第1章 三角形章节复习（18题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学三角形章节复习讲义以知识模块为框架，系统梳理三角形概念、全等判定、等腰等边性质等核心内容，通过表格对比高线、中线、角平分线的语言表述与推理应用，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型分层设计，从基础的“判断三边构成三角形”到综合的“等腰三角形性质与判定综合问题”，培养推理意识与几何直观。即学即练与变式题结合，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

函学科网·上好课 三角形 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章三角形章节复习 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01三角形的概念、分类及三边关系 知识点02三角形中的高线、中线、角平分线 知识点03全等三角形的性质与判定 知识点04线段垂直平分线性质与判定 2.知识清单 知识点05角的平分线的性质与判定 知识点06等腰三角形 知识点07等边三角形 题型01判断三边是否能构成三角形 题型02三角形的稳定性 题型03已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 题型04判断是否三角形的高线 题型05根据三角形的中线求解 题型06在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 题型07利用三角形的中线、高线、角平分线求解 题型08利用全等三角形的性质求解 题型09判断两三角形是否全等 3.题型精讲 题型]0三角形全等的判定与性质 题型11利用垂直平分线的性质求解 题型2利用角平分线的性质求解 题型13利用等腰（等边）三角形的性质求解 题型14含30°的直角三角形性质的应用 题型15垂直平分线与角平分线的综合问题 题型16等腰三角形性质和判定的综合问题 题型I7等边三角形性质和判定的综合问题 题型18与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 1/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 教学目标 教学重难点 1.系统梳理三角形内角和定理、三边关系以及高线、中线、角平分线等核心概念。 2.整合全等三角形的性质与四种判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS、HL),以及线 教学目标 段垂直平分线和角平分线的性质与判定。 3.综合运用等腰三角形和等边三角形的性质与判定，解决几何证明、计算及实际问 题。 重点： 1.全等三角形的判定方法的选择与综合应用，以及线段垂直平分线、角平分线的性质 运用。 2.等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定的灵活运用，特别是“三线合一”在复 教学重难点 杂图形中的应用。 难点： 1.在复杂图形中识别并构造全等三角形或等腰三角形，选择恰当的判定定理进行推理 论证。 2.综合运用多条几何定理进行多步推理，建立清晰的辅助线添加思路与逻辑链条。 知识清单 知识点01三角形的概念、分类及三边关系 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形 2.三角形的分类： 不等边三角形 锐角三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 直角三角形 等腰三角形 1)按边分类可以分为 等边三角形 (②)按角分类可以分为（钝角三角形 3.三角形中三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【即学即练】 2/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26七年级下四川成都期末)下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是( A.5cm,5cm.10cm B.8cm,7cm,16cm C.8cm,15cm,17cm D.9cm,10cm,19cm 2.(25-26七年级上天津河西期末)如图，三角形ABC中，D,E是AC边上两点，连接BD,BE,数 一数图中角（小于平角）的个数，一共有 个. 知识点02三角形中的高线、中线、角平分线 1三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段： 2.三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段： 3.三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点.这点称为三角形重心。 4三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段： 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以 后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表 如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在 三角形一个内角的平分线与 三角形中，连接一个顶点和 文字语言 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线 它的对边相交，这个角的顶 它对边中点的线段， 段 点与交点之间的线段。 图形语言 B B D D 过点A作AD⊥BC于点D. 取BC边的中点D,连接 作∠BAC的平分线AD,交 作图语言 AD. BC于点D. 3/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 标示图形 B B∠ B D D 1.AD是△ABC的高. 1.AD是△ABC的中线. 1.AD是△ABC的角平分 2.AD是△ABC中BC边上的高， 2.AD是△ABC中BC边上 线 3.AD⊥BC于点D. 的中线 2.AD平分∠BAC,交BC 符号语言 4.∠ADC=90°，∠ADB=90°. 1 于点D (或∠ADC=∠ADB=90°) 3.BD=DC=2 BC 4.点D是BC边的中点. 3.∠1=∠2=2∠B4AC. 因为AD是△ABC的高，所以 因为AD是△ABC的中线， 因为AD平分∠BAC,所以 推理语言 AD⊥BC. 1 (或∠ADB=∠ADC=90) 所以BD=DC=2BC, ∠1=∠2=2∠BAC. 1. 线段相等.2.面积相 用途举例 1.线段垂直.2.角度相等。 角度相等。 务 1.与边的垂线不同. 注意事项 与角的平分线不同. 2.不一定在三角形内. 三角形的三条高（或它们的延长线）交 个三角形有三条中线，它 一个三角形有三条角平分 重要特征 于一点 们交于三角形内一点. 线，它们交于三角形内一 点 【即学即练】 1.(25-26七年级下·吉林长春·期末)如图，△ABC中，是AB边上高的线段为() B A.线段AE B.线段AC C.线段CD D.线段BC 2.(25-26七年级下海南省直辖县级单位期末)如图所示，点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， 己知Sc=12,则阴影部分的面积之和为， 4/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 知识点03全等三角形的性质与判定 1.全等三角形及其性质 (一)全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. (二)表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 (三)全等三角形性质 (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等。(2)全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线 相等。(3)全等三角形的周长相等，面积相等。 2.全等三角形的判定 (1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”(基本事实)： (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS(基本事实)： (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA’(基本事实)： (4)两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”; (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简写成“HL” 注意：“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等： 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 【即学即练】 2.(25-26七年级下·湖南衡阳期末)如图，△ABD≌△CFD,且点B,D,C在一条直线上，点F在AD 上，延长CF交AB于点E, E B D (I)试说明：CE⊥AB 5/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若BC=7,AF=1,求BD的长， 2.(25-26七年级下广东茂名期末)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线AB上 方一点，且∠ADB=90°，CE⊥AD. E (I)求证：△ACE≌△BAD (2)若BD=9,CE=20,求DE的长. 知识点04线段垂直平分线性质与判定 1.线段垂直平分线的定义及其性质 (1)线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分 线. (2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.书写格式：如图所示，点P在线 段AB的垂直平分线上，则PA=PB. ● (3)判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.书写格式：如图所示，若 A=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上. 【即学即练】 1.(25-26七年级下河北张家口期末)如图，△ABC的边BC的长为3cm,面积为12cm,AB边的垂直 平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一个动点，则BM+DM的最小值为 cm 6/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下广东深圳期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交 AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. (1)证明：AD垂直平分EF； (②)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 知识点05角的平分线的性质与判定 1.作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线.已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分线. 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2N的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点 C. (3)画射线OC.射线OC即为所求. 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC(SSS). 2.角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 【提示】 (1)这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； (2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形： (3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直： (4)运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推 导其他结论. 3.角的平分线的判定 (1)内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上， (2)角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线 上，角的外部的点不会在角的平分线上. 【即学即练】 1.(25-26七年级下辽宁沈阳期末)如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别 7/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交AC、AB于点MN,再分别以MN为圆心，以大于2MW的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线 AP交边BC于点D,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AB=8,，△ABC的面积为13，则AC的长为 2.(25-26八年级下河北保定期中)如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BD=CD,BE=CF B (I)求证：AD平分∠BAC (2)已知AB=10,CF=2,求AC的长. 知识点06等腰三角形 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）· 等腰三角形的其他性质： (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等 (2)等腰三角形两底角的平分线相等， (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个 锐角都是45°. 2.等腰三角形的判定 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形： (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）， 数学语言：在△ABC中，，∠B=∠C,∴.AB=AC(等角对等边). 【注意】 (1)“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在 没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底 角”“腰”. (2)“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形 的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 【即学即练】 8/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26七年级下辽宁辽阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E、F分别 是BC边、AB边、AC边上的动点，连接DE、EF、DF,使△BDE≌△FDE,若△AEF是等腰三角形， 那么∠BED的度数为， B 2.(25-26八年级下·广东深圳期末)如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上， DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. B (I)求证：△ABC是等腰三角形： (2②)若∠EDB=30°，EB=3,求AE的长. 知识点07等边三角形 1.等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 【注意】 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴： (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 2.等边三角形的判定 (1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 3.含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【注意】 (1)该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质， 更不能应用. (2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系 (3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切. (4)在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15 的角转化后，再利用这个性质解决问题. 【即学即练】 9/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26七年级下四川成都期末)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且 ED=EC.若△ABC的边长为2，AE=4,则线段CD的长为 2.(25-26八年级下陕西渭南期末)如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=60°，点D是△ABC外一点， 连接AD、CD,DA=DC,过点D作DE∥BC分别交AB、AC于点E、F. (I)求证：△AEF是等边三角形： (2)连接BD交AC于点G,若AB=I5,DE=10,求AE的长. 题型精讲 题型01判断三边是否能构成三角形 【例1】下列各组长度的线段中，能组成三角形的是() A.1、2、3 B.6、3、2 C.2、2、3 D.4、2、1 【变式1-1】下列长度的三条线段中，能构成三角形的是() A.2,4,7 B.4,8,12 C.3,7,12 D.4,10,12 【变式1-2】下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是() A.1,1,3 B.5,6,7 C.1,8,18 D.3,4,10 【变式1-3】以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是() A.4,6,8 B.8,10,12 C.18,20,22 D.2,4,6 题型02三角形的稳定性 【例2】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉及的数学原理是() 10/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.三角形任意两边之和大于第三边 B.三角形的稳定性 C,两点之间线段最短 D.两点确定一条直线 【变式2-1】平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种 如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了() A.两点之间，线段最短 B.三角形内角和等于180度 C.三角形具有稳定性 D.两边之和大于第三边 【变式2-2】以下图形不具有三角形稳定性的是() 【变式2-3】如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高 度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为 “世界最高桥”，主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是() A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性 C.三角形两边之和大于第三边 D.三角形内角和等于180° 题型03已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 【例3】若一个三角形三边长分别为2，和8，则的取值范围 【变式3-1】若a,b,c为三角形三边长，且a,b满足la-3+(亿-2=0，则第三边长c可能是 11/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为4cm和5cm,他要选择第三根木条，将它们钉成 个三角形木架.设第三根木条长为cm,则x的取值范围是 【变式3-3】已知一个三角形的三边长为2,5，a,则a的取值范围是 一；若此三角形的周长为偶 数，则a= 此时三角形的形状是 三角形. 题型04判断是否三角形的高线 【例4】如图所示，△ABC中AB边上的高线画法正确的是() H A D B B∠ H B 【变式41】己知△ABC,作BC边上的高，下列作图中正确的是() D 【变式42】如图，在△ABC中，BC边上的高是() E D B G A.线段EC B.线段BG C.线段CD D.线段AF 【变式43】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,垂足分别为C,D,E,则下列说法不正确的是 () B 12/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,AC是△ABC的高 B.DE是△BCD的高 C.DE是△ABE的高 D.AD是△ACD的高 题型05根据三角形的中线求解 【例5】如图，在△ABC中，AB=9,AC=7,AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差的值为 B 【变式5-1】如图，D,E分别为AC,BD的中点，若△ABC的面积为26，则△ADE的面积是 【变式5-2】(1)在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是AC边上的中线.若∠BAD=40°，则 ∠BAC= 一；若AC=6cm,则AE=_ cm (2)在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30Cm, 则AD= cm 【变式5-3】如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，BC=4DC,AD与CE交于点F,若△ABC的面 积等于16. Y B (1)△ADC的面积为 (2)设△AEF的面积为m,△DFC的面积为h,则m+n= 题型06在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 13/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例6】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上. B (I)画出AB边上的高CD和中线CE: (2)画出AC边上的高BF,并直接写出BF的长（提示：AC的长等于5）. 【变式6-1】如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、 B、C都在格点上。 (1)△ABC的面积= (2)只用直尺画出△ABC的高AH: (3)只用直尺过点C画CD∥AB 【变式6-2】如图为7×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点.已知 △ABC的三个顶点均在格点上，按要求解答： A (I)请画出△ABC的边BC上的高AD: (2)连接格点，用一条线段将△ABC分成面积相等的两部分（直接画图即可）； (3)直接写出△ABC的面积为. 【变式63】图①，图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹 14/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (1)△ABC的面积为， (2)在图①中，过点C作线段CD∥AB,使点D为格点： (3)在图②中，过点B作AC的垂线段BE. 题型07利用三角形的中线、高线、角平分线求解 【例7】如图，在△ABC中，AD是中线，AB=10cm,AC=6cm. A B (1)求△ABD与△ACD的周长差. (2)点E在边AB上，连接ED,若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长. 【变式7-1】如图，△ABC中，∠B<∠C,AD LBC于D,AE平分∠BAC交BC于E. ED (1)当∠B=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数： (2)猜想：∠DAE与∠B、∠C有什么关系，并说明理由， 【变式7-2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，AF是高线， B ED F (I)如果BC=10cm,求BE的长： (2)如果∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BAD,∠DAF的度数. 15/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-3】在△ABC中，AB=AC,D为直线BC上任意一点，连结AD,DE LAB于点E,DF LAC 于点F.BG为AC边上的高：（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） B ① ② ③ 【画图探究】(I)如图①，当点D在边BC上时，请画出BG,猜想DE,DF,BG之间的数量关系并证 明. 【运用】(2)如图②，当点D为BC中点时，BG与DE的数量关系为 【拓展】(3)如图③，当点D在CB的延长线上时，DE、DF、BG之间的数量关系为 题型08利用全等三角形的性质求解 【例8】己知△ABC≌△DEF,若AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,则DF=cm 【变式8-1】如图，△ABC≌△ADE,D在BC边上，∠E=35°，∠DAC=30°，则∠BDA的度数为 【变式8-2】如图，△ABC≌△CDE,点D在BC边上.若∠B=50°，∠E=30°，则∠EOC=·, B D 【变式8-3】如图AB=4cm,∠A=∠B=60°，AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cms的速度由点A 向点B运动，同时，点O在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为(S).若 △ACP与△BPQ全等，则x的值为 16/35 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型09判断两三角形是否全等 【例9】(25-26七年级下·四川成都期中)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.AB=3,BC=4,∠C=40 B.∠A=65°，∠B=45°，AB=4 C.∠C=80°，AB=6 D.AB=4,∠A=20° 【变式9-1】如图，线段BD是四边形ABCD的对角线，∠I=∠2，请添加一个条件使得△ABD≌△CDB, 添加的条件为 【变式9-2】如图，D,E是边BC上的两点，BD=CE,∠ADB=∠AEC,现要直接用“AAS”定理来 证明△ABD≌△ACE,请你再添加一个条件： B D E 【变式9-3】(2026陕西·一模)如图，在△ABC和△DEF中，点C,F,B,E在同一条直线上，若 ∠C=∠DFE,AC=DF,请你从以下三个选项：①CF=BE;②AB=DE;③∠ABC=∠DEF中选择一个 合适的选项作为补充条件，使得△ABC≌△DEF, 17/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F/B E D (1)你选择的补充条件是 (填序号)： (2)根据你选择的补充条件，写出△ABC≌△DEF的证明过程. 题型10三角形全等的判定与性质 【例10】如图， BC=BD,BC∥AD,点E为BD上一点，且∠ABD=∠BCE,延长CE交AB于点F. (I)求证：△ABD≌△ECB (②)若∠BCE=25°，∠CFA=100°，求∠BDC的度数 【变式IOI】如图，点A,F,C,D在一条直线上，AB∥DE,BC∥EF,AB=DE (I)求证：△ABC≌△DEF: (2)若AF=5,CF=4,求AD的长. 【变式10-2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为对角线BD上一点，∠A+∠CED=180°，且 AD=BE. E 18/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABD≌△ECB (2)若BC=15,DE=9,求AD的长. 【变式1O3】如图，点E在△ABC的边AC上，AE=BC,BC∥AD,∠CED=∠BAD, D B (1)判断△ABC与△DEA是否全等，请说明理由： (2)若∠ACB=30°，求∠BCD的度数. 题型11利用垂直平分线的性质求解 【例11】(25-26八年级上浙江杭州期末)如图，在△ABC中，点D在AC的垂直平分线上，BC=BD, 若∠B=20°，则∠ACB的度数为— B 【变式11-1】(25-26八年级上陕西渭南期末)如图，△ABC是等边三角形，AD是△ABC的高，AB边 的垂直平分线分别交AD、AB于点E、R,若DE=3,则AE的长为一· 【变式11-2】(25-26八年级上·浙江宁波·期末)如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧 交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心，大于之BD的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N,连接 MN交AB于点E,若AB=18,AC=10,则△ADE的周长为 19/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D 【变式11-3】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，OE,OF分别垂直平分AC,BD,垂足分别为E, F,且AB=CD,∠ABD=120°，∠CDB=38°，连接OB.∠OBD的度数为一· 题型12利用角平分线的性质求解 【例12】(25-26八年级上上海黄浦期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，点O是∠CAB、∠ACB平分 线的交点，且BC=8cm,AC=I0cm,则点O到边AB的距离为cm. ■ B 【变式121】(25-26八年级上广东惠州期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长 为半径画弧，分别交AB”4C于点E'P,再分别以点E'F为圆心，大于F的长为半径画弧，两弧 在∠BAC内部交于点P,作射线AP交BC于点D.若CD=2,SBD=7,则AB的长为： B 【变式12-2】(25-26八年级上安徽合肥期末)如图，在△ABC中， ∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F, 则CE的长为 20/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式12-3】(25-26八年级下·全国·周测)如图，在△ABC中，BC=15cm,BP,CP分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，PD∥AC交BC于点D,PH⊥AB于点H,若PH=3Cm,BH=6cm,则△PBD的面 积是 cm2. HA B D 题型13利用等腰（等边）三角形的性质求解 【例13】(25-26八年级上四川广元期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠C=30°， DA⊥AB交BC于点D,BC=6N2,则AD的长为 【变式13-1】(25-26八年级上：湖北孝感期末)如图，在等边三角形ABC中，D,E分别是AC,BC上 的动点（不在端点），且AD=CE,AE交BD于点F,则∠AFB的大小为一· 【变式132】(25-26八年级上：湖北恩施期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD L BC于点D, 两动点E,F分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC=48°，则当BE+EF取得最小值时，∠EBF的度数 为° 21/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式133】(25-26八年级上贵州遵义期末)如图，△ABC中，AC=3,∠ABC+∠C=45°，过点A作 AD⊥AC交BC于D,过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E,若D恰为BC的中点，则AD的长为一. B 题型14含30°的直角三角形性质的应用 【例14】(25-26九年级上江苏无锡月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=7,则BC的长 为 【变式141】(25-26八年级上广西玉林期末)如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在A处断 裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知∠ACB=3O°，则松树断裂处A离地面的距离AB的长为 米 B 777777777777777777777777777 【变式142】(25-26八年级上·广东珠海期末)如图，等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于点E, EC=2,则AE= 【变式143】(25-26八年级上·黑龙江牡丹江期末)已知△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在 BC的延长线上，AD=CE,DE交AC于点F,DG⊥AC,若DE L AB,且FG=3,则BE的长为一 22/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E 题型15垂直平分线与角平分线的综合问题 【例15】在Rt△ABC中∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线. E B D (1)求∠B的大小： (2)求证：BC=3DC 【变式15-1】已知：如图，∠BAC角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE1AB,DF⊥AC,垂 足分别为E、F A G F D (1)求证： BE=CF: (2)若AB=8,AC=6,求BE的长 【变式15-2】如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D, PE⊥AC于E. B (1)求证：BD=CE: 23/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长. 【变式15-3】如图，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角平分线，AE交BF于点O,∠BAC=80°， ∠C=70°. (1)∠AOB= (2)若CD=2,AD=5,求△AEC的面积： (3)作图：在线段AD上求作一点P,使得PO+PE最小（保留作图痕迹）. 题型16等腰三角形性质和判定的综合问题 【例16】如图，在四边形ABEC中，对角线AE与BC交于点D,己知∠ABC=∠AEC, ∠ADC+∠ACE=180°.BD=CE (1)试说明：△ACD是等腰三角形： (2)若AB=10,AC=6,，求DE的长： (3)若LABC=45°，∠ACB=75°，求∠BEC的度数. 【变式16-1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3,∠B=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重 合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. B40° D (I)当∠BDA=105°时，∠BAD=；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变一（填“大”或 “小”)： 24/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE,请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形. 【变式162】(1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组 内做了如下尝试：如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边 AC转化到BE.在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是，另外他还得到了AC和 BE的位置关系是_： (2)问题解决：如图2，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点在BC的延长线上，QC=AB,求 证：AQ=2AD (3)问题拓展：如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, ∠ACE=∠ABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,求BE和AF的数量关系. D D 图1 图2 图3 题型17等边三角形性质和判定的综合问题 【例17】己知△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在射线BA上， ∠PDO=120° B(O) ① ② (I)如图①，若点Q与点B重合，求证：DB=DP: (2如图②，若点P在线段BC上，点D在线段AB上，AC=8,求BP+BO的值. 【变式17-1】已知，△ABC中，∠A+2∠B=180°， 25/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B ① ② ③ (I)如图①，求证：AB=AC: (2)如图②，D是△ABC外一点，连接AD、BD,且AB=AD,作∠CAD的平分线交BD于点E,若 ∠BAC=60°，则∠AED=一一： (3)如图③，在(2)的条件下，连接CD交AE于点F,若AF=2,BE=3,求DE的长. 【变式17-2】如图，在△ABC中，AB=AC,D为直线BC上一动点（不与点B,C重合），在AD的右侧 作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE. B D B 备用图 (I)当D在线段BC上时，求证：△BAD≌aCAE (2)请判断点D在何处时，AC⊥DE,并说明理由. (3)当CE∥AB时，若△ABD中最小角为25°，直接写出∠ADB的度数. 题型18与等腰（等边)三角形有关的新定义型问题 【例18】小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多 重要的结论.小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些 特殊三角形中的性质.让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空， 【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P,满足∠PAB=∠PBC=∠PCA,那么点P称为△ABC的“布洛卡 点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”.如图2，当∠QAC=∠QCB=∠QBA时，点Q 也是△ABC的“布洛卡点”.一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”· 26/35 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 图3 图4 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有_个，“布洛卡角”的度数为度； 问题2：在等腰三角形ABC中，己知AB=AC,点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡 角”. (1)∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行 说理。 (2)当∠BAC=90°（如图4所示），BM=5时，求点C到直线AM的距离. 【变式181】阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题 定义：如图1，线段BE把等腰三角形ABC分成△ABE与△BCE,如果△ABE与△BCE均为等腰三角形，那 么线段BE叫做△ABC的完美分割线， A 8. B 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，AB=AC，,∠ABC=72°，BE为△ABC的完美分割线，则∠A=°， ∠BEC= ° (2如图2，在△ABC中，AB=AC,AD为△ABC的完美分割线，BD<CD,求∠B的度数. 3)如图3，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC,AD是它的一条完美分割线，BD<CD,将△ABD沿 AD折叠，使点B落在点B处，AB交CD于点E,请直接写出图中所有以AD为边的等腰三角形 【变式182】问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相 等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”· 27/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 特例证明： (1)如图1，若△ABC与△ADE互为“顶补等腰三角形”，∠BAC>90°，AM⊥BC于M,AN⊥ED于N, 求证：NE=AM: 拓展运用： (2)如图2，在四边形ABCD中，AD=AB,CD=BC,∠B=90°，∠A=60°，在四边形ABCD的内部 是否存在点P,使得△PAB与△PDC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明：若不存在，请说明 理由. 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级下·上海期末)以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是()· A.2、3、6 B.359 C.36、9 D.379 2.(25-26七年级下山东烟台期末)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.∠C=90°，AC=6 B.AB=2,BC=3,∠A=50° C.∠A=50°，∠B=60°，AB=2 D.AB=2,BC=3,AC=6 3.(25-26八年级下山东菏泽·期末)如图，AE与BF交于点O,点O在CG上，根据尺规作图的痕迹， 判断下列说法不正确的是() 28/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B∈ A.AE、BF是△ABC的内角平分线 B.CG也是△ABC的一条内角平分线 C.A0=BO=CO D.点O到△ABC三边的距离相等 4.(25-26七年级下·河南郑州期末)如图，AB=4cm,BC=6cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以 1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t秒后，△ABP与 △CP全等，则t的值是() D A.2 B.4 C.2或3 D.2或4 5.(25-26八年级下·广东珠海期末)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC,斜边AB为边向外作等边 △ACD和△ABE,F为AB的中点，连接DF、EF,∠ACB=90°，∠ABC=30°，则以下3个结论：① AC⊥DF:②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF=BE,其中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题 6.(2026甘肃兰州中考真题)如图，点C,F在BE上，BF=EC,∠A=∠D,要使△ABC≌△DEF, 需添加的一个条件是 一.（只写一个） 29/35 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 7.(26-27八年级上辽宁开学考试)如图，点A,C,B,D在同一条直线上，BEDF,∠A=∠F, AB=FD.若∠FCD=30°，∠A=80°，则∠DBE的度数为°. E B C 8.(25-26七年级下海南省直辖县级单位期末)如图所示，点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， 己知SAc=12,则阴影部分的面积之和为 9.(25-26七年级下辽宁辽阳·期末)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的 垂直平分线2交AC于点E,直线l与直线2相交于点F,过点F作FM⊥AC于点M.若ABDE的周长为 30,则AM的长为 B 10.(25-26七年级下江西吉安·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，点P在直线AC上， 连接BP,在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，∠APB的度数为 30/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11. (25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，点F在边AB上，且∠ACF=∠B,AD平分 ∠BAC交CF于点D,DE∥CB交AB于点E. E B (1)△AED与△ACD全等吗？请说明理由； (2)若CF=7,AC=8,AF=5,求△DEF的周长. 12.(25-26七年级下·云南昆明期末)如图，AD,CE是△ABC的两条高. D (I)若∠B=50°，∠ACE=10°，求∠CAD的度数： (2)AB=4cm, BC=8cm,CE=6cm,求AD的长. 13.(25-26七年级下·江西吉安·期末)如图，在△ABC中，点D,E分别在AC,BC边上，连接AE, BD交于点F,且BD垂直平分AE,连接DE, D G (1)若∠ABC=30°，∠C=50°，求∠CDE的度数： (2)若△ABC的周长为30，△DEC的周长为10，求AB的长. 14.(25-26七年级下·福建漳州期末)如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC边上的中点，AD与 BE交于点O 31/35 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 备用图 (1)若S.ABc=20,求SABD: (2)求证：S△4oB=2S△BOD: (3)点F在线段CD上（点F不与点C,点D重合），连接FE并延长FE到点G,连接AG,若AD平分四 边形ABFG的面积.求证：AG∥BC 15.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)如图，在△ABC和△ABE中，∠ACB=∠ABE=90°，CA=CB, AE与BC相交于点D,连接CE 备用图 (I)求∠DBE的度数； (2)当∠CAD=∠BCE时，求证：DB=DC: (O在（②）的条件下，点G在直线CE上远动，当DE-3且Sm=3a时，直接写出CG的 长度. 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下陕西汉中期末)三角形三边长分别为：2，x,6,化简x-4+x-8到=() A.4 B.2x-12 C.12-2x D.-4 2.(25-26七年级下福建泉州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边 BC上两点，且∠DAE=45°，过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点 32/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F,连接EF,下列结论：①△ABD≌△ACF；②DE=EF;③若SADE=15,SACEF=6,则S△BC=36: ④BD+CE=DE,其中正确的是() D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题 3.(25-26七年级下·四川达州期末)某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改 造，改造方案如下：分别延长△ABC的BA,CB,AC至点D,EF,使得A,B,C分别为BD,EC,AF的 中点，依次连接点D,E,F得△DEF,已知△ABC的面积为50m2,改造甲区域成本为100元m2,扩建乙 区域成本为200元/m，则改造总费用为元. 4.(25-26七年级下江西九江期末)在等边△ABC中，点E是△ABC的中线AD上一点，∠AEB=105°， 点P是△ABC边上一点，若BE=EP,则∠BEP的度数为 三、解答题 5.(26-27八年级上全国开学考试)如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作CE⊥AB,垂 足为E.AD=7,CE=4,AB=13,△ADC的面积为14. D B E (I)求证：AC是∠BAD的平分线： (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC 6.(25-26八年级下宁夏银川期末)【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节 或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭 尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间.如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表” 33/35 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB的日影最长(BC的长)，某一节气，光线AM平分∠BAC,D为AC上一点，连接MD,BD 土重（如）是最古老的计圭 (I)若MD L AC,下面是小明证明△ABM≌△ADM的过程，依据1是 依据2是 证明：，AM平分∠BAC,MD⊥AC,，MB⊥AB,DM=BM(依据I) AM=AM Rt△ABM和R△ADM中， BM=DM' Rt△ABM≌Rt△ADM （依据2） (2)若△ABD为等边三角形 ①说明点M在线段AC的垂直平分线上； ②己知日影BM的长为2米，求日影BC的长. 7.(25-26七年级下山东济南期末)根据题目条件，解答下列各题： 小 E B D 61 B 4 D ① ② ③ ()观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，,直线I过点C,点A,B在直线I同侧， BD⊥I,AE⊥I,垂足分别为D,E,试说明：△AEC≌△CDB (2)理解应用：如图②，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,利用(I)中的结论，请按照图 中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S= (3)类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,过点A作AB⊥AB于点A,AB=AB,连接 B'C,求△AB'C的面积 8.(25-26七年级下广东茂名期末)【模型构建】 如图①，两个等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点A为公共顶点，连接 BD,CE.可探究BD和CE的数量关系 34/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图① 图② 图③ (I)求证：△ABD≌△ACE 【深入探究】 (2)如图②，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，判断BD、EC的数量关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，点M为BC的中点，以BC为边在下方构造等边△BCD,连接AM、 AD、MD.已知点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6，求AM的值. 35/35 第1章 三角形章节复习 教学目标 1. 系统梳理三角形内角和定理、三边关系以及高线、中线、角平分线等核心概念。 2. 整合全等三角形的性质与四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），以及线段垂直平分线和角平分线的性质与判定。 3. 综合运用等腰三角形和等边三角形的性质与判定，解决几何证明、计算及实际问题。 教学重难点 重点： 1. 全等三角形的判定方法的选择与综合应用，以及线段垂直平分线、角平分线的性质运用。 2. 等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定的灵活运用，特别是“三线合一”在复杂图形中的应用。 难点： 1. 在复杂图形中识别并构造全等三角形或等腰三角形，选择恰当的判定定理进行推理论证。 2. 综合运用多条几何定理进行多步推理，建立清晰的辅助线添加思路与逻辑链条。 知识点01 三角形的概念、分类及三边关系 1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. 2.三角形的分类： (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 3.三角形中三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 【即学即练】 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列每组数据分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，错误； B、，不能组成三角形，错误； C、，能够组成三角形，正确； D、，不能组成三角形，错误． 2．（25-26七年级上·天津河西·期末）如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 知识点02 三角形中的高线、中线、角平分线 1.三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 2.三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 3.三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 4.三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 知识点03 全等三角形的性质与判定 1.全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 （三）全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 2.全等三角形的判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等简写成“HL” 注意：“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 【即学即练】 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 2．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 知识点04 线段垂直平分线性质与判定 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3） 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 知识点05 角的平分线的性质与判定 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 知识点06 等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况：当时，再根据等边对等角得，进而求出，然后根据，可得；当时，当时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 知识点07 等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为2，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】点在直线上，需分两种情况讨论，分别是点在线段的延长线和点在线段的延长线，过点作的垂线，利用等腰三角形三线合一，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质计算的长度． 【详解】解：当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 则； 当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 则， 综上，的值为或． 2．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型01 判断三边是否能构成三角形 【例1】下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（　　） A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；因此此题可根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行求解． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故不符合题意； B、，不能构成三角形，故不符合题意； C、，不能构成三角形，故不符合题意； D、，能构成三角形，故符合题意； 故选D． 【变式1-2】下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是（   ） A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误； B、，能组成三角形，故此选项正确； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，不能组成三角形，故此选项错误； 故选：B． 【变式1-3】以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故答案为：D． 题型02 三角形的稳定性 【例2】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉及的数学原理是（   ） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性定义是解题的关键． 根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：图中的自行车的几根梁合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理． 故选：B． 【变式2-1】平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度 C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【变式2-2】以下图形不具有三角形稳定性的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 本题考查三角形的稳定性，关键在于熟记三角形具有稳定性的特征． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得A、B、D都具有稳定性，不具有稳定性的是C选项． 故选：C． 【变式2-3】如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答． 【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A 题型03 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围 【例3】若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】设第三边长为m，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得即， 故答案为：． 【变式3-1】若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：、满足， ，， ，， 为三角形的三边长， ，即， 第三边长可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式3-2】一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 直接利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故答案为：． 【变式3-3】已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是 ；若此三角形的周长为偶数，则 ，此时三角形的形状是 三角形． 【答案】 5 等腰 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系确定a的取值范围，即可求解． 【详解】解：一个三角形的三边长为2，5，a， 则，即， 若此三角形的周长为偶数，则， 此时三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：，5，等腰． 题型04 判断是否三角形的高线 【例4】如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 【变式4-1】已知，作边上的高，下列作图中正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的作法成为解题的关键． 根据三角形高的定义，过A点作的垂线即可解答． 【详解】解：作边上的高，作图中正确为： 故选：C． 【变式4-2】如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故选：D． 【变式4-3】如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，是的高，正确，不符合题意； B、，是的高，正确，不符合题意； C、，不是的高，原说法错误，符合题意； D、，则：，故是的高，正确，不符合题意； 故选C． 题型05 根据三角形的中线求解 【例5】如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 【变式5-1】如图，，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积． 根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解：，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故答案为：． 【变式5-2】（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 【变式5-3】如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 题型06 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积 【例6】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【变式6-1】如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、画三角形的高、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键． （1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得； （2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可； （3）借助网格，结合平行线的判定画图即可． 【详解】（1）． 故答案为：． （2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高． （3）解：如图，取点D，连接，即为所求作． 【变式6-2】如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求解答： (1)请画出的边上的高； (2)连接格点，用一条线段将分成面积相等的两部分（直接画图即可）； (3)直接写出的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【知识点】根据三角形中线求面积、利用网格求三角形面积、画三角形的高 【分析】本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）过点画的垂线段即可，的高如图所示． （2）取的中点，如图线段将分成面积相等的两部分． （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：的高如图所示． （2）解：如图线段将分成面积相等的两部分． （3）解：． 故答案为10． 【变式6-3】图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)的面积为______， (2)在图①中，过点C作线段，使点D为格点； (3)在图②中，过点B作的垂线段． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画三角形的高、平行线的性质在生活中的应用、无刻度直尺作图、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了网格中应用与设计作图，平行线、三角形高的作法，三角形面积求法，灵活应用所学知识解决问题． （1）利用割补法计算即可； （2）取格点D，作直线即可； （2）取格点F，连接，由网格线的特点得，同理（2）取格点G，作直线交直线于点E即可； 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示，直线为所求： （3）解：如图所示，线段为所求： 题型07 利用三角形的中线、高线、角平分线求解 【例7】如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先利用三角形内角和定理解得的值，结合平分易知，再求得的值，利用求解即可； （2）结合三角形内角和定理、三角形的高和角平分的定义可知，，再推导，然后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 解：∵分别是的高和角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)如果，求的长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2)， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的高、中线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线定义是解题的关键． （1）根据三角形中线定义求解即可． （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据三角形角平分线定义求得，然后由是高线，则可求得，即可由求解． 【详解】（1）解：因为是的中线，所以． 因为，所以． （2）解：因为， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 因为是的高线， 所以， 所以， 所以． 【变式7-3】在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08 利用全等三角形的性质求解 【例8】已知，若，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为；． 【变式8-1】如图，，在边上，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由三角形全等得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， 故答案为：． 【变式8-2】如图，，点D在边上．若，，则 °． 【答案】80 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，根据， ，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：80 【变式8-3】如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 【答案】1或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 题型09 判断两三角形是否全等 【例9】（25-26七年级下·四川成都·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形唯一性的判断，当已知条件符合全等三角形的判定定理（，，，，）时，能画出唯一的三角形，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，即，不符合全等三角形的判定，不能画出唯一，故本选项错误； B、已知，，夹边，符合全等三角形判定，因此能画出唯一，故本选项正确； C、仅已知一个角和一条边，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误； D、仅已知一条边和一个角，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误． 【变式9-1】如图，线段是四边形的对角线，，请添加一个条件使得，添加的条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：①当时，根据可判定； ②当时，根据可判定； ③当时，根据可判定； 故答案为：（或或）． 【变式9-2】如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 【变式9-3】（2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)证明见解析 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】（1）解：选①或③； （2）解：选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 题型10 三角形全等的判定与性质 【例10】如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）利用平行线的性质得到，然后根据三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等的性质得到，然后运用三角形内角和定理计算即可； 【详解】（1）解： 在和中 （2） 【变式10-1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，再根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ． 【变式10-2】如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键． （1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴ 【变式10-3】如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角的和差求出，根据平行线的性质可得，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数． 【详解】（1）； 理由：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴， ∴． 题型11 利用垂直平分线的性质求解 【例11】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点在的垂直平分线上，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形中等边对等角，垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据，，求出，结合点在的垂直平分线上，以及三角形外角的性质，可求出，最终可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则根据等边对等角和角之间的关系可求出，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是的高， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式11-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到为的垂直平分线． 根据作法可得，再由垂直平分线的画法可得为的垂直平分线，由此可得，再根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D， ∴， ∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：28 ． 【变式11-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且，，，连接．的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角度的和差关系，掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 先连接，利用垂直平分线性质得，再用证明，得，设，根据和列方程求解． 【详解】解：如图，连接，，． ，分别垂直平分，， ，， ． 在和中， ， ． 设，， 则，， ，即． 故答案为：． 题型12 利用角平分线的性质求解 【例12】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线定理，勾股定理和三角形面积公式，掌握角平分线定理是解题关键．连接，过点O分别作、、的垂线，垂足为、、，根据角平分线定理，点O到三角形的三边的距离都相等，即．结合三角形面积公式，可以求出点O到边的距离． 【详解】解：如图，连接，过点O分别作于点D，于点E，于点F， ∵，，， ∴由勾股定理可得，， ∴， ∵点O是、平分线的交点， 又∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点O到边的距离为． 故答案为：2． 【变式12-1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图画角平分线，角平分线定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，是的平分线，根据角平分线定理可得，结合三角形的面积公式可求出． 【详解】解：如图，作，垂足为， 由作图可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式12-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为 　． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，，证明，由勾股定理求出，证得，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 根据平行线间的距离处处相等的性质可得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式12-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是和的平分线，交于点，于点．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】过点作于点，根据角平分线的定义结合平行线的性质可得到，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值，再根据面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分， ． ， ， ， ． ，平分，， ． 又， ， ． 设． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得，即， ， 的面积． 故答案为：． 题型13 利用等腰（等边）三角形的性质求解 【例13】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，在等腰三角形中，，，交于点D， 则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先根据等腰三角形的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，，利用三角形的外角性质和等角对等边证得，进而利用线段的和与差列方程求解即可． 【详解】解：在等腰三角形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式13-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，得出，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 【详解】解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴， 即当取得最小值时，． 故答案为：． 【变式13-3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，由，，则，所以，由三角形内角和定理得，，所以，然后证明，则，，所以，从而得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵恰为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型14 含30°的直角三角形性质的应用 【例14】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． ∴由勾股定理，得． 故答案为：． 【变式14-1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为15米得到米，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，，， ∴， ∵树高为15米， ∴米， ∴， ∴米， 故答案为：5． 【变式14-2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，等边中，是的中点，于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是中点，且，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式14-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，过点D作交于点H．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 题型15 垂直平分线与角平分线的综合问题 【例15】在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）由角平分线的意义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，可得，再由互余关系即可求得结果； （2）由角平分线的性质定理得，在中，由含角直角三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ， 是垂直平分线， ， ， ， 的度数为； （2）证明：在中，， ， 平分，，， ， ， ． 【变式15-1】已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式15-2】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 【变式15-3】如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)； (2)的面积； (3)见解析图． 【知识点】线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（）根据角平分线的定义得出和，进而利用三角形内角和定理解答即可； （）根据三角形外角性质和等腰三角形的三线合一解答即可； （）连接，交于点即可； 此题考查了三角形的角平分线，三角形的高，等腰三角形的性质和轴对称性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵，是角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴, ∵是高， ∴， ∴， ∴的面积； （3）如图，连接，交于点，连接，    由（）得， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则， ∴点即为所求． 题型16 等腰三角形性质和判定的综合问题 【例16】如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由得到， ，即可得到答案； （3）由得到，，则，再求出，根据三角形外角性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式16-1】如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 【变式16-2】（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等； （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型17 等边三角形性质和判定的综合问题 【例17】已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【答案】(1)证明详见解析 (2)12 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到平分，求出的度数，再利用三角形内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求解． （2）由等边三角形的性质易得，过点作交于点，进而得到是等边三角形，然后利用证明，进而得到，最后利用线段的和差来求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． 是的中点， 平分， ． ，点与点重合， ， ， ． （2）解：是等边三角形， ． 是的中点， ． 如图3，过点作交于点． ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【变式17-1】已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式17-2】如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)当点D在中点时，，理由见详解． (3)或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：若， 又∵， ∴平分， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∴当点D在中点时，； （3）解：由（1）可知， ∴， 当时，则，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ①如图1：D在线段上时，若， 则． ②如图2，点D在的延长线上，， ③如图3，点D在的延长线上，此时，． ④如图4，． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 题型18 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 【例18】小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式18-1】阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 【变式18-2】问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理． （1）利用题意得，再判定即可得到本题； （2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案． 【详解】解：（1）证明：将图中角进行命名： ， 与互为“顶补等腰三角形”， ，， ， 又，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）存在． 证明：连接，取的中点，连接，， ， ，， ， ， 是的中点， ，． ， 又，，， ， ， ， 与互为“顶补等腰三角形”． 一、单选题 1．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 3．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，与交于点，点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（    ） A．、是的内角平分线 B．也是的一条内角平分线 C． D．点O到三边的距离相等 【答案】C 【分析】利用尺规作图的痕迹可得、是的内角平分线，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可得、是的内角平分线， 点到三边的距离相等，也是的一条内角平分线， 故C选项不正确，符合题意． 4．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 5．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，为的中点，连接、，，，则以下3个结论：①；②四边形为平行四边形；③，其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】证明，，可证为平行四边形，从而判断②正确，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①正确，然后由三角形三边关系判断③错误，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∵和都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故③错误； 故正确的结论为：①②． 二、填空题 6．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 7．（26-27八年级上·辽宁·开学考试）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由得，结合已知可证，得，根据三角形的外角性质得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 8．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 9．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 【答案】15 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得出， ，由三角形周长得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形三线合一的性质得出． 【详解】解：连接，，， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长为∶， ∵F是、垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴M是的中点， ∴． 10．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 【答案】的度数为或或 【分析】分、三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 若，则； 若，如图， 则； 若，如图， 则； 综上，的度数为或或． 三、解答题 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 12．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 13．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； ∴. (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 15．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在和中，，，与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，当，且时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得，进而可得； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，由（2）可得，则,，根据已知可得，则得出，根据三角形的面积关系求得，进而分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（2）可得， ∴， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在直线上运动， 当在的延长线上时， ∴， 当在的延长线上时， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得到结果． 【详解】解：∵三角形的三边长为，，， 根据三角形三边关系可得， ∴， ∴，， ∴． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 【答案】 【分析】连接，，，根据分别为的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：连接，，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）． 4．（25-26七年级下·江西九江·期末）在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 【答案】 或或 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到垂直平分，结合三角形内角和定理求出相关角的度数，分点在、、三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算的度数. 【详解】解：是等边三角形，是中线，点是上一点， ，平分，，， ， 在中，， ， ， ∴， 分三种情况讨论： ①当点在边上时， ， ， ； 当点在边上时，此时点和点重合， ∵， ； 当点在边上时， ，， ， ， ， 又， ； 综上：的度数为或或. 三、解答题 5．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】(1)角平分线的性质， (2)∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 日影的长为米． 【分析】（1）由角平分线的性质可得，然后通过“”即可求证； （2）由是等边三角形，可得，则，通过角平分线的定义可得，所以，从而得，然后通过垂直平分线的判定即可求证； 通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， 在和中， ， ∴； （2）解：略； 在中，， ∴（米）， 由知（米）， ∴（米）， ∴日影的长为米． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 【答案】(1)证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)32 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； （3）解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 8．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在与中， ， ， (2)． 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ∴， (3) 【分析】（1）先证明，进而证明 （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证 （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据三角形的面积公式，求得，证明，得出则，证明，得出，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $