专题1.4 等腰三角形的性质与判定（8题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边）核心知识点，通过知识点梳理、即学即练及题型分类（求角度、边长、多解题等），构建从基础到综合的学习支架，帮助学生逐步掌握性质与判定的应用逻辑。 资料以“典例+变式”设计为主线，结合多解题和实际情境题（如工匠检测屋梁），培养学生几何直观和推理能力。课中助力分层教学，课后通过综合练习帮助学生查漏补缺，提升运用数学语言解决问题的能力。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.4等腰三角形的性质与判定 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点1：等腰三角形的性质 2.知识清单 知识点2：等腰三角形的判定 题型01根据等腰三角形等边对等角求角的度数 题型02根据等腰三角形腰相等求第三边或周长 等腰三角形的性质 题型03根据等角对等边求边的长度 与判定 题型04与等腰三角形有关的多解题 3.题型精讲 题型05根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型06根据等角对等边证明等腰三角形 题型07与等腰三角形性质和判定的多结论题 题型08等腰三角形的性质和判定综合应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.探索并掌握等腰三角形的性质定理：等边对等角，三线合一。 教学目标 2.探索并掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边。 3.能综合运用等腰三角形的性质与判定进行几何证明与计算，培养演绎推理能力。 重点： 1.等腰三角形的性质：“等边对等角”与“三线合一”的应用。 2.等腰三角形的判定：“等角对等边”的理解与运用。 教学重难点 教学难点： 1.在复杂图形中识别等腰三角形，并灵活运用“三线合一”进行证明。 2.区分等腰三角形的性质与判定，在证明中能正确选用。 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点1等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）· 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）· 等腰三角形的其他性质： (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等， (2)等腰三角形两底角的平分线相等。 (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角 都是45° 【即学即练】1.(25-26八年级上贵州遵义月考)如果等腰三角形的一个角为30°，那么等腰三角形底 角的度数为() A.75 B.30° C.75°或30° D.65°或30° 2.(25-26八年级上江苏常州期中)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD 若BD=2,BC=5,则AC的长为 3.(25-26八年级上吉林白山期中)如图，在△ABC中，点D在边BC上. (①)若AD=BD=AC,∠DAC=24°，求∠4的度数： (2)若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB=9,求AC的长. B D 知识点2等腰三角形的判定 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形： (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）· 数学语言：在△ABC中，，∠B=∠C,∴AB=AC(等角对等边). 【注意】 (1)“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在没有 判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”· (2)“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性 质，由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定 【即学即练】1.(25-26八年级上内蒙古鄂尔多斯期中)已知，如图：C是AB上一点，点D,E分别在 AB两侧，AD∥BE,且AD=BC,BE=AC. D (I)求证：CD=CE: (2)猜想△BEF是等腰三角形吗？并说明理由： 2.(25-26八年级上·云南昭通期中)如图，在△ABC中，BA=BC,点D在边CB上，且DB=DA=AC 图1 图2 (1)如图1，∠B=°，∠C=—. (2)如图2，若M为线段BC上的点，过点M作直线MH⊥AD于点H,分别交直线AB、AC于点N、E. ①求证：△ANE是等腰三角形， ②试猜想线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明. 题型精讲 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型01 根据等腰三角形等边对等角求角的度数 【典例1】(25-26八年级上浙江宁波期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,若∠A=36°，则∠B的 度数为 【变式1】(25-26八年级上江苏月考)等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是 【变式2】(25-26八年级上全国·假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，点E 在边AB上，且AE=AD,连结DE,若∠BDE=15°，则∠CAD的大小为一度. D 【变式3】(25-26八年级上辽宁葫芦岛期末)在△ABC中，∠BAC-110°，∠C=30°，点E在边BC上， 且不与点B,点C重合，连接AE,若△AEC是等腰三角形，则∠BAE的度数是 题型02 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长 【典例2】(25-26八年级上江苏宿迁·期中)在等腰三角形ABC的周长为9，AB=4,则BC的长为 【变式1】(25-26八年级上安徽毫州月考)已知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则此三角形的 周长为 cm 【变式2】(25-26八年级上湖北荆州期中)若a-6+(b-5=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长 为 【变式3】(25-26八年级上浙江绍兴期中)等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成15,18两 部分，则等腰三角形的腰长为 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 根据等角对等边求边的长度 【典例3】(24-25八年级下山西太原·月考)如图，已知∠AOB,OC平分∠AOB,将直角尺DEMW如图 所示摆放，使EM边在OB上，DN边与OA交于点P,与OC交于点O,则OP的长度为一cm. 一CN 2 34 E MB 【变式1】(25-26八年级上山东济宁·月考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过 点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM=4,CN=3,则线段MN的长为 【变式2】(25-26八年级上·新疆乌鲁木齐期中)如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外 角∠ACG的平分线CF相交于点F,过F作DF∥BC,交AB于D,交AC于E,若BD=9cm, DE=4cm,求CE的长为. cm G 【变式3】(25-26八年级上贵州遵义期末)如图，△ABC中，AC=3,∠ABC+∠C=45°，过点A作 AD⊥AC交BC于D,过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E,若D恰为BC的中点，则AD的长为一 题型04与等腰三角形有关的多解题 【典例4】(25-26八年级上新疆乌鲁木齐期中)如图，△ABC中，AB=AC,∠A=30°，D是射线AB上 的动点，连接CD,令∠ACD=a(O°<a<75),将△ACD沿CD所在射线CP翻折至△ACD处，射线CA 5/19 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则∠Q的度数为 a B 【变式1】(25-26八年级上：陕西商洛月考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=140°，△AEC和 △AEF关于直线AE对称，∠BAF的平分线交BC于点D,连接DF.当△DEF是以DE为腰的等腰三角形 时，∠DEF的度数为 【变式2】(25-26八年级上江西宜春月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°.若D为射线 AB上的动点，连接CD,将△ACD沿CD翻折后得到△ECD,连接AE.若△ADE为等边三角形或等腰直 角三角形，则∠ACD的度数为 【变式3】(25-26八年级上全国期末)如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC,己知∠MPN的顶 点P是线段AB上一点，PM经过顶点C,PN与AC交于点D,∠MPN=30°，设PM与BC的夹角为∠I (∠1≠0°). B (I)若AP=AC,则∠BPC的度数为 (2)当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为 题型05根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例5】(25-26八年级下·河南郑州阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D. ()若∠C=42°，求∠BAD的度数： (②)若点E在边AB上，在AD的延长线上取一点F,使AE=EF,求证：EF∥AC 【变式1】(25-26八年级上·甘肃期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，连接AD, (1)求证：AD L BC: (2)若BC=10cm,AD=12cm,求△ABC的面积. 【变式2】(25-26八年级上湖北孝感期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的 中点，DE L AC于E, A 、E D (1)求∠EDC的度数： (2)若AB=8,求CE的长. 【变式3】(25-26八年级上全国期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点P是斜边AB 的中点，点D,E分别在边AC,BC上，连接PD,PE.若PD⊥PE. 图1 图2 (I)求证：PD=PE: (2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上，如图2，其他条件不变，(I)中的结论是否成立？并加以 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明. 题型06根据等角对等边证明等腰三角形 【典例6】(25-26八年级上重庆合川期中)如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE AB=CB,AD与CE相交于点F. B D (I)证明：△ABD≌△CBE (2)证明：△AFC是等腰三角形. 【变式1】(25-26八年级上·山西忻州期中)如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，使点C,D分 别落在点C,D处，EC'交AD于点G,∠AGC=48°，AD∥BC. (I)求∠CEF的度数； (2)求证：△EFG是等腰三角形 【变式2】(25-26八年级上河南洛阳期中)如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE, ∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F. E D (I)求证：AB=BC: (2)试判断△AFC的形状，并说明理由. 【变式3】(25-26八年级上辽宁盘锦期中)如图①，已知CE是△ABC的角平分线，F、G分别在 BA,BC的延长线上，连接CF,∠FCG=∠CAB 8/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图① 图② (I)若∠CAB=∠CEA=70°，求∠B的度数： (2)求证：△FEC是等腰三角形： (3)如图②，点P是线段AE上的动点，PH L EC垂足为H,设∠EPH=x.求证：∠CAB-∠B=2a. 题型07与等腰三角形性质和判定的多结论题 【典例7】(25-26八年级上北京延庆期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，点D是BC的中 点，连接AD,过点B作BE L AC于点E,交AD于点F.给出下面四个结论：①∠ACB=65°；② CE=EF;③AB=BE+EC;④∠BAC=2LCBE.上述结论中，所有正确结论的序号是() D A.①② B.③④ C.②③④ D.①②③ 【变式1】(25-26八年级上四川凉山期末)如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平 分线，AM⊥CE于P,交BC于M,AN⊥BD于Q,交BC于N,∠BAC=I10°，AB=6,AC=5,结 论①△AMC是等腰三角形：②BN-CM=1:③∠MAN=35°；④AP=A0.其中不正确的有() B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2】(25-26八年级上全国·期末)如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交 于G,AE平分∠CAD交BC于E,交CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE.有下列结论：① ∠AMC=135°：②△AMH≌△BME:③BC=BH+2MH;④AH+CE=AC.其中，正确的结论是 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A F G H A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【变式3】(25-26八年级上四川资阳期末)如图，已知△ABC,AB=AC=6,∠BAC=90°，直角∠EPF的 顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点 E不与AB重合)，给出下列四个结论：①△EPF是等腰三角形；②∠BEP=∠AFP;③EF=AB;④ △BEP和△PCF的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有()个. A E A. B.2 C.3 D.4 题型08等腰三角形的性质和判定综合应用 【典例8】(25-26八年级上全国假期作业)如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作 DE∥BC交AC于点E,且DE平分∠ADC,在BC边上取点F,使∠DFC=45°. 45o BF (I)求证：△BCD为等腰三角形： (2过点D作DM⊥BC于点M,若BC=12,BF=2,求DM的长. 【变式1】(25-26八年级上·上海普陀·期中)如图，己知：在△ABD中，∠BAC=100°，AD平分∠BAC( D为△ABC外一点)，∠ADB=80° 10119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABD是等腰三角形： (②)如果CD⊥AC,求证：AB=2AC, 【变式2】(25-26八年级上陕西榆林月考)如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,过点A作 AD∥BC交BD于点D,连接CD B (I)求证：△ABD是等腰三角形： (2)若∠BAC=80°，求∠BDC的度数. 【变式3】(25-26八年级上福建福州期中)如图，∠CAD是△ABC的外角，点F是AB的中点，过点F 作线段EG,使其交∠CAD的平分线于点E,交CB的延长线于点G,且AE∥BC, B (1)求证：△ABC是等腰三角形： (2)若AE=1,AB=4,BC=3BG,求△ABC的周长. 强化训练 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础自测 一、单选题 1.(2026云南普洱二模)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,AD⊥BC,若∠BAC=56°，则∠BAD 的度数为() A.28° B.34° C.56 D.80 2.(25-26九年级下·湖北武汉阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=24°，现将三角形的一个角沿AD折叠， 使点C落在边AB上的点E处.若BE=DE,则∠C的度数是() A E A.24° B.36 C.48 D.54° 3.(2026上海奉贤三模)如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上，连 接BE、CD.下列命题中，假命题是() A.如果∠DCB=∠EBC,那么CD=BE B.如果CD=BE,那么∠DCB=∠EBC C.如果∠DCB=∠EBC,那么BD=CE D.如果BD=CE,那么∠DCB=∠EBC 4.(25-26八年级下·甘肃白银·期中)如图，下列关于△ABC和△DEF的说法中正确的是（) 70 P A.△ABC是等腰三角形 B.△DEF是等腰三角形 12119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.△ABC和△DEF均是等腰三角形 D.△ABC和△DEF均不是等腰三角形 二、填空题 5.(25-26七年级下·上海闵行·期末)已知△ABC是等腰三角形，∠A=50°，那么∠C的度数为 6.(25-26七年级下·上海奉贤·期末)工匠们用如图这样的工具检测屋梁是否水平.把等腰三角尺的底边 紧贴屋梁，当挂铅锤的线绳经过等腰三角尺底边的中点时，就可以确定挂铅锤的线绳与屋梁垂直（即屋梁 是水平的)，否则梁就不是水平的.这样测量用到的数学依据是 7.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线， DE⊥AB于E,若AB=lOcm,那么△DEB的周长为Cm. E 8.(25-26七年级下'山东青岛期末)如图，将两个全等的等腰三角形△ABC和△ADE的顶角顶点A重合， 且∠BAC=∠DAE=12O°，点A、D分别在BC的两侧，AD与BC交于点M,DE分别与BC、AC交于点 O、N.当△DOM为等腰三角形时，∠BAD的度数为 B 三、解答题 9.2026广西南宁·二模)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，BD=CE, B D E (I)求证：△ABD≌△ACE: 13119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)试判断△ADE的形状，并说明理由， 10.(25-26八年级下陕西西安期末)在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠CAB,，交边BC 于点D,点A与点E关于BC所在直线对称，连接BE,CE,延长AD交BE于点F.求证： (I)△BDF是等腰三角形： (2)AB+BD=2AC 11.(25-26七年级下上海·阶段检测)在△ABC中，∠B=∠C,点D在BC边上，∠BAD=50°（如图1）. B B D D D 图1 备用图 备用图 (I)若E在△ABC的AC边上，且∠ADE=∠B,求∠EDC的度数： (2)若∠B=30°，E在△ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写主要解答过程即 可) 12.(26-27八年级全国暑假作业)已知△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD,连 接BD与EC相交于点F,BD与AC相交点G」 G B 图1 图2 图3 ()猜想：如图1所示，当∠BAC=60°时，则∠BFC=一： (2)探究：如图2所示，当∠BAC=90°时，请求出∠BFC的度数： (3)拓展延伸：如图3所示，当AB∥CE,AB=5,EC=8,请求出DF的长度. 14119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力提升 一、 单选题 1.(25-26七年级下·黑龙江绥化：期中)已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角 形的周长为() A.25 B.25或20 C.20 D.15 2.(25-26八年级下内蒙古乌兰察布期中)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，已知 ∠B=62°，则∠BAD的度数为(） D A.62° B.54 C.38° D.28 3.(2026河南三门峡二模)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，过点C作CD‖AB,连接 AD交BC于点E,若∠D=23°，则∠I的度数为() B A.63 B.67° C.68 D.70 4.(25-26八年级上河南开封期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6,D为边BC的中点，点 E,F分别在边AB,AC上，AE=CF,则四边形AEDF的面积为() E D A.18 B.92 C.9 D.6√2 5.(25-26八年级下贵州毕节期中)如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P, BE=BC,D在AC延长线上，PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论：① 15119 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ∠ACB=3∠APB;②SPMc:SPB=AC:AB,③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF;⑤GF+FC=GA. 其中正确的有() D G E A.①②③④ B.②③⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤ 二、填空题 6.(25-26八年级下广东佛山期中)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2,若∠B=15°，则腰AC上的 高为 B 7.(25-26八年级下河北张家口·期中)某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形， 记为等腰三角形ABC(如图2)，若AB=AC=26,AD1BC于点D,∠ABC=30°，则AD的长为一 B D 图1 图2 8.(2026广西南宁·一模)如图，在等腰直角△ABC中，已知∠BAC=90,AB=AC,P是BC上一点， BP=AB.若AP=1O,则点C到AP的距离为 B 9.(25-26八年级下四川达州期中)如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，点D在BC边上，且BA=BD, 点E是线段AC上的一个动点（不与点A,点C重合），若△ADE为等腰三角形，则∠AED的度数为 16119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26七年级下四川成都期中)如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,E点为射线CB 上一动点，连接AE,将AE绕点A逆时针旋转9O°至AF,当E点在射线CB上运动时，连接BF与射线 CE6CD AC交于D点，BE5,则AD B 三、解答题 11,(25-26八年级下·广东深圳期中)己知，如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在边ACAB 上，且BE=CD,BD与CE相交于点O. (1)求证：OB=OC: (2)连接直线OA,证明直线OA垂直平分BC, 12.(25-26八年级下四川成都期中)如图，△ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，F为CA的延长 线上一点，过点F作FG⊥BC于点G,并交AB于点E. B GD (I)求证：△AFE为等腰三角形. (②)若E为AB的中点，求证：EF=2EG 13.(25-26八年级下·陕西渭南期中)如图，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，点C在△ABD的右侧，连接 17119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC、DC,AD平分∠BAC,过点D作DEI‖AC交AB于点E. B (I)求证：△ADE是等腰三角形； (2)若AB=18,求ED的长 14.(25-26八年级下·广东梅州期中)如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线 BD交边AC于点D 图1 图2 (I)求证：△BCD为等腰三角形. (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2，求证：BD+AD=AB+BE. (3)若△ABC的外角平分线AE交CB的延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立.若成立，请 证明：若不成立，直接写出正确的结论， 15.(2026内蒙古通辽三模)综合与实践 【问题发现】 (I)如图1，在△ABC与△CED中，∠B=∠E=∠ACD=90°，AC=CD,B,C,E三点在同一直线上， AB=4,ED=5,则BE= 【问题提出】 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,过点C作CD⊥AC,且CD=AC,求△BCD的面积； 【问题解决】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，△ACD的面积为12，CD的长为6，求 △BCD的面积. 18119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ D D C C A B B 图1 图2 图3 19/19 专题1.4 等腰三角形的性质与判定 教学目标 1. 探索并掌握等腰三角形的性质定理：等边对等角，三线合一。 2. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边。 3. 能综合运用等腰三角形的性质与判定进行几何证明与计算，培养演绎推理能力。 教学重难点 重点： 1. 等腰三角形的性质：“等边对等角”与“三线合一”的应用。 2. 等腰三角形的判定：“等角对等边”的理解与运用。 教学难点： 1. 在复杂图形中识别等腰三角形，并灵活运用“三线合一”进行证明。 2. 区分等腰三角形的性质与判定，在证明中能正确选用。 知识点1 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【即学即练】1．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如果等腰三角形的一个角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 等腰三角形的一个角可能是顶角或底角，需分情况讨论底角的度数． 【详解】解：根据三角形内角和为， ①若为顶角，则底角为； ②若为底角，则底角为． ∴底角为或， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，为内一点，平分，若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 3．（25-26八年级上·吉林白山·期中）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1)的度数为 (2)的长为6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质.熟练掌握等腰三角形的性质，三角形中线的性质是解题的关键． （1）已知，是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为，即可计算出的度数； （2）由中线的性质可得，通过周长差转化为与的长度差来计算即可． 【详解】（1）解：，， 是等腰三角形， ； （2）解：为的中线， ， 的周长，的周长， 周长差， ． 知识点2 等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【即学即练】1．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，如图：C是上一点，点D，E分别在两侧，，且，． (1)求证：； (2)猜想是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由平行线的性质得出，即可利用证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）由等边对等角得出，由全等三角形的性质得出，再由角的和差关系即可得出，再根据等角对等边即可得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴ ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形． 2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，点在边上，且．    (1)如图1，____，____． (2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形． ②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)36；72； (2)①证明见解析；②，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据等边对等角的性质，得到，，再根据三角形外角的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理求解即可； （2）①结合（1）的结论，证明，得到，即可得出答案； ②由①可知，，再结合已知条件，得出，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36；72； （2）解：①由（1）可知，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． ②，证明如下： 由①可知，， ，， ，， ， 即． 题型01 根据等腰三角形等边对等角求角的度数 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∴． 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·江苏·月考）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角为和底角为，讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为， 综上所述，它的底角是或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为 度． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得到，结合题意利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等边对等角，三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，点E在边上，且不与点B，点C重合，连接，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确分类讨论． 根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当时；当时；当时，情况不成立，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴如图所示，当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时， ∴ ∵， ∴； 当时， ∴， ∴，与矛盾，故不成立． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 题型02 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长 【典例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 【答案】1或2.5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，分两种情况讨论：当为腰时，或当为底边时，分别计算的长，并验证是否满足三角形三边关系定理． 【详解】解：∵三角形中，，周长为9， ∴， 情况一：当为腰时，则， ∴． 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）． 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故． 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理． 故的长为1或2.5． 故答案为：1或2.5． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系． 分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时， 三边为、、，，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时， 三边为、、，，，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：20． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】 16或17 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的三边关系，解题的关键是根据非负数性质求出边长，再结合三角形三边关系确定等腰三角形的边长组合． 由非负数的性质得、；分腰为6和腰为5两种情况，结合三角形三边关系验证，计算周长． 【详解】解：， ，， ，． 情况1：腰长为6，底边长为5， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 情况2：腰长为5，底边长为6， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据中线分周长的两种可能情况列方程组求解，并验证三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y． 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即； 另一部分为底边长加半腰长， 即． 由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况： 情况一：且， 解得：，， 情况二：且， 解得：，， 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）． 故答案为：或． 题型03 根据等角对等边求边的长度 【典例3】（24-25八年级下·山西太原·月考）如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点P，与交于点Q，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答的关键是等腰三角形的判定． 先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，进而得，即可得． 【详解】解：由题意可知，，， 两直线平行，内错角相等， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再利用等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，由，，则，所以，由三角形内角和定理得，，所以，然后证明，则，，所以，从而得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵恰为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型04 与等腰三角形有关的多解题 【典例4】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等，由折叠的性质得，再分四种情况，分别画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形的外角性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质知， 当时，如图，， 由三角形的外角性质得，， 即，此情况不存在； 当且点在射线下方时，如图， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当时，如图，， ， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当且点在射线上方时，如图，， ， ； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式1】（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理的应用；根据折叠的性质与全等三角形的性质得出，结合是以为腰的等腰三角形，分类讨论，即可求解． 【详解】解：，， ． ∵和关于直线对称， ∴，， ∴ ∵的平分线交于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形折叠中角度的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分为等腰直角三角形和为等边三角形，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论即可． 【详解】当为等腰直角三角形时， ①当点在线段上时：如图，则， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∵翻折， ∴， ∴； 当为等边三角形时，此时点在线段的延长线上，如图， 则， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解． （2）分类讨论：当时， 当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 题型05 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 【典例5】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，在的延长线上取一点，使，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据三角形的内角和即可得到； （2）根据等腰三角形的性质得到，由得，进而得，然后根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，于点D， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：略． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点是斜边的中点，点，分别在边，上，连接，若． (1)求证：； (2)若点，分别在边，的延长线上，如图，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明． 【答案】(1)详见解析 (2)仍成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型06 根据等角对等边证明等腰三角形 【典例6】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，使点，分别落在点，处，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、等腰三角形的判定． （1）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，即可得出答案； （2）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，得出，证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由条件证明，再推出； （2）根据得，结合已知角，得到，所以，所以是等腰三角形． 【详解】（1）在与中， ； （2）∵ ， ， 是等腰三角形． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图①，已知是的角平分线，、分别在的延长线上，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)如图②，点是线段上的动点，垂足为，设．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质可证明，由角平分线的定义可得，据此可证明，则，即是等腰三角形； （3）可求出；则由三角形外角的性质得到，进而由角平分线的等腰得到，据此根据三角形内角和定理求出的度数，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ； （2）证明：∵， 且， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 题型07 与等腰三角形性质和判定的多结论题 【典例7】（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：C 【变式1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，结论①是等腰三角形；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 证明，根据全等三角形的性质得到，判断①；根据全等三角形的性质得到，，代入计算即可判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故①结论正确； 同理可证：， ∴， ∴， 故②结论正确； ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③结论正确； ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④结论错误； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①； ②；③；④．其中， 正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由得到，由、平分、，得到，，根据三角形内角和得到，从而求得，可判断①正确；先利用证明，得到，由平分，得到，即，推出，再利用即可证明，可判断②正确；由全等得到，又因为，且，所以，可判断④正确；延长交于点，利用可证，可得，，所以，可判断③错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵、平分、， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∴． ∴． ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．故②正确； ∴， ∵，且， ∴，故④正确； 延长交于点， ， 在和中， ，故③错误； 所以正确的结论是①②④， 故答案为：B． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出是解题的关键． 先证，由性质得，可得①正确；由性质得 ，结合平角的性质，得②正确；由性质得，通过面积计算可得④正确；随着点E的变化而变化，不一定等于，故③错误． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ， 是直角， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形，故①②正确； ，故④正确； 随着点的变化而变化， 不一定等于，故③错误； 故选：C． 题型08 等腰三角形的性质和判定综合应用 【典例8】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分，过点A作交于点D，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则根据平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 为等腰三角形． （2）解：，， ， ∵， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，是的外角，点是的中点，过点作线段，使其交的平分线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 一、单选题 1．（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质可以求出，由折叠的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 3．（2026·上海奉贤·三模）如图，在锐角三角形中，，点、分别在边、上，连接、．下列命题中，假命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】如果，根据可得，可证，继而判断选项A、C；如果，无法证明，继而得不到，可判断选项B；如果，可证，可判断选项D． 【详解】解：如果， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故选项A、C都是真命题； 如果，无法证明， 继而得不到，故选项B是假命题； 如果， ∵，， ∴， ∴，故选项D是真命题． 4．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，下列关于和的说法中正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．是等腰三角形 C．和均是等腰三角形 D．和均不是等腰三角形 【答案】A 【详解】解：的第三个内角为，有两个角都是，故是等腰三角形； 的第三边的长不确定，故不一定是等腰三角形； 故选：A． 二、填空题 5．（25-26七年级下·上海闵行·期末）已知 是等腰三角形，，那么的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题需分三种情况讨论，结合等腰三角形两底角相等的性质与三角形内角和定理计算即可得到结果． 【详解】解：分三种情况讨论： 当为顶角时，为底角，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可得： ； 当为底角，为顶角时： ； 当为底角，为底角时： ； 综上，的度数为：或或． 6．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）工匠们用如图这样的工具检测屋梁是否水平．把等腰三角尺的底边紧贴屋梁，当挂铅锤的线绳经过等腰三角尺底边的中点时，就可以确定挂铅锤的线绳与屋梁垂直（即屋梁是水平的），否则梁就不是水平的．这样测量用到的数学依据是_______． 【答案】等腰三角形三线合一 【分析】根据题意可知三角尺为等腰三角形，线绳经过底边中点即为底边上的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得出线绳与底边垂直． 【详解】解：由题意可知，该三角尺为等腰三角形． ∵ 挂铅锤的线绳经过等腰三角尺底边的中点， ∴ 线绳所在的直线是等腰三角形底边上的中线． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合， 即挂铅锤的线绳与屋梁垂直． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解． 【详解】解：是等腰三角形，， ，， 是的角平分线，于， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或 【分析】先得出，，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在两个全等的等腰三角形和中，， ∴，， ①如图1，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 三、解答题 9．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2)解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）知， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据等边对等角得到，根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判断的形状． 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； (2)证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26七年级下·上海·阶段检测）在中，，点在边上，（如图）． (1)若在的边上，且，求的度数； (2)若，在的边上，是等腰三角形，求的度数；（简写主要解答过程即可） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据三角形外角的性质和角的和差关系得到． （2）首先根据已知条件得到，，再根据当，，时，分三种情况讨论，得出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， 分三种情况讨论： 如图，当时， ， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 如图，当时， ， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 12．（26-27八年级·全国·暑假作业）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）由（1）得，，从而得出，利用平行线的性质证明出，从而可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 一、单选题 1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 【答案】A 【分析】分两种情况：若腰长为5，底边长为10；若腰长为10，底边长为5，即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若腰长为5，底边长为10，三边长为5，5，10， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ② 若腰长为10，底边长为5，三边长为10，10，5， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为， 即该等腰三角形的周长为25． 2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，，，过点C作，连接交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． 4．（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，D为边的中点，点E，F分别在边上，，则四边形的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由等腰直角三角形的性质得到，则可证明都是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，则可证明，据此可得答案． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 5．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵与外角的平分线相交于点， ∴， ∴，故①错误； ∵平分， ∴点P到边的距离相等， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分，故③正确； ∵与外角的平分线相交于点， ∴点P到边的距离相等，点P到边的距离相等， ∴点P到边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③④⑤ 二、填空题 6．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在等腰中，，若，则腰上的高为_____． 【答案】 1 【分析】过点作的垂线交的延长线于点，易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 过点作的垂线交的延长线于点，如图， 则， ∴， 故腰上的高为1. 7．（25-26八年级下·河北张家口·期中）某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ． 8．（2026·广西南宁·一模）如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为______． 【答案】5 【分析】过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E，根据，得，得，得，得，可得，即得． 【详解】解：过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E， 则， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，点D在边上，且，点E是线段上的一个动点（不与点A，点C重合），若为等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或 【分析】先利用已知条件计算的度数，根据点E是线段上的一个动点（不与点A，点C重合），且为等腰三角形，分情况讨论：①当时；②当时，根据不同的情况利用三角形内角和定理求得结果． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵点E是线段上的一个动点（不与点A，点C重合），且为等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 10．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，等腰中，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至．当点在射线上运动时，连接与射线交于点，，则___________． 【答案】或 【分析】过点F作或，交线段于点H（交射线于点G），构造全等三角形（或）和，根据全等三角形的性质，对应边、对应角相等，再结合条件以及，转换线段，从而得到的值． 【详解】当点E在线段上时， 过点F作，垂足为点H， ∵将绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，，则， ， ， ． 当点E在射线上时， 过点F作，垂足为点G， 将绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 设，，则， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、全等三角形辅助线的构造、等腰三角形性质、线段和差关系，解决本题的关键是根据点E的位置分类讨论． 三、解答题 11．（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证，推出，进而证明，根据等角对等边，可得； （2）根据，，可得点O，A在的垂直平分线上，由此可证直线垂直平分． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，延长交于点F， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点O在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分． 12．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由三线合一定理可得，再由同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可证明，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，为边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）证明：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 13．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可； （2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，     平分， ，     ，     是等腰三角形． （2）解：， ，，     ， ，，     ，     ． 14．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图1，在中，，，的平分线交边于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若的平分线交边于点，如图2，求证：． (3)若的外角平分线交的延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)结论不成立。正确结论： 【分析】（1）由三角形内角和计算，根据是的平分线得，从而为等腰三角形得证； （2）在上截取，连接，证明得，证得，即可证明结论； （3）在上截取，连接，根据，得，证明，得，根据等腰三角形的判定得，最后根据线段间的数量关系得出结论即可． 【详解】（1）证明：中，，， ， 是的平分线， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图，在上截取，连接， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 15．（2026·内蒙古通辽·三模）综合与实践 【问题发现】 (1)如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上，，，则________； 【问题提出】 (2)如图2，在中，，，过点作，且，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，在四边形中，，的面积为12，的长为6，求的面积． 【答案】(1) (2)18 (3)6 【分析】（1）证明，则，，由求得的长； （2）过作交延长线于点，证明，则，由求出面积； （3）过点作于点，过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，，则，由求出面积． 【详解】（1）解： ． 在和中，， ， ，， ． （2）解：如图1，过作交延长线于点． ，， ， ． 在和中，， ， ， ． （3）解：如图2，过点作于点，过点作交的延长线于点． 的面积为，的长为， ， ． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ， ，， ． 在和中，， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $