专题04 巧构等腰三角形的基本模型有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦四种等腰三角形构造模型，通过“模型分析+典例应用”系统提炼几何转化方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一：平行线+角平分线|5题|“知二求一”（平行线、角平分线、等腰三角形三者转化）|从平行线与角平分线性质切入，构建等角关系证明等腰| |题型二：过边作平行线|5题|作腰/底的平行线构造新等腰三角形|利用平行线性质传递角关系，实现图形转化| |题型三：角平分线+垂线|5题|“角平分线+垂线”构造全等得等腰|通过ASA证全等，推导“三线合一”逆用模型| |题型四：倍角关系|5题|倍角转化（角平分线、延长线段、外作等角）|将倍角分解为等角，构建新等腰三角形转化边关系|

专题04 巧构等腰三角形的基本模型有关的四种模型 题型一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形 题型二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 题型四 利用倍角关系构造新等腰三角形 题型一：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 1．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， ， ． (2)24 【分析】（1）可证，，即可得证； （2）作交于，可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作交于， 平分，， ， ． 2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． (1)若．求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可知，再根据角平分线以及垂直关系即可求解； （2）根据平行条件，可证明,从而可知为等边三角形，进而可知的长度． 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ． 答：的度数为． （2），， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 答：的长为4． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 4．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，是的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，是的中线，点在上，连接交于点，．延长至点，使，连接．请判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形（如图③）．已知渠段，千米，千米．为实现精准灌溉，技术人员修建了、（点在上）两条分渠道，在分渠道上设置了控水巡检点，经勘测，，且种植区和的面积相等．工作人员需从分渠端点出发沿直线前往巡检点检查设备，求巡检路线的长度． 【答案】（1）17；（2），证明见解答过程；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的关键． （1）延长交的延长线于点，证明和全等得，进而得，再根据平分得，则，由此可得出之间的等量关系，即可求解； （2）延长至点，使，连接，根据是的中线，得出，证明和全等得，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点作于点，延长相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，再根据得，则，然后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 如图①所示： ， ， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ∵，， ． （2）证明：延长至点，使，连接， 如图②所示： ∵是的中线，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）过点作于点，延长相交于点， 如图③所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型二：过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 6.如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 7．综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． （1）通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形； （2）由，F是的中点可得，再根据勾股定理求出，过A点作，再通过证明三角形全等得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 8．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 9．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据平行线判定与性质证明、含30度角的直角三角形 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 11．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）中，，．若为线段上一点，，，垂足为，交于． (1)如图1，当与点重合时，探究、的数量关系； (2)如图2，当不与重合时，线段与的数量关系是否发生变化，证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长与交于点，证得，进而证得，证得，根据全等三角形的性质证得，从而得到结论； （2）过点作，与交于，与的延长线交于，根据题意易证得，根据全等三角形的性质证得，再证得，进而得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ， ， ， 即是的平分线， 又， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， 又， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，与交于，与的延长线交于， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又， ． 12．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)12 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 13．（24-25八年级上·广东东莞·期末） 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解； （3）需要的围挡才能将围成一圈． 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）延长交于点，证明，，，再由得到，故可求解； （3）延长交于点，延长交于点，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图2，延长交于点， 平分，， 由（1）可得，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长交于点，延长交于点，如图3， 由（1）可知，，，，， ， ， ， 米， , 的周长 （米）． 答：需要40米的围挡才能将围成一圈． 14．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 15．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，结合已知可得，即可得证 （2）根据等腰三角形的性质可得，，勾股定理求得，进而根据，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴； （2）∵，平分 ∴， 在中，， ∵ ∴ ∴ ∴的周长． 17．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，过作的垂线，垂足为，可以发现，，存在的数量关系是___________； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，是否还存在（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的全等的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证出，得到，，然后得到，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证； （2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在． 证明如下：如图所示，在上取点E，使， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18.如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：________）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则________ 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意作辅助线，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，证得，得到，等量代换即可证明． 【详解】（1）解：①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为； （2）证明：延长到点，使，连接．如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴． 19.问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20．已知在中，满足．      (1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，请直接写出之间的数量关系_________； (2)【问题拓展】如图2，当，AD为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由． (3)【猜想结论】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点E，使得，连接，请直接写出线段的数量关系_________． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】（1） 由 为 的角平分线，得到 ，通过 ≌，得到 ，，由于 ， 得到 ，，根据等腰三角形的性质得到 ，于是得到结论； （2）由 为 的角平分线时，得到 ，通过 ≌得到 ，由已知得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得解； （3）由 为 的 角平分线时，得到 ，通过≌得到 ，，由已知得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得解． 【详解】（1）解： ∵ 为 的角平分线 在和中 ≌， （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴≌ ∴，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即： （3）解： 证明： ∵ 平分 ∴ 在 与 中 ∴≌ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04巧构等腰三角形的基本模型有关的四种模型 题型归纳 题型一利用平行线+角平分线构造等腰三角形 题型二过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 题型四利用倍角关系构造新等腰三角形 题型专练 题型一：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结)。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 M 图1 图2 图3 条件：如图1，Oo平分∠MON,过OO的一点P作PQ/ON结论：△OP2是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别 相交于点M,N.结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 1.(25-26八年级下四川达州期末)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,E为AC上一点， 且DE∥BC. 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()求证：DE=CE, (②)若∠A=90°，AD=4,BC=12,求△BCD的面积. 2.(25-26八年级上广东汕头期末)如图，△ABC中，AB=AC,∠B的平分线交AC于D,AE∥BC 交BD的延长线于点E,AF⊥AB交BE于点F. E D (1)若∠BAC=40°.求∠AFE的度数： (2)若AD=CD,AF=2,求BF的长 3.(25-26八年级上陕西西安月考)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,交AB于点D,过点D作 DE∥BC交AC于点E.F为CD的中点，连接EF. D E B (I)求证：△CDE为等腰三角形： (2)若∠A=80°，∠B=56°，求∠CEF的度数. 4.(I)如图1，△ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB AC于点E,F.图中有个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由： (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有_个等腰三角形：EF与BE,CF间的关系是一： (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与△ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是_ 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 5.(25-26八年级上陕西榆林期末)【问题提出】 (I)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是AD的中点，连接BE,且BE平分∠ABC,延长BE交 CD的延长线于点F,若AB=7,CD=10,则BC的长为一： 【问题探究】 (2)如图②，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E在AC上，连接BE交AD于点F,AE=EF.延长 AD至点H，,使DH=AD,连接BH.请判断AC与BF是否相等，并说明理由： 【问题解决】 (3)为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形ABDC(如图③)·己 知渠段AB∥CD,AB=5千米，CD=2千米.为实现精准灌溉，技术人员修建了BC、AE(点E在BC 上)两条分渠道，在分渠道AE上设置了控水巡检点F,经勘测，∠DFE=∠BAE,且种植区△ACE和 △ABE的面积相等.工作人员需从分渠端点D出发沿直线前往巡检点F检查设备，求巡检路线DF的长度 D H 图① 图② 图③ 题型二：过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形， 图①（作腰的平行线）图②（作底的平行线） 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DEBC.结论：△ADE是等腰三角形 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DEAB.结论：△CDE是等腰三角形. 6如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于点E. B E (I)求证：△DEB是等腰三角形. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 7.综合与探究 如图，在△ABC中，AB=AC,D为CA延长线上的一动点，且DE⊥BC,交AB于点F. 图1 图2 (1)如图1，求证：△ADF是等腰三角形. (2)如图2，当F为AB的中点时，DF与EF有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由， 8.(25-26八年级下·广东佛山阶段检测)综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”，几何图形变幻无穷， 但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显 现出来.于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的 延长线上，且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由 D B B 图1 图2 备用图 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (I)【特殊情况，归纳猜想】如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 你的结论：AE_BD(选填“>”、“<”或者“=”)； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当E不是AB的中点时，小优和小秀认为(1)中的结论仍然成立，所 以他们尝试过点E作EF∥BC,交AC于点F.刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来 的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在BA的延长线上时，点D在BC边上，且CE=DE,请自己画图，并探 究(1)中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明. 9.(1)如图1，△ABC为等边三角形，动点D在边AB上，动点E在边AC上.若这两点分别从点B,A 同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接CD,BE交于点P,则在动点D,E 的运动过程中，CD与BE之间的数量关系是 图1 图2 图3 (2)如图2，若把(1)中的“动点D在边AB上，动点E在边AC上”改为“动点D在射线BA上运动， 动点卫在射线AC上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由， (3)如图3，若把(I)中的“动点D在边AB上”改为“动点D在射线CB上运动”，连接DE,交AB 于点M,其他条件不变，则在动点D,E的运动过程中，DM与EM之间存在怎样的数量关系？请写出简 要的证明过程。 10.【问题初探】 (1)数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC,点F是AC上一点，点E 是AB延长线上的一点，连接EF,交BC于点D,若ED=DF,求证：BE=CF, ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM,使DM=BD,连接 FM,利用两个三角形全等和已知条件，得出结论： ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M, 利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论： 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 (2)李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出 了新的问题，请你解答， 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE,AD,CE与AD相交于点N,若 ∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN: BA D D 图1 图2 图3 图4 【学以致用】 (3)如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC,点E在线段BA的延长线上运 动，过点E作ED∥AF,交AC于点N,交BC于点D,且BD=CD,请直接写出线段AE,CN和BC之间 的数量关系。 图5 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD=△ACD,从而得 AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形 11.(25-26八年级上·湖北武汉月考)△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.若D为线段BC上一点， ∠EDB=ACB,BE1DE垂足为E'DE交AB于F 6/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(D) D 图1 图2 (I)如图1，当D与C点重合时，探究BE、DF的数量关系： (2)如图2，当D不与C重合时，线段BE与DF的数量关系是否发生变化，证明你的结论. 12.(25-26八年级上·安微淮南期末)【情境建模】 E B D D B H 图1 图2 图3 (I)已知：如图1，点D在△ABC的边BC上，若AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC.请你帮 助小蕊完成证明 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在△ABC中，AD平分 ∠BAC,AD⊥BD,AC-AB=2BD,求证：∠ABC=3∠C. 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BC=12,AD平分∠BAC,点E为AC中点，AD与BE相交于点F,过点B作 BH⊥AD交AD延长线于点H,设△BFH、△AEF的面积分别为S,S2,若AB-AC=4,则S-S2的最 大值是 13.(24-25八年级上广东东莞期末) D M D C Ch\ 图1 图2 图3 【情境建模】 (1)我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”·小明尝试着 7/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 逆向思考： 已知：如图1，点D在△ABC的边BC上，AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC.请你帮助小 明完成证明。 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在△ABC中，AD平 分∠BAC,AD⊥BD,LABC=3LC,求证：AC-AB=2BD. 【拓展应用】 (3)如图3，△ABC是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中∠ACB=90°，AC=60米， BC=80米，AB=100米，该绿化带中修建了健身步道OA、OB、OM、ON、MN,其中入口MN分别 在AC、BC上，步道OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC,OM LOA,ON⊥OB.现要在aCMN区域修 建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将△CMN围成一圈？（步道宽度忽略不计） 14.(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON.点A为 OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证：△AOC≌△BOC. (2)【问题探究】如图2在(1)的条件下，过点A作AD⊥ON,垂足为D,AD交OP于点E.若 AD=OD,试探究AC和OE的数量关系，并证明你的结论. (3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段BC上，且 ∠BDE=∠ACB,BELDE于E,DE交AB于F·试探究BE和Dp之间的数是关系，并证明你的结论. 2 、B D 图1 图2 图3 15.利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A 作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△AOC≌ABOC,则A0=BO,AC=BC. NB 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (I)如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述 构造全等的办法，求∠DAE的度数： 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题探究】 (2)如图③，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地△ABC,其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角 形土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD: ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 已知BC=13米，AC=10米，△ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形. D B B 图① 图② 图③ 条件：如图1，若∠ABC-2∠C,作BD平分∠ABC:结论：△BDC是等腰三角形 条件：如图2，若∠ABC-2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA的 延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 16.(25-26八年级上陕西西安·期末)如图，在△ABC中，∠C=2∠B,EF垂直平分AB,交AB于点F, 交BC于点E,且AD平分∠CAE. (I)求证：AE=AC; (2)若AB=15,AD=9,求△ABC的周长. 17.(25-26八年级上：四川绵阳期末)在△ABC中，∠ACB=2∠B. 9/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B D 图1 图2 (I)如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，过D作AB的垂线DE,垂足为E,可以发现AB, AC,CD存在的数量关系是 (2)如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB,AC,CD是否还存在(1)中的数量关 系？如果存在，请给出证明.如果不存在，请说明理由 18.如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C,试探究线段AB,BD,AC之间的数量关系.小明的解 题思路如下： B B D D 图1 图2 图3 ①如图2，在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE. ②由AB=AE,AD平分∠BAE,AD是公共边， 可得△ABD≌△AED(理由： 则∠B=∠AED,BD=DE. ③由∠B=2∠C, 则∠AED=2∠C 又因为∠AED=∠EDC+∠C, 所以∠EDC=∠C,则DE= 又由BD=DE,得BD=EC」 ④根据上述的推理可知AB,BD,AC之间的数量关系为 (1)请你补全小明的解题思路。 (2)小明又想尝试其它方法：延长AB到点E,使BE=BD,连接DE.请你帮助小明，完成解答过程. l9.问题背景：在△ABC中，∠B=2∠C,点D为线段BC一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、 BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系. 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 周 D D 图 图2 B D 图3 (1)在图1中，当AB=AD时，则可得AB=CD,请你给出证明过程， (2)当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=DC: (3)当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论 20.已知在△ABC中，满足∠ACB=2∠B」 ▣ B D C B D B D 图1 图2 图3 (1)【问题解决】如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E,使得AE=AC, 连接DE,请直接写出AB,AC,CD之间的数量关系」 (2)【问题拓展】如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E,使得AE=AC,连 接DE,(1)中的结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由. (3)【猜想结论】如图3，当AD为∠BAC的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E,使得AE=AC,连 接DE,请直接写出线段AB,AC,CD的数量关系 11/11面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04巧构等腰三角形的基本模型有关的四种模型 题型归纳 题型一利用平行线+角平分线构造等腰三角形 题型二过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 题型四利用倍角关系构造新等腰三角形 题型专练 题型一：利用平行线+角平分线构造等腰三角形 1. 【答案】(I)证明：CD平分∠ACB, .∠BCD=∠DCE, DE∥BC, .∠BCD=∠CDE, :∠DCE=∠CDE, .DE=CE (2)解：如图，作DF⊥BC交BC于F, D E 平分 B C·CD ∠ACB∠A=∠DFC=90° .AD=DF=4. S.BCD 2×12×4=24. 2. 【详解】(1)解：AB=AC,∠BAC=40°， 1/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=180°-40 2 =70°， BD平分∠ABC, 1 ∠ABD=∠DBC=×70°=35°， 3 AF⊥AB, .∠BAF=90°， ∴.∠AFE=∠BAF+∠ABD=90°+35°=125°. 答：∠AFE的度数为l25°. (2):AE∥BC,∠E=∠DBC, E D B 在△ADE和△CDB中， ∠E=∠DBC ∠ADE=∠CDB, AD=CD .△ADE≌aCDB(AAS), .AE=CB, :∠E=∠DBC,∠ABD=∠DBC, .∴.∠E=∠ABD. :AB=AE, .AB=CB=AC, ∴△ABC为等边三角形， ∠ABC=60°， .∠ABD=30°， AF=2, .BF=4, 答：BF的长为4. 3. 2/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：：CD平分∠ACB交AB于点D, ∴∠DCB=∠DCE, DE∥BC, .∠CDE=∠DCB, ∠CDE=∠DCE, ∴.△CDE为等腰三角形； (2)解：：∠A=80°，∠B=56°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=44°， :CD平分∠ACB, ∠ECD三2∠ACB=220 :F为CD的中点，且△CDE为等腰三角形， ∴EF LCD ∴.∠EFC=90°， ∴.在aEFC中，∠CEF=180°-∠CFE-∠ECF=68 4. 【详解】(1)解： EF=BE+CF,理由如下： :∠ABC,∠ACB的平分线交于O点， ∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO, :EF∥BC .∴∠EOB=∠CBO.∠FOC=∠BCO. ∴∠EBO=LEOB,∠FCO=∠FOC, ∴BE=OE,CF=OF, ∴.△OEB和△OFC为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形， .EF=OE+OF=BE+CF 故答案为：2. (2)解：：AB=AC,即△ABC为等腰三角形， .∠ABC=∠ACB, :∠ABC,∠ACB的平分线交于O点， ,∴.∠EBO=∠CBO=∠FCO=∠BCO. ∴.OB=OC,即△BCO为等腰三角形， 3/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF∥BC, ∴.∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE, ∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC,AE=AF,即△AEF为等腰三角形， :.BE=OE,CF=OF, ∴.△OEB和△OFC为等腰三角形， ∴.EF=OE+OF=BE+CF 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，EF=BE+CF (3)解：：∠ABC的角平分线与△ABC外角∠ACD的角平分线交于点O, .∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠DCO, :EF∥BC, ∴.∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠DCO, ∴.∠EBO=LEOB,∠FCO=∠FOC, ∴BE=OE,CF=OF, ∴.△OEB和△OFC为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形. ∴.BE=OE=EF+OF=EF+CF 故答案为：2，BE=EF+CF, 5. 【详解】(I)解：延长BE交CD的延长线于点F, 如图①所示： B 图① .AB∥DC .∠A=∠FDE,∠ABE=∠F, :点E是AD的中点， :AE=DE, 在△ABE和△DFE中 4/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠FDE ∠ABE=∠F, AE=DE △ABE≌△DFE(AAS), :.AB=DF, .CF=CD+DF=CD+AB. ~BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE 又∠ABE=∠F, ∴∠CBE=∠F, .BC=CF=CD+AB. AB=7,CD=10 BC=7+10=17. (2)证明：延长AD至点H,使DH=AD,连接BH, 如图②所示： F H 图② ,AD是△ABC的中线，， .CD=BD. 在△ACD和△HBD中， (DH=AD ∠CDA=∠BDH, CD=BD ∴△ACD≌△HBD(SAS). .AC=BH,∠H=∠CAD 'AE=EF,∠AFE=∠BFH, ∴.∠EAF=∠AFE, 5/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠H=∠EAF=∠EFA=∠BFH, ∴BH=BF, .AC=BF (3)过点A作AH⊥BC于点H,延长CD,AE相交于点N, 如图③所示： D N 图③ .SwBEAH,S..c-CE.AH S4BE=SACE .CE=BE, :AB∥CD, .∠N=∠BAE,∠NCE=∠ABE, 在△NCE和△ABE中， 「∠N=∠BAE ∠NCE=LABE, CE=BE :ANCE≌△ABE(AAS), ∴.CN=AB :∠DFE=∠BAE,∠N=∠BAE ∠DFE=∠N, .DF DN .DN CN-CD=AB-CD. ..DF AB-CD, AB=5km,CD=2km .DF=AB-CD=5-2=3km. 6/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 6 【详解】(I)证明：证明：，BD是△ABC的角平分线， ∴.∠CBD=∠EBD DE∥BC, ·.∠CBD=∠EDB, ∴.∠EBD=∠EDB .'DE EB, :.△DEB是等腰三角形： (2)解：CD=ED.理由如下： .AB=AC, .∠C=∠ABC DE∥BC, .∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC. .∠ADE=∠AED, .'AD=AE .AC-AD=AB-AE,即CD=BE」 由(I)得∠EBD=∠EDB, ∴.BE=ED, ∴CD=ED 7. 【详解】(1)证明：AB=AC, ∴∠B=∠C DE⊥BC, .∠D+∠C=90°，∠B+∠BFE=90°， ∴.∠D=∠BFE 又∠DFA=∠BFE, .∠D=∠DFA, .AD=AF, △ADF是等腰三角形： 7/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：DF=2FE,理由如下： 过点A作AG⊥DE于点G, D B E 由(I)得AD=AF, :AG⊥DF, GF-DF :AG⊥DE,DE⊥BC, .∠AGF=∠BEF=90° 又：F为AB的中点， :.AF=BF 在△AGF和△BEF中， ∠AGF=∠BEF ∠AFG=∠BFE, AF=BF ∴△AGF≌△BEF(AAS). :FE=GF, :DF=2FE. 8. 【答案】(I)解：，△ABC是等边三角形，点E为AB的中点， ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=∠ACE=30°，AE=BE, .ED=EC, .∠D=∠ECD=30° ,∠EBC=∠D+∠BED, .∠D=∠BED=30°， .BD=BE, ∴.AE=BD: 8/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，过点E作EF∥BC交AC于点F, D B 则∠AEF=∠ABC=60°， :∠A=60°， ∴，△AEF是等边三角形， ∴，AE=FE=AF,∠AFE=60°， ∴.∠EFC=∠DBE=120°」 .AB=AC,AE=AF, .BE=CF, :EF∥BC, ∠ECB=∠CEF, .ED=EC. ∴.∠D=∠ECB=∠CEF, 在△DBE和△EFC中， ∠DBE=∠EFC ∠D=∠CEF BE=FC .△DBE≌aEFC(AAS), .BD=FE, ∴.BD=AE: (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点E作EF∥BC交CA的延长线于点F, E 43 D 9/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠I=∠F,∠BCE+∠CEF=180°， .∠B=∠1=∠BAC=60° .∠EAF=∠2=∠F=60°， ∴.△AEF是等边三角形， .AE=EF,∠F=∠B=60°， .DE=CE, .∠3=LBCE, .∠3+∠4=180°. .∠4=∠CEF, 在△BDE与△FEC中， [∠4=∠CEF ∠B=∠F DE=CE :.△BDE≌aFEC(AAS), ∴BD=EF, .AE BD. 9. 【详解】解：(1)：△ABC是等边三角形， .∠A=∠ABC=60°，AB=BC, 由题意得，BD=AE, 在△ABE和△BCD中， AB=BC ∠A=∠DBC, BD=AE .△ABE≌ABCD(SAS), .BE CD: (2)BE=CD成立， 理由如下：由题意得，CE=AD, :∠A=∠ACB=60°，AC=BC, .∠DAC=∠ECB=120°， 在△ADC和△CEB中， 10128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=CB ∠DAC=∠ECB AD=CE .△ADC≌△CEB(SAS), .BE CD (3)ME=MD, 理由如下：作EH∥BC交AB于H,如图， D B ,△ABC为等边三角形，EH∥BC, .∠AHE=∠B=60°，∠AEH=∠C=60°，∠HEM=∠D, ∴，△AEH为等边三角形， .'EH=AE, .BD=AE, .EH BD, 在△HME和△BMD中， ∠HME=∠DMB ∠HEM=∠D EH=DB ∴.△HME≌aBMD(AAS), .ME MD. 10 【详解】(I)证明：，ED=DF,DM=BD,∠BDE=∠MDF, .△BDE≌aMDF(SAS). .FM=BE,∠E=∠DFM, .FMI‖BE, :∠ABC=∠FMC, AB=AC. .∠ABC=∠C, 11/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠FMC=∠C, .FM=FC, ..BE=CF: B D M ②：EM∥AC, .∠EMB=∠C, 'DE=DF,∠MDE=LCDF, .aMDE≌aCDF(AAS). ..CF=EM, .AB=AC, .∠ABC=∠C, :∠MBE=∠ABC, .∠EMB=∠MBE, ∴BE=ME, ..BE=CF: B D E (2)延长AD,取DM=AD,连接CM,如图所示： A N D M 12128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :D是BC的中点， .BD=CD, :∠ADB=∠CDM. .△ADB≌aCDM(SAS)」 AB=CM,∠M=∠BAD, :∠EAD+∠ANC=180°，∠ANC+∠CNM=180°， .∠CNM=∠EAD, .∠CNM=∠M, ∴.CM=CN, .AB=CN: (3)延长ED,使DM=ED,连接CM,如图所示： y N D M :BD=CD,∠CDM=∠BDE, .aCDM≌aBDE(SAS), CM=BE,∠M=∠BED, .CM∥BE, .∠ACM=180°-∠BAC=90°， :AF平分∠BAC, :∠CAF=∠BAC=45°， 2 ,ED∥AF, .∠CNM=∠CAF=45°， .∠M=180°-∠CNM-∠ACM=45°， ∴.∠CNM=∠M, ∴.CW=CM, .CN=BE, 13128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACB=30°，∠BAC=90°， :B=8C, 2 .BE-AE AB= 2 :.CN-AE-LBC 2 题型三：巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 11. 【详解】(1)解：FD=2BE,理由如下： 如图，延长CA与BE交于点G, G E F B C(D ∠EDB=∠ACB 1 ∴.∠EDG=。∠ACB」 2 .∠BDE=∠EDG. 即DE是∠BCG的平分线， 又BE⊥DE, BE=EG-号8c, :∠BED=∠BAD=90°，∠BFE=∠CFA, .∠EBF=∠ACF, 即∠ABG=∠ACF, 在△ABG和△ACF中， 14128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABG=∠ACF AB=AC ∠BAC=∠CAF=90° .AABG≌△ACF(ASA), ..BG=CF=FD, 又BE=)BG, (2)解：FD=2BE,理由如下： 如图，过点D作DG∥AC,与AB交于H,与BE的延长线交于G, Q A B D CDG‖AC∠BAC=90° ∴.∠BDG=∠C,∠BHD=∠BHG=∠BAC=90° 又：∠BDE=}∠ACB, LEDG-ZBDG-ZBDE-C-c-C 2 ∴.∠BDE=∠EDG, 在△DEB和△DEG中， ∠BDE=∠EDG DE=DE ∠DEB=∠DEG=90° :ADEB≌ADEG(ASA) :.BE-EG=1BG 2 AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=∠GDB, ∴.HB=HD ∠BED=∠BHD=90°，∠BFE=∠DFH 15128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EBF=∠HDF, 即∠HBG=∠HDF, 在△BGH和△DFH中， 「∠HBG=∠HDF HB=HD ∠BHG=∠DHF :ABGH≌△DFH(ASA), :BG=FD, 又BE=}BG, BE=FD」 12. 【答案】(I)证明：：AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, :AD⊥BC, .∠BDA=∠CDA=90°， .∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°. ∴∠B=∠C, ∴AB=AC: (2)证明：如图，延长BD交AC于E点， E B :AD平分∠BAC,AD⊥BD, 由(I)可得∠ABE=∠AEB,AB=AE, ∴.BE=2BD, .AC-AB=2BD .'AC-AE=BE, ∴.BE=CE, 16128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=∠EBC, :∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC=2∠C, :.∠ABC=∠ABE+LEBC=2∠C+∠C=3∠C; (3)解：延长BH,，AC交于点G,如图所示： H --G :AD平分∠BAC, ∴.∠BAH=∠GAH, :BH⊥AD, ∴.∠AHB=∠AHG, AH =AH, :.△ABH≌aAGH(ASA). ..BH=GH,AB=AG, ..S.am =S.CmNG1 :E为AC的中点， S.=S.CE=S.AC S-S2 =S.BFH-S.AEF =(S.BFH+S.ABF)-(S.4EF+S.4BF) =SABH-S。ABE -m-及m） :当△BCG的面积最大时，S,-S2最大， 17/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB-AC=4,AB=AG, ..AG-AC=4. 即CG=4, BC=12, :当BC⊥CG时，△BCG的面积最大， 六△BCG的最大面积为：2×12×4=24， 3-S,的最大值为：)×24=2 13 【详解】(1)证明：：AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. AD⊥BC, .·.∠BDA=∠CDA=90° .∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°， .∠B=∠C, :.AB=AC; (2)证明：如图2，延长BD交AC于点E, E 平分 D B 图2 .·AD ∠BAC AD⊥BD 由(I)可得∠ABE=∠AEB,AB=AE, .ED=BD, :∠ABC=3∠C,∠C+∠EBC=∠AEB,∠ABE=∠AEB, ∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE,∠C+∠EBC=∠ABE. .2∠EBC=2∠C, .∠EBC=∠C, ..BE=CE, .AB+2BD=AE+BE=AE+CE=AC, 18128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即AC-AB=2BD: (3)解：延长MO交AB于点H,延长NO交AB于点G,如图3， G 0. M B 图3 由(1)可知，AM=AH,OM=OH,BN=BG,ON=OG, .∠MON=∠GOH, ∴△MON≌△HOG(SAS) :.MN =GH, AB=100米， .AH+BG=AB+GH=100+GH ∴.△CMN的周长 CM+CN+MN =AC-AM+BC-BN+GH =60-AH+80-BG+GH =140-100=40(米). 答：需要40米的围挡才能将△CMN围成一圈. 14. 【详解】(I)在△AOC和△BOC中， ∠AOC=∠BOC OC=OC ∠OCA=∠OCB=90° ∴△AOC≌△BOC(ASA): (2)OE=2AC,理由如下： 19128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N、B D P、C E MA 由(1)得，△AOC≌△BOC. .AC=BC,即AB=2AC, :∠BCO=∠ADB=90°， ∴∠BOC+∠OBC=∠DAB+∠OBC=90°， ∴.∠BOC=∠DAB. 在△DOE和△DAB中， [∠DOE=∠DAB OD=AD ∠ODE=∠ADB=90° ∴△DOE≌△DAB(ASA). ..OE=AB, .0E=2AC: (3)BE= )DP理由如下 如图：过点D作DG∥AC,交BE的延长线于点G,与AF相交于H, G 、H B C DGI AC .∠GDB=∠C,∠BHD=∠A=90°， :∠BDE=∠ACB, 2 .·.∠EDB=∠EDG= ∠ACB. 2 BE⊥ED, ∠BED=90°， .∠BED=∠BHD, :∠EFB=∠HFD, 20128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EBF=∠HDF, AB=AC,∠BAC=90°， .∠C=∠ABC=45°， DGI AC .∠GDB=∠C=45°， :∠GDB=∠ABC=45°， :BH=DH, 在△BGH和△DFH中， [∠HBG=∠HDF BH=DH ∠BHG=∠DHF=90° ∴.△BGH≌△DFH(ASA). ∴BG=DF, 在△BDE和△GDE中， ∠BDE=∠GDE DE=DE ∠BED=∠GED=90° ∴.△BDE≌△GDE(ASA). “BE=EG,即BE=，BG」 2 :.BE=1BG=1DF 1 21 2 15 【详解】(I)如图2，延长AE交BC于点F, D E B F 由已知可知AC=FC, ∴.∠EFC=∠EAC=63° ,∠EFC=∠B+∠DAE, .∠DAE=∠EFC-∠B=63°-37°=26°： 21128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （2)BE=CD,证明如下： 如图，延长BE、CA交于点F,则∠BAF=180°-∠BAC=90°， E B ,BE⊥CD, .∠BED=90°=∠BAC, :∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC, ∴.∠ABF=∠ACD, 又，AB=AC, .△ABF≌aACD(ASA), ∴BF=CD, 由己知可知，BE=FE=BE, 2 -CD. (3)如图，延长AD交BC于E, B E D A 由已知可知，AD=ED,EC=AC=10, .SACD=S.ECD, S.4BC =20 5=103 10 S.= 13 3×20=200 13 13, ..cr 100 ..S.ACD= 2 13· 22128 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 16. 【详解】(1)证明：，EF垂直平分AB, ∴.AE=BE ∴.∠EAB=∠B ∴.∠AEC=∠EAB+∠B=2∠B 又，∠C=2∠B, ∴.∠AEC=∠C ..AE=AC; (2):AE=AC,AD平分∠CAE ∴DE=DC,AD L BC 在Rt△ADB中，BD=√AB2-AD2=V152-92=12, ·BE=AE,AE=AC .'BE=AC ..BC+AC=BE+ED+DC+AC=2BE+2ED=2BD=2x12=24 ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=15+24=39 17. 【详解】(1)解：：AD为∠BAC的角平分线， .∠EAD=∠CAD. .DE L AB ∴.∠AED=∠C=90° 又，AD=AD .△AED≌△ACD(AAS)」 .ED=CD,AE=AC. :∠ACB=90°，∠ACB=2∠B .∠B=45°， .∠BDE=90°-∠B=45°=∠B. .EB=ED, ∴.EB=CD ∴.AB=AE+EB=AC+CD: 23128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：存在 证明如下：如图所示，在AB上取点E,使AE=AC, B D ,AD为∠BAC的角平分线时， ∠EAD=∠CAD. 又，AD=AD, .△AED≌aACD(SAS), .∠AED=∠C,ED=CD, .∠ACB=2∠B. .∠AED=2∠B, 又，∠AED=∠B+∠EDB, ∴.∠B=∠EDB, .'EB=ED, ∴.EB=CD, ∴.AB=AE+EB=AC+CD 18. 【详解】(1)解：①如图2，在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE. ②由AB=AE,AD平分∠BAE,AD是公共边， 可得△ABD≌△AED(理由：SAS), 则∠B=∠AED,BD=DE. ③由∠B=2∠C, 则∠AED=2∠C 又因为∠AED=∠EDC+∠C, 所以∠EDC=∠C,则DE=EC 又由BD=DE,得BD=EC. ④根据上述的推理可知AB,BD,AC之间的数量关系为AC=AB+BD； (2)证明：延长AB到点E,使BE=BD,连接DE,如图所示： 24128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B BE =BD, .∠BED=∠BDE, ,∠ABD=∠BED+∠BDE=2∠BED, '∠ABD=2∠C ∴.∠BED=∠C :AD平分∠BAE, .∠EAD=∠CAD, ,AD是公共边， .△AED≌aACD(AAS)」 .AC=AE=AB+BE=AB+BD 19. 【详解】(I)AB=AD, ∠ADB=∠B ∠B=2∠C, ∠ADB=∠C, :∠ADB=∠C+∠DAC, ∴.∠DAC=∠C, ..DA=DC, :.AB=CD; (2)在DC上截取DH-DB,连接AH, H 图2 在△ADB和△ADH中， 25128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DB=DH ∠ADB=∠ADH=90 AD=AD .△ADB≌△ADH(SAS). .AB=AH,∠AHB=∠B, :∠B=2LC, :.∠AHB=2LC, '∠AHB=∠C+∠HAC, .∠HAC=∠C, :AH =CH, .AB=CH, .AB+BD=CH+DH=DC (3)AB+BD=AC. 理由如下：在AC上截取AG=AB,连接DG, G B D 图3 在△ADB和△ADG中， AB=AG ∠DAB=∠DAG AD=AD .△ADB≌△ADG(SAS), ∴DB=DG,∠AGD=∠B, :∠B=2∠C, :∠AGD=∠C, :∠AGD=LC+∠GDC, .∠GDC=LC, ..GD=CG. ..DB=CG, ·AB+BD=AG+GC=AC. 26128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 【详解】(I)解：AB=AC+CD :AD为∠BAC的角平分线 .∠EAD=∠CAD, 在△AED和△ACD中 AE=AC ∠EAD=∠CAD, AD=AD AAED≌△ACD(SAS), ∴ED=CD, ∠AED=∠ACD=90, .ACB=90,∠ACB=2∠B, .∠B=45°， .∠BDE=45, .∠B=∠BDE, .EB=ED, ..EB=CD, .AB=AE+EB=AC+CD; (2)解：(1)中的结论仍然成立，理由如下： :AD是∠BAC的角平分线， .∠1=∠2 在△ADE和△ADC中 AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD ∴·△AED≌△ACD(SAS) DE=CD,AE=AC,∠AED=∠C 又：∠AED=∠B+∠BDE,∠C=2∠B .∠B=∠BDE .BE DE .BE=CD .AC+AD=AE+BE=AB 27128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即：AB=AC+CD (3)解：AB+AC=CD 证明：：AD平分∠FAC ∴.∠EAD=∠CAD 在△AED与△ACD中 AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD ∴·AAED≌△ACD(SAS) ∴.ED=CD,∠AED=∠ACD, .∠FED=∠ACB, ∠ACB=2∠B, .∠FED=2∠B, ∠FED=∠B+∠EDB, .∠EDB=∠B, .EB=ED, .∴.EA+AB=EB=ED=CD .AC+AB=CD. 28128