第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元自测·强化卷）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 第三章圆锥曲线单元强化卷，覆盖双曲线、椭圆、抛物线核心知识，通过基础辨析、实际应用（如石拱桥问题）及综合探究题，适配单元复习，提升数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|双曲线方程、椭圆焦点、抛物线焦点与圆相切|基础概念辨析，如第1题双曲线方程范围| |多选|3/18|双曲线渐近线、抛物线焦点性质|多角度考查，如第9题综合渐近线与距离| |填空|3/15|抛物线焦点弦、轨迹方程|简洁性与灵活性，如第12题焦点弦长度| |解答|5/77|双曲线标准方程、抛物线定点问题、椭圆综合|分层递进，如第18题椭圆定点证明，体现数学思维与语言|

第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 3．经过抛物线焦点的直线与圆相切，与抛物线交于两点．为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 4．已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 7．已知点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线：的上焦点为，直线：是的一条渐近线，是上支上的一点，为坐标原点，则（   ） A．到的距离为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．若，则的最小值为4 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（   ） A． B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当时，的面积为 11．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则__________. 13．已知点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是______． 14．设抛物线的焦点为，准线为，是与轴的交点，．过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 16．（15分）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 17．（15分）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为，，且右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于（异于）两点，直线的交点为. ①证明：点在定直线上 ②设直线交点为，问是否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由. 19．（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.    (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章圆锥曲线的方程（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 4 5 6 7 B B C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 CD ABC AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.413.(-2,2) 2525 14.3/3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) x2 【解折】(1)椭圆4+严= 的焦点为(N5,0)和(V5,0), 「a2=2 依题意， 日+分；·解得二子，所以双自签c的标准方程为亏少1， (2)设PF=m,|PF=n,则由双曲线的定义得m-n=2a, 在△PF中， 4c2 m2+n2-2mncos/FPF,m2+n2-mn=(m-n)2+mn=4a2+mn 118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则mn=4c2-4a2=4h2=4,所以△FPF的面积°2 5-mmsinx4x 322 VA 16.(15分) 【解析】(1) k 设直线MN,AB斜率分别为k,k2,则k2为定值. 理由如下：如图， 5r四.度答小答小停小学小wi [y2=4x 联立x=my+1,得y2-4my-4=0, △1=16m2+16>0,y2=-4 .① k=为是=4，=⅓4=4 2+y2 坚_经+4， 44 44 因为2F=M0-D 2MF =MO+MD ”,所以 所以点F为线段OD的中点， 218 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为F,0),所以D(2,0), 足-2 故直线MD:x=4 片少+2s足8 +2, 4y y22-8 -8=0 代入抛物线方程可得： 2>0，y3=-8 则 ② 联立02得=2少，同理可得=2%， 4_k 所以2为+42(+)2， k=2 所以k2,为定值. 2证明：由(1)知少=-4y=-8 0-{（等-2-年-2】 因为戏.D=点我，所以内答-小年-】 化简得少-8 所以y=64 即45y=64 所以少16 设直线AB:x=y+b. x=ny+b 由y2=4x得y2-4y-4b=0, 318 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △3=16n2+16b>0,y3y4=-4b=-16 解得b=4,所以直线AB方程为：x=y+4, 当y=0→x=4, 所以直线AB过定点(4,0) 17.(15分) 1.16 1 【解析】(1)将四个点代入抛物线方程解得P的值分别为A=2B2B=2,=2, (1,-10,P(9,3) 2(1,-1)P(9,3) 注意到 》对应的P一样，所以 在抛物线上， 故抛物线F的方程为广=x P(-2,2,.(6,-少为椭圆上的点， [4,2 高+存1ja=8 2+-1b-4 则6,1 → 所以椭圆的方程为8+红、 1 +m (2)kk 是定值。 理由如下：如图，设 A(x,y),B(x2,y2) 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x=my+3 →y2-my-3=0 联立y2=x 片+y2=m △=m2+12>0,由根与系数的关系得y2=-3, k==0-。三为 又因为=m%+3,所以+3my+3+3my+6,同理my+6 a.@0r yiy2 -2m2+36+6m0+4）=2m2+36+6m:m.-12 yiy2 yiy2 -3-3 1 +m2 所以kk2“为定值-12. 18.(17分) 【解析】(4)由抛物线广=4红的焦点为L0,则椭圆T的半焦距为=1， (1,0) 又AB卡4，得a=2,则b2=3,, x2.y2 所以椭圆的方程是4+3=1 2@证明：设直线.=+4，C(,）,D(,为），且1(2,0)，B(20),如图所示， 联立3x2+42-12=0→(3r+4y2+240+36=0 x=y+4 518 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -24t 36 则4+%=32+4，=3产+4，△>0： zy+2,产-2习 39 +2=6+2-少+6-2%+22 则-2G-习+2列-5-3， 2，解得 =1 即证点M在定直线x=1上 ② 同理可知点N在定直线x=1上， :点M在直线 y+2列1 上，令x=1,得出 x+2: y2+2 3y2 yN= 同理点N在直线 上，令x=1,得w+2 又Sw-AB小=2w小，Sw-a8l=2l, SMAB·S.NMB=4yMyN= 36y1y2 36y1y2 36y1y2 36 =9 x+2)(x+2)(y+6)(y2+6) tyy+61(y+)+362-412+312+4 :.SMBA为定值9. 19.(17分) x2,y2 【解析】(1)解：由艇圆C:云+方上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2(5+)和 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(5-2) a+c=2(3+2) 结合椭圆的几何性质，得a-c=2(V5-V2), a=2V5 解得c=22,则b=√a2-c=2' x+y =1 故椭圆C的方程为124 （2)解：设直线的方起为=+m,M,)N6） y--1x+m 3 由x上，消去，整理得 2+4 =1 4x2-6mx+9m2-36=0 545 由△=(-6m-14(m-4小>0，得3 <m< 3, 1+x2=。xx2=36 4. y=FgG+-4-i6-=而】 2 解得m=2或m=-2, 当m=2时，直线的方程为y=-x 一3x+2,此时直线/过点P3,): 当m2时、直线的方起为=青-2，满足影目条什 所以直线的方程为y=3-2. (3)证明：因为直线PM,PN均不与x轴垂直， 1 所以直线1：y=3x+m不经过点(3，-)和(3,1)，则m≠0且m≠2 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 由(2)可知，6=当-1⅓-1 x-3x2-3 (x-3)(x2-3) _@-0s+)+m- xx2-3(x+x2)+9 }6-小受a--e 9m-36-3.3m+99m-18m3为定值. 4 2 818 第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 2．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解法1：由题意知，设，则由可得， 在中，，即，解得． 解法2：由题意知椭圆的长轴长，短轴长是椭圆通径长的一半，所以， 则． 故选：C. 3．经过抛物线焦点的直线与圆相切，与抛物线交于两点．为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的方程为，即， 因为与圆相切，所以，解得， 将直线与抛物线联立得， 由焦点弦公式可知， 所以面积的最大值为． 故选：B. 4．已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 由题有，由双曲线性质有，，所以. 所以，所以. 又双曲线方程，则，， 所以，则双曲线离心率. 故选：C 5．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为（） 由已知点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线方程为， 所以焦点坐标为， 所以绳子最合适的长度是， 故选：B. 6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】双曲线的焦点坐标为，依题意，得的焦点为，所以，解得． 如图，设准线与轴的交点为，过作，过作，垂足分别为，则．    根据抛物线定义知，，设，， 因为，所以，即，得，所以，所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 7．已知点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，其中，则，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 8．已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可知，在第一象限，， 将点代入椭圆方程，得，则， 则，又因为AB的斜率为1，所以， 又，所以，即， 解得或（舍去），则， 所以的实轴长为与虚轴长的比值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线：的上焦点为，直线：是的一条渐近线，是上支上的一点，为坐标原点，则（   ） A．到的距离为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．若，则的最小值为4 【答案】CD 【详解】由题得双曲线：的渐近线方程为， 又直线：是的一条渐近线， 所以，即双曲线的标准方程为. A选项，到：的距离为，故A错误； B选项，，故双曲线的焦距为，故B错误； C选项，双曲线的离心率，故C正确； D选项，设双曲线的下焦点为，由双曲线的定义得，即， 所以， 当且仅当A，，三点共线时，取得最小值为4，故D正确. 故选：CD 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（   ） A． B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当时，的面积为 【答案】ABC 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. 11．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 【答案】AC 【详解】由题意，不妨设点A在B点上方，直线与x轴交点， 又经过的焦点，可得，即抛物线方程为，A正确． 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以或4，B错误． 由上，若，可知， 可得，则，即，C正确． 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则__________. 【答案】 【详解】如图，设直线与准线交于点，分别过点作准线的垂线，垂足为，且准线与轴的交点为， 则由抛物线的定义可知，，， 则，即，得， 又，则，得. 故答案为： 13．已知点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】由，得在以点为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上， 依题意实半轴长，虚半轴长， 则点的轨迹方程为，其渐近线方程为， 由直线与双曲线右支有公共点，可得. 故答案为：. 14．设抛物线的焦点为，准线为，是与轴的交点，．过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为________． 【答案】/ 【详解】作图如下： 因为为，的中点， 所以，即为的三等分点，且． 又因为，所以， 所以， 所以．不妨设，且在第一象限， 则，所以． 因为点在抛物线上，所以， 由为的三等分点，得， 即点到轴的距离为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 16．（15分）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1) 设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． (2)证明：由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 17．（15分）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)为定值－12． 【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为， 注意到对应的一样，所以，在抛物线上， 故抛物线的方程为． 为椭圆上的点， 则， 所以椭圆的方程为． （2）是定值． 理由如下：如图，设，    联立． ，由根与系数的关系得， 又因为，所以，同理． ， 所以为定值． 18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为，，且右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于（异于）两点，直线的交点为. ①证明：点在定直线上 ②设直线交点为，问是否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由. 【答案】（1）由抛物线的焦点为，则椭圆的半焦距为， 又，得，则， 所以椭圆的方程是. (2)①证明：设直线：，，，且，，如图所示， 联立， 则，，， 又，， 则，解得. 即证点在定直线上. ② 同理可知点在定直线上， 点在直线上，令，得； 同理点在直线上，令，得； 又，， ， 为定值9. 19．（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.    (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1）解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和， 结合椭圆的几何性质，得， 解得，则， 故椭圆的方程为. （2）解：设直线的方程为，，. 由消去，整理得. 由，得， 则，. ， 解得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点； 当时，直线的方程为，满足题目条件. 所以直线的方程为. (3)证明：因为直线，均不与轴垂直， 所以直线：不经过点和，则且， 由（2）可知，， ， 为定值. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $