第3章 勾股定理章节复习（10题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义通过分层梳理勾股定理、逆定理、证明方法等6大知识点，结合表格归纳教学目标与重难点，借助图形工具呈现赵爽弦图等证明思路，构建“概念-推理-应用”的知识脉络，突出数形结合与转化思想。 讲义亮点在于“即学即练+10类题型”的递进设计，如平面展开图最短路径问题引导学生将立体转化为平面，培养空间观念与几何直观，折叠问题强化推理意识。基础题与综合题兼顾，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章勾股定理章节复习 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01勾股定理 知识点02勾股定理证明 知识点03勾股定理逆定理 2.知识清单 知识点04勾股数 知识点05勾股定理的应用 知识点06平面展开图-最短路径问题 题型01勾股数的判断 题型02以直角三角形三边为边长的图形面积 勾股定理 题型03用勾股定理解三角形 题型04勾股定理与网格问题 题型05勾股定理与折叠问题 3题型精讲 题型06勾股定理的应用 题型07判断能否构成直角三角形 题型08利用勾股定理的逆定理求解 题型09勾股定理逆定理的应用 题型10验证勾股定理的方法 基础白测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.经历“观察一猜想一归纳一验证”的探究过程，掌握勾股定理及其逆定理，能运用 其进行简单的计算与说理，发展合情推理能力。 教学目标 2.理解用拼图、面积法验证勾股定理的多种方法，体会“以形助数”的数形结合思 想，感悟定理的文化价值。 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，在应用中体会转化、建模等数学 思想。 教学重点 1.引导学生经历勾股定理及其逆定理的探索与发现过程，理解直角三角形三边之间的 数量关系及判定方法。 2.掌握并运用勾股定理及其逆定理进行相关计算（如已知两边求第三边）和实际问题 求解。 教学重难点 教学难点 1.用割补、拼接等面积法验证勾股定理，尤其是将斜边不在格线上的图形转化为可计 算面积的图形。 2.从具体图形操作中抽象出三边数量关系，灵活应用勾股定理或其逆定理解决综合问 题，实现“形”与“数”的转化。 知识清单 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. B 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为4b,斜边长为C,那么 c斜边 直角边 a2+b2=c2 【即学即练1-1】(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，在△ABC中，∠A为 直角边 直角，以AC为边向外作面积为100的正方形，以BC为边向外作面积为125的正方形，则AB2=() C 125 100 A A.5 B.10 C.15 D.25 知识点02 勾股定理证明 2/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b (1)邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(I)中Eio=(a+b=c2+4x2ab,所以a2+b2=c2. 21 (2)赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形 图24Eum=d2-d-a+4xb,所以。=a+82 (3)总统证法：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 S缘形ACD= a+ba+=2×ab+c2,所以2+b2=c2 2 2 【即学即练2-1】(25-26八年级下河北邢台·阶段检测)勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的 验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a,b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白 部分都是正方形. a b b a a 图1 图2 (1)用含a,b的式子表示图1的大正方形的面积： 一，用含4，b,c的式子表示图2的大正方形的面 积： (2)利用(1)中的两个式子，尝试验证勾股定理a2+b2=c2. 知识点03 勾股定理逆定理 1定义：如果三角形的三条边长ab,c,满足口+b=C,那么这个三角形是直角三角形 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 (1)首先确定最大边（如C) (2)验证c2与a+b是否具有相等关系.若C2=a+b2,则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若 c2≠2+b2,则△4BC不是直角三角形， 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练3-1】(24-25八年级下广东东莞期中)如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4, BC=3,CD=2,AD=29 (1)求AC的长度： (2)求四边形ABCD的面积. 知识点04勾股数 像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数 【即学即练41】(24-25七年级上·山东东营·期中)下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么5a、 5b、5c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5：③如果一个三角形的三边是 5、13、14,那么此三角形必是直角三角形：④一个等腰直角三角形的三边是ab、c,(a>b=C), 那么a2:b:c2=2:1:1.其中正确的是() A.①④ B.①③ C.①② D.②④ 知识点05勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在 具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第 三边的平方比较而得到错误的结论. 【即学即练5-1】(25-26八年级下·河南洛阳·期中)为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内 如图所示的四边形ABCD空地改造成校园劳动实践基地.为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据】 经测量，AD=6米，AB=8米，BC=24米，CD=26米，∠A=90°. B (1)为方便分区管理，学校计划在B、D两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆. 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持， 知识点06平面展开图最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 耳以厅 圆柱 阶梯问题 长方体 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用 勾股定理求解 【即学即练6-1】(23-24八年级上河北保定阶段检测)如图，这是一个棱长为1cm的正方体空盒子（盒 子表面厚度忽略不计)· (1)盒子外有一只蚂蚁从点A沿表面爬到相对的点B,求蚂蚁爬行的最短路程， (2)盒子内有一只飞虫从点A飞到相对的点B,求飞虫飞行的最短路程， 题型精讲 题型01勾股数的判断 【典例1】(25-26八年级下河北廊坊期末)下列各组数为勾股数的是() A.8,15,17B.1.5,2,2.5 C.0.3,0.4,0.5D.7,11,13 【变式1】(25-26八年级上湖南常德·期末)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以 该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股 树、第二代勾股树、第三代勾股树…依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有 正方形的面积和为() 5/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一代勾股树 第二代勾股树 第三代勾股树 A.1013 B.2027 C.2026 D.2025 【变式2】(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)下列各组数据是勾股数的一组是() A.V8、15、17 B.7、24、25 C.0.3、0.4、0.5 D.2、3、5 【变式3】(26-27九年级上湖北武汉·开学考试)若m,n是正整数且m>n,由m,n的值可确定勾股数 a,b,c,其中a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2,则下列勾股数不能由m,n确定的是() A.5,12,13B.9,12,15 C.8,15,17 D.7,24,25 题型02以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例2】(25-26八年级下·河南新乡·期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周 髀算经》中早有记载.勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如图，以直角三 角形三边为边作三个正方形，正方形A的面积为() 32 A 45 A.5 B.13 C.20 D.25 【变式1】（吉林省四平市2025一2026学年度下学期期末测试卷八年级数学）如图是由两个直角三角形和 三个正方形组成的图形，已知AC=8,BC=6,则图中阴影部分的面积和是() A.100 B.50 C.56 D.28 【变式2】(25-26八年级下·广东汕头·期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 6/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所有的三角形都是直角三角形.正方形A,B,C,D的面积分别是6,9,4,6，则正方形G的面积是 G 【变式3】(24-25八年级下湖南岳阳期中)已知，如图，AD=4,CD=3,∠ADC=90°，AB=13, ∠ACB=90°， ◇D (1)求AC的长： (2)求图形中阴影部分的面积. 题型03 用勾股定理解三角形 【典例3】(25-26八年级下贵州安顺期末)为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定.如 图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC.已知 AC=8m,BC=6m(钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态)· B (1)求钢丝绳AB的长度. (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D(点D在CB的延长线上)， 点A的位置不变.若B,D两点的距离为9m,求钢丝绳增加的长度， 【变式1】(25-26八年级下陕西商洛·期中)卸货时用斜坡木板，可以利用斜面原理实现省力搬运.如图， 一辆汽车在卸货时，从车厢到地面搭了一个木板AC,其中AB=1m,BC=2.4m,∠ABC=90°，求木板 AC的长. 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26七年级上山东威海·阶段检测)如图，地面上放着一个小凳子(AB与地面平行，墙面 与地面垂直)，点A到地面的距离为40Cm,在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处， 04=50cm 图① 图② (I)求小凳子顶点A与墙面的距离： (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处.若OC=100cm,木杆BC比凳宽AB 长50cm,求小凳子宽AB和木杆BC的长度. 【变式3】(25-26八年级上·陕西西安·期中)某公园的广场上新装了一种如图所示的照明灯，小芳准备测 量照明灯的高度OM以及灯板MW的长，灯板MN垂直地面AB于点O.她准备了一根长度为10m的竹竿， 首先将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，然后再将该竹竿的一个端点与点N 重合，另一个端点落在地面的点B处，测量得出AO=6m,B0=8m A (I)求OM的长. (2)求MN的长. 题型04 勾股定理与网格问题 【典例4】(25-26八年级下广西钦州期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A,B均 在格点上，则线段AB的长度为() 8/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.4 B.5 C.6 D.10 【变式1】(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，在3×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1,点A、B、C、D均在格点（网格线的交点）上，在点A、C、D中，到点B的距离为V3的是点 A ·D C B 【变式2】(25-26八年级上河南南阳·期末)问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边 的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题.图1，图2都是8×8 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点 B D 图1 图2 操作发现：小颖在图1中画出△ABC,其顶点A,B,C都是格点，同时构造正方形BDEF,使它的顶点 都在格点上，且它的边DE,EF分别经过点C,A,她借助此图求出了△ABC的面积. (1)在图1中，小颖所画的△ABC的面积为 ,AB边上的高为 (②)解决问题：己知ADEF中，DE=10,EF=V29,DF=V3,请你根据小颖的思路，在图2的正方形 网格中画出△DEF,并直接写出△DEF的面积. 【变式3】(25-26八年级上广东佛山期末)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的四个顶点均在格点上 9/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求四边形ABCD的面积： (2)探究四边形对角线AC、BD的位置关系. 题型05 勾股定理与折叠问题 【典例5】(25-26八年级下·云南玉溪·期中)如图，沿DE折叠直角三角形纸片ABC,使两个锐角顶点B 和C重合，AB=6,AC=8,求CE的长.设CE=x,则所列方程正确的是() 口A E A.x2+(8-x)2=62 B.62+x2=(8-x)2 C.62+(8-x)2=x2 D.x2+(6-x2=8 【变式1】(25-26八年级下陕西西安期中)如图，在Rt△ABC中，AB=6，BC=9,∠B=90°，将 △ABC沿MN所在直线折叠（点M、N分别在ACBC上），使点C与AB的中点D重合，则线段BN的 长为 【变式2】(25-26八年级上河南新乡·期末)如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将△ADE沿直 线DE翻折，点A恰好落在边BC上的点F处，AE=13,BF=12. 10125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求AB的长： (2)求△CDF的面积. 【变式3】(23-24八年级上江苏泰州期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，进行如下操作： C D D B E B E (图1) (图2) (I)如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE,若AC=3,BC=4, 求CD的长： (②)如图2，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=3,BC=4,求 CD的长. 题型06 勾股定理的应用 【典例6】(24-25八年级上：陕西西安·期中)爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活， 增强身体素质，计划要在道路m上建立一个体育器材放置点E,同时向C,D两栋教学楼提供器材.已知： D到道路m的距离DA=20m,C到道路m的距离CB=10m,A,B两地距离AB=50m.现要求放置点E 到C、D两栋教学楼距离相等. D C A B (I)请利用圆规与直尺在直线m上作出点E(不写作法，保留作图痕迹)： (2)计算器材放置点E到A处的距离. 【变式1】(25-26八年级上浙江湖州阶段检测)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB, 11/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点 A M N B ()已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1,MN=2,BN=V3,则点M,N是线段AB的勾 股分割点吗？请说明理由， (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12,AM=5,求BN的长. 【变式2】(25-26八年级下河北廊坊期末)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空 白部分也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为，b,斜边长为C.课堂上，老师结合图形，用 不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2=c2, 图1 图2 图3 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程. (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2.若a=4,b=6,求空白部分的面积. (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3. 己知外围轮廓（实线）的周长为24,0C=3,求该风车状图案的面积. 【变式3】(25-26八年级下辽宁大连期末)如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上， ∠C=90°，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为0.7m, BB (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m,那么梯子底端B外移0.4m吗？通过计算说明你的结论. 题型07判断能否构成直角三角形 【典例7】(25-26八年级下·云南临沧期末)下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是() A.3,4,5 B.6,8,10 C.1,1,V2 D.2,3,4 【变式1】(25-26八年级下·北京大兴期中)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.下列条件中， 12125 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不能判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A+∠B=90 B.∠A:∠B:∠C=1:1:2 C.a=2,b=3,c=4 D.a=1,b=2,c=V3 【变式2】(25-26八年级下·安徽池州·期中)下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构 成直角三角形的有() ①1,2,3：②V2,V2,2:③3,4,5：④0.5,1.2,1.3. A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【变式3】(21-22八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)a、b、c表示三角形的三边，符合下列条件的三角形： ①a=8,b=15,c=17:②a=V3,b=V2,c=1;③a:b:c=3:4:5；④a=5,b=6,c=7,其中是 直角三角形的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 题型08 利用勾股定理的逆定理求解 【典例8】(25-26八年级下广东广州期末)如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=10,CD=15, AD=17,∠CAB=90° D (1)求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. 【变式1】(25-26八年级下·天津红桥·期末)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=4,AD=3 BC=13,CD=12 B (I)求证：BD⊥DC: (2)求四边形ABCD的面积. 【变式2】(25-26八年级下山东日照阶段检测)如图，四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7, AD=24,∠B=90° 13125 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 (1)判断△ACD是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积. 【变式3】(25-26八年级下·西藏日喀则期中)如图，四边形ABCD,AB=AD=2,BC=3,CD=1, ∠A=90° (1)求∠ADC的度数， (2)求四边形ABCD的面积. 题型09 勾股定理逆定理的应用 【典例9】(22-23八年级上·贵州期中)如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要 从公路AB上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为km,与公路上另 停靠站B的直线距离为l2km,公路AB的长度为l5km,且CD⊥AB D B (I)求证：AC⊥BC: (2)求修建的桥梁CD的长， 【变式1】(25-26八年级下·江苏南通阶段检测)如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6, PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A顺时针方向旋转后，得到△QAB 14125 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求点P和点Q之间的距离： (2)求∠APB的度数， 【变式2】(25-26八年级下·吉林松原·期中)如图，某地利用城市空地建设一处“口袋公园”供市民休闲 娱乐，公园外轮廓为四边形，其中AB=20W10米，AD=20W15米，BC=80米，CD=60米， BC⊥CD,BD为公园内的一条小路。 (I)求证：AB⊥AD (2)为保证市民安全，计划在点A处安装一监控，想监视小路BD上的情况，若监控可视范围为50米，请通 过计算说明该监控器能否监测到小路上的情况？ (3)若AE=AF=50米，求监控范围内的小路EF的长， 【变式3】(25-26八年级下·河南信阳·开学考试)图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测 得支架AC=8dm,AB=6dm,两轮中心的距离BC=l0dm,滚轮半径r=ldm B4 图1 图2 (I)判断△ABC的形状，并说明理由. (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13dm,AE=5dm,且AE⊥DE,AE和BC都与地面平 行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离。 题型10验证勾股定理的方法 15125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【典例10】(25-26八年级上陕西汉中·阶段检测)勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、 天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即 弦.”其设计图是由四个完全相同的直角三角形（两条直角边长分别为a,b,且b>a,斜边为c)拼成一个 边长为的正方形（如图），直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”· b b 6 (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理. (2)若b=15,c=17,求中间小正方形（阴影部分）的面积 【变式1】(24-25七年级下·全国暑假作业)图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边 长分别为a和b，斜边长为C；图②是以C为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个 能证明勾股定理的图形， ① ② (I)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形. (2)用这个图形验证勾股定理。 (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形 吗？请你画出拼后的示意图（无需证明)· 【变式2】(23-24八年级下·安徽阜阳期中)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形. G D B 图1 图2 图3 (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a.较短的直角边为b,斜 边长为C,结合图①，试验证勾股定理： (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，OC=3，求该 16/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 飞镖状图案的面积： (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT 的面积分别为S、S2、S,若S+S2+S=30,求S2. 【变式3】(23-24八年级上贵州贵阳期中)如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a,b(a<b),斜 边长为c. 探究： (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）· ①小正方形的边长为C,大正方形的边长为一： ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式一，整理得+b2=c2,从而验证勾股定理： a 图① 图② 应用： (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE.请你类比(1)中 的方法用图③验证勾股定理. b 图③ 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)如图，从电线杆离地面12米(BC=12米)处向地面拉一条长为15 米(AC=15米)的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为(） 17/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n C B 4 7T777777777777 A.9米 B.8米 C.7米 D.6米 2.(25-26八年级下·河北沧州期末)如图，在△ABC中，∠CAB=90°，以△ABC的两直角边为边向外作正 方形，面积分别为，S,若S=25,S,=9,则BC的长为() Su B A.4 B.V34 C.3 D.16 3.(2425八年级上广东梅州阶段检测)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示 的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4,则AB+CD等于() A.14 B.15 C.16 D.17 4.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段检测)如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点， Rt△ABC的项点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有()· A B A.10个 B.9个 C.7个 D.6个 二、填空题 5.(25-26八年级上福建宁德期中)三角形花坛的三边长分别为9m,12m,15m,则这个花坛的面积是 18/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m2. 6.(25-26八年级上·四川成都阶段检测)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题， 这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它 高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这根芦苇的长度是 _尺. 7.(25-26八年级上·上海期末)如图，一个长方体盒子的内部是30cm×40cm×120cm的长方体，如果将 一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度a的取值范围是 8.(24-25八年级下·全国单元测试)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN三条线段， 若以线段AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点.已知点 M,N是线段AB的勾股分割点，若AM=2,MN=3,则BN2= A M N B 三、解答题 9.(23-24八年级下河南驻马店期中)用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的 有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： C b (I)如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2=a+b2: (2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求(a+b)的值(a<b) 10.(23-24八年级下·湖南湘西·期末)如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm」 CD=12cm,∠A=90」 19125 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A丁 B (I)求证：△BCD是直角三角形： (2)求四边形ABCD的面积. 11.(25-26八年级下·重庆九龙坡期末)如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分 米 D 18 B (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的 高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食 物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 12.(25-26八年级上·陕西咸阳期末)渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、 渭南等地.如图，渭河一侧有一村庄C,河边原有两个观景台A,B,其中AB=BC,现建设美丽乡村， 决定在渭河边新建一个观景台D(点A,D,B在同一条直线上)，并新修一条路CD,测得AC=3k, CD=2.4km,AD=1.8km (I)通过计算说明，CD是从村庄C到渭河边最短的路线： (2)求原来的路线BC的长， 20125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级上广东茂名期中)如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底 部B到墙底端C的距离为1.5m,则梯子的顶端距地面为() Chrmmmma A.1.5m B.1.8m C.2m D.2.5m 2.(25-26八年级下·湖北孝感期末)如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上 一点，测得AC=60m,BC=1O0m,则A、B两点间的距离为() A.20V34m B.10W34m c.80m D.40m 3.(25-26八年级下·浙江杭州期末)“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它 由正方形和直角三角形构成.如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2,7,1,3，连接顶点AB, CD,则线段CD的长是() ② @ B D A.V13 B.25 C.21 D.√29 4.(25-26八年级下·北京期中)如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水 平距离(BC)为12m的一棵大树CM上，大树高CM=8m,喜鹊的巢位于树顶下方lm的D处，当它听到 巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是() 21125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.6.5s B.6s C.5.5s D.5s 5.(25-26八年级下山东临沂期中)某巡逻舰在太平洋海域的A点执行任务时，发现南偏东50°方向，距 离15海里的B点，有一艘敌舰正以16海里小时的速度沿南偏西40°方向行驶.巡逻舰立即沿直线方向进行 驱离，半小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱离任务.则巡逻舰的航行速度为() 北 东 ,东 A.16海里小时 B.20海里/小时 C.32海里1小时 D.34海里/小时 二、填空题 6.(25-26八年级上湖北十堰期末)如图，等腰直角△AOB,等腰直角△COD ∠AOB=∠COD=90,A0=3,C0=4,连接AD,BC相交于点M,则AC2+BD2= 7.(25-26八年级下河南三门峡·期中)如图，三角形纸片ABC,AB=4V5cm,AC=4cm,BC=8cm, 将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE.则CD的长为 B 8.(25-26八年级下山东淄博期中)如图是6×6的正方形网格，已知小正方形的边长为1.则格点△ABC 边AB上的高是一 22125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26八年级上河南郑州期中)如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，点A到MN的直线距离为 120m,公路PQ上点A处距离点0处240m,如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火 车在铁路MN上沿ON方向以20m/s的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为s. N 10.(25-26八年级下·北京·期中)如图，在笔直的公路上有相距20km的A,B两点，C,D为两个村庄， DA⊥AB,CB⊥AB.己知DA=I5km,CB=1Okm.现要在公路的AB段上建一个加油站E,并修建直路 CE,DE D A E B (l)若C,D两村到加油站E的距离相等，则AE=km; (2)若再修建直路CD,并将△CDE规划为一块面积不小于110m也不超过120km的林场，则AE的取 值范围是 (单位：km). 三、解答题 11.(25-26八年级上重庆阶段检测)如图，在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=15, B (1)求∠A的度数； (2)若点P为线段AC上一点，连接BP,且BP=CP,求△ABP的面积. 12.(24-25八年级下·辽宁铁岭阶段检测)【初步感知】 23/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=18,点D,E分别在边AB,AC上，将∠A沿DE 折叠，使点A与点B重合.EC=5,求BC的长： 【深入探究】 (2)如图2.将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C处，BC'交AD于点E.若AB=4, BC=8,求AE的长。 B E D 图1 图2 13.(24-25八年级下·辽宁大连期末)如图，一根木杆在离地面3m的B处折断，木杆顶端C落在离木杆 底端4m处， D 图1 图2 (1)如图1，求木杆折断之前的高度： (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端3m处，求AD的长. 14.(25-26八年级下广西南宁·期中)如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，己知点C为一 海港，AC=150km,BC=200km,AB=250km,经测量，以台风中心为圆心周围125km及以内的地区 会受到影响， B (1)求证：∠ACB=90°： (2)请通过计算说明海港C会受台风影响： (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成.若台风中心每小时移 动15km,请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 15.(25-26八年级上：河南郑州阶段检测)【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为l2cm,圆柱的 24125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 高为8cm,在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝， 下底面的点B在点A的正下方， 图① 图② (I)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (填字母) D. (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为5dm,4dm,3dm(即AB=5dm,BC=4dm, AE=3dm)的无盖长方体木箱，ABCD为底面.现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂 蜜.请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度， (木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可) 25/25 第3章 勾股定理章节复习 教学目标 1. 经历“观察—猜想—归纳—验证”的探究过程，掌握勾股定理及其逆定理，能运用其进行简单的计算与说理，发展合情推理能力。 2. 理解用拼图、面积法验证勾股定理的多种方法，体会“以形助数”的数形结合思想，感悟定理的文化价值。 3. 能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，在应用中体会转化、建模等数学思想。 教学重难点 教学重点 1. 引导学生经历勾股定理及其逆定理的探索与发现过程，理解直角三角形三边之间的数量关系及判定方法。 2. 掌握并运用勾股定理及其逆定理进行相关计算（如已知两边求第三边）和实际问题求解。 教学难点 1. 用割补、拼接等面积法验证勾股定理，尤其是将斜边不在格线上的图形转化为可计算面积的图形。 2. 从具体图形操作中抽象出三边数量关系，灵活应用勾股定理或其逆定理解决综合问题，实现“形”与“数”的转化。 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【即学即练1-1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 【即学即练2-1】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2) 解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 【分析】（1）根据题干图将正方形中各小图形面积相加即可； （2）根据两个大正方形的面积相等推导即可． 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； （2）略 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 【即学即练3-1】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形中，，，，，． (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)11 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关定理，是解题的关键： （1）勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理逆定理得到，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【即学即练4-1】（24-25七年级上·山东东营·期中）下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（     ） A．①④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键． 根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的命题的序号，即可得到答案． 【详解】解：①如果为一组勾股数，则设， 则， 而、、一定是正整数，所以、、仍是勾股数，故①正确，符合题意； ②如果直角三角形的两边是3，4，则另一边的长可能为，且符合三角形的两边之和大于第三边，故②不正确，不符合题意； ③， ③错误，不符合题意； ④一个等腰直角三角形的三边，（）， ， 即， 故①④正确，符合题意； 故选：A． 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 【即学即练5-1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【即学即练6-1】（23-24八年级上·河北保定·阶段检测）如图，这是一个棱长为1cm的正方体空盒子（盒子表面厚度忽略不计）． (1)盒子外有一只蚂蚁从点A沿表面爬到相对的点B，求蚂蚁爬行的最短路程． (2)盒子内有一只飞虫从点A飞到相对的点B，求飞虫飞行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出正方体的侧面展开图，即可确定最短路径； （2）先确定的长度，即可根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图1，，，， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为． （2）解：如图2， ． 答：飞虫飞行的最短路程为． 题型01 勾股数的判断 【典例1】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．7，11，13 【答案】A 【详解】解：勾股数定义为：三个正整数，，（为最大数），满足． 选项A，，，均为正整数，且，，∴，因此，，是勾股数； 选项B，，，不是正整数，不是勾股数； 选项C，，，不是正整数，不是勾股数； 选项D，，，均为正整数，但，，，因此，，不是勾股数． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第代勾股树中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各组数据是勾股数的一组是（     ） A． B．7、24、25 C．0.3、0.4、0.5 D．2、3、5 【答案】B 【分析】勾股数的定义：勾股数是能构成直角三角形三边的一组正整数；需同时满足三个数均为正整数、两个较小数的平方和等于最大数的平方两个条件，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的、、都不是正整数，选项C中的0.3、0.4、0.5都不是正整数， ∴A、C都不是勾股数，不符合题意； 选项B：，且7、24、25都是正整数， ∴ 7、24、25是勾股数，符合题意； 选项D：，，， ∴ D不是勾股数，不符合题意． 【变式3】（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 题型02 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例2】（25-26八年级下·河南新乡·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：依题意，正方形的面积为． 【变式1】（吉林省四平市2025—2026学年度下学期期末测试卷八年级数学）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，则图中阴影部分的面积和是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理算出大正方形面积，再利用勾股定理得到两个小正方形的面积和，相加得阴影部分的面积． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， ，，、为直角三角形， ，， ， ，，， ． 【变式2】（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，， ∴，， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）已知，如图，，，，，， (1)求的长； (2)求图形中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)24 【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算出，，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，； （2）解：在中，， ． ∵， ． 题型03 用勾股定理解三角形 【典例3】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 【答案】(1)钢丝绳的长度为 (2)钢丝绳增加的长度为 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 【变式1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）卸货时用斜坡木板，可以利用斜面原理实现省力搬运．如图，一辆汽车在卸货时，从车厢到地面搭了一个木板，其中，，，求木板的长． 【答案】木板的长为 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 即木板的长为． 【变式2】（25-26七年级上·山东威海·阶段检测）如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理并结合题意构造直角三角形是解题的关键． （1）通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算小凳子顶点与墙面的距离； （2）延长线段构造直角三角形，设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解小凳子宽和木杆长． 【详解】（1）解：过作垂直于墙面，垂足，根据题意可得，， 在中，， 即顶点与墙面的距离为． （2）解：延长交墙面于点，可得， 设，则，，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴凳子宽的长度为木杆的长度为． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）某公园的广场上新装了一种如图所示的照明灯，小芳准备测量照明灯的高度以及灯板的长，灯板垂直地面于点．她准备了一根长度为的竹竿，首先将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，然后再将该竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，测量得出，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是计算是关键． （1）根据题意，，代入计算即可求解； （2）根据题意，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在中，，， ∴． （2）解：在中，，， ∴， 由（1），可得， 所以． 题型04 勾股定理与网格问题 【典例4】（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A，B均在格点上，则线段的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：由图，可得 ． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．    操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． (1)在图1中，小颖所画的的面积为________，边上的高为________． (2)解决问题：已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)如图所示；的面积为 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，割补法求图形面积，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据网格，运用割补法求解三角形的面积，运用勾股定理得到的值，再根据等面积法即可求解高； （2）运用网格，勾股定理得到图形，运用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：的面积； 设边上的高为， ∵，， ∴， ∴边上的高为； （2）解：的面积． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上． (1)求四边形的面积； (2)探究四边形对角线、的位置关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了根据网格求面积，勾股定理逆定理． （1）根据割补法求面积即可； （2）连接，，作交格点于E，连接，根据勾股定理逆定理证明，即可得到． 【详解】（1）解：四边形的面积 ； （2）解：如图，连接，，作交格点于E，连接， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 题型05 勾股定理与折叠问题 【典例5】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 题型06 勾股定理的应用 【典例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． (1)请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算器材放置点到处的距离． 【答案】(1) 如图，点E即为所求． (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）连接，作线段的垂直平分线交于点连接，点E即为所求； （2）设,根据，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）设， ， ， ， ， ， 点到处的距离． 【变式1】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．    (1)已知把线段分割成，若，，，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1) 是线段的勾股分割点， 理由如下： ∵，，， ，，， ∴， ∴以为边的三角形是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，是线段的勾股分割点； (2)或 【分析】（1）是线段的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得证； （2）点是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； 综上所述，的长为或． 【变式2】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为． (1)求此时梯子的顶端距地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)梯子底端B外移不是， 理由：由图可知梯子的顶端A沿墙下滑后， ， ， ∴， ∴， 所以梯子底端B外移不是． 【分析】（1）根据勾股定理计算的长度即可； （2）先根据顶端下滑的距离计算出下滑后顶端到地面的高度，再用勾股定理计算出新的底端到墙底的距离，最后将与的差和比较即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ， 答：此时梯子的顶端A距地面的高度为； （2）略． 题型07 判断能否构成直角三角形 【典例7】（25-26八年级下·云南临沧·期末）下列各组数中，不能构成直角三角形三边长的是（     ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，1， D．2，3，4 【答案】D 【分析】找出每组数中的最长边，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，能构成直角三角形，不符合题意； B选项，，能构成直角三角形，不符合题意； C选项，，能构成直角三角形，不符合题意； D选项，，，，不能构成直角三角形，符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·北京大兴·期中）在中，的对边分别是．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B选项；根据勾股定理逆定理可判断C、D选项． 【详解】解：A、∵ ， ∴ ， ∴是直角三角形， 故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B选项不符合题意； C、∵， ∴，， ∴， ∴不是直角三角形， 故C选项符合题意； D、∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故D选项不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·安徽池州·期中）下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：①最长边为3，验证 ，而，故不能构成直角三角形，不符合题意； ②最长边为2，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ③最长边为5，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ④最长边为，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； 综上，符合条件的有②③④，共3组． 【变式3】（21-22八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）、、表示三角形的三边，符合下列条件的三角形：①，，；②，，；③；④，，，其中是直角三角形的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此逐个验证四个条件即可． 【详解】解：①∵，， ∴，①是直角三角形； ②∵最长边为，，， ∴，②是直角三角形； ③∵，设，，（）， ∴ ，③是直角三角形； ④∵最长边为，，， ∴，④不是直角三角形． 综上，直角三角形共个． 题型08 利用勾股定理的逆定理求解 【典例8】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 【变式1】（25-26八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，，． 由勾股定理，得， ，， ， 为直角三角形， (2)36 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而可证明，据此可证明结论； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 【变式2】（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由等腰直角三角形的性质确定，即可求解； （2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接，   ， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ （2）四边形的面积为：． 题型09 勾股定理逆定理的应用 【典例9】（22-23八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1) 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点顺时针方向旋转后，得到． (1)求点P和点Q之间的距离； (2)求的度数． 【答案】(1)点P与Q之间的距离为6 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明出为等边三角形，得到即可求解； （2）首先求出，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是等边三角形， ， 将绕点顺时针方向旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 点和点的距离为6； （2）解：为等边三角形， ， 由旋转得，， 在中，， 为直角三角形，且， ． 【变式2】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，某地利用城市空地建设一处“口袋公园”供市民休闲娱乐，公园外轮廓为四边形，其中米，米，米，米，为公园内的一条小路． (1)求证：． (2)为保证市民安全，计划在点处安装一监控，想监视小路上的情况，若监控可视范围为50米，请通过计算说明该监控器能否监测到小路上的情况？ (3)若米，求监控范围内的小路的长． 【答案】(1)见详解 (2)该监控器能监测到小路上的情况，理由见详解 (3)米 【分析】（1）根据勾股定理得到米，再运用勾股定理逆定理得到是以为斜边的直角三角形，由此即可求证； （2）设点到的高为米，由等面积法得到米，结合题意比较即可； （3）根据题意，过点作于点，结合（2）的计算得到米，结合题意得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵米，米， ∴（米）， ∵（米)， ∴，即是以为斜边的直角三角形， ∴； （2）解：该监控器能监测到小路上的情况，理由如下， 设点到的高为米， ∵， ∴米， ∵， ∴该监控器能监测到小路上的情况； （3）解：如图所示，过点作于点，结合（2）的计算得到米， ∵米， ∴， 在中，米， ∴米． 【变式3】（25-26八年级下·河南信阳·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】(1) 为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 题型10 验证勾股定理的方法 【典例10】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1) 证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 【变式1】（24-25七年级下·全国·暑假作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【答案】(1) 示意图如图①所示， 直角梯形 (2) 如图所示： ， ， 即， 则； (3)能， 如图所示： ． 【分析】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形； （2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证； （3）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形，将4个全等的直角三角形拼成一个正方形； 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1) 解：， ， 则． (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c． 探究： （1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为______； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式______，整理得，从而验证勾股定理； 应用： （2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】（1）①② （2）用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：， ∴， ∴． 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可； （2）利用等积法进行证明即可． 【详解】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为； 故答案为：； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式； 故答案为：； （2）略 一、单选题 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）． 2.（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，以的两直角边为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．16 【答案】B 【分析】由题意得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， ∵在中，， ∴． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置． 【详解】由于每个小正方形的边长为1，则， 如图， ①当为斜边时， 可以作出，，三个直角三角形 当为直角边时， 可以作出，两个直角三角形， 将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形， 综上所述，一共有9个直角三角形． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·福建宁德·期中）三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，然后再计算其面积即可． 【详解】解：∵三角形花坛的三边长分别是，，，且，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边分别为，， ∴该花坛的面积是：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是_____尺． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺，根据题意可得芦苇底部到水池右边的距离为5尺，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形， ∴芦苇底部到水池右边的距离为5尺， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∴这根芦苇的长度是13尺， 故答案为：13． 7．（25-26八年级上·上海·期末）如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）定义：如图，点把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点是线段的勾股分割点，若，则_______． 【答案】5或13 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为最大线段时， ∵点是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， ∵点是线段的勾股分割点， ； 综上所述：的长为5或13． 故答案为：5或13． 3、 解答题 9．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； (2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 【答案】(1) 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，整理得； (2)的值为25． 【分析】（1）大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25． 10．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键； （1）由勾股定理求得的长，由勾股定理逆定理可判断即可； （2）由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． 11．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) 解：在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄到渭河边的最短路线； (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为． 一、单选题 1.（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 2．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 5．（25-26八年级下·山东临沂·期中）某巡逻舰在太平洋海域的点执行任务时，发现南偏东方向，距离海里的点，有一艘敌舰正以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】D 【分析】根据方向角的度数及平行线的性质得出，根据敌舰的速度得出海里，利用勾股定理求出海里，进而可求出巡逻舰的航行速度． 【详解】解：如图所示，由题意得，，，，海里， ∴， ∴， ∵敌舰以海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，半小时后在点成功拦截敌舰并完成驱离任务， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴巡逻舰的航行速度为（海里/小时）． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 7．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，三角形纸片，，，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．则的长为____． 【答案】 /3厘米 【分析】根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用折叠的性质得出，设长为，在中利用勾股定理列方程求解； 【详解】解：，，， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 【答案】/ 【分析】首先利用网格结构和勾股定理计算出边的长度，然后利用割补法（即矩形面积减去周围三个直角三角形面积）计算出的面积，最后根据三角形面积公式求出边上的高． 【详解】解：由图可知，点A、B、C均在格点上，设边上的高为， 根据勾股定理得：， ， ， ， 解得：， 即边上的高是． 9．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 【答案】 6.875 【分析】（1）设，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和，根据建立方程求解即可； （2）利用割补法，用梯形的面积减去和的面积表示出的面积，根据面积范围列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设，则 ， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ，两村到加油站的距离相等 解得 ； （2）由题意得， ， 的面积不小于也不超过 解得 的取值范围是． 三、解答题 11．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得到的形状． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； （2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：设，则． 在中，， ， 解得． ． 12．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 14．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 15．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 【答案】(1) (2) 如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则， 所以， 【分析】本题主要考查了立体图形展开、平面几何基本原理以及勾股定理的应用，解题的关键在于将立体表面转化为平面，利用平面几何知识解决最短路径问题． （1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，再结合过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，即可得出结论； （2）先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则，把立体表面的折线路径转化为平面内的线段，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题知，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝， 根据两点之间线段最短可知，将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是， 故选：； （2） 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， 此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理，得， 所以最短路程为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $