理数 【即学即练】 1.(25-26七年级下·全国·周测)在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中 5 8’633.14-8,0064,-7, -5.123.（小数部分由相继的正整数组成). (1)有理数集合：{ …} (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ }； (④)负实数集合：{ …} 知识点03 实数的性质与运算 1.基本性质 相反数：实数a的相反数是-a。若a与b互为相反数，则a+b=0。 a,(a>0 绝对值：lad 0,(a=0) -a,（a<0) 倒数：非零实数a的倒数是 2.实数与数轴 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示：反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。 比较大小：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。正数>0>负数。 3.实数的运算 运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减：有括号的先算括号里面的。 常用计算口诀： 平方根：正数俩，互为相反数；零的平方根还是零；负数没有平方根。 算术根：非负数，它本身：双重非负要记准。 立方根：数不分正负，根也不分正负；符号跟着里面走。 【即学即练】 1.(25-26七年级下·北京朝阳期末)计算： 2+64+21-2) 2.(25-26七年级下福建福州期末)计算： 2(-27-6)+26-阿」 3. (2026九年级全国·专题练习)如图是一个数值转换器，原理如图所示。 输入x 取算术平方根 结果 是无理数 输出y 是有理数 输入x取算术平方根结果是无理数输出y (1)当输入x值为16时，求输出的y值， (②)是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请 说明理由， (3)输入x是一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出y,请写出两个符合要求的x值. 题型精讲 题型01求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【例1】(25-26八年级上·陕西宝鸡期末)196的平方根是 。 169的算术平方根是 -125的立方根是 【变式1-1】(25-26七年级上·黑龙江绥化期末)81的算术平方根是 -8的立方根是一 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(2025八年级上广东深圳专题练习)81的平方根是 V16的算术平方根是一： -27= 【变式1-3】(24-25七年级上辽宁盘锦·期末)22的平方根是一； √16的算术平方根是一；-64 的立方根是 题型02无理数的识别 【例2】(25-26八年级上山东青岛·期末)无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现，下列选项中， 是无理数的是() A.V49 B.阿 C.31.415926 D.0.535535553 2 【变式2-1】(25-26八年级上江苏镇江期末)下列各数中： 0.6.27,5 703 ’0.101001中，无理数 有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 22 2习C2526七年级上山东烟台期)在下别实数：@4：②09：®：@7 2 ⑥2.020202·（相邻两个2之间有1个0）中，无理数有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2V2 【变式23】(25-26八年级上：四川宜宾期未)在7、-2元65、气、010101001.（两个1 之间依次多一个0)中，无理数的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 题型03实数的比较大小 【例3】(25-26八年级上陕西咸阳期末)比较大小：V105.(填“>”“<”或“=”) V15 【变式31】(25-26八年级上河南驻马店期末)比较大小：2 2.(填>、=或<) 【变式32】(25-26八年级上四川成都期末)比较大小：√5-2一2（填“>”、“<”或“=”） 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-3】(25-26八年级上·四川成都月考)比较大小：①25 3v2:②51 2 3 3 题型04利用算术平方根的非负性求解 【例+)(25-26八年级上四川成都期末)已知Vx+2+少-=0，那么(x+)的值为一· 【变式41】(25-26八年级上四川达州期末)己知实数a,b满足(a+l)}与Vb-2025互为相反数，则a 的值为 202 【变式42)】(25-26七年级上山东烟合期末)若mn为实数，且满足m-3+6-0+n=0,则贸 的值为 【变式43】(25-26九年级上浙江宁波自主招生)若2r2+8x+y-2+32-2025+8=0,则x+y+z的 值是一 题型05实数与数轴 【例5】(25-26八年级上·陕西西安·期末)如图，若数轴上点A,B对应的实数分别为-√3和V5,以点B 为圆心，AB的长为半径画圆，交数轴于点C(在点B的右侧)，则点C对应的实数是 B 【变式5-1】(25-26七年级上山东东营·期末)如图，将面积为6的正方形ABCD的顶点C放在数轴上， 以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E,则点E表示的数为一· 2 【变式5-2】(25-26七年级下·全国周测)春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让 喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道.如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线 将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴.若捶丸恰好停在表示数“-√3”的点处，则此 6/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间 A B C D E F -5-4-3-2 -10→ 图① 图② 【变式5-3】(25-26七年级上浙江温州期中)将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是 1cm),数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4'，面积为2cm的正方形其中一 个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点C B mymmmmmjmm 2 3 4 cm (1)点C在刻度尺上对应的数为 (2)若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为 题型06实数的性质 【例6】(25-26七年级下·天津津南期末)-√7的绝对值是 ；1-3的相反数是 【变式61】(25-26七年级下·天津·期中)1-√2的相反数是 ， 3-π的绝对值是 3 【变式6-2】(25-26七年级下·全国课后作业)(1)7的倒数是 (2)相反数和绝对值都为3-√5的实数是 27 (3) 的相反数是 绝对值是 倒数是 【变式6-3】(25-26七年级下·广东汕尾·期中)如图，己知实数a,b,c在数轴上的对应点，化简： √F+a+bl-c-b)的结果是 a b 0 题型07程序设计与实数运算 【例7】(25-26八年级上山西临汾期末)有一个数值转换器，流程如下：当输入x的值为64时，输出y 的值是 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入→求算术平方根→是否为无理数输出☑ 否 求立方根 否是否为无理数 是 【变式7-1】(25-26七年级上浙江台州期末)按如图所示的程序计算，若输入的a=32,则输出的结果 为 输入a×(-2) 求立方根 大于或等于2 是 求算术平方根 输出 否 【变式7-2】(25-26八年级上江西吉安·期末)如图，小亮设计了一个计算程序，当输入x的值为-5时， 则输出的值为， 输入x 加上9 乘以-2日 取立方根 减去1—→输出 【变式7-3】.(25-26八年级上北京通州期末)根据图中的程序，当输入的x为64时，输出的y值是 否 y=vx 否 是 输入x x≥10 y是无理数 输出y 是 y=派 题型08利用平方根与立方根的定义解方程 【例8】(25-26八年级上江苏宿迁·期末)求下列各式中x的值： (15(x-1)2=125, (2)(x+2)°+8=0 【变式8-1】(25-26七年级上黑龙江绥化期末)解方程： ((x+102-1=24: (2)3(x+1)+81=0 【变式82】(25-26八年级上江苏泰州期中)解方程： (1(2x-1)°=-27： 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(x-1)2-1=15 【变式8-3】(25-26八年级上江苏无锡期中)求下列各等式中的实数x. (①)(x+1)2-4=0: (2)(x-1)3=-64 题型09实数的运算 【例9】(25-26八年级上江苏扬州期末)计算： )2-27+5-3: (25-16+-8+(-3)」 【变式91】(25-26八年级上江苏盐城期末)计算： (1)2-5+V(-2) (2(-1)6-2-V5+327 【变式92】(25-26七年级下·全国周测)计算： 日+a5-8, (2小3-2+2(N5-1)+64 (3)V25-V-6-64 【变式9-3】(25-26八年级上山东烟台期末)计算： 西- 题型10平方根与立方根的综合问题 9/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例10】(25-26八年级上：陕西咸阳期末)已知2a-5的算术平方根是V7,a-5b+1的立方根是-2. (1)求a与b的值； (2)求a+b的平方根. 【变式101】(25-26八年级上：江苏扬州期末)已知3a+1的算术平方根是4,2b-1的立方根是3. (1)求ab的值： (2)求a+2b的平方根， 【变式102】(25-26八年级上四川乐山期末)已知5a+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是4. (1)求a、b的值： (2)求6a-3b+1的平方根， 【变式103】(25-26八年级上江西景德镇期末)已知2a-1的算术平方根是3，a-b-9的立方根是-2， c的平方根是它本身. (1)求a,b,c的值； (2)求10a+4b+c-2的平方根. 题型11与算术平方根、立方根有关的规律问题 【例11】(25-26七年级上·浙江湖州期末)(1)观察发现： a(a>0) 0.0001 0.01 100 10000 √a 0.01 y 100 表格中x=, y= (2)归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向移动位. (3)规律运用： ①已知V5≈2.24，则V500≈_： ②已知Vm≈7.07，V5000≈70.7，则m=_- 【变式11-1】(25-26八年级上河南驻马店·月考)问题情境：学习《实数》之后，在数学活动课上，王老 师出示了一组有规律的算式.仔细观察下列算式，并探求规律： 73 94 164’1 255’… 10116 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 实践探究： 17 (1)按照此规律，①计算： V81 ②第n个式子是 (用含n的式子表示，n≥1且为整数)； (2)计算： 68 31 【变式11-2】(25-26八年级上河北石家庄·期中)观察下表，并用所得的规律解决问题： a 0.001 1 1000 1000000 a 0.1 1 10 100 (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动 位，其立方根的小数点向右（或左）移动 位； (2)应用：①已知0.000456≈0.07697，则456≈ ②已知3000≈14.42，则5≈ (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根.已知：V6≈2.449√6而≈7.746，计算V0.54的值. 【变式11-3】(25-26八年级上河南平顶山期末)【观察】 ①1+1=1+(-1)=0： ②8+8=2+(-2)=0： ③1000+-1000=10+(-10)=0： )- 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数4，b, 若ā+5=0，则a+b= 一，反之也成立： 【应用】根据(2)中的结论，解答问题：(3)若2x-5+-x=0,求2x+1的算术平方根. 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 1.给出下列各数：-2026,3,27,3.14,2，其中无理数有（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列各式中，正确的是() A.V22=2 B.±81=9 C.16=8 D.-V-3=3 3.下列说法：①任何数都有算术平方根：②一个数的算术平方根一定是正数：③算术平方根不可能是负 数：④(3.14-π)}'的算术平方根是3.14-π：⑤负数的立方根是负数.其中正确的说法有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图所示，数轴上表示2，√7的对应点分别为A,C,点C是AB的中点，则点B表示的数是() A CR 0 2V7 A.2V7 B.4-√万 C.2√7-2 D.√7+2 a(a≥b) b(a≥b) 5.对任意两个实数。，b定义两种运算：a⊕h= a⑧b= b(a<b)’ aa<b)并且定义运算顺序仍然是先做 括号内的，例如(-2)⊕3=3，(-2)⑧3=-2，(-2)⊕3)82=2.那么(N5©2)⑧27等于() A.V5+2 B.3 C.5 D.2 6.比较大小：3一万（填写“<”或“>”）. 7.已知a是V10的整数部分，那么a的值为. 8.已知(a-2}+b+3=0,那么(a+b)的值为 9.若一个正数的两个平方根分别为a+3和3a+3,则这个正数等于 10.对于实数P,我们规定：用{WD表示不小于D的最小整数.例如：{4}=2，{W5}=2.现在对72 进行如下操作：72→72}=9诚→{何}=3*){V5}=2,即对72只需进行3次操作就变为 2.类比上述操作，若对正整数n只需进行3次操作就变为2，则n的最大值为 11.求下列各式中x的值： 12116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)16(x+1)2=81: (2)-2(x3-)-18=0 12.计算： (1)(-1)2026+V16-1-3引+3-8 (222--27+11-21--D」 13.对于任意实数a和b,定义一种新运算⊕：a⊕b=Va+(b-1),例如：1⊕2=V1+(2-1)}=2 (1)根据定义，3©(-1)= (2)求121⊕[4(-]的平方根. 14.把下列各数分别填在相应的集合中： 31π -3.1415’5,27,7,4:0,2i:0,9,-21,0.2020020002.(相邻的两个2之间依次多一个 0). 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}； 负实数集合：{ } 15.如图，一只瓢虫从点M沿数轴向右爬了2个单位长度到达点N,点M表示的数m为-√3.设点N表 示的数为n. 济片1 2 (1)实数n的值为一： (②)数轴上还有P,Q两点分别表示实数p和9，且2p+4与Vg-3互为相反数.求m2+p+9的算术平方 根。 13116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力提升 22 1.数写，3.147,5：1.732：-6d:0.203?-0.101001001.(相邻两个1之间的0的个数逐渐加 1)中，无理数的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列说法： 7 ①04=0.2：②y19 ③4是16的平方根：④V(-5}的算术平方根是5，⑤-3的平方根是±3 其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，则V(a-b}+Q+b-6化简的结果为() b 0 a A.2a+b B.-b C.2a-b D.-3b 4.如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1，若以A为原点，AB为半径画弧 交数轴于点E,点E在点A的右边，则数轴上点E所表示的数为一· 0 5.现对实数a,b定义一种运算：※b=ab-a+b.则V※-8的值为一 6.将√，√2,3，√4按如图方式排列，若规定(m,n)表示第m排从左向右第n个数，则 ①(6,4)表示的数是 ②(10,7)与(15,1)表示的两数的平方和为 1 第1排 第2排 65 4 第3排 ⑧ 910 第4排 15 V42 第5排 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(1)计算：8-V3-2+9-25」 (2)求等式中x的值：2(x+3)=8 8.【阅读理解】大家知道，√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能 全部写出来，于是小明用√2-1来表示√2的小数部分，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部 分，差就是小数部分 【解决问题】 (1)V23的整数部分是 一，小数部分是 (2)m,n分别是V13的整数部分和小数部分，求2m-n+V3的值； (3)若7+V3=x+y,其中x是整数，且0<y<1,则x-y的值是一（直接写出）. 9.如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图 输入x 取算术平方根 是无理数 输出y 是有理数 (1)当x=49时，y= 当x=16时，y= (2)当输入x的值小于100，且输出y的值是V3时，输入x的值可以是 (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出'值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请 说明理由 10.如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬行2个单位长度到达点A,点B表示数V5，设点A表示数m. A B 210123→ (1)实数m的值是_： (2②)求(m+2+m+3到的值： (3)数轴上另有C,D两点分别表示实数c和d,且2c+41+Vd-4=0,求V2c+3d+8的算术平方根. 11.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：VP-2×1×1+1P=6=0;第2个等式：V22-2×2x1+P=万=1；第3个等式： V32-2×3×1+12=√4=2：第4个等式：V42-2×4×1+12=√9=3；… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①V52-2×5×1+12=_: 15116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ②V1012-2×101×1+12= (2)用含n(n为正整数)的代数式表示出第n个等式： (3)根据上述规律计算： VP-2x1x1+1P-V22-2×2x1+1P+V32-2×3x1+1P-V42-2×4x1+1 +…+√20252-2×2025×1+12-√20262-2×2026×1+12 16116